一、摘要：
由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。
二、关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患
三、问题重述
在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。
老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。
更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。
控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:
(1) 灭鼠药
(2) 引入老鼠的天敌
(3) 人工种植牧草
四、基本假设
1）老鼠、天敌的出生率、死亡率在正常状况下保持不变；
2）老鼠、天敌各个种群之间的性别比为1：1；
3）每只老鼠在单位时间内对草原的破坏程度相同；
4）老鼠药、牧草单位数量的的价格长时间内不会发生变化；
5）老鼠、天敌生存的环境不会有较大的变化；
6）老鼠在短时间内不会产生抗体；
7）牧草长成的过程不会受到老鼠的影响（为了避免其对牧草生长的影响，可在为遭破坏的草原上种植牧草然后将其移植到需要解决鼠患问题的地方）
8）草原的面积为一公顷
9）天敌的生存离不开老鼠
六、 问题分析与建模及鼠患问题方案 [模型分析]
针对题目中的三种方案，从时间资金投入以及效果等方面出发，建立差分、微分模型、V olterra 模型，对各方案在其平衡点处的最终效果进行分析并予以比较，得出其在短时间与长时期的优势、劣势，综合考虑各方案，得出一套切实可行的方案。 [模型建立]
目标函数：M （t ）=P(t)
*Q(t)1;○1 老鼠的数量：
axy rx ay r x dt dx
-=-=)(;○
2 天敌的数量：
byx dy bx d y dt
dy
+-=+-=)(;○3 从○
2、○3中消去dt 后得到 天敌与老鼠之间的关系：
axy
rx byx dy dx dy -+-=)(;○4
联立○
2、○3得两个平衡点分别为：
??
?
??a r b d A , ， ()00'，A 计算他们的p 、q （p=-(-a+rx) , q=dy
b rx
a -）发现，对于'A ，q=0但'A 不稳定；
对于A 点p=0,q>0,处于
临界状态，属于非线性方程，不能用判断线性方程的平衡点的稳定性来判断。
由○4得，方程○
2○3的相轨线为
()()
c
e y e x
ay r bx d
=--（其中c 为任意常数） 由c 的任意性知，相轨线是一族从A 点向外扩展的封闭曲线。
1） 方案一：灭鼠药
)1(11q q a a a k k +??=-+ 1）有公害药物对老鼠的影响：
n1次繁殖后x 的增长量（呈几何型曲线增长如图）：（1）x （n 1）=
1
a 1
n q
Q (t)=12p xn P (t) =V 1
∑=n
k n
q
1
a
M(t)=
P(t)
*Q(t)1
=
∑=n
k n
q V p xn 01112a *1
2) 方案二：引入老鼠的天敌
引入天敌前，老鼠一年中的增长曲线及各代每胎所生老鼠数目的条形图 N=（16?n+66?n 2+56?n 3+n 4）×2（老鼠一年生四代）
引入天敌后老鼠和天敌的变化情况如下图：
23p n Q(t)=
?
=
1
1)(P(t)t t dt
v t x
M(t)=
P(t)*Q(t)1
=?
1
123)(*p n 1t t dt
v t x
当引入天敌数量过多时，生态达到平衡的时间较短但投入资金较多；
当引入天敌数量较少时，生态达到平衡时的资金投入较少，但所需时间较长，对草原破坏教大；
为了达到更好的效果需将时间与损坏程度带入上式给予评价. 3) 方案三：人工种植牧草
本问题由于种植牧草的作用是使的老鼠视线受到了阻挡，使得天敌对老鼠的扑捉能力加强，从另一方面来讲也就是说天敌的数量增多。当牧草开始退化时，老鼠的视线进一步可以扩张，使得老鼠对天敌的躲避能力加强，及可看作是天敌的数目的减少。用方案二的理论给予说明。
Q(t)=S* p 2 P(t)=
?
1
1)(t t dt v t x
M(t)=
P(t)*Q(t)1=?
