学士学位论文泰勒公式及其应用
2012年5月18日
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院（系）：数学与信息学院学号：
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此声明的法律后果由本人承担．
作者签名:
二〇一二年五月十八日
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论文作者（签名）：
二〇一二年五月十八日
目录
1.引言 (1)
2. 泰勒公式及其应用 (1)
2.1预备知识 (1)
3 泰勒公式的应用 (3)
3.1利用泰勒公式求极限 (3)
3.2利用泰勒公式求不等式 (3)
3.3利用泰勒级数判断级数的敛散性 (4)
3.4利用泰勒公式证明根的唯一性 (5)
3.5利用泰勒公式判断函数的极值 (5)
3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式 (6)
3.7利用泰勒公式进行近似计算 (6)
3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点 (7)
3.9利用泰勒公式求高阶导数在某点的数 (8)
参考文献 (8)
致谢 (8)
泰勒公式及其应用
（数学与信息学院 数学与应用数学 2008级数本2班20082112010）
摘要：在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义，内容 ，并介
绍了泰勒公式的9个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒函数的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.
关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用
Taylor formula and it ’s application
(20082112010 Class 2 Grade 2008 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information)
Abstract:In the mathematical analysis Taylor formula is a important content. This paper
discusses the definition of Taylor formula, content, and introduces the Taylor formula nine application and give an example. Use Taylor formula for inequality, please limit, folding proof scattered sex, the
uniqueness of root, a series of Taylor function of application, make us more clearly know the importance of Taylor formula.
Keywords: Taylor ’s formula The emaining of the Piano The remaining of the Lagrangian
Application
1.引言
泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.
作者通过查阅一些参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真计算，其中部分难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳总结.由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,本文以例题为主进行讲解说明.
2. 泰勒公式及其应用
2.1 预备知识
定义[]
12.1 若函数f 在0t 存在n 阶导数,则有
()()()()()()()()()()
20000001!2!!
n n n
n n f t f t f t f t f t t t t t t t o t t n '''=+-+-++-+-
（1）
这里()(
)
0n
o t t -为皮亚诺余项,称（1）f 在点0t 的泰勒公式.
当0t =0时,（1）式变成
()()()()()()200001!2!!
n n
n f f f f t f t t t o t n '''=+++++ 称
此式称为（带皮亚诺余项的）麦克劳林公式.
定义2.2 若函数f 在0t 某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则
()()()()()()()()200000()1!2!!
n n
n n n f t f t f t f t f t t t t t t t R t n '''=+-+-++-+ （2）
这里R （n ）为拉格朗日余项()()()
1
10()
()1!n n f R n t t n α++=++,其中α在t 与0t 之间,称
（2）为f 在0t 的泰勒公示.
当0t =0时,（2）式变成()()()()()20000()1!2!!
n n
n f f f f t f t t t R t n '''=+++++
称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.
其中,常见函数的展开式:
()()()()211
3521222422231
1212!!(1)!
sin (1)()
3!5!21!
cos (1)()2!4!2!ln 1(1)()231
1
11n n a
n n n
n n n n n n n n n a a e e a a
n n t t t t t o t n t t t t t o t n t t t x t o t n t t t t t
++++++=++++++=-+++-++=-+-+-++=-+-+-++=+++++-
定理[]1
2.1 （介值定理）设函数g 在闭区间],[21x x 上连续。且f （1x ）≠f （2x ）,
若0μ介于f （1x ）与f （2x ）之间的任何数,则至少存在一点0x ∈],[21x x ,使得
f （0x ）=0μ
3 泰勒公式的应用
3.1利用泰勒公式求极限
利用泰勒公式简化极限运算,可用该项的泰勒展开式来代替,使原来函数的极限转化
为接近多项式有理的极限,便能简洁方便的求出该极限运算.
例1 求极限2
2
4
0lim
t t x e e
t -→-
分析:极限为0
型，由题意可知用罗比达法求解很麻烦,故将cos t 和2
2t
e 分别用泰勒公
示展开代替,则可简化此式.
解 由()24
4cos 12!4!
t t t o t =-++,
22
242
21()22
t t t e
o t -
??- ???=-++ 得
244442
2111
cos (
)()()4!22!12
t t e
t o t t o t --=-?+=-+? 于是 24
42
4
4001()
1
12lim
lim 12
t t
x x t o t e e
x t -
→→-
+-==-
3.2 利用泰勒公式求不等式
利用泰勒公式可以方便简洁的证明不等式是含有多项式和初等函数的混合式.其
方法一般是作一个辅助函数并用泰勒公示代替.
例2 当0a ≥时,证明31
sin 6a a a ≥-.
证明 取()31
sin 6
g a a a a =-+,00a =,则
()00g =,()00g '=,()00g ''=,()1cos g a a '''=-,()0g a '''>. 带入泰勒公式,其n=3,得
()3
1cos 0003!
a g a a θ-=+++
01θ<< 故
0a ≥时, 31sin 6
a a a ≥-
. 3.3利用泰勒级数判断级数的敛散性
利用泰勒公式将通项表达式是由不同类型函数构成的繁难形式的级数的通项简化成统一形式,以便利用级数收敛准则. 例3
讨论级数1a ∞
=∑的敛散性.
解 234111
1111ln
ln 1234a a a a a a a
a +??=+=-+-+< ??? ∴
即
_a μ=
所以该级数是正项级数
又
3
212a =>==
∴
33
22
11
_)22a a a μ-=
= ∴ 3
1
2
12a a
∞
=∑
收敛,
由正项级数比较判别法知1
a ∞
=∑收敛.
3.4利用泰勒公式证明根的唯一性
例4 设 ()t x 在 [,)a +∞上可导，且()0t a >,()0t a '<,对 (),x a ∈+∞,0t ''≤,证明:
0t ''≤ 在(),a +∞内存在唯一实根.
