专题09 带电粒子在复合场中的运动
1．如图所示，一束正离子从S点沿水平方向射出，在没有偏转电场、磁场时恰好击中荧光屏上的坐标原点O；若同时加上电场和磁场后，正离子束最后打在荧光屏上坐标系的第Ⅲ象限中，则所加电场E和磁场B的方向可能是(不计离子重力及其间相互作用力)( )
A．E向下，B向上 B．E向下，B向下
C．E向上，B向下 D．E向上，B向上
2．如图所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场．一带电粒子A(不计重力)以一定的初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O′点(图中未标出)穿出．若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子B(不计重力)仍以相同初速度由O点射入，从区域右边界穿出，则粒子B( )
A．穿出位置一定在O′点下方
B．穿出位置一定在O′点上方
C．运动时，在电场中的电势能一定减小
D．在电场中运动时，动能一定减小
解析：若粒子B带正电荷，其向下偏转做类平抛运动，穿出位置一定在O点下方，相反，若其带负电荷，
其向上偏转做类平抛运动，穿出位置一定在O点上方，选项A、B错误；在电场中运动时，电场力做正功，动能一定增大，电势能一定减小，选项C正确，D错误．
答案：C
3.如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U，带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化情况为( )
A．d随v0增大而增大，d与U无关
B．d随v0增大而增大，d随U增大而增大
C．d随U增大而增大，d与v0无关
D．d随v0增大而增大，d随U增大而减小
答案：A
4.如图所示，一带电塑料小球质量为m，用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摆动，最大摆角为60°，水平磁场垂直于小球摆动的平面．当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大摆角处摆到最低点时悬线上的张力为( )
A．0 B．2mg
C．4mg D．6mg
答案：C
5．如下图所示，真空中存在着下列四种有界的匀强电场E和匀强磁场B区域，一带正电的小球(电荷量为＋q，质量为m)从该复合场边界上方的某一高度由静止开始下落．那么小球可能沿直线通过下列哪种复合场区域( )
解析：对带正电的小球进行受力分析可知，只有在选项B所示的复合场区域其所受洛伦兹力、重力、电场力可以平衡，故B正确．
答案：B
6.利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差U CD，下列说法中正确的是( )
A．电势差U CD仅与材料有关
B．若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差U CD<0
C．仅增大磁感应强度时，电势差U CD变大
D．在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
解析：电势差U CD与磁感应强度B、材料有关，选项A错误；若霍尔元件的载流子是自由电子，由左手定则可知，电子向C侧面偏转，则电势差U CD<0，选项B正确；仅增大磁感应强度时，电势差U CD变大，选项C正确；在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直且东西放置，选项D错误．
答案：BC
7.如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图象可能是下图中的( )
答案：AD
8．如下图所示，一个带正电荷的物块m，由静止开始从斜面上A点下滑，滑到水平面BC上的D点停下来．已知物块与斜面及水平面间的动摩擦因数相同，且不计物块经过B处时的机械能损失．先在ABC所在空间加竖直向下的匀强电场，第二次让物块m从A点由静止开始下滑，结果物块在水平面上的D′点停下来．后又撤去电场，在ABC所在空间加水平向里的匀强磁场，再次让物块m从A点由静止开始下滑，结果物块沿斜面滑下并在水平面上的D″点停下来．则以下说法中正确的是( )
A．D′点一定在D点左侧B．D′点一定与D点重合
C ．
D ″点一定在D 点右侧 D ．D ″点一定与D 点重合
答案：BC