1
12)(*p *S 1
t t dt
v t x
通过对以上三种方案的分析，联系实际得出了一种具体且较为有效的方法如下：
从棉花籽中提炼出的棉酚，用中药天花粉和莪术。分别制出对母鼠和公鼠的避孕药。通过吉林省黄泥河林业局的验证，我们得出在三年后老鼠的种群数量下降大约为70%。然后再种植矮麦冬草（其特点见附录）。同时，培育银狐。一年后将培育好的狐狸放入自然，捕食老鼠。据新疆畜牧部门对福海县40多万亩鼠害严重的草原进行调查，发现几乎每个鼠洞群附近都有放归后的银黑狐活动的痕迹，同时还发现有效鼠洞数量比放归银黑狐前减少了70%以上。
最终达到自然平衡的目的。同时麦冬和银狐都是有自身价值的物种，麦冬和银狐的骨头以及器官都有药用价值，银狐的皮毛又是皮毛市场里的瑰宝。所以在以后的发展中，可以通过出售此类物品来降低投入的成本。
七、 模型的推广： 1） 澳大利亚袋鼠问题； 2） 水葫芦的引进问题； 3） 营养过剩问题
八、 模型优缺点分析及改进方向
【模型优点】 本文通过对老鼠及其天敌的数量变化进行了分析，利用数学工具建立了微积分、差分模型，并利用这个模型对其各种方案进行了评估，得出了自己更为合理的方案。
【模型缺点】 由于本文对数据要求较大，对数据的要求较高，使得模型过于复杂，故最后在达到目的后没有一个具体的老鼠和天敌，以及生态平衡时的种群数量。天气对老鼠和天敌繁殖和成活的影响没有考虑。会对最后达到生态平衡的时
间有一定的影响。
九、参考文献
《数学模型（第三版）》高等教育出版社姜启源
《微积分和数学分析引论》科学出版社 F .约翰刘嘉善译《Matlab实用教程》电子工业出版社苏金明
十、附录
矮麦冬草特点：
1.矮生,整株高仅10厘米左右,终生免修剪.省去了种植后大量的管理费用。
2.抗寒,矮麦冬能耐零下12度低温,再霜冻和雪天仍然嫩绿,最适合中东和北方地区种植。
3.抗旱耐涝,矮麦冬草生命力特强,在干旱和多雨季节仍然生长良好。
4.抗污染能力强,适合任何环境栽培.在轻度盐碱地也能良好生长。
5.用途广泛,绿化档次高,管理粗放,抗多种除草剂。
6.矮麦冬草不仅在绿化行业中被人重视,它还有很高的药用价值。
狐狸皮的价格比较：
程序
数值解及相轨线：
function xdot = shier(t,x)
r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];
ts=0:0.1:30;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45(‘shier’,ts,x0);[t,x],
plot(t,x),grid,gtext(‘x(t)’),gtrxt(‘y(t)’),
pause,
plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B,C、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A、B，C、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A、B 离地距离之和， ()g θ为C、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=?，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =?<而()()()0h f g πππ=?>，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；
草原鼠患问题 一、摘要 针对题目所提要求，我们建立了两个模型，分别用于对鼠患发展趋势做短期和中长期的预测。基本完成题目中所给的任务。 为了对鼠患问题做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由网上资料得到启发，针对现今的草原鼠患的特点，把老鼠的增长率对鼠患问题起主要作用的因素作为建模的关键参数，我们建立了两个模型，对鼠的数量做了合理的预测和分析，其中用到了微分方程和差分方程模型。在附件中没有给出草原近年鼠患的情况下，建立了短期内预测鼠患的微分方程模型。得到鼠在第t月有i个月大的出生率、死亡率、生育率，第(t+1)月有(i+1)月大的数量等。较准确的估计出了老鼠增长的关键参数，使得建立的鼠患短期预测模型符合实际。 关键词：短期中长期微分方程差分方程出生率、死亡率、生育率。
二、问题重述 2.1建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题； 2.2 对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议； 2.3 通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。 三、模型的假设 假设1：我们的天气预报能够较准确的预测几天内的气候情况； 假设2：所施鼠药是目前最普及最有效的化学鼠药(性价比较好); 假设3：草的退化周期是固定的； 假设4：草原鼠生活在固定区域不会迁移; 假设5：草原鼠以长爪沙鼠为主; 四、问题的分析 草原鼠患问题不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被，草原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自动退化，所以在一段时间内退化是有周期性的，要周期性补种。 对于老鼠的数量影响主要受三方面因素限制：1、灭鼠药2、老鼠的天敌3、茂密的牧草种植。其中撒灭鼠药，引入老鼠天敌短期见效，撒灭鼠药长期不宜使用，引入天敌以现今的技术不能大规模使用,人工种植牧草可以长期实施，可以产生效益，具有周期性。 草原鼠患问题中老鼠是影响生态的主要因素，暂且不考虑其它的
