习题三
1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2
(4.55,0.108)X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？
解 由题意知 2
~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒
绝
域
为
{}
00K x c μ=->，临界值
1/2
1.960.108/0.0947c u α-==?=，
由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性
变化.
设立统计原假设 2
2
2
2
0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时
22220.0250.975
1
1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n
i i S X n μχχ==-===∑ 22
10.025
20.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {}
2222
00201//K s
c s c σσ=>< 或 由于2
2
0/ 3.167 2.567S σ=> ，所以拒绝0
H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为
x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ ，问这批元件是否合格（0.05α=）？
解 由题意知 2
(100,)X N σ ，设立统计原假设
0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<==
拒绝域为 {}
00K x c μ=-> 临界值为
0.050.0532.9c u u =?=?=-
由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格.
3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的
罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能
否认为这批罐头重量的方差为5.52（0.05α=）？
解 （1）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2
(,)X N μσ ,μ已知 设立统计原假设 0010:500,:H H μμμμ==≠,拒绝域 {}
00K x c μ=-> 当0.05α=时，2
500.89,34.5, 5.8737x s s ===
临界值 12(1) 4.5149c t n α-=-?=，由于00.8889x c μ-=<，
所以接受0H ，机器工作正常.
（2）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2
(,)X N μσ ，σ已知
设立统计原假设 22222
0010
: 5.5,:H H σσσσ==≠ 拒绝域为 {}{}
2222
00102K s
c s c σσ=<> 当α=0.05时，可得 2220.0250.97512500.89,34.5,(5) 2.7,(5)19.02,0.3, 2.11x s c c χχ======
由于22
001.0138s K σ=∈ ,所以接受0H ，可以认为方差为25.5.
4 某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399（元/500克），标准差为0.269（元/500克）.已知往年的平均售价一直稳定在 3.25（元/500克）左右， 问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？（0.05α=）
解 设X 表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克），由题意知2
(,)X N μσ 设立统计原假设 0010: 3.25,:H H μμμμ==>, 拒绝域为 {}00K x c μ=->
当α=0.05时，13.399,0.269,20,0.0992x n c ασμ-====?=临界值
由于0 3.399 3.250.149.x c μ-=-=>所以拒绝0H ，当前的鸡蛋售价明显高于
往年.
5 已知某厂生产的维尼纶纤度2
(,0.048)X N μ ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了（0.05α=）？
解 由题意知 2
(,0.048)X N μ ，0.05α=
设立统计原假设 2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=
拒绝域为{}
22
00K s c σ=>， 当0.05α=时，
222
0.950.951.4213,0.0055,(7)14.07,(7)7 2.0096x s c χχ=====
由于22
0 2.3988s c σ=>，所以拒绝0H ，认为强度的方差明显变大.
6 某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值1950h ,标准差148h s =.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平 α=0.05下, 确定这批元件是否合格.
解 设X 表示电子元件的平均寿命（单位：h ），由题意知2
