第一章 绪论
1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为****
*r e x x e x x δ-=
==
而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈
进而有(ln *)x εδ≈
2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()|
|()
p xf x C f x =
又1
'()n f x nx
-= , 1
|
|n p n
x nx C n x
-?∴==
又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2
((*))0.02n
r x n ε∴≈
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*
57 1.0.x =?
解：*
1 1.1021x =是五位有效数字；
*
20.031x =是二位有效数字； *
3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **
24/x x . 其中****
1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*
4
1*3
2*1
3*3
4*1
51()1021()1021()1021()1021()10
2
x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=
?
*
*
*
124*
*
*
12443
3
3
(1)()()()()11110
10
10
22
2
1.0510
x x x x x x εεεε----++=++=?+
?+
?=?
*
*
*
123*********
1232311321
4
3
(2)()
()()()1111.10210.03110
0.031385.610
1.1021385.610
2
2
2
0.215
x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+??
?+??
?≈ *
*
24*
*
*
*
24422
*4
3
3
5
(3)(/)()()
110.03110
56.43010
2
2
56.43056.430
10
x x x x x x x εεε---+≈
??+?
?=?=
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为3
43
V R π=
则何种函数的条件数为
2
3
'4343
p R V R R C V
R
ππ=
==
(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=
又(*)1r V ε=
故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333
r R ε=?≈
6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-
（n=1,2,…）
计算到100Y 。若取27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？
解：1n n Y Y -=-
10099Y Y ∴=-
9998Y Y =-
9897Y Y =-
……
10Y Y =-
依次代入后，有1000100Y Y =-?
即1000Y Y =-
，
若取27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-
*
3
10001()()(27.982)10
2
Y Y εεε-∴=+=
?
100Y ∴的误差限为
3
110
2
-?。
7．求方程2
5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。
解：2
5610x x -+=，
故方程的根应为1,228x =±
故 1282827.98255.982x =+
≈+=
1x ∴具有5位有效数字
2111280.0178632827.982
55.982
x =-
=
≈
=
≈+
2x 具有5位有效数字
8．当N 充分大时，怎样求12
11N N
dx x
++?
？
解
12
1arctan(1)arctan 1N N
dx N N x
+=+-+?
设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=
12
2
11arctan(tan())tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan
1
N N
dx
x
N N N N
N N αβ
αβαβαβ++=-=--=++-=++=++?
9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x =
(*)2*(*)A A x εε∴= .
当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则2
1(*)10
2x ε-≤
?
故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2
1cm 10．设2
12S gt =
，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的
绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：2
1,02
S gt t =
>
2(*)(*)S g t t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加
2
*
2
*
(*)
(*)*
(*)1()
2(*)
2
r S S S gt t g t t t
εεεε=
=
=
当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。 11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),
若0 1.41y =
≈（三位有效数字）
，计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：0 1.41y =
≈
2
01(*)10
2y ε-∴=
?
又1101n n y y -=- 10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又21101y y =- 21(*)10(*)y y εε∴=
2
20(*)10(*)......
y y εε∴=
10
100102
8
(*)10(*)
11010
2
110
2y y εε-∴==??=?
计算到10y 时误差为
8
1102
?，这个计算过程不稳定。
12
．计算6
1)f =
，取≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
3
(3-,
，
99-
解：设6
(1)y x =-，
若x =
*
1.4x =，则*
1
1102
x -ε()=
?。
y 值，则
*
*
*
7
**
*
7
**
1(1)
6(1)
y x x y x x y x ε()=--6?ε()
+ =
ε()
+ =2.53ε()
若通过3(3-计算y 值，则
*
*
2
*
**
*
*
*
(32)632y x x y x x
y x ε()=-3?2?-ε() =
ε()
- =30ε()
计算y 值，则
*
*
*
4
*
*
*7
*
*1(32)1
(32)
y x x y x x y x ε()=--3?ε()
+ =6?