9．如图所示，在xOy 平面内y 轴与MN 边界之间有沿x 轴负方向的匀强电场，y 轴左侧和MN 边界右侧的空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小相等的匀强磁场，MN 边界与y 轴平行且间距保持不变．一质量为m 、电荷量为－q 的粒子以速度v 0从坐标原点O 沿x 轴负方向射入磁场，每次经过磁场的时间均为t 0，粒子重力不计．
(1)求磁感应强度的大小B ；
(2)若t ＝5t 0时粒子回到原点O ，求电场区域的宽度d 和此时的电场强度E 0； (3)若带电粒子能够回到原点O ，则电场强度E 应满足什么条件？ 解析 (1)粒子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πm qB
粒子每次经过磁场的时间为半个周期，则T ＝2t 0 解得B ＝πm qt 0
(2)粒子t ＝5t 0时回到原点，轨迹如图甲所示，由几何关系有
r 2＝2r 1
由向心力公式有
qBv 0＝mv 20
r 1
qBv 2＝mv 22
r 2
电场宽度d ＝
v 0＋v 2
2
t 0
解得d ＝3v 0
2t 0
又v 2＝v 0＋qE 0
m
t 0 解得E 0＝
mv 0
qt 0
答案 (1)πm
qT 0
(2)3v 02t 0 mv 0qt 0
(3)E ＝ 2n ＋1 mv 0
3n 2
qt 0
＝(n ＝1,2,3，…) 10．如图所示，空间以AOB 为界，上方有大小为E 、方向竖直向下的匀强电场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场，以过O 点的竖直虚线OC 为界，左侧到AA ′间和右侧到BB ′间有磁感应强度大小不同的垂直于纸面向里的匀强磁场，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，现在A 点上方某一点以一定的初速度水平向右射出一带电粒子，粒子的质量为m ，电荷量为q ，粒子恰好从AO 的中点垂直AO 进入OC 左侧磁场并垂直OC 进入右侧磁场，粒
子从OB 边恰好以竖直向上的速度进入匀强电场，AO ＝BO ＝L ，不计粒子的重力，求：
(1)粒子初速度v 0的大小；
(2)OC 左侧磁场磁感应强度B 1的大小和右侧磁场磁感应强度B 2的大小．
(2)粒子进入磁场时的速度大小v ＝v 0
cos 60°
＝2v 0＝
qEL m
由于粒子垂直AO 进入左侧磁场，垂直OC 进入右侧磁场，因此粒子在左侧磁场中做圆周运动的圆心为O 点，做圆周运动的半径r 1＝1
2
L
由qvB 1＝m v 2
r 1
解得B 1＝2
mE qL
进入右侧磁场后，运动轨迹如图所示，由于粒子经过OB 时速度竖直向上，由几何关系得 tan 60°＝r 2
1
2
L －r 2
解得r 2＝3－3
4
L
由qvB 2＝m v 2
r 2
解得B 2＝
2 3＋3
3mE qL
答案 (1)
1
2
qEL
m
(2)2mE ql 2 3＋3 3
mE
qL
11．如图所示，在xOy 平面的第一、四象限内存在着方向垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，第四象限内存在沿y 轴负方向、电场强度为E 的匀强电场．从y 轴上坐标为(0，a )的点向磁场区发射速度大小不等的带正电同种粒子，速度方向范围是与y 轴正方向成30°～150°角，且在xOy 平面内．结果所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x 轴上，然后进入第四象限的复合场区．已知带电粒子的电荷量为＋q ，质量为m ，不计粒子的重力，不计粒子之间的相互影响．
(1)确定进入磁场速度最小的粒子的速度方向，并求出速度大小． (2)所有通过磁场区的粒子中，求出最短时间与最长时间的比值．
(3)从x 轴上x ＝(2－1)a 的点射入第四象限的粒子穿过电磁场后经过y 轴上y ＝－b 的点，求该粒子经过
y ＝－b 点时的速度大小．
(2)最长时间对应粒子初速度与y 轴正方向成30°角，转过150°，t 1＝150°180°×T
2
最短时间对应粒子初速度与y 轴负方向成30°角，转过30°，t 2＝30°180°×T
2
故t 2∶t 1＝1∶5.
(3)设粒子射入第一象限时与y 轴负方向夹角为α，则有
R ′－R ′cos α＝(2－1)a R ′sin α＝a
得到：α＝45°，R ′＝2a 速度v 0＝
qBR ′m ＝2qBa
m
设到达y 轴速度为v ′，则qEb ＝12mv ′2
－12mv 20
解得经过y ＝－b 点时的速度大小为
v ′＝
2q 2B 2a
2
m
2
＋2qEb
m
.
