无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 编号：whgzsxxx2-2-2------01
《合情推理（1）》导学案
编写人：邓志一 审核人：邹守存 编写时间：2014-05-14
班级：＿＿ 组名：＿＿ 姓名：＿＿
【学习目标】：
1．通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2．归纳推理是从特殊到一般的推理方法，它是一种发现一般性规律的重要方法。
【学习重点】了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 【学习难点】：用归纳进行推理，做出猜想。
自主学习
阅读教材69页-72页，3分钟时间，思考并回答以下问题
从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理.
归纳推理的思维过程大致是
巩固训练
一．例题
例1．已知数列{}n a 的每一项均为正数，11a =，11n
n n
a a a +=+（n=1，2，……）， 通过计算234,,a a a 试归纳数列{}n a 的一个通项公式。 .X
例2． 用归纳推理的形式表示等差数列1，3，5，…,(2n-1),..的前n 项和n S 的归纳过程。
例3．设2()41,f n n n n N +=++∈，
计算(1),f (2),(3),f f (4),...,(10)f f 的值，同时作出归纳推理，并用40n =验证猜想是否正确。
当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______
2、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是
(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4
4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）； （2
（ ）． 5、从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般性结论
是 ．
【归纳小结】
1. 归纳推理是由个别到一般的推理；
2. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我 们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法。
【学习反思】
① 基础知识 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
② 学习方法 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 情感认知 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
第三次
第二次
第一次
开始
《合情推理（1）》节节过关检测
1.已知111()1()23f n n N n +=+
++???+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7
(32)2
f >， 推测当2n ≥时，有__________________________.
2.已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=，2223
sin 5sin 65sin 1252
++=
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 . 3．已知{a n }的第1项a 1=1且n
n
n a a a +=
+11(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式
4、已知数列{}n a 的通项公式2
1
()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-，
试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.
纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。——怀德海
编号：whgzsxxx2-2-2------02
《合情推理（2）》导学案
编写人：邓志一 审核人： 邹守存 编写时间：2014-05-14
班级：＿＿ 组名：＿＿ 姓名：＿＿
【学习目标】
结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义。 【重点难点】
1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；
2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。 【学法指导】
① 课前阅读课文（预习教材P 72～P 78，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究问题，并提出你的观点。 【知识链接】
复习1 已知 0(1,2,
,)i a i n >=，考察下列式子：11
1
()1i a a ?
≥； 1212
11
()()(
)4ii a a a a ++≥； 123123
111
()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，
对12,,,n a a a 也成立的
类似不等式为 。
复习2 猜想数列1111
,,,,
13355779
--????的通项公式是 。 【学习过程】
知识点一 类比推理
问题1 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上
有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理。
新知 类比推理就是由两类对象具有＿＿＿和其中＿＿＿，推出另一类对象也具有
这些特征的推理。简言之，类比推理是由＿＿＿＿到＿＿＿＿的推理。
【典型例题】
例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。
变式 找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质。
知识点二 ＿＿＿＿和＿＿＿＿都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进
行＿＿＿＿，然后提出＿＿＿＿的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。
例 2 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比
1122
11
22
OM N OM N S OM ON S OM ON ??=
?.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，
点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？
。
变式 在ABC ?中，不等式
1119
A B C π
++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥
成立；在五边形ABCDE 中，不等式1111125
3A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？
【当堂检测】
1. 下列说法中正确的是（ ）.
A. 合情推理是正确的推理
B. 合情推理就是归纳推理
C. 归纳推理是从一般到特殊的推理
D. 类比推理是从特殊到特殊的推理
2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.