ε()+ =1.0345ε()
通过
计算后得到的结果最好。
13
．()ln(f x x =-,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多
大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x -=-+
计算，求对数时误差有多大？ 解
()ln(f x x =-
, (30)ln (30)f ∴=-
设(30)u y f =
=
则*
u =29.9833
*
4
12
u -∴ε()=
?10
故
*
*
*
*
3
1
0.0167
y u u u -1ε()≈-
ε()
30- =
ε()
≈3?10
若改用等价公式
ln(ln(x x -
=-+
则(30)ln(30f =-+
此时，
*
*
*
*
7
159.9833
y u u
u -1ε()=∣-∣ε()
30+ =
?ε() ≈8?10
第二章 插值法
1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：
0120121200102021101201220211,1,2,
()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2
()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)
()()
3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=
=-+--
则二次拉格朗日插值多项式为
2
20
()()k k k L x y l x ==
∑
022
3()4()
14(1)(2)(1)(1)2
3
5376
2
3
l x l x x x x x x x =-+=-
--+
-+=+
-
2．给出()ln f x x =的数值表
用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。 解：由表格知，
01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144
x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-
若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
21121221
11122()10(0.6)()10(0.5)
()()()()()
x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=
=---=+
6.93147(0.6)5.10826
(x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-
若采用二次插值法计算ln 0.54时，
1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)
()()
()()()()()()()
x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=
=----=++
500.916291(
0.5)(
0.6)
69.3147(
0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5
x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.61531984
0.615320
L ∴=-
≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤
的函数表，步长1(1/60),h '==
若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当090x ≤≤ 时， 令()cos f x x = 取0110,(
)6060
180
10800
x h π
π
===
?
=
令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π
=
=
当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为
1111
1()()
()
k k k k k k k k
x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--
插值余项为
111()cos ()()()()2
k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=
--
又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。
*
5
*
*
11211
1*
111
1*
1*1(())10
2
()(())
(())
(())()1(())()
(())
k k k k k k k k k
k k k k k k k
k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h
f x εεεεεε-++++++++++∴=
?--=+----≤+
--=-+-=
∴总误差界为
12*
1*
12
*
85
5
()()1(cos )()()(())21()()(())211()(())
2
2
11.061010
2
0.5010610
k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=---+≤?--+≤?+=?+
?=?
4．设为互异节点，求证：
（1）0()n
k k
j j j x l x x =≡∑ (0,1,,)
k n = （2）0
()()0n
k
j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,)
k n = 证明
（1） 令()k f x x =
若插值节点为,0,1,,j x j n = ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0
()()n
k
n j
j j L x x
l x ==
∑。
插值余项为(1)
1()
()()()()(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+
又,k n ≤
(1)
()0
()0
n n f
R x ξ+∴=∴=
0()n
k
k
j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,)
k n = 000
(2)()()
(()
)()()
(())
n
k
j j j n
n
j
i k i
k
j j j i n
n
i k i
i
k
j j i j x x l x C
x x l x C
x x l x =-==-==-=
-=
-∑∑∑∑∑
0i n ≤≤ 又 由上题结论可知
()n
k i
j j
j x
l x x ==∑
()
()0n
i k i
i
k
i k
C
x x
x x -=∴=-=-=∑原式
∴得证。
5设[]2
(),f x C
a b ∈且
()()0,f a f b ==求证：
2
1m ax ()()m ax ().8
a x b
a x b
f x b a f x ≤≤≤≤''≤
-
解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为
10101010
()()
()
x x x x L x f x f x x x x x --=+--
=()()
x b x a f a f b a b
x a
--=+--
1()()0()0
f a f b L x ==∴= 又
插值余项为1011()()()()()()2
R x f x L x f x x x x x ''=-=
--
011()()()()2
f x f x x x x x ''∴=
--
[]012
012
102()()1()()21()41()
4
x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????=-=- 又
∴2
1m ax ()()m ax ().8
a x b
a x b
f x b a f x ≤≤≤≤''≤
-
6．在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x
e 的近似值，要使
截断误差不超过6
10-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为
2111()()()()()3!
i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=
--- 21144
1()()()()m ax ()6
i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤
---
设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+
4
3
43
21().6
27
R x e e h ∴≤
=
若截断误差不超过610-，则
6
24
3
6
()1010
27
0.0065.
