分解素因数（二）
内容分析
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
知识结构
模块一：公倍数与最小公倍数
知识精讲
1、公倍数与最小公倍数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；
最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、最小公倍数的求法
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数． 【难度】★ 【答案】6； 72． 【解析】 2
18 24 3 9 12
3 4
∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72． 【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数． 【难度】★
【答案】6； 360．
【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；
所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
【例3】求下列各组数的最小公倍数．
（1） 8和15；
（2）9和45； （3）19和21．
【难度】★
【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120； （2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45； （3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．
【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
（2） 成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；
【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．
例题解析
【例4】若2235
n=???，则m、n的最小公倍数为___________．m=???，2337
【难度】★
【答案】1260
【解析】m、n的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．
【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
【例5】求10，12和15的最小公倍数．
【难度】★★
【答案】60
【解析】 2 10 12 15
3 5 6 15
5 5 2 5
1 2 1
∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60．
【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？
【难度】★★
【答案】105
【解析】设三个数为22
，，．
-+
n n n
则：2215
n n n
-+++=
解得：5
n=，这三个数是：3，5，7．
∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105．
【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．
师生总结
【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？
【难度】★★
【答案】4和36．
【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；
设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则44144
a b
?=．
所以9
ab=．因为a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．
即这两个数是9、36．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市
购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？
【难度】★★
【答案】42天
【解析】6与7的最小公倍数是42．
答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【例9】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？
【难度】★★★
【答案】4，6，8
【解析】设这三个数是22222
n n n
-+
，，； 2
若n为奇数，则11
n n
-+
，是偶数， 2
则：
(1)(1) 2224
22
n n
n
-+
????=
解得：3
n=，这三个数是4，6，8．
若n为偶数，则11
n n
-+
，是相邻奇数，则：2(1)(1)24
n n n
?-??+=
此方程无解；
∴这三个数是4，6，8．
【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法．
2
2
2
2
2+ -n
n
n
1
1+
-n
n
n
2
1
2
1+
-n
n
n
【例10】3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？
【难度】★★★
【答案】11棵
【解析】4×(31-1)=120米，而4与6的最小公倍数是12，
120÷12+1=11棵．
答：有11棵树不需要移动．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【例11】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？
【难度】★★★
【答案】18人
【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．
答：这个班的小朋友最多有18人．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【例12】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）
【难度】★★★
【答案】5人
【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以18÷6+18÷9=5人．
答：该车间至少安排5个人．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用．
1、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系
已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ?=?
【例13】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）48和18；
（2）27和81．
【难度】★
【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81．
【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法， （2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数． 【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
