贵州省遵义市航天高级中学2014-2015学年高二（下）期中
考试（理）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2014?东湖区校级模拟）设集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∪B 等于（）
A．{x|x≥3} B．{x|x≥2} C．{x|2≤x≤3} D．{x|x≥4}
考点：并集及其运算．
专题：计算题．
分析：求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．
解答：解：集合B中的不等式3x﹣7≥8﹣2x，解得：x≥3，即B={x|x≥3}；
∵A={x|2≤x＜4}，
∴A∪B={x|x≥2}．
故选B
点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2015?遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答：解：由zi=2+i，得，
∴z的虚部是﹣2．
故选：D．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）（2014?昌邑区校级三模）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）
A．B．个
C．个D．个
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：计算题；概率与统计．
分析：先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由此可得结论．
解答：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为
∴由分步计数原理可得不相同的牌照号码共个
故选A．
点评：本题考查排列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4．（5分）（2015?惠州模拟）设双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由条件可得，，再由双曲线的a，b，c的关系，求得a，再由离心率公式计算即可得到．
解答：解：双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，
则，
所以，
所以．
故选A．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
5．（5分）（2013?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的
最小值为（）
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
解答：解：设变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选A．
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
6．（5分）（2014秋?广东校级期末）已知如图程序框图，则输出的i是（）
A．9 B．11 C．13 D．15
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=315，i=9时，满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为9．
解答：解：模拟执行程序，可得
S=1，i=3
不满足条件S≥100，S=3，i=3
不满足条件S≥100，S=9，i=5
不满足条件S≥100，S=45，i=7
不满足条件S≥100，S=315，i=9
满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为9．
故选：A．
点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序运行结果时，模拟程序运行结果是最常用的方法，一定要熟练掌握，属于基本知识的考查．
7．（5分）（2013?西湖区校级模拟）观察式子：1+，
1+，…，则可归纳出式子为（）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）
考点：归纳推理．
专题：常规题型．
分析：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．
解答：解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；
故选C．
点评：本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力．
8．（5分）（2015?景洪市校级模拟）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择即可．
解答：解：对于A，若l∥α，α∩β=m，则l与m可能相交，平行或者异面；故A错误；
对于B，若l∥α，m∥α，则l与m平行、相交或者异面；故B错误；
对于C，若l⊥α，l∥β，根据线面垂直、线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故C正确；
对于D，若l∥α，l⊥m，则m与α可能平行；故D错误；
故选：C．
点评：本题考查了空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练掌握定理．
9．（5分）（2013?重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．
解答：解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
∴S表面积=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．
故选D．
点评：本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．
10．（5分）（2015?沈阳模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．
解答：解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移
个单位后得到的图象对应的函数为
y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，
故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x ﹣）关于直线x=对称，
故选：D．
点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．
11．（5分）（2014春?禅城区期末）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）
考点：计数原理的应用．
专题：应用题；排列组合．
分析：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解．
解答：解：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解．由题设，四棱锥S﹣ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法．
当S，A，B染好时，不妨设所染颜色依次为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法，即当S，A，B染好时，C，D还有7种染法．
故不同的染色方法有60×7=420种．
故选C．
点评：本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．
12．（5分）（2015?潍坊模拟）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）
A．B．C．
D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．
解答：解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；
当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．
故选：C．
点评：本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13．（5分）（2015?鹰潭一模）已知，，、的夹角为60°，则=
．
考点：向量的模．
专题：计算题．
分析：利用两个向量的数量积的定义求出的值，由
==求得结果．
解答：解：∵已知，，、的夹角为60°，∴=2×3cos60°=3，
∴====，
故答案为．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求出的值，是解题的关键．
14．（5分）（2015春?姜堰市期中）若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：将条件转化为2x2﹣3ax+9≥0恒成立，通过△=9a2﹣72≤0，从而解出实数a的取值范围．
解答：解：命题“?x∈R，使2x2﹣3ax+9＜0成立”是假命题，
即“2x2﹣3ax+9≥0恒成立”是真命题．
△=9a2﹣72≤0，解得﹣2≤a≤2，
故答案为：[﹣2，2]
点评：本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化数学思想，属中档题．
15．（5分）（2015春?遵义校级期中）（1+x）（2x+）5的展开式中的常数项为40．
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题．
分析：找出原式第二个因式中的系数，即为原式展开式中的常数项．
解答：解：根据题意得：（1+x）（2x+）5的展开式中的常数项就是（2x+）5的展开式中的项，
其系数为：?22=40，
故答案为：40
点评：此题考查了二项式系数的性质，熟练掌握二次项系数的性质是解本题的关键．
16．（5分）（2015?闸北区一模）关于曲线C：x4﹣y3=1，给出下列四个结论：
①曲线C是双曲线；
②关于y轴对称；
③关于坐标原点中心对称；
④与x轴所围成封闭图形面积小于2．
则其中正确结论的序号是②④．（注：把你认为正确结论的序号都填上）
考点：曲线与方程．