A. “若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”
B. “若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”
C. “若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c≠0）” D. “n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ） 3. 设)()(,sin )('
010x f x f x x f ==，'21()(),
,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N，则
2007()f x =
A.sin x
B.－sin x
C.cos x
D.－cos x
【归纳小结】
1. 类比推理是由特殊到特殊的推理；
2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物
的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）；
3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮
我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法。
【学习反思】
① 基础知识 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
② 学习方法 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 情感认知 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
《合情推理（2）》节节过关检测
．类比平面内直角三角形的3个面两两垂直的四面勾股定理：222c b a =+ 类比：
2．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为1
()2
S r a b c =++；根据类比的思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为1234S S S S ，，，，则
四面体的体积为 ．
3．半径为R 的圆的面积()2
S R R π= 周长()2C R R π=若将R 看作()0,+∞上的变量，
则()
2'2R R ππ= , ① ①可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________________，②②可用语言叙述为：______________________。
4．若数列{}n a 为等差，且,()m n a x a y m n ==≠，则m n mx ny
a m n
+-=
-。现已知数列
{}(0,)
n n b b n N +>∈为等比数列，且,(,,)m n b x b y m n m n N +==≠∈，类比以上结论，可得什么结论？你能说明结论的正确性吗？
上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。——克隆内克
Whgzsxxx2-2-2-----03
《演绎推理》导学案
编写人：邓志一审核人：邹守存编写时间：2014-05-14
班级：＿＿组名：＿＿姓名：＿＿
【学习目标】
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性。
【重点难点】
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；
2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
【学法指导】
①课前阅读课文（预习教材P78～P81，找出疑惑之处）②思考导学案中的探究问题，并提出你的观点。
【知识链接】
复习1 归纳推理是由到的推理。类比推理是由到的推理。复习2 合情推理的结论。
【学习过程】
知识点一演绎推理
问题1 观察下列例子有什么特点？
（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；
（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此＿＿；
?，所以在一个标准大气压下把（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C
?时，＿＿；
水加热到100C
（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；
（5）三角函数都是周期函数，sinα是三角函数，所以；
（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么＿。
新知演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理。
知识点二三段论
大前提——；
小前提——；
结论——。
试试请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式。
【典型例题】
例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中
点M 到D ，E 的距离相等。
知识点三 用集合知识说明“三段论”。
大前提 ； 小前提 ； 结 论 。
例2 证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数。
小结 应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了
叙述简
洁，如果大前提是显然的，则可以省略。
例3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？
所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提） 菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提） 菱形是正多边形. （结 论）
小结 在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。
【当堂检测】
1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则；
B.特定的命题；
C.一般的命题；
D.定理、公式.
2.“因为对数函数
n n n ()x y x y +=+是增函数（大前提），而
()a b c
++是对数函数（小前提），
所以
()xy z
是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
A.大前提错导致结论错；
B.小前提错导致结论错；
C.推理形式错导致结论错；
D.大前提和小前提都错导致结论错.
【归纳小结】
1. 合情推理 ???
归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确；
2. 演绎推理 由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确。
【学习反思】
① 基础知识 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
② 学习方法 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 情感认知 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
《演绎推理》节节过关检测
1. 因为指数函数x
y a
=是增函数，
1
()
2
x
y=是指数函数，则
1
()
2
x
y=是增函数.这
个结论是错误的，这是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数
是真分数”结论显然是错误的，是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知
直线b?/平面α，直线a
≠
?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”
的结论显然是错误的，这是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
4. 归纳推理是由到的推理；
类比推理是由到的推理；
演绎推理是由到的推理。
5. 合情推理的结论；
演绎推理的结论。
发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。——达尔文
编号：whgzsxxx2-2 -2 ----04
《综合法和分析法（1）》导学案
编写人：邓志一 审核人：邹守存 编写时间：2014-05-14
班级：＿＿ 组名：＿＿ 姓名：＿＿
【学习目标】
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 【重点难点】
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。
3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 【学法指导】
课前阅读课文（预习教材P 85～P 89，找出疑惑之处）。 【知识链接】
复习1 两类基本的证明方法: 和 。 复习2 直接证明的两中方法: 和 。 知识点一 综合法的应用 问题 已知,0a b >,
求证 2222
()()4a b c b c a a b c
+++≥。
新知 一般地,利用 ,经过一系列的推理论
证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。
反思 框图表示
要点 顺推证法；由
因导果。
【典型例题】 例1 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：
1119a b c
++≥
变式 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证 111
(1)(1)(1)
8a b c
---≥。
小结 用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应
用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。
例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等
差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形。
变式 设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点.