【例14】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）4、8和12；
（2）15、75和90．
【难度】★
【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；
【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
【例15】如果甲数235=??，乙数237=??，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★
【答案】6， 210；
【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
例题解析
知识精讲
模块二：最大公因数与最小公倍数综合
【例16】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？【难度】★★
【答案】15
【解析】设另一个数是x，
则：6x=3×30
解得：x=15
答：乙数是15．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例17】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．
（1）两个数的公倍数的个数是有限的．( )
（2）30是15和10的最小公倍数．( )
（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．( )
（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．( )
【难度】★★
【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．
【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；
（2）正确；
（3）正确；
（4）正确；
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例18】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【难度】★★
【答案】另一个数是36．
【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．
解得：x=36．
答：乙数是36．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例19】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？
请用你所发现的规律接下面的问题：
（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？【难度】★★
【答案】8，10的最大公因数是2，最小公倍数是40，而8×10=80；
规律：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
（1）15；（2）15．
【解析】（1）设另一个数是x，则：6x=3×30
解得：x=15 答：乙数是15．
（2）设另一个数是x，则：18x=3×90
解得：x=15 答：乙数是15．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例20】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【难度】★★
【答案】120或66．
【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144
∴ab=24=1×24=3×8；
当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；
当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例21】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？
【难度】★★
【答案】20和28
【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．
∴ab=35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数
∴a=5，b=7，这两个数是20、28．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例22】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？
【难度】★★★
【答案】26棵
【解析】1.5千米=1500米，
10与12的最小公倍数是60，
1500÷60+1=26棵．
答：有26棵树不需要移动．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【例23】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x、y、z的最小公倍数为60，x和y的最大公因数为4，y和z的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？
【难度】★★★
【答案】20或4．
【解析】设4123
，，（a，b，c为素数），则12abc=60．
x a y b z c
===
所以abc=5=1×1×5．
（1）a=5，这三个数是20，12，3；
（2）b=5，这三个数是4，60，3；
（3）c=5，这三个数是4，12，151；
答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例24】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒．问：三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？（从起点出发后最近的一次相会）【难度】★★★
【答案】15分钟
【解析】1分钟=60秒，1分15秒=75秒，1分30秒=90秒；
60、75、90的最小公倍数为900，而900秒=15分钟．
答：15分钟后他们又在起点相会．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
随堂检测
【习题1】如果数a能被数b整除，则a和b的最大公约数是______，最小公倍数是______．【难度】★
【答案】b，a．
【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；
【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．
【习题2】自然数b的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）
【难度】★
【答案】等于
【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；
【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；
