第十一章 静电场
例题答案：
11—1. B ； 11—2. B ； 11—3. B 11—4.
()
3
02
2
0824R
qd d R R
qd
εεπ≈
-ππ；从O 点指向缺口中心点
11—5.
/ελd ；
()2
2
04d
R d
-πελ ；沿矢径OP
11—6. D
11—7.
2εσ
向右 ;
23εσ 向右
11—8. (见书上)
11—9. D ； 11—10. C ； 11—11. C 11—12. 45 V —15 V 11—13-14. (见书上) 11—15. 无答案 练习题答案：
11—1. 证明：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．
带电直杆的电荷线密度为λ=q /L ，
在x 处取一电荷元d q =λd x = q d x /L ， （2分） 它在P 点的场强： ()
2
04d d x d L q
E -+π=
ε()
2
04d x d L L x
q -+π=
ε
总场强为：?+π=
L
x d L x
L
q E 0
2
0)
(d 4－ε()
d L d q
+π=
04ε
11—2. Q / ε0， 0
11—3. －σ / (2ε0)， 3σ / (2ε0) 11—4. B
11—5. 解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷d q =λ0 (x －a )d x
它在O 点产生的电势 ()x
x
a x U 004d d ελπ-=
O 点总电势：
?
?
????-π==???++l a a l
a a x x a x dU U d d 400
ελ??
????
+-π=a l a a l ln 400ελ
d E
O
11—6. 解：在圆盘上取一半径为r →r ＋d r 范围的同心圆环．其面积为 d S =2πr d r
其上电荷为 d q =2πσr d r 它在O 点产生的电势为 0
02d 4d d εσεr
r
q U =
π=
总电势 0
2d 2d εσεσ
R
r U U R
S
=
=
=
?
?
11—7. 解：设导线上的电荷线密度为λ，与导线同轴作单位长度的、半径为r 的(导线半径R 1＜r ＜圆筒半径R 2)高斯圆柱面，则按高斯定理有 2πrE =λ / ε0
得到 E = λ / (2πε0r ) (R 1＜r ＜R 2 ) 方向沿半径指向圆筒． 导线与圆筒之间的电势差 ?
?
?π=
=
2
1
2
1
d 2d 0
12R R R R r
r r E U ελ
1
20
ln
2R R ελπ=
则 ()
1212/ln R R r U E =
代入数值，则：
(1) 导线表面处 ()
12112
1/ln R R R U E =
＝2.54 3106 V/m
(2) 圆筒内表面处 ()
12212
2/ln R R R U E =
＝1.703104 V/m
11—8. 解：设小球滑到B 点时相对地的速度为v ，槽相对地的速度为V ．小球从A →B 过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒 m v ＋MV ＝0 ①
对该系统，由动能定理 mgR －EqR ＝
2
1m v 2＋
2
1MV 2 ②
①、②两式联立解出 ()
()m M m qE mg MR +-=
2v 方向水平向右．
()
()
m M M qE mg mR M
m V +--
=-=2v 方向水平向左．
11—9. 解：设无穷远处为电势零点，则A 、B 两点电势分别为 0
2
2
432ελελ=
+=R
R R U
A
2
2
682ελελ=
+=R
R R U
B
q 由A 点运动到B 点电场力作功
()00
01264ελ
ελ
ελq q U U
q A B A
=
???
? ??-=-=
注：也可以先求轴线上一点场强，用场强线积分计算．
11—10. 解： (1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即
???? ??+π=221100
41
r q r q U ε???? ?
?π-ππ=2
2
21210
4441r r r r σσε()210
r r +=εσ
2
100r r U +=
εσ＝8.85310-9 C / m 2
(2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有 ()210
1
r r U σσε'+='= 0
即 σσ2
1r r -='
外球面上应变成带负电，共应放掉电荷 ()???
? ?
?
+
π='-π='212
22
2144r r r r q σσσ ()20021244r U r r r εσπ=+π=＝6.67310-
9 C
第十二章 导体电学
例题答案： 12—1. D 12—2. C 12—3. (C)没答案
12—4. –q ， 球壳外的整个空间
12—5.
)(2
1B A q q -， S
d q q B A 02)
(ε-
12—6. C Fd /2， FdC 2
12－7. C
12－8-9. (见书上) 练习题答案：
12—1. C=712Uf （没过程）
12—2 解：三块无限大平行导体板，作高斯面如图，知：E 1=σ1 / ε0，E 2=σ2 / ε0
∴左边两极板电势差U 1=σ1d 1 / ε0，
右边两极板电势差U 2=E 2d 2=σ2d 2 / ε0，而U 1=U 2，则σ1 / σ2= d 2 / d 1。
12—3. D 12—4. C
12—5. 证明：在导体壳内部作一包围B 的内表面的闭合面,如图．设B 内表面上带电荷Q 2′，
按高斯定理，因导体内部场强E 处处为零，故
0/)(d 02
1='+=?
?εQ Q S E S
∴ 12
Q Q -='
习题12-2图
根据电荷守恒定律，设B 外表面带电荷为2
Q ''，则 222Q Q Q =''+' 由此可得 21222
Q Q Q Q Q +='-='' 第十三章 电介质
例题答案： 13—1. B 13—2. （B ） 13—3. （C ） 13—4. ε r ， ε r 13—5. (见书上) 13—6. C 练习题答案： 13—1 e RE U
/0max
= = 147 kV
[解]：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布 为 )2/(r E ελπ=
设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为 2E r d d R R
r
r
r r
λ
ε=
=
π???U 0
ln
2r R ε
λπ=
电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有
002E r ελπ=
00ln
r R E r U =
适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令
0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U
得 e R r /0= 显然有
2
2
d d r U < 0， 故当
e R r /0= 时电容器可承受最高的电压
e RE U
/0max
= = 147 kV
13—2 r W W ε/0=
[解]：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量D 保持不变，
又 r
r r
w D D
DE w εεεεε0
2
00
2
021
1212
1=
=
=
=
因为介质均匀，∴电场总能量 r W W ε/0=
13—3[解]：设某瞬时球上带电q ，电势为u ，将dq 自∝处移至球面，外力做功等于的电势能增量dw ，即dw=udq 。球上电量由q=0→Q ，外力作的总功为球末态的电势能(即球带电Q 的总静电能)。所以W==??Q
0dq u =
??πεQ
dq R
4q =
R
8Q
2
πε。
13—4（1）U=1000V ，e W = 5?10-6J （2）?W e = 5.0?10-6J
由于把带电的两面三刀极板拉开时外力需克服电场力作功，这部分外力所作的功就转化为电场能量了
4. [解] (1)电容器充电后断开电源，则极板上所带的电量不变。故极板间的电势差和电场能量分别为C
Q U =＝
12
8
10
10100.1--??=1000V ，()
=???=
=
--12
282
e 10
102100.1C
2Q
W 5?10-6J 。
(2)设极板原间距为d ，增大为2d 时，相应的电容量要变小，其值为C '=ε0S /2d=C /2。而此时极板所带电量仍然不变。电场总能量改变为W 'e =Q 2 / 2C '= Q 2 / C
()=??=
--12
2
810
10100.1 1.0?10-5J ，电场能量的增加量为?W e = W 'e –W e =5.0?10-6J ，由于把带电的两面三刀极板拉开时，外力需克
服电场力作功，这部分外力所作的功就转化为电场能量了。 13—5 V max =???? ??-2121b r 1r 1r E e W =2b 2131r 0E r r 1r 2???? ?
?
