函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

函数与方程

【考纲说明】

1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。

【知识梳理】

1、函数零点的定义

（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。 （2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法

① 代数法：函数)(x f y =的零点?0)(=x f 的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 （3）零点个数确定

0?>?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根；

0?

（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ?<,给定精确度ε;

②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;

(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;

(ⅱ) 若()()0f a f c ?<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ?<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);

④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.

【经典例题】

【例1】（2012天津）函数3

()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】B

2=8，即(0)(1)<0f f ?且函数()f x 在(0,1)内连续不断，B 正确.

( )

D 、(1,2) 【例3】（2009山东）若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】）

，（∞+1 【解析】 函数)(x f =x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点， 方程0=--a x a x 有两个不相等的实数根，即

两个函数x

a y =与a x y +=的图像有两个不同的交点，当10<

合题意；当1>a 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

【例4】（2012辽宁）设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22

-上的零点个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 【答案】B

【解析】因为当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3. 所以当[1,2]x ∈时，(2)[0,1]x -∈，3

()(2)(2)f x f x x =-=-，

当1[0,]2x ∈时，()cos()g x x x π=；当13[,]22

x ∈时，()cos()g x x x π=-，注意到函数f (x )、 g (x )都是偶函数，且f (0)= g (0)， f (1)= g (1)，13()()022

g g ==，作出函数f (x )、 g (x )的大致图象，函数h (x )除了0、1这两个零点之外，分别在区间1113[,0][][][1]2222

-、0,、,1、,上各有一个零点，共有6个零点，故选B

【例5】（2012湖北）函数2

()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A 、4 B 、5

C 、6

D 、7

【答案】C

【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx 2=0，x 2=kπ+ π2

,k ∈Z ，又x ∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C ．

【例6】（2011陕西）函数()cos f x x =

在[0,)+∞内 （ ）

A 、没有零点

B 、有且仅有一个零点

C 、有且仅有两个零点

D 、有无穷多个零点 【答案】B

【解析】解法一：数形结合法，令()cos f x x =

0=，则cos x =，设函数y =和cos y x =，它们在

[0,)+∞的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数()cos f x x =在[0,)+∞内有且

仅有一个零点；

解法二：在[,)2

x π

∈+∞1>，cos 1x ≤，所以()cos f x x =0>；

在(0,

]

2

x π

∈，()sin 0f x x '=

+>，所以函数()cos f x x =是增函数，又因为(0)1f =-，

()02

f π=>，所以()cos f x x =在[0,]2

x π

∈上有且只有一个零点． 【例7】（2011天津） 对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝?

????

a ，a －

b ≤1，

b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2)，x ∈R ，若

函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )

A 、(－∞，－2]∪?

???－1，32 B 、(－∞，－2]∪????－1，－3

4 C 、????－1，14∪???

?1

4，＋∞ D 、????－1，－34∪???

?1

4，＋∞ 【答案】B

【解析】f (x )＝???

x 2

－2，x 2

－2－()x －x 2

≤1，

x －x 2，x 2－2－()x －x 2

>1

＝???

x 2

－2，－1≤x ≤3

2，x －x 2

，x <－1，或x >3

2

，

则f ()x 的图象如图

∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，

由图象知c ≤－2，或－1

4

.

【例8】已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点

*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .

【答案】5

【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数l o g (2

3)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时

对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标

(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.

【例9】求下列函数的零点：

（1）3

2

()22f x x x x =--+； （2）4

()f x x x

=-

. 【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.

【解析】（1）由32

220,x x x --+=

2(2)(2)0,

(2)(1)(1)0,21 1.

x x x x x x x x x ---=∴--+=∴===-或或 故函数的零点是2，1，-1.

（2）244

0,0,x x x x

--==由得

(2)(2)0,(2)(2)0,

2x x x x x

x -+∴=∴-+=∴=或x=-2.

故函数的零点是2，-2.

【例10】判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)． 【答案】1.312 5

【解析】 因为f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数y ＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：

由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似零点为1.312 5.

【课堂练习】

1、（2011课标）在下列区间中，函数()43x

f x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）

A 、1(,0)4-

B 、1(0,)4

C 、11(,)42

D 、13

(,)24

2、（2010上海）若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （

） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)

3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )

4、（2010天津）函数f ()x =2x

+3x 的零点所在的一个区间是 （ ）

A ．（-2,-1）

B 、（-1，0）

C 、（0，1）

D 、（1，2）

5、（2010浙江）设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ）

A 、[-4,-2]

B 、[-2,0]

C 、[0,2]

D 、[2,4]

6、（2011陕西）函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ） A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点

7、（2009福建）若函数()f x 的零点与()422x

g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）

A 、()41f x x =-

B 、2

()(1)f x x =- C 、()1x

f x e =- D 、1()ln()2

f x x =-

8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )

A 、3

()8f x x =- B 、()ln 3f x x =+

C 、2()2f x x =++

D 、2

()41f x x x =-++

9、（2009泉州）函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间

（ ）

A 、??

?