【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．
【难度】★
【答案】1；165．
【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．
【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．
【难度】★★
【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．
【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；
5940=2×2×3×3×3×5×11；
所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；
最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．
【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．
【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？
【难度】★★
【答案】15:00
【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．
答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．
【难度】★★
【答案】34或14
【解析】因为33=1×33=3×11．
（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；
（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；
【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．
【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【难度】★★
【答案】15分钟
【解析】3与5的最小公倍数是15．
答：至少再过15分钟它们又同时发车．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？
【难度】★★
【答案】7朵
【解析】因为96与72的最大公因数是24，
所以（96+72）÷24=7朵．
答：每个花束里至少有7朵花．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？
【难度】★★
【答案】10棵
【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．
答：最少需要种10棵树．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★
【答案】8572
【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；
又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．
答：这个自然数最小是8572．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？
【难度】★★★
【答案】60个
【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．
答：这筐苹果最少应有60个．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？
【难度】★★★
【答案】12天
【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．
答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
课后作业
【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：
1与299（）12与36（）12与13（）13与52（）10与14（）21与49（）6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★
【答案】299；36；156；
52；70；147；
30；66；175；
【解析】略
【总结】本题考察两个数最大公因数和最小公倍数的求法：
互素两数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
成倍数的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；
一般两数的最大公因数和最小公倍数用短除法；
【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数．
【难度】★
【答案】6，90．
【解析】因为18=2×3×3；30=2×3×5；
所以18与30的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5=90；
【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数．
【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．
（1）36和84；（2）12，15和18．
【难度】★
【答案】（1）36与84的最大公因数是12，最小公倍数是252；
（2）12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180．
【解析】都可用短除法或者是分解素因数法求得．
【总结】本题考察了求两个数、三个数的最大公因数和最小公倍数的方法：
【作业4】已知甲数357A =???，乙数37A =??，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A
的值． 【难度】★ 【答案】2
【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A =2．
【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．
【作业5】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】20
【解析】设这两个数的最小公倍数是x ， 则：5x =100 解得：x =20
答：这两个数的最小公倍数是20．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个
数各是多少？ 【难度】★★
【答案】这两个数是420和294．
【解析】设这两个数是42a ，42b (a 、b 互素)， 则：42ab =2940，42（a +b ）=714． ∴ab =70，a +b =17
∴a =7，b =10，这两个数是420、294．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【作业7】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？
【难度】★★
【答案】42人
【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．
又学生人数在30～50之间，84=2×42．