(,)X N μσ 设立统计原假设 0010:=2000H 当0.05α= 时，1950,148,(1)50.64x s c t n α===-=-临界值 由于 050x c μ-=->，所以接受0H ，即这批电子元件的寿命是合格的. 7 设n X X X ,...,,21为来自总体(,4)X N μ 的样本，已知对统计假01:1;: 2.5H H μμ== 的拒绝域为0K {}2>=X .1）当9=n 时，求犯两类错的概率α 与β；2）证明：当n →∞时，α→0，β→0. 解 （1）由题意知 {} 010~(,4),:1;: 2.5,2,9.X N H H K X n μμμ===>= 犯第一类错误的概率为 ( )21 1.51(1.5)0.0668.X P X P αμ?=>==>==-Φ=?? 犯第二类错误的概率为 ( )2 2.50.75(0.75)1(0.75)0.2266. X P X P βμ?=≤==≤=-? ?=Φ-=-Φ= （2）若0:1H μ=成立，则(1,4)X N }{}{00000()=11) n P H H P X c P X c nc αμμσ=≥+=-<+=-Φ否定成立 当n →∞时，0)1nc σΦ→，所以0()n n α→→∞ 同理 } { 0010=<+=+c )/)()=0()n P X c n βμμμσΦ-→Φ-∞→∞ 8 设需要对某一正态总体,4()N μ的均值进行假设检验H 0：μ= 15，H 1：μ< 15 取检验水平α=0.05，试写出检验H 0的统计量和拒绝域.若要求当H 1中的μ=13时犯第二类错误的概率不超过β=0.05，估计所需的样本容量n . 解 由题意知 (,4)X N μ ,σ已知, 设立统计原假设 01:15,:15H H μμ=< 则拒绝域为} { 015K X c =-< ，其中临界值0.05c μ=?=- 犯第二类错误的概率 1513130.05 P X P X β ? ?? =->==->≤ ? ? ?? 即 1.65)0.95 Φ≥, 化简得2 3.311 n≥≈. 9 设 n X X X,..., , 2 1 为来自总体X～2 (,) Nμσ的样本，2 σ为已知, 对假设：0011 :;: H H μμμμ ==其中 01 μμ ≠，试证明： 2 20 112 12 () () n αβ σ μμ μμ -- =+? - 解（1） 10 > μμ 当时,由题意知 00110 :;:; H H μμμμμ ==> 犯第一，二类错误分别为, αβ ，则有 001 (|) P X c c u α αμμμ - =>+=?= 0111 00 (|)|) P X c P u α βμμμμμ - =≤+==≤-= ? () () 2 2 0 1111112 0010 u u u u n u u ββααβαβ σμ μμ------=-=+==+ - （2） 10 μμ ≤ 当时 由题意知 00110 :,: H H μμμμμ ==≤，犯第一，二类错误分别为,αβ，则有 00 (|) P X c c u α αμμμ =<+=?= () () 011 00 2 2 0 111112 0010 (|)) P X c P u u u u u n u u α βααβαβ βμμμμμ σ μμ----- =≥+==+=? =?+==+ - 10设 17 1 ,...,X X为总体2 (0,) X Nσ 样本，对假设： 22 01 :9,: 2.905 H H σσ ==的 拒绝域为} {2 4.93 K s =<. 求犯第Ⅰ类错误的概率α和犯第Ⅱ类错的概率β. 解由题意知2 (0,) X Nσ , 2 2 2 ~(). ns n χ σ 统计假设为22 01 :9,: 2.905 H H σσ ==. 拒绝域为} {2 4.93 K s =< 则犯第一，二类错误的概率, αβ分别是 ( ) () 2222 2 221717417174497.3040.025 999917174 4 3.319120.48810.750.25 3.319 3.319s s P s P P s P s P ασβσ???? ??=<==<=<== ? ????? ???=<==-<==-= ??? 11 设总体是密度函数是 1,01 (;)0,x x f x θθθ-<<=???其他 统计假设 01:1,:2H H θθ==.现从总体中抽取样本21,X X ,拒绝域 2134ΚX X =≤?? ? ???，求：两类错误的概率,αβ 解 由题意知 010213:1;:2,, 2.4H H K X n X θθ?? ===≤=???? 当12121,0,1 1(;1) 1.~(0,1),(,)0,x x f x X U f x x θ< 此时 21 212123 1431(,)0.250.75ln 0.75.4x x P X f x x dx dx X αθ≤?? =≤===+ ??? ?? 当1212122,014,0,1 2(;2).(,)0,0,x x x x x x f x f x x θ<<< 时，其他其他 此时 21 212123 14399 2(,)ln 0.75.4168 x x P X f x x dx dx X βθ>??=>=== + ??? ?? 12 设总体2 (,)X N μσ ，根据假设检验的基本原理，对统计假设： 00110:,:()()H H μμμμμσ==>已知；0010:,:H H μμμμσ≥<（未知），试分 析其拒绝域. 解 由题意知 2 (,)X N μσ ,当00110:,:()H H μμμμμ==>成立时 ( )01X P X c P αμμμ=->==> =-Φ {}1100,u c u K X c ααμ--===-> 所以拒绝域为 } { 00K X c μ=-> 当0010:,:H H μμμμ≥<成立时 00()()X P X c P X c P αμμμμ??? ?=-<≥≥-<=<=Φ }{ 00,c K X c αα μμμ===-< 所以拒绝域为} { 00K X c μ=-< 13 设总体2 (,)X N μσ 根据假设检验的基本原理，对统计假设： （ 1 ） 2222 0010:,:() H H σσσσμ=>已知；（2） 2222 0010:,:()H H σσσσμ≤>未知 试分析其拒绝域. 