-επε。 [解](1)设该球形电容器带有电量，则两球壳间场强分布为02
r 0r r
4q E
επε=
r 1≤r ≤r 2
由此可知，当r 趋近于r 1时，场强值增大。要使电容器不被击穿，E 2 1 r 0r 4q επε 得： r 02 1b 4q r E επε= ，两球间所允许的最大电势差为：V max =??r d E =dr r 4q 2 1 1r r 2 r 0? επε==??dr r 1r E 2 1 r r 2 2 1b ???? ??-21 21b r 1r 1r E 。 (2)方法一：在r 1≤r ≤r 2内取半径r 厚度dr 的薄层壳内电能密度w e =2 1 εE 2= 4 4 12b r 2r E ε均匀分布在薄层中，此薄球壳能量， dW=4πr 2dr ? w e ，电容器能贮存的最大静电能为 W e =dV E 2 12 ε?=dr r 4r 4q 21 2 1 r r 22 2r 0r 0? π??? ? ??επεεε=2b 2131r 0E r r 1r 2???? ??-επε。 方法二：此电容C= 1 221r r r r 4-πε，∴W e = C 2q 2 = 211 2r r 8r r πε-(E b 4πεr 12)2=2b 2131r 0E r r 1r 2???? ? ? -επε 第十四章 例题答案： 例14-1：解：令1B 、2B 、acb B 和ab B 分别代表长直导线1、2和三角形框ac 、cb 边和ab 边中的电流在O 点产生的磁感强度．则 ab acb B B B B B +++=21 1B ：由于O 点在导线1的延长线上，所以1B = 0． 2B ：由毕－萨定律)60sin 90(sin 402?-?π= d I B μ 式中 6/330tan 2 1l l Oe d =??= = )23 1(34602- ?π= l I B μ)332(40-π= l I μ 方向：垂直纸面向里． acb B 和ab B ：由于ab 和acb 并联，有 a c b a c b ab ab R I R I ?=? 又由于电阻在三角框上均匀分布，有 2 1=+= cb ac ab R R acb ab ∴ acb ab I I 2= 由毕奥－萨伐尔定律，有ab acb B B =且方向相反． ∴ )332(402-π= =l I B B μ，B 的方向垂直纸面向里． 例14-2：解：利用无限长载流直导线的公式求解． (1) 取离P 点为x 宽度为d x 的无限长载流细条，它的电流 x i d d δ= (2) 这载流长条在P 点产生的磁感应强度 x i B π= 2d d 0μx x π= 2d 0δμ 方向垂直纸面向里． (3) 所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在P 点产生的磁感强度 = = ?B B d ? +πb a b x dx x 20δ μb b a x +π= ln 20δ μ 方向垂直纸面向里． 例14-3：解： λωR I =， 2 /32 2 3 0) (2y R R B B y += =λω μ。 B 的方向与y 轴正向一致． 例14-4：解：由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R 1的载流半圆弧在O 点产生的磁感强度为B 1，则 1 014R I B μ= 。 同 理， 2 024R I B μ= ∵ 21R R > ∴ 21B B < 故磁感强度 12B B B -= 2 04R I μ= 1 04R I μ- 2 06R I μ= ∴ 213R R = 例14-5： C 例14-6： 环路L 所包围的所有稳恒电流的代数和 环路L 上的磁感强度 例14-7：证明：由安培定律 B l I f ?=d d ，ab 整曲线所受安培力为 ? ??==b a B l I f f d d 因整条导线中I 是一定的量，磁场又是均匀的，可以把I 和B 提到积分号之外，即 ??= b a B l I f d B l I b a ?=?)d (B ab I ?= ，载流相同、起点与终点一样的曲导线和直导线，处在均匀磁场中，所受安培力一样． 例14-8：答：第一说法对，第二说法不对． ∵ 围绕导线的积分路径只要是闭合的，不管在不在同一平面内，也不管是否是圆，安培环路定理都成立． 例14-9：解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i ， σωσωR R i =ππ=)2/(2 作矩形有向闭合环路如右图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点错误！不能通过编辑域代码创建对象。的大小和方向均相同，而且错误！不能通过编辑域代码创建对象。的方向平行于错误！不能通过编辑域代码创建对象。，在错误！不能通过编辑域代码创建对象。和错误！不能通过编辑域代码创建对象。上各点错误！不能通过编辑域代码创建对象。的方向与线元垂直，在错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。上各点错误！不能通过编辑域代码创建对象。． 应用安培环路定理 ∑? ?=I l B 0d μ 可得 ab i ab B 0μ= σωμμR i B 00== 圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为σωμR B 0=，方向平行于轴线朝右． 例14-10：A ； 例14-11：D ； 例14-12：D ； 例14-13： 有关 无关 习题答案： 14-1：C ； 14-2： l I π430μ 垂直纸面向； 14-3：D 14-4：解：带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在O 点的叠加． 某一半径为ρ 的圆环的磁场为 )2/(d d 0ρμi B = 而 ρσωρωρρσd )]2/([d 2d =π?π=i ∴ ρ σωμρρσωρμd 2 1)2/(d d 00= =B 正电部分产生的磁感强度为 r B r 2 d 2 000σω μρσω μ= = ? + 负电部分产生的磁感强度为 )(2 d 2 00r R B R r -= = ? -σωμρσωμ 今 -+=B B ∴ r R 2= 14-5：0 2I 0μ； 14-6：)2/(2 10R rI πμ 0； 14-7：D ；14-8：1∶2 1∶2 14-9：解：建立坐标系，应用安培环路定理，左边电流产生的磁感应强度 x 2I B 01πμ= ； 方向向里 右边电流产生的磁感应强度 ) x a 3(2I B 02-πμ= ； 方向向外 应用磁场叠加原理可得磁场分布为， ) 3(2200x a I x I B -π+ π= μμ )2 52 ( a x a ≤ ≤ B 的方向垂直x 轴及图面向里． 14-10：B ； 14-11：D ； 14-12：C ； 14-13：C ； 14-14：B ； 14-15：B 14-16： 第十五章 例题答案： 例15-1：B ； 例15-2：D 例15-3：答：不能． 因为它并不是真正在磁介质表面流动的传导电流，而是由分子电流叠加而成，只是在产生磁场这一点上与传导电流相似． 习题答案： 15-1：C ； 15-2： I / (2πr ) μI / (2πr ) 15-3：铁磁质 顺磁质 15-4：矫顽力小 容易退磁 15-5：B 第十六章 例题答案： 例16-1：B 例16-2：解：长直带电线运动相当于电流λ?=)(t I v ． （2分） 正方形线圈内的磁通量可如下求出 x a x a I d 2d 0 +? π = μΦ 2ln 2d 200 ?π=+π=?Ia x a x Ia a μμΦ 2ln t d I d 2a t d d 0i πμ= - =εΦ2ln t d )t (d a 20v λπ μ= 2ln t d )t (d a R 2R )t (i 0i v λπμ= ε= 例16-3：解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流π ? 2ω L Q ，它和通电流螺线管的nI 等效． 按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为： L Q B π= 20ω μ (方向沿筒的轴向) 筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为： L a Q B a 22 02 ωμΦ= π= 在单匝线圈中产生感生电动势为 = Φ- =εt d d )d d (22 0t L Qa ωμ- 2 02Lt Qa ωμ= 感应电流i 为0 02 0RLt 2Qa R i ωμ= ε= i 的流向与圆筒转向一致． 例16-4：a l a t Ig +π - ln 20μ N 例16-5：解：带电平面圆环的旋转相当于圆环中通有电流I ．