答：学生有42人．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【作业8】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【难度】★★
【答案】57
【解析】因为15与20的最小公倍数是60，
所以60－3=57．
答：符合条件的数中最小的数是57．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业9】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？
【难度】★★
【答案】60个
【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，
所以60×9=540个．
答：这筐苹果共有540个．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？
【难度】★★★
【答案】180米
【解析】60与45的最小公倍数是180．
答：再过180米又有一根不动．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．
【难度】★★★
【答案】19:20
【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．
（20-6）×60=840分钟
840÷80=10…40分钟
答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业12】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．
【难度】★★★
【答案】11
【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；
又2、3、4的最小公倍数是12．
∴12-1=11
答：这个自然数最小是11．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
小学六年级数学上册合数分解质因数知识点 小学生学习数学时需要多做题，以下是为大家提供的六年级数学上册合数分解质因数知识点，供大家复习时使用! 分解质因数在数的整除性这部分知识中，既是整除、约数、质数等基础知识的综合运用，也是后面学习最大公约数和最小公倍数的前提和准备，所以，在数的整除中,它具有承上启下的作用。 把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质因数相乘的形式表示出来。或者说，把一个合数写成几个质数的连乘积。譬如36是合数，把36分解成因数相乘，会有以下几种情况：(1)36=1×36 (2)36=2×18 (3)36=4×9 (4)36=3×12 (5)36=6×6 在上面五种分解中，只有(2)式的2和(4)式的3是质数,其他都不是。要分解质因数就要把不是质数的数(1不是质数，也不是合数，排除在外)，再分解成质数连乘的形式。如(3)式中的4和9都是合数，4可以分解为：2×2; 9可以分解为： 3 × 3。这样，把 36分解质因数，36=2×2×3×3。事实上，除(l)式外，(2)(4)(5)式继续分解，其最后结果也是同样的。 把一个合数分解质因数，具体过程可采用短除法。 例如：把420分解质因数。(从最小的质因数开始)
420有2、2、5、3、7五个质因数，420分解质因数的结果是：420=2×2×5×3×7。 在进行分解质因数时，最后的书写格式要特别注意，一定要把所要分解的合数写在等号的左边，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能写在等号的右边，如：2× 2×2×3= 24，这样就与乘法算式相混淆，而不是分解质因数了。 只要大家脚踏实地的复习、一定能够提高数学应用能力!希望提供的六年级数学上册合数分解质因数知识点，能帮助大家迅速提高数学成绩!
课题二：分解质因数 教学要求①使学生理解质因数和分解质因数的概念。②初步学会分解质因数的方法。③培养学生分析和推理的能力。 教学重点①质因数和分解质因数的概念。②分解质因数的方法。 教学难点分清因数和质因数，质因数和分解质因数的联系和区别。 教学用具投影仪。 教学过程 一、创设情境 1．回答：什么叫做质数？什么叫做合数？ 2．填空：1~12的质数有，合数有。 3．观察：2、3、5、7、11……等质数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？4、6、8、9、10、12……合数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？ 二、揭示课题 下面我们学习每个合数能否用几个质数相乘的形式表示出来。（板书课题） 三、探索研究 1．小组合作学习 （1）把6、28、60写成比它本身小的两个数相乘的形式。 6=2×3 28=4×7 60=6×10 60=2×30 60=4×15 …
（2）写出的两个数中如果还是合数的，再用上面的方法继续写下去。 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 （3）从上面的例子可以看出什么来？ 师生归纳：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 做练习的第7题，学生口答。 ⊙把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（板书课题：分解质因数） 如把6、28、60分解质因数右以写成： 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 书写格式说明：要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号的右边。质因数按从小往大的顺序排列。 2．学习用短除法分解质因数。 （1）介绍短除法。 它是笔算除法的简化“”叫做短除号。 除数…2 6 …被除数 3 …商
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312 123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a << 找一个数的因数的方法答案 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1．现有草莓40个，可以平均分给多少个小朋友？ 考点：找一个数的因数的方法． 分析：根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出40的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，那就不是1个．由此解答． 解答：解：40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40． 根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个． 答：可以分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个小朋友． 点评：此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题． 例2．只有一个因数的数是1 只有两个因数的数是质数 有三个因数以上的数是合数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：数的整除． 