??41

,81

B 、??

?

??21

,41

C 、??

?

??1,21

D 、(1,2) 10、（2009厦门）01

lg =-

x

x 有解的区域是

（ ） A 、(0,1] B 、(1,10] C 、(10,100]

D 、(100,)+∞

11、（2011湖北文）在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）

A 、1(,0)4-

B 、 1(0,)4

C 、11(,)42

D 、13(,)24

12、（2009合肥）函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为 （ ）

A 、1

[0,]8

B 、11[,]84

C 、11[,]42

D 、1[,1]2

13、设()833-+=x x f x

,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x

在内近似解的过程中得

()()(),025.1,05.1,01<>

A 、(1,1.25)

B 、(1.25,1.5)

C 、(1.5,2)

D 、不能确定

14、（2010浙江）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,4

15、（2010福建）函数223,0()2ln ,0

x x x f x x x ?+-≤=?-+>?， 零点个数为 （ ）

A 、3

B 、2

C 、1

D 、0

16、（2008惠州）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为 （ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.5 17、（2008湖北）方程22

3x

x -+=的实数解的个数为 .

18、已知函数2

2

()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。

19、判断函数2

3

2()43

f x x x x =+-

在区间[1,1]-上零点的个数，并说明理由。 20 、求函数32

()236f x x x x =+--的一个正数零点(精确度0.1)．

【课后作业】

1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )

2、设2

()3x

f x x =-，则在下列区间中，使函数)(x f 有零点的区间是 ( )

A 、[0,1]

B 、[1,2]

C 、[－2，－1]

D 、[－1,0]

3、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的 （ ） A 、函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B 、函数)(x f 在(3,5)内无零点 C 、函数)(x f 在(2,5)内有零点 D 、函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点

4、（2009莆田）若函数3

()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是

（ ）

A 、()2,2-

B 、[]2,2-

C 、(),1-∞-

D 、()

1,+∞

5、（2009沈阳）函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为

（ ）

A 、（－1，0）

B 、（0，1）

C 、（1，2）

D 、（1，e ）

6、求函数132)(3

+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

7、如果二次函数2

3y x x m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （ ） A 、11(

,)4+∞ B 、11(,)2-∞ C 、11(,)4-∞ D 、11

(,)2

+∞

8、方程0lg =-x x 根的个数为 （ ） A 、无穷多 B 、3 C 、1 D 、0

9、用二分法求方程()0f x =在(1,2)内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <>

10、(2009·天津)设函数f(x)＝1

3

x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x) ( )

A 、在区间????

1e ，1，(1，e)内均有零点

B 、在区间????

1e ，1，(1，e)内均无零点

C 、在区间????

1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点

D 、在区间????

1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 11、设函数2

1()ln 1(0)2

f x x x x =-

+>，则函数()y f x = ( ) A 、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点

B 、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点

C 、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点

D 、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点

12、（2008全国） 用二分法研究函数13)(3

-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(>

A 、（0，0.5），)25.0(f

B 、（0，1），)25.0(f

C 、（0.5，1），)75.0(f

D 、（0，0.5），)125.0(f 13、（2012天津理）函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

14、（2011山东）已知函数()log (0,1).a f x x x b a a =+->≠且当234a <<<是，函数()f x 的零点

*

0(,1),,x n n n N ∈+∈则

n= . 15、用二分法求函数()y f x =在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点

x 1＝2＋42

＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________．

16、已知函数 f (x )＝{ 2x －1，x >0，－x 2

－2x ，x ≤0，若函数 g (x )＝ f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范

围是________． 17、函数65)(2

+-=x x x f 的零点组成的集合是 .

18、用“二分法”求方程0523

=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是

19、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 .

20、证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．

【参考答案】

【课堂练习】

1-16、CDCBA BACCB CCBABC 17、2

18、解：设方程22

(1)20x a x a +-+-=的两根分别为1212,()x x x x <，

则12(1)(1)0x x --<，所以1212()10x x x x ?-++< 由韦达定理得2

2(1)10a a -+-+<， 即2

20a a +-<，所以21a -<< 19、解：因为()27141033f -=-++

=-<，()213141033

f =+-=> 所以()f x 在区间[1,1]-上有零点

又()2

'

2

91422222f x x x x ?

?=+-=-- ??

?

当11x -≤≤时，()'

9

02

f

x ≤≤

所以在[1,1]-上单调递增函数，所以()f x 在[1,1]-上有且只有一个零点。

20、解 由于(1)60,(2)40f f =-<=>，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，

所以可将1.687 5作为函数零点的近似值． 【课后作业】

1-13、BDCAB CCDAD AAB 14、2 15、(2,3) 16、 (0,1) 17、{2,3}

18、[2,2.5)

19、2

20、证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，

∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．

设该解为x0，则x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，

∴x0∈(1,1.5)，

取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，

f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，

取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.445<0，

f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，

取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，

f(1.187 5)·f(1.25)<0，

∴x0∈(1.187 5,1.25)．

∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，

∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．