在R 1与R 2之间取半径为R 、宽度为d R 的环带，环带内有电流 R t R I d )(d ωσ= d I 在圆心O 点处产生的磁场 R t R I B d )(2 1/.d 2 1d 00σωμμ= = 在中心产生的磁感应强度的大小为 ))((2 1120R R t B -= σωμ 选逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中 2 120))((2 1r R R t π-≈ σωμΦ t t R R r t i d )(d )(2 d d 122 0ωσ μΦε-π- =- = t t R R R r R i i d )(d 2)(π122 0ωσ με? ' -- =' = 方向：当d ω (t ) /d t >0时，i 与选定的正方向相反；否则 i 与选定的正方向相同． 例16-6：解：在距O 点为l 处的d l 线元中的动生电动势为 d ε l B d )(? ?=v θωs i n l =v ∴?? ?απ=?=εL v v d cos )2 1sin( B d )B (L ??θω=θω= Λ θL 2 d sin B sin d sin lB θω2 2sin 2 1BL = ε 的方向沿着杆指向上端． 例16-7：D ； 例16-8：D 例16-9：解：(1) 无限长载流直导线在与其相距为r 处产生的磁感强度为：)2/(0r I B π=μ 以顺时针为线圈回路的正方向，与线圈相距较远和较近的导线在线圈中产生的磁通量为： 2 3ln 2d 203201π = π? = ?Id r r I d d d μμΦ 2ln 2d 20202π - =π? -= ?Id r r I d d d μμΦ 总磁通量 3 4ln 2021π- =+=Id μΦΦΦ 感应电动势为： 3 4 ln 2d d )34(ln 2d d 00αμμεπ=π = - =d t I d t Φ 由ε >0，所以ε 的绕向为顺时针方向，线圈中的感应电流亦是顺时针方向． 例16-10：D ； 例16-11：C 习题解答 16-1：D 16-2：解：螺线管中的磁感强度 ni B 0μ=， 通过圆线圈的磁通量 i R n 2 0π=μΦ． 取圆线圈中感生电动势的正向与螺线管中电流正向相同，有 t d i d R n t d d 2 0i πμ-=Φ- =ε． 在0 < t < T / 4内， T I T I t i m m 44 /d d = = ， 2 0i R n πμ-=εT I m 4= T I nR m /42 0μπ-= 在T / 4 < t < 3T / 4内， T I T I t i m m 42 /2d d - =- =， =εi T /I nR 4m 2 0μπ． 在3T / 4 < t < T 内， T I T I t i m m 44 /d d = = ， =εi T I nR m /42 0μπ-． ε ─t 曲线如图16-2． 16-3：C 16-4：解：建立如图16-4所示坐标系， x 处磁感应强度x 2I B 0πμ= ；方向向里 在x 处取微元，高l 宽dx ，微元中的磁通量： dx x 2I B ydx S d B d 0 πμ==?=Φ 磁通量：???πμ= =S 0x d r 2I S d B )t ( Φ? ++π μ= t b t a 0x x d 2I v v t a t b ln 2I 0v v ++μ= π 感应电动势ab 2) a b (I t d d 00 t π-μ= - =ε=v Φ 方向：顺时针 16-5：解： n =1000 (匝/m) nI B 0μ= nI a B a 02 2 μΦ=?= t I n Na t N d d d d 02 με-=Φ-==π2310-1 sin 100 πt (SI) ==R I m m /επ2310-1 A = 0.987 A 16-6：ADCBA 绕向 ADCBA 绕向 16-7：1.11310-5 V A 端 16-8：解：建立坐标(如图16-8)则： 21B B B += x I B π= 201μ， ) (202a x I B -π= μ x I a x I B π- -π= 2) (200μμ， B 方向⊙ d εx x a x I x B d )11 ( 2d 0--π = =v v μ εi t T /4 3T /4 T /2 T O 16-2图 16-4图 2a x +d x 2a +b I I C D v x O x 16-8图 ?? - -π μ=ε= ε+x d )x 1a x 1( 2I d b a 202a v b a b a I ++π = 2)(2ln 20v μ 感应电动势方向为C →D ，D 端电势较高． 16-9：B ； 16-10：D 16-11：证明：建立如图16-11所示坐标，设电流为I ， 则在两长直导线的平面上两线之间的区域中B 的分布为 r I B π= 20μ) (20r d I -π+ μ 穿过单位长的一对导线所围面积（如图中阴影所示）的磁通 为 == ? ?S S B d Φr r d r I a d a d )11( 20 ? --+ π μa a d I -π = ln 0 μ a a d I L -π = = ln μΦ 16-12：0.400 H 28.8J 16-13：C ； 16-14：C 第十八章 17-1：垂直 相同 【例题精选】 例18－1：【解】(1) ?x ＝20 D λ / a ＝0.11 m (2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足 (n －1)e ＋r 1＝r 2 设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，则应有r 2－r 1＝k λ 所以 (n －1)e = k λ k ＝(n －1) e / λ＝6.96≈7 零级明纹移到原第7级明纹处 例18－2：变小、变小 例18－3：C 例18－4：B 例18－5：C 例18－6：【解】(1) 明环半径 ()2/12λ?-= R k r ()R k r 1222 -= λ＝5310- 5 cm (或500 nm) (2) (2k －1)＝2 r 2 / (R λ) 对于r ＝1.00 cm ， k ＝r 2 / (R λ)＋0.5＝50.5 故在OA 范围内可观察到的明环数目为50个． 【练习题】 16-11图 18－1： 上 (n -1)e ． 18－2： B 18－3：【解】(1) x ＝ 2kD λ / d d = 2kD λ /?x 此处 k ＝５ ∴ d ＝10 D λ / ?x ＝0.910 mm (2) 共经过20个条纹间距，即经过的距离 l ＝20 D λ / d ＝24 mm 18－4： B 18－5： A 18－6：【解】(1) 棱边处是第一条暗纹中心，在膜厚度为e 2＝λ/2处是第二条暗纹中心， 依此可知第四条暗纹中心处，即A 处膜厚度 e 4=2/3λ ∴ ()l l e 2/3/4λθ==＝4.8310-5 rad (2) 由上问可知A 处膜厚为 e 4＝33500 / 2 nm ＝750 nm 对于λ＇＝600 nm 的光，连同附加光程差，在A 处两反射光的光程差为 2/24λ'+e ，它与波长λ'之比为0.32/1/24=+'λe ．所以A 处是明纹 18－7：B 18－8：【解】(1)第k 个明环， λλk e k =+2 12 4/)12(λ-=k e k (2)∵ λλk e k ==2 12 222)(k k e R r R -+=2 222k k k e Re R r +-+= 式中k e 为第k 级明纹所对应的空气膜厚度 ∵ k e 很小，R e k <<， ∴2 k e 可略去，得 )2/(2 R r e k k = ∴ λλk R r k =+ 2 1)2/(22 2/)12(λR k r k -= (k =1, 2, 3 …) 第十九章 【例题精选】 例19－1：B 例19－2：4 、第一 例19－3：【解】(1) 双缝干涉条纹第k 级亮纹条件： d sin θ =k λ 第k 级亮条纹位置：x k = f tg θ ≈f sin θ ≈kf λ / d 相邻两亮纹间距：?x = x k +1－x k =(k ＋1)f λ / d －kf λ / d =f λ / d =2.4310-3 m=2.4 mm (2) 单缝衍射第一暗纹： a sin θ1 = λ 单缝衍射中央亮纹半宽度：?x 0 = f tg θ1≈f sin θ1≈f λ / a ＝12 mm ?x 0 / ?x =5 ∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级． ∴ 在单缝衍射中央亮纹范围双缝干涉亮纹数N = 9，为 k = 0，±1，±2，±3，±4级 或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论． 例19－4： 一 三 例19－5：【解】 (1) 由单缝衍射暗纹公式得 111sin λθ=a 222s i n λθ=a 由题意可知 21θθ= , 21sin sin θθ= 代入上式可得 212λλ= (2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……) a k /2sin 211λθ= 222s i n λθk a = (k 2 = 1, 2, ……) a k /sin 222λθ= 若k 2 = 2k 1，则θ1 = θ2， 即λ1的任一k 1级极小都有λ2的2k 1级极小与之重合． 