江苏省溧阳中学第一学期第一次阶段性测试

江苏省溧阳中学2003－2004学年第一学期第一次阶段性测试

高三数学试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中） 1．已知函数

{

2log (0)

3,(0)

()x x x x f x >≤=

，那么1()4f f ??

????

的值为 （ ）

A ．9

B ．

1

9 C ．-9 D ．19

-

2．设,,a b c 是平面内任意的非零向量且相互不共线，给出下列命题：

① ()()0ab c ca b -=

； ② a b a b -<- ；

③ ()()bc a ca b -

不与c 垂直；

④22

(32)(32)94a b a b a b +-=-

其中真命题是

（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②④

3．使

()sin(2))f x x x θθ=++为奇函数，且在,4o π??

????

上是减函数的θ的一个值是

（ ）

A ．3

π

-

B ．

3

π

C ．

23

π

D ．

43

π 4．二次函数

()f x 满足(2)(2)f x f x +=-+，又(0)3,(2)1f f ==，若在[]0,m 有最大值

3，最小值1，则m 的取值范围是

（ ）

A ．(0,)+∞

B ．

[2,)+∞ C ．](0,2 D ．[]2,4

5．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（即沿对边中点的连线折叠）7次，

这时报纸的厚度和面积分别为 （ ） A 1

8,

8

a b B ．1

64,

64a b C ．1

128,128

a b D ．1256,256

a b

6．下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是 （ ）

A ．2

2:,:M a b N ac bc >>

B ．:,,:M a b c d N a d

b c >>->-

C ．:0,0,:M a b c d N ac bd >>>>>

D ．:

,:0M a b a b N ab -=+≤

7．已知()sin(),()cos()22

f x x

g x x ππ

=+=-，则下列结论中正确的是

（ ）

A ．函数()()y f x g x =?的周期是2π．

B ．函数()()y f x g x =?的最大值为1．

C ．将()y f x =

的 图象向左平移2π

单位后得()g x 的图象．

D ．将()y f x =的 图象向右平移2

π

单位后得()g x 的图象．

8．已知)(x f 的定义在（－3，3）上的奇函数，当0＜x ＜3时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(

A ．)3,2()1,0()2,3(ππ --

B ．)3,2()1,0()1,2(ππ --

C ．)3,1()1,0()1,3( --

D ． )3,1()1,0()2

,3( π

--

9．与不等式11

2

2

log (3)2log 2x x --<有相同的解集的不等式是

（ ）

A ．2

560x x -+< B 1x >+

C ．

12

4x x

>+ D ．

24x +<

10．函数

()log (0a f x x b a =->，且1a ≠）是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则

(3)f a -与(2)f b -的大小关系是

（ ）

A ．(3)f a - >(2)f b -

B ．(2)f b -≥(3)f a -

C ．

(2)f b -≤(3)f a -

D ．

(3)f a -<(2)f b -

11．{}n a 是等差数列，10110,0S S ><，则使n a <0的最小的n 值是

（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

12. 由等式4

3243212341234(1)(1)(1)(1)x

a x a x a x a x

b x b x b x b ++++=++++++++

定义12341234(,,,)(,,,)f a a a a b b b b =，则(4,3,2,1,)f 等于

（ ）

A ．（1，2，3，4，）

B ．（0，3，4，0，）

C ．（-1，0，2，-2）

D ．（0，-3，4，-1）．

二、填充题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在题中横线上） 13．已知函数

()f x 是奇函数，当0x <时，2()3sin ,2

x

f x x a π=-且(3)6f =，则a 等

于 ．

14． 若直线20x y m ++=按向量(1,2)a =--

平移后与圆22:240c x y x y ++-=相切，

则实数m 的值为 ． 15．已知数列

{}n a 满足：*112

14,()3n n a a a n N +==-∈，则使20n n a a +<成立的n 的值

是 ．

16在下列四个命题中：① 函数tan()4y x π

=+

的定义域是|,4x x k k Z ππ??=+∈????

；

② 已知

1s i n 2α=

，且[]0,2απ∈，则α的取值集合是6π??????