草原鼠虫害防治药物使用管理
草原鼠虫害防治药物使用管理 前言 农药鼠药是重要的农业生产资料，在农业有害生物的应急防控中具有不可替代的地位和作用，但由于缺少科学常识，不注意日常的使用管理，将农药、鼠药随意存放，被当作饮料、调料、食品被误喝误吃，在使用过程中未按照药物使用管理规定引起中毒的事件时有发生。根据调查资料的表明，导致我国农村人口中毒的毒物类中-农药和鼠药列为前两位。农药占29.22%，鼠药占28.6%。为确保我们在草原鼠虫害防治工作中的用药安全，避免发生人畜中毒事件，现就草原鼠虫害防治药物的使用管理注意事项归纳如下 一、科学用药的原则 使用农药防治草原有害生物的原则是：“安全、有效、经济”，对人类的安全应放在第一位。安全使用农药应遵循以下原则：严格按照说明规范使用。使用前要认真阅读使用说明书，严格遵守《农药安全使用标准》、《农药安全使用规定》，明确使用方法和使用范围。 施用化学农药，防治病、虫、草、鼠害，是夺取农业丰收的重要措施。如果使用不当，亦会污染环境和农畜产品，造成人、畜中毒或死亡。为了保证安全生产，特作如下规定： 一、农药分类
药物的储存和保管 （一）人员要求：库房保管人员必须具有初中以上文化、身体健康、有经验、经过专业技术培训、掌握农药基本知识和和安全知识的成年人担任。 （二）库房要求：鼠虫害防止药物存放应设专用库房，与居民区、水源分开，四周封闭并留有消防通道。库房地面平滑、不渗漏、结构完整、干燥、通风良好，地面、天花板采用耐化学腐蚀材料，易清洗。库房内设置隔离工作间，配备必要的消防器材（灭火器、水桶、铁锹等）和急救药箱（解毒药物等）。（三）存放要求：有完整无损的包装和标识，包装破损或无标识的立即处理；不同种类药物应分开存放，避免阳光直射，保持通风，采取防潮防渗措施；库房中避免存放对农药品质有影响的其他药物；严禁与食品、粮食、饲料、种子等一起存放。 （四）库房管理要求： 1、严格执行药品入库、出库登记制度，入库时要检查包装 和标志，记录品种、数量；出库的药品质量要可靠，包装标志完整，有使用说明书。 2、定期检查存放的药物是否符合存放要求的规定，定期维护 库房内通风、照明、消防设施，使其处于良好状态。
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试 卷 （本试卷共4页） 说明： 本次考试为开 卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严 禁相互借用。 一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别； 2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它； 二、简答题（本题满分16分，每小题8分） ?1、对于§5.1传染病的SIR 模型，叙述当σ 1 > s 时)(t i 的变化情况 并加以证明。 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？ 三、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。 2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？ 四、（本题满分20分） 某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。 五、（本题满分16分） 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个 就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵 选择就业岗位
2009《数学建模》期末试卷A 考试形式：开卷 考试时间：120分钟 姓名： 学号： 成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。 2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。 设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。 在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤） 边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不 生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。设每次生产开工 费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <<和k r ≈的情况。 3．（10分）设)(t x 表示时刻t 的人口，试解释阻滞增长（Logistic ）模型 ?????=-=0)0()1(x x x x x r dt dx m 中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。 