【练习题】 19－1：子波 子波干涉(或 “子波相干叠加”) 19－2：D 19－3：C 19－4：B 19－5：解：由光栅公式得 sin ?= k 1 λ 1 / (a +b ) = k 2 λ 2 / (a +b ) k 1 λ 1 = k 2 λ 2 k 2 / k 1 = λ 1/ λ 2=0.668 / 0.447 将k 2 / k 1约化为整数比k 2 / k 1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ...... 取最小的k 1和k 2 ， k 1=2，k 2 =3， 则对应的光栅常数(a + b ) = k 1 λ 1 / sin ? =3.92 μm 19－6：解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知 ()1112 3122 1sin λλ?= += k a (取k ＝1 ) ()2222 3122 1s i n λλ?= += k a f x /t g 11=? , f x /tg 22=? 由于 11tg sin ??≈ , 22tg sin ??≈ 所以 a f x /2 311λ= a f x /2 322λ= 则两个第一级明纹之间距为 a f x x x /2 312λ?= -=?=0.27 cm (2) 由光栅衍射主极大的公式 1111s i n λλ?==k d 2221s i n λλ?==k d 且有 f x /tg sin =≈?? 所以 d f x x x /12λ?=-=?=1.8 cm 19－7：答：因k =±4的主极大出现在θ =±90°的方向上，实际观察不到． 所以，可观察到的有k =0,±1,±2,±3共7条明条纹． 19－8：答：可观察到最高级次是k =3． 光栅常数(a ＋b )=2310-4 cm, 按光栅公式 (a + b )sin θ = k λ θ 最大为90°，所以k max ≤(a ＋b )sin90°/ λ k max ≤2310-4 / 5000310-8 =4 实际上θ =90°的第四级观察不到，所以可观察到最高级次是k =3． 第二十章 【例题精选】 例20－1：波动；横 例20－2： C 例20－3： 30°；1.73 例20－4：遵守通常的折射； 不遵守通常的折射；A 例20－5：【解】设I 0为自然光强．由题意知入射光强为2 I 0． (1) I 1=2·2 I 0 / 3＝0.5 I 0＋I 0cos 2θ 4 / 3＝0.5＋cos 2θ 所以 θ＝24.1° (2) I 1= (0.5 I 0＋I 0 cos 224.1°)＝2(2 I 0) / 3， I 2＝I 1cos 230°＝3 I 1 / 4 所以 I 2 / 2I 0 = 1 / 2 例20－6：C 【练习题】 20－1：B 20－2：A 20－3：B 20－4：解：设I max ，I min 分别表示出射光的最大值和最小值，则 I max ＝I a / 2＋I b I min ＝ I a / 2 令 ()()n I I I I I a b a =+=2//2//m i n m a x 所以 ()1/2/-=n I I b a 20－5：A 20－6：A 20－7：完全（线）偏振光 垂直于入射 20－8：54.7° 35.3° 20－9： 证明：设介质Ⅰ、Ⅱ的折射率分别为n 1、n 2，Ⅰ、Ⅱ交界面( 处折射角为r ， 它也等于Ⅱ、Ⅰ下界面处的入射角．最后的折射角为i '． 由折射定律 n 1 sin i = n 2 sin r = n 1 sin i ' 所以 i ＝i ' 在上界面，布儒斯特定律，i ＋r ＝ 2 1π 所以i '＋r ＝ 2 1π 这表明在下界面处也满足布儒斯特定律，所以在下界面处的反射光也是线偏振光 20－10：D 20－11：D 第二十一章 【例题精选】 ,n 1 ,n 2 ,n 1 例21－1：C 例21－2：【答】不能产生光电效应。 因为：铝金属的光电效应红限波长A hc /0=λ， 而 A =4.2 eV =6.72310-19 J ∴ λ0 =296 nm 而可见光的波长范围为400 nm~760 nm > λ0。 例21－3：C 例21－4：531014 2 例21－5：C 例21－6：B 例21－7解：极限波数 2 //1~ k R ==∞λν 可求出该线系的共同终态. 2== ∞λR k )11( 1 ~2 2 n k R - == λ ν 由λ =6565 ? 可得始态 ∞ ∞ -= λλλλR n =3 由 2 2 16.13n n E E n - == eV 可知终态 n =2，E 2 = -3.4 eV 始态 n =3，E 3 = -1.51 eV 例21－8：1.45 ? 6.63310-19 ? 【练习题】 21－1：D 21－2：A/h 、 e A h 1-ν 21－3：D 21－4：1.45 V 7.143105 m 2s -1 21－5：证明：由爱因斯坦方程 A h m -=ν2 21v 及逸出功 0νh A = 得 = -0ννh h 22 1v m 0 2 21 νν-= v m h 0 νν-= K E 因为 0νν= 时E K = 0，由图可知： 入射光频率为ν时 )/(0 QS RS E K =-νν 即 )/(QS RS h = 21－6：13.6 3.4 21－7：证明：)()/1(k n kn E E h -?=ν , )()/1(/~k n kn kn E E hc c -?==νν 而： )8/(2 2 2 04 n h e m E e n ε-=， )8/(2 2 2 04 k h e m E e k ε-= ， 代入上式： )11 ( 8~2 2 3 2 04n k c h e m e kn - = εν 与 )11( ~ 2 2 n k R kn - =ν 比较，得里德伯常量 )8/(3 204c h e m R e ε=． 21－8：C 21－9：C 21－10：D 21－11：变长 变长 21－12：λλλλ' -'hc λ' h 第二十二章 【例题精选】 例22－1：A 例22－2：λ/h )/(λc h 例22－3：1.45 ? 6.63310-19 ? 例22－4：【解】(1)考虑相对论效应：eU 12=m e c 2(γ-1)，∴γ=1+ 2 e 12c m eU = 2 e 12 2 e c m eU c m + ， ∴v= 12 2 e 2 12 22 e 12 eU c m U e c m eU 2c ++，∴λ= 2 12 22 e 12 e U e c m eU 2ch v m h mv h += γ= 。 U 12 = 100 kV=105V ，则eU 12+m e c 2=9.8?10-14，2 12 2 2e 12U e c m eU 2+=5.367?10-14，v=1.643?108m / s ，得相 对论波长λ=3.706?10-12m 。 (2)不考虑相对论效应：eU 12=m e v 2 / 2，∴v= e 12m eU 2，∴λ'= 12 e e eU m 2h v m h = 。 12 e eU m 2=1.71?10-22，λ'=h / 12 e eU m 2=3.877?10-12m 。 相对误差是706 .3706 .3877.3-= λ λ-λ'= 4.6%。 例22－5：D 例22－6：单值、有限、连续 1d d d 2 =??? z y x ψ 例22－7：【证明】由x p x ??≥h 即 x ?≥ x p h ? ① 据题意v m p x =? 以及德布罗意波公式v m h /=λ得 x p h ?= λ ② 比较①、②式得 x ?≥λ 例22－8：D 例22－9：证明：由x p x ??≥h 即 x ?≥ x p h ? ① 据题意v m p x =? 以及德布罗意波公式v m h /=λ得 x p h ?= λ ② 比较①、②式得 x ?≥λ 例22－10：C 例22－11：A 例22－12：B 例22－13：泡利不相容 能量最小 例22－14：C 例22－15：2 1 2 1- 【练习题】 22－1：答：用相对论计算 由 2 0)/(1/c m m p v v v -== ① 2 02 2 012 ])/(1/[c m c c m eU --=v ② p h /=λ ③ 计算得 ) 2(2 01212c m eU eU hc += λ 22－2：证明：依题意：d n =2/λ 则有 n d /2=λ 由于 λ/h p = 则 )2/(d nh p = 故 )8/()2/(2 222 md h n m p E == 即 )8/(2 2 2 md h n E n =，n =1，2，3，…… 22－3：解：(1) 德布罗意公式：)/(v m h =λ 由题可知α 粒子受磁场力作用作圆周运动 R m B q /2 v v α=， q R B m =v α 又 e q 2= 则 eRB m 2=v α 故 nm 10 00.1m 10 00.1)2/(2 11 --?=?==eRB h αλ (2) 由上一问可得 αm e R B /2=v 对于质量为m 的小球 αααλλ?