秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。
2012考研数学重要知识点解析之高等数学（三）
万学海文
数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。万学海文数学考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是拉格朗日中值定理。
1.定理内容：
若()f x 满足条件：
（1）在闭区间[,]a b 上连续；
（2）在开区间(,)a b 内可导
则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得
)(')()(ξf a
b a f b f =--， 即))((')()(a b f a f b f -=-ξ
2.定理证明：
分析：由于该定理中出现了中值，我们需要用学过的罗尔定理来证明。分析已知条件可知，我们需要构造一个辅助函数，这个函数既要和()f x 有关，又要满足洛尔定理的条件。辅助函数的构造是中值定理解决实际问题的关键，就这个
定理而言，我们从定理的结论入手，把它变型为：0)()()('=---
a
b a f b f f ξ，很容易我们会联想到洛尔定理的结论是0)('=ξf ，如果a b a f b f f ---)()()('ξ可以看作某个函数在ξ点的导数值的话，如果这个函数满足洛尔定理的条件，那么这个辅助函数我们就找到了。事实上，此时辅助函数可记为x a b a f b f x f x F ---
=)()()()(. 证明：作辅助函数x a b a f b f x f x F ---
=)()()()(， 易验证()F x 满足：()F x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且()()F a F b =；
又 ()()()()f b f a F x f x b a -''=-
-。 根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使()0F ξ'=，即
()f ξ'()()0,f b f a b a --
=- 即 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
3.定理注解:
（1）定理的不同形式：
1）()()()()f b f a f b a ξ'-=-，ξ在,a b 之间； 2）()()(())(),01f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<；
3）()()(),01f a h f a f a h h θθ'+-=+<<.
（2）定理的几何意义：
可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线。
4.应用举例：（证明含有中值的等式）
设.0b a <<试证至少存在一点),,(b a ∈ξ使得
./)ln 1)((ln ln 222ξξ--=-ba ab a b b a
分析：这个结论中含有中值ξ，还有函数在两个端点处的函数值，首先将
所证式子中不带ξ的移到等式一端，整理得2
ln ln 1ln b a b
a b a ξξ--=-，从这个式子的形式我们看出可以尝试使用拉格朗日中值定理去证明！
证明:设ln ()x f x x =，2
1ln ()x f x x -'= 因为.0b a <<，所以()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，由拉格朗日中值定理，
至少存在一点),,(b a ∈ξ使得2
ln ln 1ln b a b
a b a ξξ--=- 即 ./)ln 1)((ln ln 222ξξ--=-ba ab a b b a
总结：在遇到用中值定理去证明等式时，设置辅助函数是一个重点，也是一个难点。解决这类问题，通常从结论出发，把含有中值的项分离到等式一边，剩余项放在另一边，并从中分析出辅助函数的形式。最后，验证辅助函数满足定理的条件，并证明之。