4．（25分）已知8个城市v 0，v 1，…,v 7之间有一个公路网（如图所示）， 每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间． （1）设你处在城市v 0，那么从v 0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？ （2）求出该图的一棵最小生成树。 5．（15分）求解如下非线性规划: 20 s.t.2 122 2 121≤≤≤+-=x x x x x z Max 6．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x 与合金的膨胀系数y 之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：
的模型。 7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。 《数学建模》模拟试卷（三）参考解答 1. 数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模方法 一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。 机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。 测试分析是将研究对象看作一个"黑箱"(意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。 数学建模的一般步骤 (1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。 (2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。 (3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。 4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。 (5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。 (6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。 (7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。 2. 单位时间总费用 k T r k r c T c T c 2)()(21-+= ，使)(T c 达到最小的最优周期 )(2T 21*r k r c k c -＝ 。当k r <<时，r c c 21*2T ＝ ，相当于不考虑生产的情况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。 3. t ——时刻； )(t x ——t 时刻的人口数量； r ——人口的固有增长率； m x ——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
摘要： 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。 关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患 一、问题重述 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。 老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。 更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。 (2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。 (3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。 问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；
草原鼠虫害防治药物使用管理 前言 农药鼠药是重要的农业生产资料，在农业有害生物的应急防控中具有不可替代的地位和作用，但由于缺少科学常识，不注意日常的使用管理，将农药、鼠药随意存放，被当作饮料、调料、食品被误喝误吃，在使用过程中未按照药物使用管理规定引起中毒的事件时有发生。根据调查资料的表明，导致我国农村人口中毒的毒物类中-农药和鼠药列为前两位。农药占29.22%，鼠药占28.6%。为确保我们在草原鼠虫害防治工作中的用药安全，避免发生人畜中毒事件，现就草原鼠虫害防治药物的使用管理注意事项归纳如下 一、科学用药的原则 使用农药防治草原有害生物的原则是：“安全、有效、经济”， 对人类的安全应放在第一位。安全使用农药应遵循以下原则：严格按照说明规范使用。使用前要认真阅读使用说明书，严格遵守《农药安全使用标准》、《农药安全使用规定》，明确使用方法和使用范围。 施用化学农药，防治病、虫、草、鼠害，是夺取农业丰收的重要措施。如果使用不当，亦会污染环境和农畜产品，造成人、畜中毒或死亡。为了保证安全生产，特作如下规定： 一、农药分类