= ? = = m m m m e R B h m h 2v =6.64310-34 m 22－4：答：(1) 电子和光子的动量大小相同．因为p = h /λ 对两者都成立，而λ相同，故 p 相同． (2) 电子的能量 E e = mc 2 其中 2 0)/(1/ c m m v -= 根据 λ/h m p ==v 可解出： 2 0)/(1/ h c m c λ+=v 2 202) /1/c c m mc E e (v -==) //()/(102 02 0h c m h c m c m λλ+=λλ/)/(12 0h c m hc += 光子的能量 e E hc h E <==λνλ/ 可见电子和光子的能量不相同． 22－5：A 22－6：C 22－7：答：用经典力学的物理量例如坐标、动量等只能在一定程度内近似地描述微观粒子的运动，坐标x 和动量p x 存在不确定量?x 和? p x ，它们之间必须满足不确定关系式 x p x ??≥h 这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故． 22－8：B 22－9：C 22－10：D 22－11：证明：先求粒子的位置概率密度 )/(sin )/2() (2 2 a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π-= 当 1)/2c o s (-=πa x 时， 2 ) (x ψ有最大值． 在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2 ∴ a x 2 1= ． 22－12：解：(1) 先求粒子的位置概率密度 )/(sin )/2() (2 2 a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π-= 当 1)/2c o s (-=πa x 时， 2 )(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2 ∴ 发现粒子的概率为最大的位置a x 2 1= ． (2) x a x a x P d sin 2d d 2 2 π= =ψ 粒子位于0 – a /4内的概率为： x a x a P a d s i n 24 /0 2 ? π= )d( sin 24 /0 2 a x a x a a a πππ = ? 4 /0 2 1 ] 2s i n 4 1[ 2 a a x a x πππ - = )]4 2sin( 4 14 [ 22 1a a a a π- ππ = =0.091 22－13：B 22－14：C 22－15：0, 2, 6 2,,0±± 22－16：23(2l +1) 2n 2 22－17：0，1，2，3 0，±1，±2，±3 22－18：C 22－19：B 22－20：答：主量子数n 大体上确定原子中电子的能量． 角量子数l 确定电子轨道的角动量． 磁量子数m l 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量． 自旋磁量子数m s确定自旋角动量在外 山东科技大学2007年招收硕士学位研究生入学考试 物理化学试卷 一、选择题（共40分，每小题2分） 1. 对一化学反应，若知其△C p,m =∑v B C p , m, B >0，则( ) A. △H 随温度升高而减少 B.△H 随温度升高而增大 C. △H 不随温度改变而改变 D.△H 随温度的变化没有规律 2． 对于纯物质的标准态的规定，下列说法中哪一种是不正确的? ( ) A. 气体的标准态就是温度为T 压力为100kPa 下具有理想气体性质的纯气体状态。 B. 纯凝聚物质的标准态就是温度为T 及100kPa 下的纯态。 C. 气体的标准态就是温度为T 及压力为100kPa 时的纯态。 D. 溶液中组分的标准态，若采用规定A ，则指纯组分。 3. 对实际气体的节流膨胀过程，有( ) A. △H = 0 B. △S = 0 C. △G = 0 D. △U = 0 4. 下列各式中哪个是偏摩尔量? ( ) A. B. C. D. 5. 298K 时A 和B 两种气体在某一溶剂中溶解的享利系数分别为k A 和k B ，且知k A >k B ， 则当A 和B 压力相同时，在该溶剂中所溶解的量是( ) A. A 的量大于B 的量 B. A 的量小于B 的量 C. A 的量等于B 的量 C. A 的量与B 的量无法比较 6. NH 4HS(s) 和任意量的 NH 3(g) 及 H 2S(g) 达平衡时有( ) A. C = 2，P = 2，F = 2； B. C = 1，P = 2，F = 1； C. C = 2，P = 3，F = 2； D. C = 3，P = 2，F = 3； 7. 下列纯物质两相平衡有关的描述，不正确的是( ) A.沸点将随压力增加而升高 B. 熔点将随压力增加而升高 C.蒸气压将随温度升高而加大 D. 升华温度将随压力增大而升高 8. 在一定的温度下，一定量的 PCl 5(g) 在一密闭容器中达到分解平衡。若往容器中充 入氮气，使系统的压力增加一倍（体积不变），则 PCl 5的离解度将为( ) A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 不定 9. 电解CuSO 4水溶液时，当通过的电量为2F 时，在阴极上析出Cu 的量为( ) A. 0.5mol B. 1 mol C. 1.5mol D. 2mol 10. 若在固体表面上发生某气体的单分子层吸附，则随着气体压力的不断增大，吸附的 量是( ) A.成比例的增加 B.成倍的增加 C.恒定不变 D.逐渐趋向饱和 11. 在刚性密闭容器中，有下列理想气体反应达平衡Ａ(g) + Ｂ(g) =Ｃ(g),若在恒温下加 入一定量惰性气体，则平衡将 （ ） A.向右移动 B.向左移动 C.不移动 D.无法确定 B n C n P T B n U ≠'???? ????、、B C n n P S B n H ≠'???? ????、、B n C n T ≠'???? ????、V B n A 、B C n n P T B B n ≠'???? ????、、μ 5-1 一、选择题（共40题，每小题2分） （请将答案务必写在答题纸上。注意：只选一个答案，多选不得分） 1.理想气体由相同的初态A 分别经历两过程：一个到达终态B ， 一个到达终点C 。过程表示在p-V 图中(如右图)，其中B 和C 刚 好在同一条等温线上，则 （A ）?U(A →C) > ?U(A →B) （B ）?U(A →C) = ?U(A →B) （C ）?U(A →C) < ?U(A →B) （D ）无法判断两者大小 2. 理想气体在可逆绝热过程中 (A)内能增加 (B)熵不变 (C)熵增大 (D)温度不变 3. 一定量理想气体在绝热条件下对外做功，则内能的变化是： （A ）降低 （B ）升高 （C ）不变 （D ）不确定 4. 对于理想液态混合物下列各说法中，哪条不确切？ (A) 构成混合物，所有各组分分子间的作用力彼此相等 (B) 构成混合物时，各组分在任何浓度范围之内均符合Raoult 定律 (C) 各组分均可用下列化学势表达式的溶液 μB =μB *（T ，P ）+RT lnx B (D) 构成混合物时，各组分间的作用力等于零 5. 在抽空密闭容器中加热NH 4Cl （s ） ，有一部分分解成NH 3（g ）和HC l （g ），当系统建立平衡时，其组分数C 和自由度f 是 (A)C=1，f =1 (B)C=2，f =2 (C) C=3，f =3 (D) C=2，f =1 6. 在1000K 时，反应Fe(s)+CO 2(g) === FeO(s)+CO(g)的K p =1.84， 若气相中CO 2含量大于65%，则 (A) Fe 将不被氧化 (B) Fe 将被氧化 (C) 反应是可逆平衡 (D) 无法判断 7. 在浓度不大的范围内，强电解质摩尔电导率随浓度变化的规律为： (A) 与浓度成反比关系，随浓度增大而变小； 山东科技大学2016年招生硕士学位研究生入学考试试卷 高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→? 五邑大学2010年硕士学位研究生招生 《高等代数》课程考试大纲 一、课程的性质，目的和任务 高等代数是数学（数学与应用数学，数学教育）专业的一门重要基础课程。通过本课程的教学，应培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识，为学习后继课程服务。 二、基本要求 这门课程大致分为两部分:多项式理论和线性代数。前者以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论，向量空间和线性变换。本课程应着重于基本理论的讲授和基本技能的培养和训练,不适求内容上的完备和全面. 三、考试范围 (一)多项式理论 1. 数域 (A) 2. 整除的概念 (A) 3. 最大公因式. (A) 4. 因式分解定理. (A) 5. 重因式. (A) 6. 多项式函数. (A) 8. 复系数与实系数多项式的因式分解. (A) 9. 有理系数多项式. (A) *10.多元多项式. (B) *11.