分析：在自然数中，只有一个因数的数是1；除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数； 除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；据此解答即可． 解答：解：只有一个因数的数是1； 只有两个因数的数是质数； 有三个因数以上的数是合数． 故答案为：1；质数；合数． 点评：此题考查了质数与合数的含义以及找一个数的因数的方法．属于识记内容． 例3．有144块糖平均分成若干份，要求每份不得少于10颗，也不能多于50颗，那么一共有6种分法． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：约数倍数应用题． 分析：找到144的约数中大于10且小于50的即可求解． 解答：解：因为144=2×2×2×2×3×3，所以144在10到50之间的约数有：12、16、18、24、 36、48，所以有6种； 答：一共有6种分法． 故答案为：6． 点评：解答此题的关键是先把144进行分解质因数，然后找出符合条件的数解答即可． 例4．a、b、c是三个互不相等的自然数，而且a÷b=c，a至少有4个约数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：压轴题． 分析：首先a．b．c肯定是a的因数，而且互不相等，所以算三个；然后考查1，1肯定是a 的因数，问题是会不会与上面的三个重复 首先a≠1，这个很明显；然后，如果b=1，则a=c，这是不行的，所以b也不等于1，同样地，c也不等于1；也就是说1．a．b．c是互不相等的，至少有这四个数是a的因数． 解答：解：由分析知：a的约数有1、a、b、c；共4个； 故答案为：4． 点评：根据找一个的因数的方法进行解答即可． 例5．5是15的因数，又是5的倍数．×．（判断对错） 考点：找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法． 专题：数的整除． 分析：因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在． 解答：解：根据因数和倍数的关系，我们可以说5是15的因数，15是5的倍数，不能说5是15的因数，又是5的倍数． 故答案为：×． 点评：解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析． 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表 达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数， 12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????； 知识点拨 教学目标 5-3-4.分解质因数（一） 200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分 【解析】 原式323753=??? 【答案】323753??? 【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【解析】 210分解质因数：2102357=???，可知这三个数是5、6和7。 【答案】5、6和7 【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 111555分解质因数：1115553353767=????=(3337??)?(567?)333335=?，所以和为668.本讲不 仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337=?。 【答案】668 【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______. 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题 【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12 【答案】12元 【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题 【解析】 1112131716??=，1213142184??=，所以是2184 【答案】2184 【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ． 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题 【解析】 2126237=??，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23． 例题精讲 分解质因数 教学要求①使学生理解质因数和分解质因数的概念。②初步学会分解质因数的方法。③培养学生分析和推理的能力。 教学重点①质因数和分解质因数的概念。②分解质因数的方法。 教学难点分清因数和质因数，质因数和分解质因数的联系和区别。 教学用具投影仪。 教学过程 一、创设情境 1．回答：什么叫做质数？什么叫做合数？ 2．填空：1~12的质数有，合数有。 3．观察：2、3、5、7、11……等质数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？4、6、8、9、10、12……合数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？ 二、揭示课题 下面我们学习每个合数能否用几个质数相乘的形式表示出来。（板书课题） 三、探索研究 1．小组合作学习 （1）把6、28、60写成比它本身小的两个数相乘的形式。 6=2×3 28=4×7 60=6×10 60=2×30 60=4×15 … （2）写出的两个数中如果还是合数的，再用上面的方法继续写下去。 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 （3）从上面的例子可以看出什么来？ 师生归纳：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 做练习十三的第7题，学生口答。 ⊙把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（板书课题：分解质因数） 如把6、28、60分解质因数右以写成： 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 书写格式说明：要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号的右边。质因数按从小往大的顺序排列。 2．学习用短除法分解质因数。 （1）介绍短除法。 它是笔算除法的简化“”叫做短除号。 除数…2 6 …被除数 3 …商 （2）用短除法分解质因数。 2 28 2 60 2 14 2 30 分解素因数（难点） 武宁中学葛剑敏预备年级的学生，刚从小学升入初中，他们思维活跃，喜欢形象的事物，但他们的思维的严密性、成熟度还不够，因此要重视概念和算理的理解,注重运算的合理性和多样性，如六年级（上）在分解素因数这一节中就涉及公因数、最大公因数、最小公倍数等概念，以及素因数分解的方法。 素因素是指：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。如60=2×2×3×5中2、2、3、5都是60的素因数，而60=2×2×3×5是分解60这个合数。