答案 (1)垂直y 轴 qBa
m
(2)1∶5 (3)
2q 2B 2a
2
m
2
＋2qEb m
12．静电喷漆技术具有效率高、质量好、有益于健康等优点，其装置可简化为如图所示．A 、B 为水平放置的间距d ＝1.6 m 的两块足够大的平行金属板，两板间有方向由B 指向A 的E ＝0.1 V/m 的匀强电场．在A 板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P ，油漆喷枪可向各个方向均匀地喷出初速度大小均为v 0＝6 m/s 的油漆微粒，已知油漆微粒的质量均为m ＝1.0×10－5
kg ，带负电且电荷量均为q ＝1.0×10－3
C ，不计油漆微粒间的相互作用以
及油漆微粒带电量对板间电场和磁场的影响，忽略空气阻力，g ＝10 m/s 2
.求：
(1)油漆微粒落在B 板上的面积；
(2)若让A 、B 两板间的电场反向，并在两板间加垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.06 T ，调节喷枪使油漆微粒只能在纸面内沿各个方向喷出，其他条件不变．B 板被油漆微粒打中的区域的长度为多少？ (3)在满足(2)的情况下，打中B 板的油漆微粒中，在磁场中运动的最短时间为多少？
S ＝18.1 m 2⑤
油漆微粒打在极板上的长度ab ＝ac ＋bc ? 联立以上各式并代入数据得ab ＝1.6 m ?
(3)打在B 板上的微粒中，最短的弦长即Pc 对应的时间最短，由几何关系得
sin θ＝d
2R
?
运动的最短时间t min ＝2θ
2πT ?
微粒在磁场中运动的周期T ＝2πm
Bq
?
代入数据解得t min ＝0.31 s
答案 (1)18.1 m 2
(2)1.6 m (3)0.31 s
13.如图所示,坐标系xOy 在竖直平面内,y 轴的正方向竖直向上,y 轴的右侧广大空间存在水平向左的匀强电场E 1=2 N/C,y 轴的左侧广大空间存在匀强磁场和匀强电场,磁场方向垂直纸面向外,B=1 T,电场方向竖直向上,E 2=2 N/C.t=0时刻,一个带正电的质点在O 点以v=2 m/s 的初速度沿着与x 轴负方向成45°角射入y 轴的左侧空间,质点的电荷量为q=1×10-6
C,质量为m=2×10-7
kg,重力加速度g=10 m/s 2
.求:
(1)质点从O点射入后第一次通过y轴的位置;
(2)质点从O点射入到第二次通过y轴所需时间;
(3)质点从O点射入后第四次通过y轴的位置.
(2)质点的个匀速圆周运动的时间t1=×= s
当质点到达右侧空间时,F合==mg,
a==g
且F合与v反向,质点做有往返的匀变速直线运动,
往返时间t2=2×= s
质点从刚射入左侧空间到第二次通过y轴所需的时间
t=t1+t2= s.
(3)质点从右侧空间返回左侧空间时速率仍是v=2 m/s, 做匀速圆周运动,轨迹在y轴上截距为
d=2Rcos 45°= m
如图,质点再次进入右侧空间时,
答案:(1) m (2) s (3) m
14.如图(甲)所示,在坐标轴y轴左侧存在一方向垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,y轴右侧存在如图(乙)所示宽度为L的有界交变电场(规定竖直向下为正方向),此区间右侧存在一大小仍为B方向垂直于纸面向内的匀强磁场,有一质量为m,带电荷量为q的正粒子(不计重力)从x轴上的A点以速度大小为v方向与x轴正方向夹角θ=60°射出,粒子达到y轴上的C点时速度方向与y轴垂直,此时区域内的电场从t=0时刻变化,在t=2T 时粒子从x轴上的F点离开电场(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),求:
(1)C点距坐标原点距离y;
(2)交变电场的周期T及电场强度E0的大小;
(3)带电粒子进入右侧磁场时,区域内的电场消失,要使粒子仍能回到A点,左侧磁感应强度的大小、方向应如何改变?