解 由题意知 2 ~(,)X N μσ （1）假设统计假设为 2222 0010 :=,:>H H σσσσ 其中μ已知 当0H 成立时，拒绝域形式为 2 020=>s K c σ???????? 由 2 2 2 2 2 0= (n)ns ns χσ σ ，可得220=>ns P nc ασ???????? 所以 2 1-=()nc n α χ ，由此可得拒绝域形式为2 201-20 1=>()s K n n α χσ???????? （2）假设统计假设为 2222 0010:<,:>H H σσσσ 其中μ未知 当0H 成立时，选择拒绝域为 2 020=>s K c σ???????? ，由22 2 (-1)(1)n s n χσ- 得 ()()()()22 22 01111n s n s P n c P n c ασσ????--???? =>-≤>-???????????? 所以2 1(1)(1)n c n αχ--=-，由此可得拒绝域形式为 22 01-20 1=>(1)1s K n n α χσ???-??-??? 14 从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含灰率（%）为,甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3, 17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服从正态分布且22 12=σσ，问甲、乙两煤矿 的含灰率有无显著差异 （=0.05α）？ 解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ 设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠ 其中12=5,=4n n 当=0.05α时 1/2122.3238,(2) 2.3646w s t n n α-==+-= 临界值 1-212=(+2) 3.6861w c t n n s α-?= 拒绝域为} { 0 3.6861K x y c =->= 而 03.5,,.x y c H -=<接受认为没有差别 15 设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低.经过试验获得它们的抗拉强度分别为（单位：kg/cm 2 ）： 甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88 假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且21σ =22σ.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高（=0.05α）？ 解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ 设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12=5,=5n n 当=0.05α时 122.2136,(2) 1.86,w s t n n α==+-=- 临界值 1-212=(+2) 2.2136w c t n n s α-?= 拒绝域为} { 0 2.2136K x y c =->= 而 1.6x y c -=<，所以接受0H ，认为甲的抗拉强度比乙的要高. 16 甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径（单位：mm ）为： 甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8 乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8 假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高（=0.05α）？ 解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ 设统计假设为 2222 012112 :;:H H σσσσ≥<，其中12=8,=9n n 当=0.05α时 22 0.0955,0.0261x y s s ==，临界值 12(1,1)0.2684c F n n α=--= 拒绝域为202x y s K c s ???? =，接受0H ，认为乙的精度高. 17 要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：mg ）数据列表如下： 试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？(=0.05α). 假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足2212(,),Y (,)X N N μσμσ 且两个样本相互独立. 解 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ 设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12===8n n n 当=0.05α时，令 ()2 2 1/21 1,320,102200,319.69,(1) 2.36461n Z Z i Z X Y z s z z s t n n α-==-==-==-=-∑ 拒绝域为} { 0K z c =>，临界值 1-2=(1)2138Z c t n s α-?= 而320z c =<，所以接受0H ，认为两种轮胎耐磨性无显著差异. 18 设总体2212(,),Y (,)X N N μσμσ , 由两总体分别抽取样本 X ：4.4，4.0，2.0，4.8 Y ：6.0，1.0，3.2，0.4 1）能否认为12μμ= (=0.05α)? 2）能否认为22 12σσ= (=0.05α)？ 