R x h h --≤∴
≤∴≤
7．若442,.n n n n y y y δ=?求及，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
2n
n y =
4
4
(1)n n y E y ?=-
4
404404
404
4(1)4(1)4(1)2(21)2
j
j
n
j j n j j j
j
n
j n n n
E y j y j y j y y -=+-=-=??=- ???
??=
- ???
??=-? ???=-==∑∑∑ 1
14
4
22
()n n y E E
y δ-
=-
14
4
2
2
4
22
()(1)2
n
n
n n E
E y E y y ----=-=?==
8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ?=+-，证明()f x 的k 阶差分
()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式，并且1
()0m f x +?=（l 为正整数）
。 解：函数()f x 的Taylor 展式为
2
()
(1)
1
111()()()()()()2
!
(1)!
m m
m m f x h f x f x h f x h f
x h f
h
m m ξ++'''+=++++
+
+
其中(,)x x h ξ∈+
又()f x 是次数为m 的多项式
(1)
()0
()()()
m f
f x f x h f x ξ+∴=∴?=+-
2
()11()()()2
!
m
m
f x h f x h f
x h m '''=+
++
()f x ∴?为1m -阶多项式 2
()(())f x f x ?=??
2
()f x ∴?为2m -阶多项式 依此过程递推，得()k f x ?是m k -次多项式
()m
f x ∴?是常数
∴当l 为正整数时， 1
()0m f x +?
=
9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+? 证明
11()k k k k k k f g f g f g ++?=-
111111111()()k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k
f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?
∴得证
10．证明1
1
0010
n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑
证明：由上题结论可知
1()k k k k k k f g f g g f +?=?-?
1
01
101
1
1
(())()n k k
k n k
k k k k n n k
k k k
k k f g f
g g f f
g g
f -=-+=--+==∴?=?-?=
?-
?∑∑∑∑
111
110022111100
()()
()()()k k k k k k
n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴?=-+-++-=-∑
1
1
0010
n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴?=--?∑∑
得证。
11．证明1
2
00
n j n j y y y -=?=?-?∑
证明1
1
2
1
()n n j j j j j y y
y --+==?=
?-?∑∑
10211
()()()
n n n y y y y y y y y -
=?-?+?-?++?-?=?-?
得证。
12．若1011()n n
n n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ，
证明：11
00,02;(),1k
n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑
证明： ()f x 有个不同实根12,,,n x x x
且1011()n n
n n f x a a x a x a x --=++++
12()()()()n n f x a x x x x x x ∴=---
令12()()()()n n x x x x x x x ω=---
则1
1
()
()k
k
n
n
j
j
j j j n
n
j
x x f x a x
ω===
''∑
∑
而2313()()()()()()()n
n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+--- 121()()()
n x x x x x x -++--- 1211()()()()()()n
j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=----- 令(),k g x x =
[]121
,,,()
k
n
j
n j n j
x g x x x x
ω==
'∑
则[]121
,,,()
k
n
j
n j n
j
x g x x x x
ω==
'∑
又[]1211,,,()k
n
j
n j j n
x g x x x f x a =∴=
'∑
11
00,02;
(),1
k
n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑
∴得证。
13．证明n 阶均差有下列性质：
（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,,,,,;n n F x x x cf x x x =
（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+ 证明：
（1）[]120
011()
,,,()()()()
j
n
n j j
j j j j j n f x f x x x x
x x x x x x x =-+=
----∑
[]120011()
,,,()()()()
j
n
n j j
j j j j j n F x F x x x x
x x x x x x x =-+=
----∑
011
()
()()()()j
n
j j
j j j j j n cf x x
x x x x x x x =-+=
----∑
011
()
()()()()()j
n
j j j j j j j n f x c x x x x x x x x =-+=----∑
[]01,,,n cf x x x =
∴得证。
(2)()()()F x f x g x =+
[]00011()
,,()()()()
j
n
n j j
j j j j j n F x F x x x
x x x x x x x =-+∴=
----∑
0011()(
)
()()()()
j
j
n
j j
j j j
j j n
f x
g x x
x x x x x x x =-++=
----∑
0011
()
)()()()()j
n
j j
j j j j j n f x x
x x x x x x x =-+=
----∑
+0
011()
)()()()()
j
n
j j j j j j j n g x x x x x x x x x =-+----∑
[][]00,,,,n n f x x g x x =+
∴得证。
14．74()31,f x x x x =+++求017
2,2,,2F ???? 及0182,2,,2F ????