分析：根据题意，依次分析4个命题：对于①：将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较，可得①错误；对于②：分析关于y轴对称的两个点（x，y）点（﹣x，y），是否都在曲线上，即可得②正确；对于③：分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否
都在曲线上，即可得③错误，对于④：将曲线方程变形为y=，分析其与x轴所围成的面积，即可得答案．
解答：解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①：曲线C：x4﹣y3=1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；①错误；
对于②：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于y轴对称的点（﹣x，y），也有（﹣x）4﹣y3=1成立，则点（﹣x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，②正确；
对于③：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y），（﹣x）4﹣（﹣y）3=1不成立，则点（﹣x，﹣y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，③错误；
对于④：曲线C：x4﹣y3=1，变形可得y=，分析可得曲线与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（1，0），与y轴的交点为E（0，﹣1），且其图象在矩形ABCD内，故曲线与x轴所围成封闭图形面积小于S矩形ABCD，而S矩形ABCD，=2，故④正确；
故答案为②④．
点评：本题考查曲线与方程，解题的关键是根据曲线的方程，分析曲线的几何形状与具有的几何性质．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2015春?遵义校级期中）现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到吴忠．
（1）如果派3名男司机、2名女司机，共多少种不同的选派方法？
（2）至少有两名男司机，共多少种不同的选派方法？
考点：计数原理的应用．
专题：应用题；排列组合．
分析：（1）利用分步乘法原理，可得结论；
（2）利用分类加法与分步乘法原理，可得结论．
解答：解：（1）利用分步乘法原理：=60
（2）利用分类加法与分步乘法原理：=121．
点评：本题考查分步计数原理的应用，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果．
18．（12分）（2014?仙游县校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=4acosB﹣ccosB．
（1）求cosB的值；
（2）若，且，求a和c的值．
考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知可得
sinBcosC+cosBsinC=4sinAcosB，再利用两角和的正弦公式和三角形的内角和定理即可得出；（2）由，利用数量积可得accosB=2，利用，可得ac=8，再利用余弦定理即可得出．
解答：解：（1）由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2RsinBcosC=8RsinAcosB﹣2RsinCcosB，
化为sinBcosC=4sinAcosB﹣sinCcosB，
可得sinBcosC+cosBsinC=4sinAcosB，
∴sin（B+C）=4sinAcosB，可得sinA=4sinAcosB，
∵sinA≠0，∴．
（2）∵，
∴accosB=2，又，∴ac=8，
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∵，
∴12=a2+c2﹣4，化为a2+c2=16．
联立，解得a=c=2．
点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理、数量积等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
19．（12分）（2015春?遵义校级期中）已知函数f（x）=a x的图象过点（1，），且点（n ﹣1，）（n∈N*）在函数f（x）=a x的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=a n+1﹣a n，若数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜5．
考点：数列与不等式的综合．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）由函数f（x）=a x的图象过点（1，），知a=，f（x）=（）x．由点（n﹣1，
）（n∈N*）在函数f（x）=a x的图象上，能求出a n．
（2）由a n=，b n=a n+1﹣a n，知b n=（2n+1）?（）n，从而得到
S n=，由此利用错位相减法能够证明S n＜5．
解答：（本题12分）
解：（1）∵函数f（x）=a x的图象过点（1，），
∴a=，f（x）=（）x．
又点（n﹣1，）（n∈N*）在函数f（x）=a x的图象上，
从而（）n﹣1=，
即a n=．（4分）
（2）证明：由a n=，b n=a n+1﹣a n，得b n=（2n+1）?（）n，（6分）
S n=，
则S n=，
两式相减得：S n=+2（）﹣，（7分）
∴﹣，（8分）
∴S n=5﹣，（10分）
∵，∴S n＜5．（12分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．
20．（12分）（2015?遂宁模拟）如图，已知四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=AB=2CF=2
（1）求证：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E﹣BD﹣F的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，只要证明?=0，?=0，即可证明EC⊥平面BDF；（2）由（1）知向量为平面BDF的法向量，设平面EBD的法向量为，利用，即可得出，再利用向量的夹角公式即可得出．
解答：（1）证明：以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE
所在直线为z轴建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，，0），D（﹣，0，0），C（，，0），F，E（0，0，2），
∴=，=，=，从而有?=0，?=0，
∴EC⊥BD，EC⊥BF，
又∵BD∩BF=B，从而EC⊥面BDF．
（2）解：由（1）知向量为平面BDF的法向量，
设平面EBD的法向量为，
则，即；
令z=1得，
故，
∴二面角E﹣BD﹣F的余弦值为．
点评：本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2010?丰台区一模）已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）求出的导数，令导数大于0求函数的增区间，导数小于0求函数的减区间．
（Ⅱ）对a进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[1，e]上的最小值令其为解方程求得a的值
解答：解：函数的定义域为（0，+∞），（1分）
（3分）
（Ⅰ）∵a＜0，∴f'（x）＞0，
故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的．（5分）
（Ⅱ）在[1，e]上，分如下情况讨论：
10当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
20当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是相矛盾；（7分）
30当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，
在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，
所以，函数f（x）的最小值为f（a）=lna+1，由，得a=．
40当a=e时，函数f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，单调递减，
其最小值为f（e）=225，还与最小值是相矛盾；
50当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为＞2，仍与最小值是相矛盾；（12分）
综上所述，a的值为．（13分）
点评：本题是导数的应用题，应用层数证明单调性，求单调区间，这是导数的一个重要运用．22．（12分）（2015?龙岩一模）已知椭圆C 1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有
相同焦点F1．
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），
∴c=1，又b2=1，∴
∴椭圆方程为：+x2=1．…（4分）
（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，
设直线l1：y=kx﹣1
由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0
∵直线l1与抛物线C2相切于点A．
∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…（5分）
∵切点A在第一象限．
∴k=1…（6分）
∵l∥l1
∴设直线l的方程为y=x+m
由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…（7分）
△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，
解得．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则，
．…（8分）
又直线l交y轴于D（0，m）
∴…（10分）=
当，即时，．…（11分）
所以，所求直线l的方程为．…（12分）
点评：本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．