解 (1) 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ 设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12==4=n n n 令Z X Y =-，则有2 2 1 11.15,()9.02331n z i z s z z n ===-=-∑， 当=0.05α时，1-2=(1) 3.1824c t n α-= ，1-2=(1)/ 4.78Z c t n s α-?= 拒绝域为} { 0K z c =>，而 1.15z c =<，所以012,.H μμ=接受认为 (2) 由题意知 2212(,),Y (,)X N N μσμσ 设统计假设为 222 2 2 2 0111:=;:H H σσσσ≠，其中12==4=n n n 其中2 21.5467, 6.4367x y s s ==，拒绝域为 2201222>x x y y s s K c c s s ???? = 临界值 1/2122112(1,1)0.0648,(1,1)15.4392c F n n c F n n αα-=--==--= 而2 22 01220.2403,,.X Y s F H s σσ===接受认为 19 从过去几年收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证 实他的看法，他用他的方法治疗200个癌症病人，其中有6个治好了.这个医生断 言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法.（1）试用假设检验方法检验这个医生的看法；（2）如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是多少？ 解 (1) 记每个病人的治愈情况为X ，则有(1,) X B p 设统计假设为 0010:=0.02;:0.02H p p H p p >≤=，其中200,0.05n α== 拒绝域为}{00K x p c =-<，临界值 10.0163c αμ-== 而 000.01,,0.02.x p c H p -=<>拒绝不能认为 (2) 不犯第二类错误的概率 101 4.5%P X u p p α β-??? ? -=>=????? ? 由(1,) X B p ，可得 (1),p p EX p DX n -== 由中心极限定理得 1 4.5%10.72 X P p β?? ? -=> =? ?? =-Φ= 20 在某公路上，50min 之间，观察每15s 内通过的汽车数，得下表 通过的汽车数量 0 1 2 3 4 ≥5 次数f 92 68 28 11 1 0 问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布（=0.10α）？ 解 设统计假设为 0010:()(),()(),200.0.10H F x F x H F x F x n α ==== 400 1?,0.805.j j H X j n λν====∑若成立 记 ?1,2,3,4 ?(),!j j j p P x j e j λλ-==-=则有 ? 0.805010214 324350 0.805 0.4471,0.805*0.3599,*0.14492 0.8050.805*0.0389,*0.0078,10.0014, 34j j p e e p p p p p p p p p p λ--======= ======-=∑ 检验统计量的值为 ()2 5 2 22 10.9500 2.1596(1)(4)9.848 ,~(),0.805. j j n j j np m r np H X P αν χχχλλ-=-==<--===∑不拒绝认为且 21 对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如 下： 组限 10.93～10.95 10.95～10.97 10.97～10.99 10.99～ 11.01 频数 5 8 20 34 组限 11.01～11.03 11.03～11.05 11.05～11.07 11.07～11.09 频数 17 6 6 4 试对螺栓的口径X 的分布做假设检验（=0.05α）. 解 设X 表示螺栓的口径，2(,)X N μσ ，分布函数为()F x ，统计假设为 0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠，其中100,0.05,2n r α=== 在0H 成立的情况下，计算得 882 211 11??11.0024,()0.00101888j j j j i i X x v x v μ σμ====?==-?=∑∑ 由?11.0024(0,1)?0.00319 X X N μσ--= 得 0810.9311.002411.0911.0024 2.2689,, 2.74520.003190.00319 x x --= =-== 所以 110887()()0.0386,,()()0.0140p x x p x x =Φ-Φ==Φ-Φ= 检验统计量的值为 2 8 2 22 10.951 ()13.825(1)(5)11.07j j n j j v np m r np αχχχ-=-==>--==∑ 由此应该20,~(,).H X N μσ拒绝不能认为 22 检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取100次，得下表： 次品数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0 问次品数是否服从二项分布（=0.05α）？ 解 设X 表示抽取的次品数，2(,)X N μσ ，分布函数为()F x ，统计假设为 0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠，其中10,0.05n α== 在0H 成立的情况下，0 1?N j j X p jv N N ===∑ 计算得 001011922 801011021033710100103101010(1),0,1,,10; ???