(3)
从F点进入右磁场时,方向水平向右,速度仍为v,做圆周运动,半径仍为r,离开右磁场时恰运动半周,水平向左,电场消失,匀速运动到y轴,进入左侧磁场,运动半径为R.由图知要回到A点,轨迹如图,根据几何关系
知:R2=(2r-R)2+r2
解得R=,则由洛伦兹力提供向心力有qvB 1=,
解得B 1=B,方向垂直纸面向内.
答案:(1) (2) (3) B 方向垂直纸面向内
15.如图1所示，真空中的矩形abcd 区域内存在竖直向下的匀强电场，半径为R 的圆形区域内同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，圆形边界分别相切于ad 、bc 边的中点e 、f .一带电粒子以初速度v 0沿着ef 方向射入该区域后能做直线运动；当撤去磁场并保留电场，粒子以相同的初速度沿着ef 方向射入恰能从c 点飞离该区域.已知ad ＝bc ＝4
3
3R ，忽略粒子的重力.求：
图1
(1)带电粒子的比荷；
(2)若撤去电场保留磁场，粒子离开矩形区域时的位置. 答案 (1)
3v 0
3BR (2)粒子从ab 边射出，距b 点R
3
(2)
若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示.设粒子离开矩形区域时的
位置g 离b 的距离为x ，则由牛顿第二定律；qv 0B ＝mv 20
r
得r ＝3R ，由图中几何关系θ＝60°
故粒子离开矩形区域时到b 的距离为x ＝R －233R ×33＝R
3
故粒子将从ab 边射出，距b 点R
3
.
16.如图2所示，在直角坐标系xOy 的第Ⅰ象限内有沿y 轴负向的匀强电场，电场强度为E ，第Ⅳ象限内有垂直纸面向外的匀强磁场.一个质量为m 、电荷量为＋q 的粒子从y 轴上的P 点沿x 轴正向进入电场，粒子从x 轴上的Q 点进入磁场.已知Q 点的坐标为(L,0)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用.
图2
(1)若粒子在Q 点的速度方向与x 轴正方向成30°角，求P 、Q 两点间的电势差；
(2)若从y 轴正半轴各点依次向x 轴正向发射质量为m 、电荷量为＋q 的速度大小适当的粒子，它们经过电场偏转后都通过Q 点进入磁场，其中某个粒子A 到达Q 点的速度最小.粒子A 经过磁场偏转后恰好垂直y 轴射出了磁场.求匀强磁场的磁感应强度的大小. 答案 (1)
3
6
EL (2) mE qL
(2)设粒子A 进入电场的速度为v 1，它进入电场后qE ＝ma
L ＝v 1t ，v y ＝at ，v Q ＝v 21＋v 2
y
得v Q ＝
v 21＋
qEL mv 1
2
由数学知识可知，当v 1＝qEL
mv 1
时，v Q 取最小值. 即v 1＝
qEL
m
时，Q 点的速度最小值
为v Q ＝
2qEL
m
此时v y ＝v 1，粒子A 在Q 点的速度方向与x 轴正向夹角为45°. 所以粒子A 进入磁场后的偏转半径(如图)R ＝2L
由qv Q B ＝m v 2Q
R 得B ＝mv Q qR
得B ＝
mE qL
17.如图3所示，在竖直平面内，水平x 轴的上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和方向垂直纸面向里的匀强磁场，其中x 轴上方的匀强磁场磁感应强度大小为B 1，并且在第一象限和第二象限有方向相反，强弱相同的平行于x 轴的匀强电场，电场强度大小为E 1.已知一质量为m 的带电小球从y 轴上的A (0，L )位置斜向下与y 轴负半轴成60°角射入第一象限，恰能做匀速直线运动.