根据目前农业生产上常用农药（原药）的毒性综合评价（急性口服、经皮毒性、慢性毒性等），分为高毒、中等毒、低毒三类。 （二）必须按指定剂量，使用适当的容器配药，配药应在远离饮水源和居民点的安全地方进行。药物包装要立即烧毁或按要求深埋处理。 （三）注意施药安全。施药人员应身体健康，经过必要的技术培训；正确使用施药器械，施药器械安全完好，没有“跑、冒、滴、漏”现象；施药时要穿戴防护衣具，施药过程中严禁吸烟、喝水；选择合理的施药时间，严禁在大雾、大风、雨天、高温天气时段施药；正确掌握施药技术，采用隔行喷雾，避免迎风操作和左右两边同时喷雾。 （四）掌握中毒急救知识。施药人员每天工作不超过6小时，切不要连续多日工作。施药过程中一定按照使用说明书，配备必要的急救药品。一旦出现乏力、恶心、头昏、呕吐、皮肤红肿等中毒症状，应立即离开施药现场，脱去被污染的衣服，漱口、擦洗手、脸和皮肤等暴露部位，用肥皂清洗身体，中毒症状较重者立即送医治疗。 （五）注意施药后的安全。施过高毒农药的地方要设立标志，明确专门管护人员，防止人、畜、家禽等进入引起中毒。二、
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
草原鼠害防治技术 一、地下鼠防治技术 鄂尔多斯地区地下害鼠为中华鼢鼠，特点就是危害时形成土丘，破换牧草根系，土壤结构，成一连串或者不规则的土堆，活动时间一般在4-6月份，5月份为繁殖高峰期，4月份为防治关键时期，其主要防治技术如下： 地下生活鼠类常用防治方法主要包括化学防治和物理防治。 1化学防治方法 化学防治方法是指利用化学药剂配成毒饵毒杀害鼠的方法。 目前常用的草原害鼠防治药药剂为C型肉毒素，本品为淡黄色液体。可溶于水。怕热怕光，在5℃时24h即失毒。本剂对鼠类有较强活性，适口性好，无二次中毒。草原小面积防治可以到有关部门申请用药。 (1)毒饵的配制方法常用饵料有萝卜、胡萝卜、小麦等。 将饵料切成大约0.5厘米×1厘米×5厘米大小，风干至含水量50%以下备用。称取原药重为1-2ml与一公斤毒饵搅拌。 (2)开洞投饵法在鼢鼠的洞道上，用铁锨挖一个上大下小的洞把落到洞内的土取净，用长柄毒饵勺把毒饵投放到洞道深处，然后将洞口用草皮封严即可。
(3)插洞投饵法用直径粗1厘米，长60-80厘米的钢制探针探找鼢鼠洞道，当感觉找到洞道时，轻轻提出探针，用直径粗1.5厘米，长30-40厘米的木制探针，从针孔处再次插入洞道中，前后左右晃动木制探针，当探针尖部有四处碰壁感觉时，找洞失败，需用钢制探针重新探洞：当向某一方向晃动时木制探针尖部有碰壁感觉，而向另方向晃动时无碰壁感觉，此时无碰壁感觉方向即为洞道方向，探找洞道成功，提出木制探针，用镊子或毒饵勺取5-6条毒饵投入洞内，然后用湿土捏成团把针孔盖好即可。 2物理防治方法 物理防治方法是指利用捕鼠器械捕杀害鼠的方法。常见捕鼠器械有弓形夹、箭类、吊钩类。利用鼢鼠怕风畏光习性开洞捕鼠。具体方法：找出老巢方向，距老巢1-2米处开洞放置捕鼠器。老巢方向判别方法有两种，是覆盖母质土壤的较大土丘下方即为老巢；另一方法是打开洞道，洞道两侧和上方洞壁有明显的鼠鼻印记，印记前进方向即为老巢相反方向。常用捕鼠器的使用方法有如下两种。 (1)地下洞道设置地箭找出老巢所在位置，距老巢1-2米处开1个洞口，洞口内30厘米处先放一湿软土球，土球直径应小于洞道直径1-2厘米，挂箭后洞道箭前端放入洞口内，使挡土板刚好与土球接触，箭后端用草皮土块挡住即可。洞道箭捕鼠般每隔2小时检查一次。
▆■■■■■■■■■■■■ 《数学建模》期末考试A卷 姓名： 专业： 学号： 学习中心： 一、判断题（每题3分，共15分） 1、模型具有可转移性。----------------------- （√） 2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型-----（√） 3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。 ---------------------------------------- （√） 4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。----（√） 5、数学模型是原型的复制品。 ----------------- （×） 二、不定项选择题（每题3分，共15分） 1、下列说法正确的有AC 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 2、建模能力包括ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 5、一个理想的数学模型需满足AB 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。（10分） 答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模 步骤用框架图表示如下： 四、建模题（每题15分，共60分） 1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同 时着地？ 解：4条腿能同时着地 （一）模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定 的。 