(1)0.3487,(1)0.3874,(1)0.1937??(1)0.0574,(1)10,j j N j j N p C p p j p C p p p C p p p C p p p C p p p C p p --=-==-==-==-==-==-= 检验统计量的值为0020 () 2 10 222 10.950 5.1295(1)(9)1 6.92j j n j j np m r np ανχχχ-=-==<--==∑ 因此0,~(10,0.1).H X B 不拒绝认为 23 请71人比较A 、B 两种型号电视机的画面好坏，认为A 好的有23人，认为B 好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以认为B 的画面比A 的好（=0.10α）？ 解 设X 表示A 种型号电视机的画面要好些，Y 表示B 中型号电视机画面要好 些 分布函数分别为()X F x ，()Y F x ，统计假设为 01:()(),:()(),10,100.0.05X Y X Y H F x F x H F x F x N n α=≠=== 由题意知++=23=45,=+n n n n n --， 检验统计量 ,min()s n n +-= 而23(68)25s s α=<=，所以0,.H B 拒绝认为的画面好 24 为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取12个产品进行测量，得下表 甲 1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 乙 1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同（=0.05α）？ 解 设,X Y 分别表示甲乙两车间所生产产品的指标分布，分布函数分别 ()X F x ()Y F x ，统计假设为 01:()(),:()(),.0.05,12,X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠=== 检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为112T =且(150,300)T N 拒绝域为 012K u u α- ??? =>????? 而0.9752.194 1.96u u =>=，所以0,.H 拒绝认为指标分布不相同 25 观察两班组的劳动生产率(件/h)，得下表： 问两班组的劳动生产率是否相同（α=0.05）？ 解 设,X Y 分别表示两个组的劳动生产率，分布函数分别为(),X F x ()Y F x ，统计假设为 01:()(),:()(),.0.05,9,9X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠=== 检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为73T = 拒绝域形式为 }{01212, 而 12(9,9)=66,(9,9)105 t t =，因此 T K ∈, 所以 0,.H 接受认为劳动生产率相同 26 观观察得两样本值如下： Ⅰ 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 Ⅱ 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54 问这两样本是否来自同一总体（α=0.05）？ 解 设,X Y 分别表示Ⅰ，Ⅱ两个样本，分布函数分别是(),X F x ()Y F x ，统计假设为 01:()(),:()(),.0.05,6,8,X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠=== 检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为49T = 拒绝域形式为 }{01212, 而12(6,8)=32,(6,8)58t t =，因此0T K ∈, 所以0,.H 接受认为来自同一总体 27 某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10，53，46,按照某种遗传模型其比率之比应为：2 2 )1(:)1(2:p p p p --，问数据与模型是否相符（05.0=α）？ 解 设体格的属性为样本X ，由题意知(2,1)X B p - 其密度函数为()f x ，其中22(,)(1)0,1,2 x x x f x p C p p x -=-= 统计假设为 0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠ 似然函数为 222 2 1 1 (1)(1) i i i i n n x x x x n nx nx i i L C p p p p C --===-=-∏∏ 解得最大似然统计量为 ?12 x p =- 则 220?? 1.330.1121p p === 1???2(1)0.4454p p p =-= 22??(1)0.4424p p =-= 拒绝域为 }{ 2201(1)K m r αχχ-=>-- 而 ()2 10 2 22 10.950 ?0.9134(1)(9) 3.8414?j j n j j np m r np ανχχχ-=-= =<--==∑ 所以0,.H 不拒绝认为与模型相符 28 在某地区的人口调查中发现：15729245个男人中有3497个是聋哑人.16799031个女人中有3072个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设（05.0=α）. 解 设X 表示男人中聋哑人的个数，Y 表示女人中聋哑人的个数，其分布函数分别表示为()X F x ，()Y F x . 