对称多程式. (B) (二) 行列式 1. 排列. (A) 2. n阶行列式的定义和性质. (A) 3. 行列式的依行和依列展开. (A) 4. 行列式的计算. (A) 5. Crammer法则(克莱姆法则). (A) 6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法规则. (A) (三)线性方程组 1. 线性方程组的消元法. (A) 2. n维向量空间 (A) 3. 线性相关性. (A) 4. 矩阵的秩. (A) 5. 线性方组有解的判定定理. (A) 6. 线性方程组解的结构. (A) 7. 二元高次方程. (B) (四) 矩阵 1. 矩阵的概念与运算. (A) 一．求极限（20分）： 1、曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，证明：2)2(lim =∞→n nf n 。 2、求极限：??? ??-→x x x x cot 11lim 0。 3、求5020)]cos(1[lim x dt t x x ?-+→。 4、求极限???? ? ?++++++∞→32323212111lim n n n n n n n n Λ。 二．导数及高阶导数（20分）： 1、设35x x x y ++=，求'y 。 2、已知x x y -=14 ，求)4()(>n y n 。 3、由方程?-=+x y dt t y x 022)cos(确定了y 是x 的函数，求dx dy 。 4、设)()('),('t f t tf y t f x -==，)('''t f 存在且)(''t f 不为零，求三阶导数33dx y d 。 三．证明题（17分）： 1、设)(x f 在)0(],[>a b a 上连续，在),(b a 内可导。 证明：存在),(,b a ∈ηξ 使)('2)('ηη ξf b a f += 。 2、证明：方程)2(11≥=+++-n x x x n n Λ在)1,0(内必有惟一实根n x ，并求n n x ∞→lim 。 四．积分计算（18分）： 1、计算不定积分：?+2) 1(x e dx 。 2、计算定积分：dx e x ?-2ln 01。 3、讨论反常积分 )0()1)(1(02>++?∞+ααx x dx 的敛散性，若收敛，求出其值。 五． 解下列各题（30分） 1、设22 ()z f x y =+ , 其中f 具有二阶导数, 求22z x ??, 2z x y ???。 2、计算积分 (),l x y ds +? :l 顶点为(0,0), (1,0), (1,1)的三角形边界。 3、计算积分 xdydz ydzdx zdxdy ∑ ++??，∑为锥面22y x z +=在平面 4=z 下方的部分，取外法线方向。 六． 解下列各题（20分） 1、计算积分 0 (0)ax bx e e dx b a x --+∞->>?。 2、假设(,)(,)f x y x y x y ?=-，其中(,)x y ?在点（0，0）的邻域中连续，问 1）(,)x y ?满足什么条件时，(,)f x y 在（0，0）点偏导数存在； 2）(,)x y ?满足什么条件时，(,)f x y 在（0，0）点可微。 七．（13分） 求椭圆线2211 x y x y z ?+=?++=?上长半轴和短半轴的长。 八．（12分） 1、证明：当1≥t 时，不等式2 ln(1)t t +< 成立。 2、设 )1ln(1)(223x n n x u n +=，Λ,2,1=n .证明函数项级数∑∞=1)(n n x u 在]1,0[上一致收敛，并讨论其和函数在]1,0[的连续性、可积性与可微性。 2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==； 统计学（数据分析方向）专业培养方案 Statistics（Data Analysis Specialty） （门类：理学；二级类：统计学；专业代码：071201） 一、专业培养目标 本专业培养德、智、体、美全面发展，在具备一定的数学、统计学和计算机科学等方面知识的基础上，较全面掌握大数据处理和分析的基本理论、基本方法和基本技术，能够运用所学知识解决实际问题，具备较高的综合业务素质、创新与实践能力，能从事大数据分析、大数据应用开发、大数据系统开发、大数据可视化以及大数据决策等工作，具有较强的专业技能和良好外语运用能力的应用型创新人才，或继续攻读本学科及其相关学科的硕士学位研究生。 二、毕业要求 本专业是一门涉及数学、统计学、计算机科学等多领域的交叉学科。学生主要学习数学、统计学、计算机科学的基本理论和基本知识，打好坚实的数学基础，受到系统而扎实的计算机编程训练，具备较强的数据分析和信息处理能力，能在大数据科学与工程技术领域从事数据分析管理、系统设计开发、大数据处理应用、科学研究等方面的工作，具备综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 本专业学生培养分为两个主要阶段，第一阶段着重于数据科学理论体系的培养，即发展和完善数据科学理论体系，为数据科学人才培养提供必要的理论和知识基础；第二阶段重视实践能力的培养，即在夯实数据科学理论的基础上，重视培养学生利用大数据的方法解决具体行业应用问题的能力。 本专业毕业生在知识、能力和素质方面的具体要求： 1.具有正确的世界观、人生观和价值观；具有良好的道德品质、高度的社会责任感与职业道德；具有良好的人文社会科学素养。 2.具有良好的人际交往能力和团队协作精神；有较强的自学能力和适应能力。 3.具有良好的数学、统计学和计算机科学基础，掌握数据科学与大数据技术、统计学和计算机科学的基本知识、方法和技能。 习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库 一、山东科技大学《603数学分析》考研真题 二、复旦大学数学系 第1部分数项级数和反常积分 第9章数项级数 一、判断题 1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：，虽然，但是 发散． 2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道 但是发散，所以发散． 二、解答题 1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解： 2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研] 解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于 ，故发散． 3．证明：收敛．[东南大学研] 证明：因为所以 又因为 而收敛，故收敛． 4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研] 证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而 所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知 收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时， 发散． 5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研] 证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N 时，有，则有 ，故由比较判别法知级数收敛． 6．求．[中山大学2007研] 解：由于，所以绝对收敛． 7．设，且有，证明： 收敛．[大连理工大学研] 证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有 ， 即 取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且 现在证明．因为，即则 ． 所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有 所以存在N，当n＞N时，，则 因此 ， x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 山东科技大学2004年招收硕士学位研究生入学考试 地理信息系统试卷 一、简答题（每题6分，共42分） 1、地理信息系统基本概念？ 2、地理信息系统的构成和功能？ 3、遥感（RS）和地理信息系统的关系？ 4、“数字地球”的概念？ 5、地理信息系统的数据源有哪些？ 6、空间数据元数据概念？ 7、DEM的概念及应用？ 二、简述面向对象的空间数据库设计的基本思想？（共10分）+企鹅、号54、 44、946、65一起讨论答案解析 三、矢量数据向栅格数据转换的方法及过程？（共15分） 四、四叉树编码概念及十进制线性编码方法？（共15分） 五、拓扑检查的方法包括哪些？试举例说明结点、弧段及多边形之间拓扑关系的存储结构？（共20分） 六、空间分析的基本概念以及空间分析方法包括哪些？（共20分） 七、试概略设计一城市管网地理信息系统？