分解素因数有“树枝分解法”、“口算法”、“机算法”和“短除法”，其中“短除法”是为求最大公因数、最小公倍数作准备，应熟练掌握。 公因数是指：几个数公有的因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 如求24和32的最大公因数： 方法1：这种方法是在理解算理的基础上求最大公因数； 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 32的因数有1、2、4、8、16、32； 24和32公有的因数：1、2、4、8；其中最大的一个公有的因数是8。方法2：先分解素因数，再找公有的素因数； 24=2×2×2×3；32=2×2×2×2×2， 可以看出24和32全部公有的素因数是2、2、2，因此2×2×2=8就是24和32的最大公因数。 方法3：“短除法” 224 32 212 16 2 6 8 3 4 把两个短除竖式合并在一起，每次除时需用两数的公有素因数去除，直到两个商互素为止。 因此2×2×2=8就是24和32的最大公因数。 公倍数是指：几个整数的共有的倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 如求24和32的最小公倍数。 方法1：用求倍数的方法： 24的倍数有24、48、72、96、120… 32的倍数有32、64、96、128、160… 所以24和32的最小公倍数是96。 方法2：先分解素因数，再找公有的素因数只要取一个，再取各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是最小公倍数。 24=2×2×2×3；32=2×2×2×2×2， 24和32的最小公倍数是2×2×2×3×2×2=96 方法3：“短除法” 分解质因数 教学内容： 五年级下册第38页例7、例8，完成练习六的相关练习。 教学目标： 1．结合具体的数学情境，初步认识质因数；知道质数的质因数是它本身，合数可以分解质因数。 2．学会将一个合数分解质因数，初步掌握用短除法分解质因数的方法。 3．发展学生的分析、判断、推理能力，让学生体验到数学的价值与乐趣。教学重点： 认识质因数，学会将一个合数分解质因数。 教学难点： 理解质因数的含义。 教具准备： 多媒体课件。 教学过程： 一、游戏引入，迁移认知质因数 1．游戏导入。 师：我们一起先来做个游戏，游戏的名字叫“比比谁的式子长”。 师：怎样才叫式子长？数的个数越多，式子就越长。 先来听游戏规则： ①男女生两组各选一个数，将所选的数分解成几个自然数相乘的形式，但不可用1。 ②比赛结束时，所写的乘法式子最长的小组获胜。 ③共比3局，每局获胜者下一局优先选数。 2．认识质因数。 师：明白规则了吗？瞧，屏幕上有两个数，是男生先选还是女生先选？为了公平，还是猜拳吧！ 呈现19和21 师：谁来汇报结果。（汇报格式：21等于几乘几）为什么女（男）生不动笔呢？（因为19是质数） 师：有没有道理？ 师：再来第二局，赢的先选。 呈现15和23 3．感悟质数的质因数是它本身。 师：采访一下，这一回选大数的怎么输了呢？原来如此，因为21和15是合数，所以可以分解！来看21和15的分解结果，熟悉吗？你有一双慧眼，以前我们经常用这种写乘法来找因数，不过这些因数都很特别。例如，3和7既是21的因数又是质数，我们就把3和7称为21的质因数。在15＝3×5中，谁是谁的质因数，谁来说一说。（板书：质因数） 师：这儿也有个式子27＝3×9，你能说出谁是谁的质因数吗？小组里互相说一说！ 师：好，谁来说说看。咦，9什么不是27质因数？ 师：19和23都是质数，它们只能写成1乘它本身，是吗？虽然这种分解方法不符合我们的规定，但是19等于19乘1，它的因数有几和几，有质数吗？ 《质因数和分解质因数》反思 分解质因数在以往教材中是作为例题讲解，而在现行教材中，只是作为一个补充知识放在“你知道吗？”中介绍了一下，考虑到分解质因数在本单元非常重要，是求最大公因数、最小公倍数以及约分、通分的基础。因此我作为一个重要内容进行教学。分解质因数是在学生学习了因数和倍数、质数与合数以及能被2、5、3整除的数的特征的基础上进行教学的。 教学反思： 本节课的闪光点有： 1、复习设计很简洁、有新意，一个数60，一下子就吸引了学生的注意力，学生在课堂上可以根据自己前面学习的知识，对这个60做了介绍。有的学生开始思维还有所局限，在同学们的引导下，思维变得非常活跃，为后续学习做好了铺垫。 2、教师的第二个要求：“你能把60写成几个因数相乘的形式吗？”一下子又将学生的思维聚集到了本节课要学习的主要内容上，学生利用知识迁移，很快完成了这一任务，教师乘胜追击，你能写出三个因数相乘、四个因数相乘、五个因数相乘吗？学生又根据两个变三个、三个变四个，但不能再变五个因数相乘了，进而老师引导为什么不能写出五个因数相乘？这样的一个类似游戏的过程，深神地吸引了学 生，而整个过程中，教师只是起了一个引导的作用，引发学生思考，引导学生参与，提高学生学习积极性，用一根细细的线放飞了学生的思维，通过学生主动探究新知的过程，把一个合数60写成了四个质数相乘的形式，也就是在经历这个知识的形成过程。在这个基础上，教师再适时引出质因数、分解质因数的概念就水到渠成了。 3、“你能说出20以内的合数吗？你能将这些合数分解质因数吗？”这个任务是在学生知道了什么叫分解质因数以后进行的一个巩固练习。我认为这个要求很适合，因为20以内的合数数很小，学生分解的难度较小，能够很好地巩固分解质因数。 4、练习设计抓住学生理解上的盲点，较好地突破了概念理解上的几个误区。 本节课的几个不足： 1、整节课由于教师很清楚只有合数才能分解质因数，但学生却不知道，教师如果设计一个辨别题，让学生自己思考为什么质数不能分解质因数，而只有合数才能分解质因数。我想这样学生对分解质因数的适用范围和分解质因数的意义就会理解更好。 2、由于前面都只注重了学生分解质因数的思维，而在讲解用短除法分解质因数的时候，力度不够，或者是学生懒得写过程，因此在作业中学生的书写格式掌握得不够好，这 沪教版六年级上分解素因数教案与试 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 重点:分解素因数 【知识要点】 1.素数：一个正整数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数。 2.合数：一个正整数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数。 3.素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。 4.分解素因数：把一个合数分解成几个素数乘积的形式，叫做分解素因数。 5.分解素因数的方法： （1）“树枝分解法” （2）短除法 （3）计算器分解法 短除法分解素因数一般从最小的素因数开始除，除到商为1为止。 2、公因数：若整数a、b都能被整数c整除，则称c是a和b的公因数，a、b的公因数中最大的一个数叫做a、b的最大公因数；1是任意几个整数的公因数；若a是b的倍数，则a和b的最大公因数是b. 3、互素：若两个整数的最大公因数是1时（只有公因数1），则这两个数互素。 4、用短除法求最大公因数：一般地，从公有的最小的素因数开始除，直到两个商互素为止，短除式的左列数字的乘积就是它们的最大公因数。 【典型例题】 1、在正整数中，既不是素数也不是合数的数是_____，既是素数又是偶数的数是_____ 2、分解素因数: 252 3465 3、小明用48元钱按零售价买了若干张练习本，如果按批发价购买，每本便宜2元，这样恰好多买4本，问零售价每本多少元？（每本的价钱为整数）。 