。 解： 74()31f x x x x =+++
若2,0,1,,8i
i x i ==
则[]()
01()
,,,!n n f
f x x x n ξ=
[](7)
017()
7!,,,17!
7!
f
f x x x ξ∴=
=
=
[](8)
018()
,,,08!
f f x x x ξ=
=
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)
2
2
31
1()()()()/4!,
(,)
k
k k
k R x f
x
x x
x
x x ξξ++=--∈
解：
若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件
33
()(),()()k k k k H x f x H x f x ''== 3113
11()(),()()k k k k H x f x H x f x ++++''== 插值余项为3()()()R x f x H x =- 由插值条件可知1()()0k k R x R x +==
且1()()0k k R x R x +''==
()R x ∴可写成2
2
1()()()()k k R x g x x x x x +=--
其中()g x 是关于x 的待定函数，
现把x 看成1[,]k k x x +上的一个固定点，作函数 2
2
31()()()()()()k k t f t H t g x t x t x ?+=----
根据余项性质，有 1()0,()0k k x x ??+==
22
313()()()()()()()()()0
k k x f x H x g x x x x x f x H x R x ?+=----=--=
22
3
11()()()()[2()()2()()]k k k k t f t H t g x t x t x t x t x ?++'''=----+-- ()0k x ?'∴=
1()0k x ?+'=
由罗尔定理可知，存在(,)k x x ξ∈和1(,)k x x ξ+∈，使 12()0,()0?ξ?ξ''==
即()x ?'在1[,]k k x x +上有四个互异零点。
根据罗尔定理，()t ?''在()t ?'的两个零点间至少有一个零点， 故()t ?''在1(,)k k x x +内至少有三个互异零点， 依此类推，(4)
()t ?
在1(,)k k x x +内至少有一个零点。
记为1(,)k k x x ξ+∈使 (4)
(4)
(4)
3
()()()4!()0f
H g x ?
ξξξ=--=
又(4)
3()0H t =
(4)
1()
(),(,)4!
k k f
g x x x ξξ+∴=
∈
其中ξ依赖于x
(4)
22
1()
()()()4!
k k f
R x x x x x ξ+∴=
--
分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,,)k x k n = ，设步长为h ，即
0,0,1,,k x x kh k n =+= 在小区间1[,]k k x x +上
(4)
22
1(4)
2
2
1()
()()()
4!1()()()()
4!
k k k k f
R x x x x x R x f
x x x x ξξ++=
--∴=
--
22(4)
12
2
(4)
14(4)
4
4
(4)
1()()m a x
()
4!1[()]m ax ()
4!211m ax ()
4!2
m ax ()
384
k k a x b k k a x b
a x
b a x b
x x x x f x x x x x
f
x h f
x h
f
x +≤≤+≤≤≤≤≤≤≤---+-≤
=?