图3
(1)判定带电小球的电性，并求出所带电荷量q 及入射的速度大小；
(2)为使得带电小球在x 轴下方的磁场中能做匀速圆周运动，需要在x 轴下方空间加一匀强电场，试求所加
匀强电场的方向和电场强度的大小；
(3)在满足第(2)问的基础上，若在x 轴上安装有一绝缘弹性薄板，并且调节x 轴下方的磁场强弱，使带电小球恰好与绝缘弹性板碰撞两次后从x 轴上的某一位置返回到x 轴的上方(带电小球与弹性板碰撞时，既无电荷转移，也无能量损失，并且入射方向和反射方向的关系类似光的反射)，然后恰能匀速直线运动至y 轴上的A (0，L )位置，求：弹性板的最小长度及带电小球从A 位置出发返回至A 位置过程中所经历的时间. 答案 (1)负电
3mg 3E 1 2E 1
B 1
(2)竖直向下 3E 1
(3)233L 53πB 1L 3E 1＋2B 1L
E 1 解析 (1)
小球在第一象限中的受力分析如图所示，所以带电小球的电性为负电
mg ＝qE 1tan60° q ＝
3mg
3E 1
又qE 1＝qvB 1cos60° 即v ＝2E 1
B 1
(3)要想让小球恰好与弹性板发生两次碰撞，并且碰撞后返回x 轴上方空间匀速运动到A 点，则其轨迹应该如图所示，
且由几何关系可知： 3PD ＝2ON
ON OA ＝ON
L
＝tan60° 联立上述方程解得：
PD ＝DN ＝
2
3
3L 则挡板长度至少为PD ＝2
3
3L
设在x 轴下方的磁场磁感应强度为B ，则满足：
qvB ＝m v 2
R
T ＝
2πm
qB
从N 点运动到C 点的时间为：
t ＝3×
360°－60°
360°
T
联立上式解得：t ＝53πB 1L
3E 1
由几何关系可知：L AN
＝cos60°
在第一象限运动的时间t 1和第二象限中运动的时间t 2相等，且：
t 1＝t 2＝AN v ＝2L v ＝B 1L
E 1
所以带电小球从A 点出发至回到A 点的过程中所经历的总时间为：
t 0＝t ＋t 1＋t 2
联立上述方程解得：t 0＝53πB 1L 3E 1＋2B 1L
E 1
18.如图4所示，在平行板电容器的两板之间，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度B 1＝0.40T ，方向垂直纸面向里，电场强度E ＝2.0×105
V/m ，PQ 为板间中线.紧靠平行板右侧边缘xOy 坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B 2＝0.25T ，磁场边界AO 和y 轴夹角∠AOy ＝45°.一束带电
荷量q＝8.0×10－19C的同位素(电荷数相同，质量数不同)正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0,0.2m)的Q点垂直y轴射入磁场区域，离子通过x轴时的速度方向与x 轴正方向夹角在45°～90°之间，不计离子重力，求：
图4
(1)离子运动的速度为多大？
(2)求离子的质量范围；
(3)若只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度B2′大小应满足什么条件？(计算结果保留两位有效数字)
答案(1)5.0×105m/s (2)4.0×10－26kg≤m≤8.0×10－26kg (3)B2′≥0.60T
解析(1)设正离子的速度为v，由于沿中线运动，则有
qE＝qvB1
代入数据解得v＝5.0×105m/s
(2)
(3)
乙
如图乙所示，由几何关系可知使离子不能打到x 轴上的最大半径：
r 3＝
0.2
2＋1
m 设使离子都不能打到x 轴上，最小的磁感应强度大小为B 0，则
qvB 0＝m 大v 2
r 3
代入数据解得：B 0＝2＋1
4
T≈0.60T 则B 2′≥0.60T
19.如图5所示，在竖直平面内直线AB 与竖直方向成30°角，AB 左侧有匀强电场，右侧有垂直纸面向外的匀强磁场.一质量为m 、电量为q 的带负电的粒子，从P 点以初速度v 0竖直向下射入电场，粒子首次回到边界AB 时，经过Q 点且速度大小不变，已知P 、Q 间距为l ，之后粒子能够再次通过P 点，(粒子重力不计)求：
图5
(1)匀强电场场强的大小和方向； (2)匀强磁场磁感应强度的可能值.
答案 (1)3mv 2
2ql 方向垂直AB 且与竖直方向成60°角向下
(2)
mv 0ql 或nmv 0
n ＋1 ql
(n ＝1,2,3……)