因此对这个问题我们假设: (1)地面为连续曲面 (2)长方形桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 （二）模型建立 现在，我们来证明:如果上述假设条件成立，那么答案是肯 定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌 的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B、C、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不 确定的。为消除这一不确定性，令f(θ) 为A、B离地距离之和， g(θ)为C、D离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设(1)， f(θ), g(θ)均为0的连续函数叹由假设(3),三条腿总能同时着地， 故f(θ) g(θ)=0必成立()。 f(θ), g(θ)均为0的连续函数。又由假设(3),三条腿总能同时 着地，故f(θ) g(θ)=0必成立()。 不妨设f(θ)=0, g(θ)>0 (若g(0)也为0,则初始时刻已四条腿 着地，不必再旋转)，于是问题归结为:已知f(0), g(θ)均为θ的连 续函数，f(0)=0, g(0)> 0且对任意θ有f(θ) g(θ)=0,求证存在某一 0。，使f(θ) g(θ)=0。 （三）模型求解 证明:当日=π时，AB与CD互换位置，故f(π)>0, g(π)= 0 o 作h(θ)= f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数，h(θ)= f(θ)- g(θ)<0而h(π)= f(π)- 8(r)> 0，由连续函数的取零值定理，存在θ， 0<θ<π，使得h(θ)=0，即h(θ)= g(θ)。又由于f(θ) g(θ)=0,故 必有f(θ)= g(θ)=0,证毕。
试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页）本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以 使用计算器，但上述物品严禁相互借用。16分，每小题8分）一、简答题<本题满分得分）式，写出与§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<11、在阅卷人<2）式的差别，并解释这个差别；中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用，在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它；8分）二、简答题<本题满分16分，每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型，叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，)0?0,b?c?a?bE,(a即，请问如何达到最大经济效益？本题满分16分，每小题8分）三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中，请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力？2 分）四、<本题满分20得分219人，二年级有某中学有三个年级共1000名学生，一年级有人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办316人，三年级有465 阅卷人Q ;<2））按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额：<1值法。另外如果校级优秀学个，重新进行分配，并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分）16五、<本题满分阅
卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个层次结构图如图，已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41，比较矩阵分别为成，方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。，JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分）六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制退保）。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分）分，每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?）得4分1、答：由<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，6分将 vv0.6 ???2r?r2??r，则得<2因为）。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc，每天的平均费用是，则平均每天的生产费用为2、答：假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小，发现使，所以111dTdT12c1??TT，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 1di??s?),(1s??i，1、答：由<14若）0?dtdi1s)(t??s,?0i时，4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时，达到最大值当；