（共28分） 山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试 地理信息系统试卷 一、概念题：（共30分，每题6分） 1、GIS 2、数字地球 3、元数据 4、TIN 5、DEM 二、简答题（每题15分，共30分） 1、简单列举一下地理信息系统的组成及功能？ 2、简单叙述一下地图投影的基本原理？ 三、论述一下栅格数据模型和矢量数据模型的优缺点，以及由矢量数 据向栅格数据转换的步骤？（25分） 四、列举一下空间索引的方法主要有哪些，并描述其中任意一种空间索引方法的原理？（20分） 五、空间分析的类型和方法主要包括哪些？试举一实例论述一下空间 分析在实距中的应用过程与意义？（25分） 六、设计一专题GIS应用系统的框架结构与功能？（20分） 山东科技大学2006年招收硕士学位研究生入学考试 地理信息系统试卷 一、概念题：（共40分，每题8分） 1、OpenGIS 2、地图投影 3、空间数据的元数据 4、缓冲区分析 5、空间内插 二、简答题（每题15分，共30分） 1、GPS与GIS集成会产生哪些应用类型？ 2、建立在关系数据库（RDBMS）基础上的综合空间数据管理模型有哪几种？各有什么优缺点？ 三、写出下图中的空间数据拓扑关系（写出：孤段与结点、结点与孤段、孤段与面域等三种拓朴关系表）。（30分） 四、空间和属性数据的错误和误差主要有哪些类型？检核方法有哪些？（30分） 五、谈一下WebGIS未来的发展和应用趋势。（20分） 毕业实习报告 学院名称数学与系统科学学院专业班级数学与应用数学11级学生姓名 学号 指导教师 二O一五年四月 评定意见 毕业实习成绩： 指导教师对毕业实习的评语： 指导教师（签章）： 年月日毕业实习指导小组的评定意见： 教学院长（签章）： 系主任（签章）： 年月日 毕业实习报告 名字 数学与应用数学11级 实习地点：山东科技大学 实习时间：2015年3月9日～4月5日 实习内容： 春暖花开，迎来了大学最后一个学期。开学伊始我选择了在校内实习，在这短短一个月实习的时间里，我学习了控制系统的状态空间描述等基本知识，以及熟悉了如何建立状态空间的模型。此外，我还了解了有关线性系统的可观测性基础知识和一些简单的应用实例。在实习的过程中，我发现大学里所学的东西总算有了用武之地。以前在高等代数中学过的矩阵论和常微分方程都是学习线性系统的准备知识。 一、控制系统的状态空间描述的基本概念 1.控制系统的状态空间描述 （1）系统: 一些相互制约的部分所构成的整体。 （2）输入:由外部施加到系统上的全部激励； 输出:能从外部量测到的来自系统的信息。 （3）系统数学描述的类型： a. 系统的外部描述→传递函数 b.系统的内部描述→状态空间表达式 控制系统的性质：因果性、线性、定常性等。 2.系统状态空间描述中常用的基本概念 （1）状态: 表征系统运动的信息和行为 （2）状态变量:完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。表示符号： ()()()t x t x t x n ,,,21 注：状态变量的选取不具有唯一性；状态变量不一定在物理上可测；尽可能选取容易测量的量作为状态变量。 （3）状态方程:描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）： ()()()[]t t u t x f t x ,,. = 或 ()[]t u t x f x k k k ,,1. =+ （4）输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程：()()()[]t t u t x g t y ,,= 或 ()()()[]k k k k t t u t x g t y ,,= （5）状态空间表达式（动态方程）:状态方程与输出方程的组合： ()()()[]()()()[] ?????==t t u t x g t y t t u t x f t x ,,,,. 或 ()()()[] ()()()[]?? ?==+k k k k k k k k t t u t x g t y t t u t x f t x ,,,,1 （6）自治系统:系统的状态空间表达式中，函数f 和g 均不显含时间t 或k t ： ()()()[]()()()[] ?????==t u t x g t y t u t x f t x ,,. 或 ()()()[] ()()()[]?? ?==+k k k k k k t u t x g t y t u t x f t x ,,1 （7）线性定常系统： ()()()()()() ?????+=+=t Du t Cx t y t Bu t Ax t x . 或 ()()[] ()()()? ? ?+=+=+k Du k Cx k y k Hu k Gx k x 1 简记为：系统()D C B A ,,,或系统()D C H G ,,,。 当 0≡D ，系统为绝对固有系统，否则为固有系统。 （8）状态空间表达式结构图绘制步骤 a. 画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。 b. 根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器； c. 用箭头将这些元件连接起来。 （9）建立状态空间表达式的三个途径： a.根据系统机理建立； 山东科技大学泰山科技学院2012 —2013 学年第一学期 《数据库原理》考试试卷（A卷） 班级姓名学号 1、数据库系统的核心是____________ 。 2、两段锁协议中的两段指的是：____________ 和___________ 。 3、数据管理技术经过了、和三个阶段。 4、索引的建立有利也有弊。建立索引可以___________，但过多地建立索引会__________。 5、_____________是一个非常特殊但又非常有用的函数，它可以计算出满足约束条件的一组条件的行数。 3、数据库恢复是将数据库从状态恢复到的功能。 4、数据库系统在运行过程中，可能会发生故障。故障主要有、、介质故障和四类。 8、在SQL中，____________ 子句用来消除重复出现的元组。 9、在关系模式R(U) 中，如果X →Y ，Y →Z ，且Y 不是X 的子集，不存在X ←→Y 的情况，则称Z ____________依赖于X 。 10、判断一个并发调度是否正确，可用 __________ 概念来衡量。 二、选择题（20分，每题1分） 1、三个模式之间存在下列映射关系，将正确的填入括号中( ) A. 外模式/ 内模式 B. 外模式/ 模式 C. 模式/ 模式 D. 内模式/ 外模式 2、数据的逻辑独立性是指( ) A. 存储结构与物理结构的逻辑独立性 B. 数据与存储结构的逻辑独立性 C. 数据与程序的逻辑独立性 D. 数据元素之间的逻辑独立性 3、以下关于外码和相应的主码之间的关系，正确的是( ) A. 外码并不一定要与相应的主码同名 B. 外码一定要与相应的主码同名 C. 外码一定要与相应的主码同名而且唯一 D. 外码一定要与相应的主码同名，但并不一定唯一 4、数据库和文件系统的根本区别在于：( ) A.提高了系统效率 B.方便了用户使用 C.数据的结构化 D.节省了存储空间 ……………………….…………………………………………………………………………………姓名：杜宗飞专业：计算机科学与技术 学院：数理信息学院学历：本科……………………….…………………………………………………………………………………手机：×××E – mail：×××地址：山东科技大学 自荐信 尊敬的领导： 您好！今天我怀着对人生事业的追求，怀着激动的心情向您毛遂自荐，希望您在百忙之中给予我片刻的关注。 我是山东科技大学计算机科学与技术专业的2014届毕业生。山东科技大学大学四年的熏陶，让我形成了严谨求学的态度、稳重踏实的作风；同时激烈的竞争让我敢于不断挑战自己，形成了积极向上的人生态度和生活理想。 在山东科技大学四年里，我积极参加各种学科竞赛，并获得过多次奖项。在各占学科竞赛中我养成了求真务实、努力拼搏的精神，并在实践中，加强自己的创新能力和实际操作动手能力。 在山东科技大学就读期间，刻苦进取，兢兢业业，每个学期成绩能名列前茅。特别是在专业必修课都力求达到90分以上。在平时，自学一些关于本专业相关知识，并在实践中锻炼自己。在工作上，我担任山东科技大学计算机01班班级班长、学习委员、协会部长等职务，从中锻炼自己的社会工作能力。 我的座右铭是“我相信执着不一定能感动上苍，但坚持一定能创出奇迹”！求学的艰辛磨砺出我坚韧的品质，不断的努力造就我扎实的知识，传统的熏陶塑造我朴实的作风，青春的朝气赋予我满怀的激情。手捧菲薄求职之书，心怀自信诚挚之念，期待贵单位给我一个机会，我会倍加珍惜。 下页是我的个人履历表，期待面谈。希望贵单位能够接纳我，让我有机会成为你们大家庭当中的一员，我将尽我最大的努力为贵单位发挥应有的水平与才能。 此致 敬礼！ 自荐人：××× 2014年11月12日 唯图设计因为专业，所 以精美。为您的求职锦上添花，Word 版欢迎 下载。 科目代码：426 第1页 第2页 14、θ p 下，液态水和固态水（即冰）的化学势分别为)()(S l μμ和，两者的关系为： （A ）)(l μ>)(S μ （B ）)(l μ=)(S μ （C ）)(l μ<)(S μ （D ）不能确定 15、人在室内休息时，大约每天要吃0.2Kg 的酐酪（摄取的能量约为4000Kj ）。