求证 PD 垂直于ABC ?所在的平面。
小结 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或
把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。
【当堂检测】
1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2. 如果821,,a a a ???为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）
A ．5481a a a a >
B ．5481a a a a <
C ．5481a a a a +>+
D ．5481a a a a =
3. 设23451111
log 11log 11log 11log 11
P =
+++
，则（ ） A ．01P << B ．12P << C ．23P << D ．34P <<
4. 若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1
(,)2
+∞，则k 的范围是。
5. 已知b a ,
是不相等的正数，x y ，则,x y 的大小关系是____。
【归纳小结】
综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论
是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。
。
【学习反思】
① 基础知识 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
② 学习方法 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 情感认知 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
《综合法和分析法（1）》节节过关检测
1、 下列正确命题的序号是________.
①若,a b R ∈,则
2b a
a b +≥; ②若x R ∈,则|4|||2|4||||4|x
x x x x x ?≥+=+ ③若,a b R ∈,则b a b a lg lg 2lg lg ?≥+; ④2
y =的最小值是2.
2. 定义在(,)-∞+∞上的函数()y f x =在(,2)-∞上是增函数,且函数(2)y f x =+为偶函
数,则f(-1), f(4), f(1
52
)的大小关系是__________________________________.
3、.求证：<
4、 在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且A ，B ，C 成已知:a,b,c 三数成等比数列,.求证: 2a b
x y
+=.
编号:whgzsxxx2-2-2 ------05
《综合法和分析法(二)》导学案
编写人：邓志一 审核人： 邹守存 编写时间：2014-05-14
班级：＿＿ 组名：＿＿ 姓名：＿＿
【学习目标】
会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程。 【重点难点】
1. 结会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程；
2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 【学法指导】
① 课前阅读课文（预习教材P 85～P 89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究问题
【知识链接】
复习1 综合法是由 导 。
复习2 基本不等式 。 知识点一 分析法
问题 如何证明基本不等式(0,0)2
a b
a b +≥>>。
新知 从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明
的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。 反思 框图表示
要点 逆推证法；执果索因。
【典型例题】
例1 求证
变式 求证 <
小结 证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途
径。
例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂
线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.
。
变式 设,,a b c 为一个三角形的三边,1
()2
s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <。
小结 用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题。
【当堂检测】
1. ,其中最合理的是
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D. 归纳法
2. 不等式①233x x +>;②2b a
a b
+≥,其中恒成立的是
A.①
B.②
C.①②
D.都不正确
3. 已知0y x >>,且1x y +=,那么
A.22x y x y xy +<
<< B.22x y
xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22
x y x xy y +<<<
4. 若,,a b c R ∈,则222a b c ++ a b b c a c ++。
【归纳小结】
分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ???，直到所有的已知P 都成立。
【学习反思】
① 基础知识 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
② 学习方法 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 情感认知 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
《综合法和分析法(二)》节节过关检测
1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是
偶函数的有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3 个
D ．4个
2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）.
①//////αββγαγ???? ；②//m m αββα⊥??⊥??
③//m m ααββ⊥??⊥?? ；④////m n m n αα
????? 其中为真命题的（ ）
A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④ 3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.
A ．a ，b 均为负数，则2a b
b a
+≥
B ．2
2≥
C ．lg log 102x x +≥
D ．1
,(1)(1)4a R a a
+∈++≥
4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：
①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β ②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β ④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n 其中真命题是 .
5. 已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的 条件。