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一） 生物2020.5 本试卷共10页，共100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共30分） 本部分共15小题，每小题2分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。 1.下列有关细胞中有机物的叙述，正确的是 A. 细胞中的糖类都以单糖形式存在 B.构成蓝藻遗传物质的碱基有5种 C. 载体与激素的化学本质都是蛋白质 D.核糖体和细胞膜中都有含磷有机物 2.T2噬菌体与醋酸杆菌均 A．以DNA为遗传物质 B．通过分裂增殖 C．进行有氧呼吸 D．为原核生物 3. 柽柳属植物主要分布在我国荒漠、半荒漠地带，能在盐碱环境中正常生长，具有耐盐性。它能积累土壤中的无机盐离子，使其细胞液浓度高于土壤溶液。下列相关叙述，正确的是 A．柽柳积累土壤中无机盐离子的过程不需要消耗ATP B．柽柳耐盐性的形成与环境因素有关，与遗传因素无关 C．柽柳根细胞吸收无机盐离子和吸收水分子的方式不同 D．进入冬季气温较低时柽柳吸收无机盐的能力会有所提高 4. 某兴趣小组探究土壤湿度对植物净光合速率的影响。对照组正常浇水，实验组不浇水，结果如下图。下 列分析正确的是 A．该实验的自变量是时间，因变量是植物叶片的净光合速率 B．2—4天，实验组净光合速率下降是由叶绿素含量下降引起的 C．2—8天，实验组的植株叶片中有机物的含量仍然在增加 D．综合分析，土壤湿度对植物光合作用的暗反应没有影响 5. 肺炎双球菌有许多类型，有荚膜的有毒性，能使使小鼠患败血症而死亡，无荚膜的无毒性。科研人员所做的细菌转化实验如下图所示，下列相关说法不正确 ．．．的是
目前，全球“鼠口”大爆炸，总数已超过300亿只，是人口总数的55倍。每公顷发生鼠害的农田，一般要损失粮食1500公斤，全球每年被老鼠吃掉的粮食足可以养活两亿人口。我国人口12亿，老鼠数量将近40亿只。据世界粮农组织统汁，以一只老鼠一年吃掉9公斤粮食汁，每年给我国造成的粮食损失约200亿公斤。 1.1黑唇鼠兔、高原鼢鼠对植被的破坏中国科学院西北高原生物所（2004）估算青藏高原 草原因鼠害损失鲜草达300亿kg/年，相当于减少了2000万只藏系绵羊的载畜量。鼠类不仅消耗大量牧草，而且密集的鼠洞破坏了原有土壤结构和草原植被，导致水土流失和小气候条件恶化。使得牧业生产和珍稀动植物赖以生存的植被大面积退化。2000年对甘南州调查发现，这个地跨黄河、长江两大水系源牧业地区，约1/3草场无法放牧。其中仅黄河首曲玛曲段干流两岸草地导致沙化的面积就达4万多km2。这里高原鼢鼠的平均密度达到45～60只/hm2。草地植被覆盖度由以往的90%～95%下降至70%，野生动物大量迁移、消失，生物多样性显著下降。在黄河源头玛多县80多公里长的鼠害地段遍布鼠洞，使草场变成了“黑土滩”；其退化面积已达20万hm2，失去放牧价值。2005年中国科学院考察时记录到可可西里自然保护区黑唇鼠兔鼠洞密度达到25个/hm2，草原变成了大面积“鼠荒地”，植被退化严重。保护区内藏羚羊（Pantholops hodgsoni）、藏原羚（Procapra picticaudata）、野牦牛（Bos grunniens）、藏野驴（Equuskiang）等野生动物在核心区域面临着几乎无草可食的困境［2］。雅鲁藏布江中游包括其支流年楚河、拉萨谷地、唐古拉山、巴颜喀拉山、羌搪地区、阿里地区以及环青海湖等在短时期内实现生态修复仍是十分艰巨的任务。如平均海拔4200 m以上的四川省甘孜州石渠县，黑唇鼠兔造成的鼠害面积达到143.13 万hm2，占全县草地总面积的2/3以上。其中18 km2已变成次生裸地，即“黑土滩”。该县平均载畜量降至1.46 hm2/羊。受害严重的俄多玛乡歇武山一带的草皮层完全被破坏，该地鼠洞密度达到300～400个/hm2。蒙格村600多名藏族牧民由此成为生态灾民。 1.2 喜马拉雅旱獭型鼠疫流行隐患加重鼠疫是自然疫源性疾病，被列为甲类传染病。而青藏高原是喜马拉雅旱獭（Marmota himalayana）鼠疫疫源地之一［4］。2005年西藏仲巴县发生人间鼠疫，发病5例，其中2例死亡。喜马拉雅旱獭型鼠疫的传播途径极为复杂，不仅有旱獭本身的传播可能，而且流行病学调查表明藏羊、牧羊犬和当地野生动物都是鼠疫的主要感染途径来源。在自然条件下藏羊有舔食动物尸体和尸骨的习性。藏羊可因舔食疫獭的尸体和尸骨致使鼠疫菌经口腔黏膜的破损处侵入而感染。经口感染的实验羊鼠疫与自然羊鼠疫都引起颈部肿大，腺肿，这一结果与经口感染推理相吻合［5］。在以喜马拉雅旱獭为主要宿主的青藏高原山地鼠疫自然疫源地内，藏羊鼠疫系来自旱獭鼠疫，地面存在的染疫自毙旱獭是藏羊鼠疫发生的先决条件［6］。通常鼠疫传播有赖于媒介，但藏羊自然感染鼠疫更多为经口感染。青海省亦曾发生多起以染疫藏羊为传染源的人间鼠疫。共发病44例，死亡29例。虽比主要宿主动物喜马拉雅旱獭为低，但却高于其他非宿主动物而居第2位。在旱獭鼠疫自然疫源地内，病獭及獭尸为牧犬主要的食物来源，因此，牧犬自然感染率甚高。在青藏高原喜马拉雅旱獭鼠疫自然疫源地旱獭血清阳性率为15.6%～3 2.0%，间接血球凝集试验（IHA）最高滴度1∶ 2560；牧犬血清阳性率1 3.71 %，IHA最高滴度1∶ 640。在“八五”期间采用IHA 进行血清学调查，牧犬血清IHA阳性率为旱獭血清的3.13倍。艾鼬（Mustela eversmanni）的IHA阳性率也显著高于其他动物，旱獭的2种主要体蚤都被发现寄生于艾鼬体上。青藏铁路的开通使进藏人员总量大大增加，其中许多人不仅到各旅游景点而且深入腹地，且接触各种动植物产品甚至野生动物的频率超过以往的任何时期，由此增加了鼠疫控制的难度和流