统计假设为 01:(,)()(),:(,)()()X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x =≠ 拒绝域为 }{ 2201(1)K m r αχχ-=>-- 而210 2 22 10.950 ?()62.64(1)(1) 3.84?j j n j j v np m r np αχχχ-=-= =>--==∑ 所以0,.H 拒绝认为聋哑与性别相关 29 下表为某药治疗感冒效果的联列表： 试问该药疗效是否与年龄有关（α=0.05）？ 解 设X 表示该药的疗效与年龄有关，Y 表示该药的疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为(),X F x ()Y F x . 统计假设为 01:(,)()(),:(,)()(),3,3,0.05,X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x r s α=≠=== 拒绝域为 }{ 2201(1)K m r αχχ-=>-- 而 ()2 10 2 22 10.950 ?13.59(1)(4)9.488?j j n j j np m r np ανχχχ-=-= =>--==∑ 所以0,.H 拒绝认为疗效与年龄相关 30 某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供的产品批的不合格率不超过3%时以高于95%的概率接受，当不合格率超过12%时，将以低于10%的概率 接受.试为验收者制订验收抽样方案. 解 由题意知，010.03,0.12,0.05,0.1p p αβ==== 代入式子 01 ()1()L p L p α β=-??=? ()L p 选用式子()(L P X d P U φ=≤=≤ ≈ 计算求得 66,4n d ==，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格产品4X ≤，则接受这批产品，否则拒绝这批产品. 31 假设一批产品的质量指标2(,)X N μσ （2σ已知），要求质量指标值越小越好.试给出检验抽样方案（,n c ）的计算公式.若2σ未知，又如何确定检验抽样方案（,n c ）？若质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽样方案（,n c ）? 解 (1) 解方程组 01 ()1()L L μα μβ=-?? =? 得 ()2 01u u n αβσ μμ??+ ?= ?-? ? 10u u c u u αβαβμμ+=+ (2) 若2σ未知，用* 2M 估计2σ，从而得出公式 ()2 * 201u u M n αβμμ??+ ?= ?-?? 10u u c u u αβ αβμμ+=+ 习题四 1 下表数据是退火温度x (C 0)对黄铜延性η效应的试验结果，η是以延伸率计算的，且设为正态变量，求η对x 的样本线性回归方程. x (C 0) 300 400 500 600 700 800 y (%) 40 50 55 60 67 70 解 利用回归系数的最小二估计： 101??? xy xx l l y x βββ?=?? ?=-?其中22 11,n n xy i i xx i i i l x y nxy l x nx ===-=-∑∑ 代入样本数据得到：10 ??0.0589,24.6286ββ== 样本线性回归方程为：?24.62860.0589y x =+ 2 证明线性回归函数中 (1)回归系数1β的置信水平为α-1 的置信区间为2 1 1??(2)n αβ-±-； (2)回归系数0β的置信水平为α-1 的置信区间为2 ?(2)n αβ-±-. 证 (1) 由于211?,xx N l σββ?? ??? ()0,1N 2 2 2(2)E S n χσ - 又因为：，()2 22 ?2(2)n n σχσ-- 故 所以 ()2t n - 易知 { } 11 ?1p c ββα-<=- ，1P α<=-?? ? 其中()12 ?2n α - - 所以1β的置信水平为α-1 的置信区间为2 1 1??(2)n αβ-- (2) 由0?β～22 01(,())xx n x N l βσ+，得 ()0,1N ，()222 ?2(2)n n σχσ -- ，0?β与2?σ相互独立， 所以： ()2T t n = =- 根据11221(2)(2)P T t n P t n ααα- -????? -=<-=<- ????? ?? ( )()0001122 ??22P n n ααβββ--?? ? ?=-<<- ? ? ??? 得到0β的置信度为1α- 的置信区间()0 12 ?2n αβ- -. 3 某河流溶解氧浓度（以百万分之一计）随着水向下游流动时间加长而下降.现测得8组数据如下表所示.求溶解氧浓度对流动时间的样本线性回归方程，并以 α=0.05对回归显著性作检验. 流动时间t （天） 0.5 1.0 1.6 1.8 2.6 3.2 3.8 4.7 溶解氧浓度（百万分之 一） 0.28 0.29 0.29 0.18 0.17 0.18 0.10 0.12 解 利用101??? ty tt l l y t βββ?=???=-?其中2211,n n ty i i tt i i i l t y nty l t nt ===-=-∑∑ 代入样本数据得到： 10 ??0.0472,0.3145ββ=-= 所以，样本线性回归方程为：?0.31450.0472y t =- 拒绝域形式为：{} 21 ?c β> ()20.95?1,6, 0.0058tt F c c l σ = =>而21 ?0.0022β=，所以回归模型不显著. 4 假设X 是一可控制变量，Y 是一随机变量,服从正态分布.