解析: ()t x 是抽象函数,直接讨论 ()0t x =的根麻烦
故 ()t x 在 [,)a +∞上二阶可导且()0t a > , ()0t a '< ,可考虑将 ()t x 在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明. 证明: ()t x ''0≤,∴()t x '单调递减,
又()0t a '<,因此x>a 时, ()()0t x t a '''<<,故 ()t x 在 (),a +∞上严格单
调递减
在a 点展开一阶泰勒公式有
()()()()()()2
2
t t x t a t a x a t a ξ''=+-+
- ()a t ξ<< 由题设 ()0t a '<, ()0t ξ'≤,于是有 lim x →∞
=-∞ 从而必存在b>a,使得 ()0t b < ,又因为 ()0t a >
在[a,b]上应用连续函数的介值定理,存在0x (),a b ∈,使 ()0t x o = ,由
()t x 的严格单调性知0x 唯一,因此方程()t x o =在(),a +∞内存在唯一实根.
3.5利用泰勒公式判断函数的极值
例5（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域()0;x δ 内一阶可可导,在0x x =处二阶可导,且()00f x '=,()00f x ''≠,
, .
(1)若 ()00f x ''< ,则 f 在 0x 取得极大值. （2）若 ()00f x ''> ,则 f 在 0x 取得极小值. 证明: 由题意,可得 f 在 0x 处的二阶泰勒公式
()()()()()()
22
0000001!2!
f x f x f x f x x x x x o x x '''=+
-+-+- 0f '= ,
∴()()()()()2
00012f x f x f x o x x ''??-=+-???? （*）
又 ()00f x ''≠ ,
∴存在正数 δδ'< ,当 ()0;x x δ∈ 时,
()012f x '' 与 ()()01
12
f x o ''+ 同号. ∴当()00f x ''< 时,（*）取负值,从而对任意 ()0;x x δ∈ 有()()00f x f x -< 即f 在 0x 取得最大值.同样对 ()00f x ''> ,可得 f 在0x 取得最小.
3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式
例6 求2
1
1a a
++的幂级展开式 解:
()(
)()369346791034
23011111112222213n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a n a ∞=-++++=-+-+-+-+??-===-+-+??++-?∏+??=?
???
3.7利用泰勒公式进行近似计算
函数的近似计算式和一些数值的近似计算可以利用泰勒公式得到. 函数的近似计算式:()()()()()n n
t n f
f f f t f !
0000++''+'+≈ (麦克劳林展开公
式)
其误差是余项()n R n .
例7 求e 的近似值，误差610-≤ 解析:()()())(000x x x f x f x f -'+≈
解: ()!
1!1!31!212++++++=n e n e ?
（?介于0到1之间）
误差为()()()!13
11+≤
+<+n n e n e ? 当n=9时 610!
103
-< 718285.2!
91
!2111≈+++
+∴≈ 3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点
例8.1 求2
x e y -=的凸凹性及拐点
解:()22x xe x f --=', ()
)12(222222
22
22-=--=''---x e e e x f x x x
令()0=''x f ,则x=2
2±
()x f ∴在???? ?
?
-
∞-22,,???? ??+∞,22为凸函数, ()x f 在???
?
??-22,22上为凹函数 ()x f 的拐点为???? ??--21,22e 和???
?
??-21
,22e
例9.1判断（0,4）是否是()x e e x g x x cos 2++=- 的拐点? 解:(),sin 2x e e x g x x --='- ()00='g ()x e e x g x x cos 2-+=''-, ()00=''g ()x e e x g x x sin 2+-='''-, ()00='''g
()x e e g x x cos 24-+=-, 04=g
n=4
∴（0,4）不是()x e e x g x x cos 2++=-的拐点.
3.9 利用泰勒公式求高阶导数在某点的数
在()x g 泰勒公式已知，且通项中的加项()n
n x x -的系数正是
()
()0!
1x g n n 可直接求高阶导数的数值,不必再一次求导.
例9 设()(),1ln 2x x x g +=求()0n g ,()3≥n
解: ()())(1321ln 132n n
n x o n
x x x x x +-+++-=+- ()()()
??
????+-+++-=∴-n n
n x o n x x x x x x g 1322
132 , ()0→x
=()()
n n n x o n x x x +--++--2
12243
, ()0→x ∴ ()
()n
n g n n 3
)1(!0--= 参考文献
[1]陈传章 金福林:《数学分析》 北京: 高等教育出版社, 1986.
[2]张白兰 崔福荫:《高等数学证题方法》 陕西: 陕西科学出版社, 1985. [3]陈向东:《数学分析的概念和方法》 上海: 上海科学技术出版社, 1989. [4]同济大学数学教研主编.高等数学[M].北京: 人民教育出版社, 1999.
[5]冯平,石永延,泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J].新疆职业大学学报,2003(04):4-11.
[6]王三宝,泰勒公式的应用举例[J].高等函授学报(自然科学版),新疆职业大学学报,2005（03）:3-19.
致 谢
经过几个月的查资料、整理材料、写作论文，今天终于可以顺利的完成论文了. 随着论文的完成，终于可以让大学的生活划下一个完美的句点．论文得以完成，要感谢的
人实在太多了，首先要感谢我的指导老师－孙梅娜老师，感谢她能够在论文的选题和写作过程中提供宝贵的指导性意见．孙梅娜老师指导我的论文的写作的方向和架构，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，使我克服了在论文写作过程中的困难．在此，谨向孙梅娜老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！同时，论文的顺利完成，离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助．在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文．
另外，要感谢在大学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识，这也是论文得以完成的基础．
感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们.