2009《数学建模》 期末试卷 A 考 形式：开卷 考 ： 120 分 姓名： 学号： 成 ： ___ 1．（10 分）叙述数学建模的基本步 ，并 要 明每一步的基本要求。 2．（10 分） 建立不允 缺 的生 售存 模型。 生 速率 常数 k ， 售速率 常数 r ， r k 。 在每个生 周期 T 内，开始一段 （ 0 t T 0 ） 生 售，后一段 （ T 0 t T ）只 售不 生 ，存 量 q(t ) 的 化如 所示。 每次生 开工 c 1 ，每件 品 位 的存 c 2 ，以 用最小 准 确定最 周 期 T ，并 r k 和 r k 的情况。 3．（10 分） x(t ) 表示 刻 t 的人口， 试解释阻滞增长（ Logistic ）模型 dx r (1 x )x dt x m x(0) x 0 中涉及的所有 量、 参数，并用尽可能 的 言表述清楚 模型的建模思 想。 4．（ 25 分）已知 8 个城市 v 0，v 1，? ,v 7 之 有一个公路网（如 所示） ，每条公路 中的 ， 上的 数表示通 公路所需的 ． （1） 你 在城市 v 0，那么从 v 0 到其他各城市， 什么路径使所需的 最短？ （ 2）求出 的一棵最小生成 。 5．（15 分）求解如下非 性 划 : 2 2 Max z x 1 2 x 1 x 2 6．（20 分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙 . 与分析 , 两种金属成分所占的百分比之和 x 与合金的膨 系数 y 之 有一定的相关关系 . 先 了 12 次, 得数据如下表：
表 2 x i y i x i y i 试建立合金的膨胀系数y 与两种金属成分所占的百分比之和x 的模型。 7．（10 分）有 12 个苹果，其中有一个与其它的 11 个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。 《数学建模》模拟试卷（三）参考解答 1. ,作出一些必要的简化和数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的 假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模方法 一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。 机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。 测试分析是将研究对象看作一个"黑箱 "( 意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统 计分析，找出与数据拟合得最好的模型。 数学建模的一般步骤 (1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。 (2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的 主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。 (3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题 化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。 4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。 (5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。 (6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如 果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。 (7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完 善。 2. c1c2 r (k r )T c(T ) 2k，使 c(T ) 单位时间总费用T达到最小的最优周期 T *＝2c1k T *＝2c1 c2 r (k r ) 。当r k 时，c2 r，相当于不考虑生产的情况；当r k 时，T *，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。 3. t——时刻； x(t) —— t 时刻的人口数量； r——人口的固有增长率； x m——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；