假定这些能量全部不储存在体内，为了维持体温不变，这些能量全部变为热使汗水蒸发。已知水的蒸发热为44Kj ·mol -1,则每天需喝水： （A ）0.5Kg （B ）1.0kg （C ）1.6kg （D ）3.0kg 16、在H 3AsO 3的稀溶液中，通入过量的H 2S 气体生成As 2S 3溶胶。用下列物质聚沉，其聚沉值大小顺序是： （A ）Al(NO 3)3>MgSO4>K 3Fe(CN)6 （B ）K 3Fe(CN)6>MgSO 4>Al(NO 3)3 （C ）MgSO 4>Al(NO 3)3>K 3Fe(CN)6 （D ）MgSO 4>K 3Fe(CN)6>Al(NO 3)3 17、水在某毛细管中上升高度为h ，若将此管垂直地向水深处插下，露在水面以上的高度为h/2，则 （A ）水会不断冒出 （B ）水不流出，管内液面凸起 （C ）水不流出，管内凹液面的曲率半径增大为原先的2倍 （D ）水不流出，管内凹液面的曲率半径减小为原先的2倍 18、有一露于空气中的球形液膜，若其直径为2×10-3m ，表面张力为0.7N ·m -1，则该液膜所受的附加压力为： （A ）1.4Kpa （B ）2.8Kpa （C ）5.6Kpa （D ）8.4KPa 19、对于电动电位ξ的描述，哪一点是不正确的？ （A ）ξ电位表示了胶粒溶剂化层界面到均匀液相内的电位； （B ）ξ电位的绝对值总是大于热力学电位?； （C ）ξ电位的值易为少量外加电解质而变化； （D ）当双电层被压缩与滑动面相合时，ξ电位为零。 20、一寂温度下，反应A ?→?1K B ?→?2 K C ，当21K K >时它的突出特征是 （A ）C B /C C =常数 （B ）dC B /dt 与dCc/dt 之比为常数 第3页（C ）C B 先增加后减少 （D ）K 1/（K 1+K 2）=C B /（C B +C C ） 二、填图计算题（本大题20分） P °下水与乙醇的沸点~组成图如图所示： 问（1）标出各相区相态、自由度； （2）在P °下，将25℃的70%的乙醇溶液升温，问开始出现气体的气相组成是多少？温度继续升高，气相与液相的组成如何变化？最后一滴溶液的组成是多少？ （3）从70%的乙醇溶液用精馏法能否得到纯乙醇？ （4）将100g30%的乙醇溶液加热至85℃计算此时液相与气相的重量各为多少克？ （5）求80℃时水的饱和蒸气压* p 和乙醇的亨利常数k 。 （蒸气可视为理想气体混合物，在稀溶液范围内，溶液服从拉乌尔定律，水的分子量为18.0，乙醇的分子量为46.0） 三、计算题（本大题65分） 1、（本题15分） 2mol 双原子理想气体，从298K 、100KPa 的始态，沿PT=常数的途径可逆压缩到200Kpa 的终态， 求该过程的U ?、H ?、S ?、G ?。（31·· 1.205)298(,2/5.--?==K mol J K S R m Cv m ） 2、（本小题10分） 298.15K 时，水中某溶质在汞~水界面上的表面吸附量服从公式： 24·)}1/({1030.8--+?=Γm mol Bc Bc 。己知经验常数13·5-=mol dm B 汞~水界面张力 20·416.0-=m J σ。写出该溶液的浓度与界面张力的关系式，并计算当溶液浓度 3·1.0-=dm mol c 时汞~水溶液的界面张力为多少。 第4页 山东科技大学851 物理化学2012 山东科技大学2012年招收硕士学位研究生入学考试物理化学试卷一、选择题（共40分，每小题2分） （请选择以下各题中的正确答案，并将答案务必写在答题纸上。注意：只选一个答案，多选不得分） 1、某实际气体的状态方程pV=RT + ap,式中a 为大于零的常数，当该气体经绝热向真空膨胀 后，气体的温度将（） （A）上升（B）下降（C）不 变（D）无法确定 2、恒压下纯物质当温度升高时其Gibbs自由能将 （） （A）上升（B）下降（C） 不变（D）无法确定 3、某体系进行不可逆循环过程的熵变为（） （A）A S 体〉0, AS —0 （B） A S 体 =0, A S 环> 0 (C) z^S 体=0, "S 环=0 体 > 0, Z S 不 > 0 4、A, B 两液体混合物在 T - x 图上出现最高 点，则 该混合物对 Raoult 定律产生 ( ) (A) 正偏差 (B) 负偏差 偏差 (D)无规则 5、 对于理想液体混合物，则 ( ) (A) A mix H = 0, A mix S = 0 A mix H = 0, A mix G = 0 (C) A mix V = 0 , A mix H = 0 A mix V = 0 , A mix S = 0 6、 298 K ，蔗糖水溶液与纯水达渗透平衡 时，整个 系统的组分数、相数、自由度数 为( (A) C = 2, P = 2, F = 1 P = 2, F = 2 (D)出 (C)没 (B) (D) (B) C = 2, (C) C = 2, P = 1, F = (D) C = 2 年山东省普通高等教育专升本2012招生学校招生专业和计划师范类：招生专业招生学校招生计划合计40临沂大学地理科学4060滨州学院120汉语言文学60济宁学院3030化学济宁学院30临沂大学30教育技术学30枣庄学院30历史学6060美术学枣庄学院60菏泽学院120数学与应用数学60济宁学院30临沂大学思想政治教育303030体育教育济宁学院100德州学院100菏泽学院小学教育临沂大学500100泰山学院100潍坊学院100滨州学院100菏泽学院100400学前教育泰山学院100枣庄学院100． 招生学校招生专业招生计划合计6060音乐学济宁学院80滨州学院160英语80潍坊学院高职高专类：招生专业招生学校招生计划合计50聊城大学东昌学院150山东师范大学历山学院50朝鲜语50烟台大学文经学院100临沂大学250青岛理工大学琴岛学院青岛农业大学海都学院200电气工程及其1000自动化山东交通学院200山东科技大学泰山科技学院100中国石油大学胜利学院150山东科技大学泰山科技学院100电子商务200泰山学院100聊城大学东昌学院50曲阜师范大学杏坛学院100电子信息工程250山东师范大学历山学院50枣庄学院50菏泽学院80动物医学80青岛农业大学海都学院210临沂大学50德州学院50法学100山东工商学院300山东科技大学泰山科技学院50． 招生专业招生学校招生计划合计50烟台大学文经学院50中国石油大 学胜利学院服装设计与工程德州学院100100青岛理工大学琴岛学院70山东交通学院40工程管理200山东理工大学50烟台大学文经学院40德州学院100山东财政学院东方学院100工商管理350山东工商学院50烟台大学文经学院100滨州学院50公共事业管理100青岛农业大学海都学院50山东经济学院燕山学院200300国际经济与贸易烟台大学文经学院100滨州医学院250济宁医学院200山东万杰医学院150护理学1150山东中医药大学200泰山医学院150潍坊医学院200曲阜师范大学杏坛学院100化学工程与工艺200中国石油大学胜利学院100德州学院1001500会计学聊城大学东昌学院200临沂大学100． 招生专业招生学校招生计划合计青岛理工大学琴岛学院100山东财政学院东方学院200山东工商学院100山东经济学院燕山学院200山东科技大学泰山科技学院100山东理工大学100潍坊学院100烟台大学文经学院200100聊城大学东昌学院50临沂大学120青岛理工大学琴岛学院100青岛农业大学海都学院120山东交通学院100山东科技大学泰山科技学院机械设计制造及其1120自动化100山东理工大学80泰山学院100潍坊学院100烟台大学文经学院50枣庄学院100中国石油大学胜利学院100滨州学院80菏泽学院计算机科学与技术济宁学院100900临沂大学50青岛理工大学琴岛学院60． 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单词一定要会，不用着急做题，先将单词掌握牢，背单词的方式有很多，我除了用乱序单词，我还偏好使用手机软件，背单词软件有很多，你们挑你们用的最喜欢的就好，我这里就不做分享了。我们考试的时候就是最直观刺激的就是文字信息，所以根据行为主义的学习理论来讲最简单粗暴的就是利用重复，将这个文字信息与我们大脑之间形成一个条件反射，这样我们提取的速度也就会达到最快。 都说考研有很多生僻词义，其实不是的，很多都是书面语言常见意思，只是我们不熟悉书面语言而已。比如casualty表示伤亡，我们口语常见是casual 随意的。这种能力一定不是背单词搞出来的，而且需要扎扎实实坐下来读书。 关于阅读 第一次我阅读很差，对答案错了一大半。这次我阅读是满分。如何做到？我非常认同老钟的观点，不要再管命题人，不论谁命题，不论什么题型，都是围绕着你有没有读懂作者在说什么，题型的存在只是从不同侧面考察这一点。只有回到阅读本身，才会真的恍然大悟，而不是被定位的思想牵着盲人摸象。我算明白了为什么考研这么重视阅读，当你真的学会了读学术文章，你才会体会到一个研山东科技大学2007研究生入学考试《物理化学》试题
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