现在不同的X 值下 分别对Y 进行观测，得如下数据 i x 0.25 0.37 0.44 0.55 0.60 0.62 0.68 0.70 0.73 i y 2.57 2.31 2.12 1.92 1.75 1.71 1.60 1.51 1.50 i x 0.75 0.82 0.84 0.87 0.88 0.90 0.95 1.00 i y 1.41 1.33 1.31 1.25 1.20 1.19 1.15 1.00 (1)假设X 与Y 有线性相关关系，求Y 对X 样本回归直线方程，并求2σ=DY 的无偏估计； (2)求回归系数210σββ、、的置信度为95%的置信区间； (3)检验Y 和X 之间的线性关系是否显著（=0.05α）； (4)求Y 置信度为95%的预测区间； (5)为了把Y 的观测值限制在)68.1,08.1(，需把x 的值限制在什么范围？（=0.05α） 解 (1) 利用101??? xy xx l l y x βββ?=???=-?其中22 11,n n xy i i xx i i i l x y nxy l x nx ===-=-∑∑计算得 10 ??2.0698, 3.0332ββ=-= 所以，样本线性回归方程为：? 3.0332 2.0698y x =-，2 2 ?0.002015 E S σ== (2) 根据第二题，1β 的置信区间为()112 ??2n αβ-± -，代入值计算得到： ()1 2.1825, 1.9571β∈--， 0β 的置信区间为()0 2 ?2n αβσ-±-，代入数值计算得到： ()0 2.95069,3.1160β∈. (3) 根据F 检验法，其拒绝域形式为 } { 201 ?K c β= > 而 12 ?(2),xx c t n l α σ- = - 显然10K β∈，所以Y 和X 之间具有显著的线性关系. (4) ()2 21(0,( 1)) xx x x y N l n σ-++ , ( )2 1()1(0,1)xx x x s x N l n -= ++ 令 222 ?(2)((2)n n t n σ χσ--- 则有 112 2 ??((2),(2))y y t n y t n α α - - ∈-- (5) 根据(4)的结论，令 2 2 ??1.68 1.08y y α α - - +=-=， 解得 (0.7802,0.8172)x ∈ 5 证明对一元线性回归系数0?β,1 ?β相互独立的充分必要条件是0=x . 证 ""? ()()()()()0100 1 1 1 1 1 ??????cov ,E y x ββββββββββ=--=--- 2110111101????()E y x y x βββββββββ=---++ 2211011101 ?y xE y x ββββββββ=---++ () 2211 ?x E ββ=-- 2 22221111 ???()xx E D E l σββββ=+=+ 若要() 01 ??cov ,0ββ=，那么0x =. 反之显然也成立，命题的证. 6 设n 组观测值),...,2,1)(,(n i y x i i =之间有关系式： i i i i x x y εεββ，+-+=)(10～),...,2,1)(,0(2 n i N =σ（其中∑==n i i x n x 1 1），且 n εεε,...,,21相互独立. (1) 求系数10,ββ的最小二乘估计量1 0?,?ββ； (2) 证明∑∑∑===-+-=-n i i n i i i n i i y y y y y y 1 2 12 12 )?()?()(，其中∑==n i i y n y 11 (3) 求1 0?,?ββ的分布. 解 (1) 最小化残差平方和：2 201[()]E i i S y x x ββ=---∑ 01ββ求，的偏导数 [][]22 010101 2()02()()0E E i i i i i S S y x x y x x x x ββββββ??=----==-----=??∑∑， 01 ??,xy xx l y l ββ==得到： (2) 易知 ()()()2 2 2 2 1 1 1 1 ??????()()2()n n n n i i i i i i i i i i i i i i y y y y y y y y y y y y y y ====-=-+-=-+-+--∑∑∑∑ 其中01???()()xy i i i xx l y x x y x x l ββ=+-=+ -，将其代入上式可得 1??()()0n i i i i y y y y =--=∑ 所以, ∑∑∑===-+-=-n i i n i i i n i i y y y y y y 1 21 2 1 2 )?()?()( (3) 2 ?~(0,),i N y εσβ= ，2 00 ?~(, )N n σββ∴ 同理，易得2 11?~(,)xx N l σββ∴ 7 某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量Y 与样本点对原点的距离X 有如下观测值 i x 2 3 4 5 7 8 10 i y 106.42 108.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 i x 11 14 15 16 18 19 i y 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20 分别按(1)x b a y +=；(2)x b a y ln +=；(3)x b a y + =. 建立Y 对X 的回归方程，并用相关系数221T E S S R -=指出其中哪一种相关最大. 解 (1) 令v y a bv ==+，根据最小二乘法得到，正规方程： 101???vy vv l l y v βββ?=???=-?，最后得到10??1.1947,106.3013ββ== 所以：样本线性回归方程为：?106.3013y =+，10.8861R = (2) 令ln ,v x y a bv ==+ 101???vy vv l l y v βββ?=???=-?，得到10??1.714,106.3147ββ==
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