=
16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足
(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式 0101010,10,10,1
x x y y m m ====== 1
1
30
2
01001
01
2
()()()()(12
)(
)
(12)(1)
j j j
j j j H x y x m
x x x x x x x x x x x x αβα===
+--=---=+-∑
∑
2
10110
10
2
()(12)(
)
(32)x x x x x x x x x x x
α--=---=-
2
02
1()(1)()(1)x x x x x x
ββ=-=-
2232
3()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+
设22301()()()()P x H x A x x x x =+-- 其中，A 为待定常数
3
2
2
2
(2)1
()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-
14
A ∴=
从而2
2
1()(3)4
P x x x =
-
17．设2
()/(1)f x x
=+，在55x -≤≤上取10n =，按等距节点求分段线性插值函数()h I x ，
计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 值，并估计误差。 解：
若0105,5x x =-= 则步长1,h =
0,0,1,,10i x x ih i =+= 2
1()1f x x
=
+
在小区间1[,]i i x x +上，分段线性插值函数为
111
1()()()i i h i i i i i i x x x x I x f x f x x x x x ++++--=
+
--
12
2
1
11()
()
11i i i
i x x x x x x ++=-+-++
各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值为 当 4.5x =±时，()0.0471,()0.0486h f x I x == 当 3.5x =±时，()0.0755,()0.0794h f x I x == 当 2.5x =±时，()0.1379,()0.1500h f x I x == 当 1.5x =±时，()0.3077,()0.3500h f x I x == 当0.5x =±时，()0.8000,()0.7500h f x I x ==
误差
1
2
55
max ()()max ()8
i i h x x x x h
f x I x f ξ+≤≤-≤≤''-≤
又2
1()1f x x
=+ 2
2
2
2
33
2
4
2(),
(1)
62()(1)
2424()(1)
x f x x x f x x x x f x x -'∴=+-''=+-'''=
+
令()0f x '''=
得()f x ''的驻点为1,21x =±和30x =
1,2355
1(),()2
2
1m ax ()()4
h x f x f x f x I x -≤≤''''==-∴-≤
18．求2()f x x =在[,]a b 上分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。 解：
在区间[,]a b 上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-
01
2
m ax ()i
i n h h f x x
≤≤-==
∴函数()f x 在小区间1[,]i i x x +上分段线性插值函数为 111
12
2
11()()()
1[()()]
i i h i i i i i i
i i i i i
x x x x I x f x f x x x x x x x x x x x h ++++++--=+
--=-+-
误差为
第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end
z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为
011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设 则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-，
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ
500 .0105.0102.0||3412≈*?
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数
字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案
第二章习题解答 1. ( 1) R n Xn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。 (2)R n Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是 封闭的。 -1 设A是nXn的正交矩阵。证明A也是nXn的正交矩阵。 证明：⑴证明：A为上三角阵，B为上三角阵，A, B R n n a ij 0(i j ), b ij 0(i j) n C AB 则G j a ik b kj, C j 0(i j) k1 上三角阵对矩阵乘法封闭。 以下证明：A为正交矩阵，B为正交矩阵，A,B R n n AA T A T A E,BB T B T B E (AB)((AB)T) ABB T A T E,( AB)T(AB) B T A T AB E AB为正交矩阵，故正交矩阵对矩阵乘法封闭。 (2) A是nXn的正交矩阵 A A-1 =A-1A=E 故(A-1) -1 =A A-1(A1) -1= (A-1) -1A-1 =E 故A-1也是nXn 的正交矩阵。 设A是非奇异的对称阵，证A也是非奇异的对称阵。 A非奇异.A可逆且A-1非奇异 又A T=A .( A-1)T=( A T)-1=A-1 故A-1也是非奇异的对称阵 设 A 是单位上(下)三角阵。证A-1也是单位上(下)三角阵。 -1 证明：A是单位上三角阵，故|A|=1 ，.A可逆，即A存在，记为(b ij ) n Xn n 由 A A =E，则a j b jk ik (其中a ij 0 j >i 时，1) j1 故b nn=1, b ni=0 (n 丰 j) 类似可得，b ii =1 (j=1 …n) b jk=0 (k > j) 即A-1是单位上三角阵 综上所述可得。F t Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组Ax=0 的基础解 系。 1 21 41 A= 0 11 00