；③ 函数

s i n (2)

s i n (2)

3

3

y x x π

π

=++-的最小正周期是π；④ 函数2cos sin y x x =+的最小值为-1． 把你认为正确的命题序号填在横线上 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知函数

1

()()2

x f x =，

解关于x 的不等式[]2()log (2),(01)a a f log x x f a a -<>≠且．

18．（本小题12分）数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+；当n 为偶数时，2

2

n n a =，

求这个数列前2m 项的和．

19．（本小题12分）已知函数

()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，

（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；

（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数．

20．（本小题12分）若

2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()g a ．

（1）求()g a 的表达式． （2）求能使1

()2

g a =的a 值，并求出当a 取此值时()f x 的最大值．

EF MN，交点是O，起初，某21．（本小题14分）如图所示，有两条相交成60 角的直线,

甲在OE上距O点3千米的点A处；某乙在OM上1千米的点B处．现在他们同时以4千米/小时的速度行走，某甲沿EF的方向，某乙沿NM方向．

（1）求起初两人的距离；

（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；

（3）什么时候他们两人的距离最短？

22．（本小题满分14分） 已知函数

b a bx ax x f ,(1)(2++=为实数）

，x R ∈，??

?<->=)

0)(()

0)(()(x x f x x f x F （1）若f (－1) = 0，且函数

()f x 的值域为)0,+∞??，求)(x F 表达式；

（2）在（1）的条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(,]2,2[时是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设)(0,0,0x f a n m mn 且>>+<为偶函数，判断)()(n F m F +能否大于0.

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高三数学试卷答案

一．选择题： B D C D CDDB BDBD

二．填空题：13： 5 ； 14： -13或-3 ； 15： 21 ；16： 3、4 ； 三．解答题：

17 解：1()(

)2

x

f x = 上减函数， ∴ 原不等式等价于 2(lo

g )log 2a a x x ->，

log 1,2a x x <->a 或log

1

a ∴>21

时，oa a 21

01

a x x a a <<><时或0< 18.解：12

346,2,16,4a a a a ====

[]26165(21)242m

m S m ??∴=+++-++++?? =(1)2(21)

616221

m

m m m --+?+- =2

165522m m m m ++-+-=12252m m m +++-．

19 解：（1）0θ

=时，()sin cos )4

f x x x x π

=++

当 322,2224244

k x k k x k πππππ

ππππ-<+<+-<<+即 （k Z ∈）时()f x 单

调递增； 当3522,222

4

244

k x k k x k π

π

πππ

ππππ+

<+

<+

+<<+即 （k Z ∈）时()f x 单调递减； （2）若

()f x 偶函数，

则sin()cos()sin()cos()x x x x θθθθ+++=-++-+

即 sin()sin()cos()cos()x x x x θθθθ++-++--=0

2sin cos 2sin sin 0x x θθ-=

2sin (cos sin )0x θθ-=

c o s ()04

π

θ+

= (0,)θπ∈ 4

π

θ

∴=

，此时，

()f x 是偶函数．

20 解：（1）2

()122cos 22cos f x a a x x =---+=2

22(cos )1222

a a x a ----

①若112a

-≤≤≤≤即 -2a 2,则f(x)的最小值为2()122a g a a =---； ②若

1,22a

a >>，则()f x 的最小值为()14g a a =-； ③若12

a

<-，2a <-， 则()f x 的最小值为()1g a =．

212,222

1,214,2

()a

a a a a a g a ----≤≤<->??∴=???

（2）令1()2g a =

， 若1142a -=， 1

8

a =与2a >矛盾 若2122a a ---=1

2

则1a =-或3a =-，由22a -≤≤则1a =-

当1a =-时

21111

()2(cos )122(cos )2222

f x x x =+-+-=++

当cos 1x =时，()f x 的最大值为5．

21．解：（1）在△ABO 中3,1,60OA OB AOB ==∠=

，

291231cos607,AB AB =+-???==

（2）设经过t 小时两人的距离为d 千米

若3

0,4

t ≤≤

则()()()()2

2

2

341423414cos60d

t t t t =-++--+?

=()

()()()2

2

34143414t t t t -++--+；

若34

t

>， 则()()()()2

2

2

431424314cos120d

t t t t =-++--+?

=()

()()()2

234143414t t t t -++--+；

0t ∴>时，2d =()()()()2

2

34143414t t t t -++--+=248247t t -+

d （0)t >

（3）d 1

4t =时 min 2d =（千米）

22．解：（1）(1)0f -= 0a b c ∴-+=，

又x R ∈时，

()0f x ≥恒成立，{2

02

40

4(1)0,2,1a b a b b b a >=-≤∴∴--≤== ． 22()21(1)f x x x x ∴=++=+

{

22(1),(0)

(1),(0)

()x x x x F x +>-+>=

（2）22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+

=2

22(2)()124

k k x --++-． ∴ 当

22,2k -≥ 或 222

k -≤-时，即6k ≥或2k ≤-时()g x 单调． （3）()f x 时偶函数， 2

()1f x ax

∴=+， {

22,0

,0

()ax x ax x F x >-<=

0mn < ， 设0,00,0m n m n m n ><+>>->则又，m n ∴>-

22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->

()()F m F n +能大于0．