4、5580共有多少个素因数，多少个因数，最大的因数是多少，最大的两位数因数是多少？ 【巩固练习】 1、构成自然数a的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360，求满足条件a的最大值。 2 、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。 （A）素数（B）互素数（C）素因数（D）公因数 备课时间：20150316 上课时间：总课时数_22__ 质因数和分解质因数 教学目标： 使同学掌握质因数和分解质因数的概念，学会分解质因数的方法，培养同学分析和推理的能力。 教学重点：掌握质因数和分解质因数的概念。 教学难点：学会分解质因数的方法。 教学用具：教学光盘 前课堂 一、学习目标：掌握质因数和分解质因数的概念，学会分解质因数的方法。 二、学习任务 任务一：预习例7、例8，了解什么是质因数和分解质因数。 任务二：写出下面各数的所有因数。 15的因数 36的因数 18的因数 49的因数 三、评价生成 根据自主学习情况，记录自己的收获和困惑，以备课堂交流。 课堂 一、交流释疑 1．要求每个同学说出20以内的质数。 2．指名说出什么叫合数？什么叫质数？ 3．判断下面哪几个数是合数？ 5、6、23、28、31、60 二、精讲点拨 1．理解什么叫做分解质因数。 （1）理解每个合数都可以写成比它自身小的两个数相乘的形式。 先把例7中的质数写成两个数相乘的形式。 指名说，教师填写：（1）×（5）＝5 再把例7中的合数28写成两个数相乘的形式。 指名说，教师填写：有几种写几种。 引导同学比较上面的等式，把质数和合数写成的两个数相乘的形式，有什么不同？ 同学回答后，教师归纳整理： 一个质数只能写成1和它自身相乘的形式，不能写成比它自身小的两个数相乘的形式；而合数除了可以写成1和它自身相乘的形式以外，还可以写成比它自身小的两个数相乘的形式。因为一个合数，除了1和它自身以外，还有别的因数。 （2）理解每个合数可以写成几个质数相乘的形式。 教学例8 教师说明，把30写成比它自身小的两个数相乘的形式，教师引导同学写出30的分解式，同时在黑板上板书出来。然后，可以引导同学想：15是合数怎么办？请同学们把每一个合数换成比它自身小的两个数相乘的形式。（教师巡视、发现问题。） 同学写完，指名说，教师板书： 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。板书“分解质因数” 着重说明书写的格式：把一个合数写成分解质因数的形式，要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号右边。通常把几个质因数依照从小到大的顺序排列。 做练一练，把各数分解质因数后，再写成质因数相乘的形式。 2．教学用短除法分解质因数。 2.我会探索用短除法求先同时除以公因数() 再同时除以公因数() 315934660和36的最大公因数。 260362182436 | 23018391218 一直除到几个数公 优质参考文档 求最大公因数预习卡预习卡：温故知新：将下列各数分解质因数? 30244218323660 新课先知：探索用分解质因数求最大公因数。 例：求60和36的最大公因数 60=2 X2 X3 X5; 36=2 X2 X3 X360 和36 的最大公因数=2 X2 X3=12 通过自学，我知道了用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先分别将要求的两个数分解()，再求出两个数的全部公有的()，算出他们连乘的积。就是它们的最大公因数。(相同的取一个，不同的都不取) 尝试练习1 :找出下列每两个数公有的质因数?动手圈一圈。 24 = 2 X2 X2 X336 = 2 X2 X3 X322 = 2 X1128 = 2 X2 X7 16 = 2 X X2 X248 = 2 X2 X2 X2 X366 = 2 X3 X1142 = 2 X3 X7 2.用分解质因数的方法求42和28 ; 16和40的最大公因数。 42= ()X()X() 16= ()X()X() 28= ()X()X() 40= ()X()X()() 42和28的最大公因数=()X() = () 16和40的最大公因数=()X()=() 除到两个商只有公因数()为止.53 (60、36 ) = ()X()X() =() (18、24、36 )()X()=() 通过自学，我知道了用短除法求两个数的最大公因数更简便，先用这两个数公有的()连续去除, 有的质因数只有 ()为止，然后把所有的除数连乘起来。(只乘除数不乘商) 尝试练习2 :用分短除法求42和28的最大公因数。 4228 153045 (42、28) = ()X() =() ( 15、30、45) = ()X()=() 预习检测：求下列每组数的最大公因数。 18 和2712 和24 9 和368 和3224 和3612、18 和24 5-3-4.分解质因数（一） 教学目标 1. 能够利用短除法分解2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且 表达形式唯一” 知识点拨 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法例如：212 263 ，（┖是短除法的符号）所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =???? 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 例题精讲 模块一、分解质因数 【例1】分解质因数20034=。 分解质因数_六年级数学教案_模板 教学目标 (一)理解质因数、分解质因数的意义。 (二)会把一个合数分解质因数，掌握用短除式分解质因数。 (三)培养学生观察分析，概括的能力。 教学重点和难点 (一)质因数与分解质因数的意义。 (二)用短除式分解质因数。 教学用具 投影片。 教学过程设计 (一)复习准备 1．请说出1～12这些数中的质数和合数。(投影片) 学生口答后，投影出示答案： ①2，3，5，7，11是质数； ②4，6，8，9，10，12是合数。 2．说一说质数与合数的区别？ 3．请想一想，第1题答案中的两组数，哪一组数能分成比它本身小的两个数相乘的形式？哪一组不能？为什么？ 学生口答后，老师指出：像这样的数，即合数，因为它们除了1和本身外，还有别的约数，所以都可以用几个比本身小的数相乘的形式表示出来。这节课就来研究要求连乘式子里的因数都是质数的情况。 (二)学习新课 1．质因数的意义，分别质因数的意义和方法。 (1)板书例3 6，28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？ 教师板书出6，学生口答后，老师再用塔式分解式写出2，3，圈上。 教师：用算式如何表示，学生口答后老师板书；6=2×3。 教师板书出28，学生口答后，老师按塔式分解式写出：4，7，7是质数，圈上。问：4老师为什么没圈？(4不是质数，继续分解。) 板书；2，2，圈上。请用算式表示。板书；28=2×2×7。 教师：请用上面的方法把60分成几个质数相乘的形式。老师巡视中请一位同学板书出塔式分解式和算式。(如下) (2)教师：请观察，(指塔式分解式和算式)每个合数都写成什么形式？(每个合数都写成了几个质数相乘的形式。) 教师：这些质数，在式子里与原来的合数是什么关系？(这些质数都是原来合数的因数。) 教师：像这样，把一个合数写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。板书：质因数。 找一个数的因数的方法答案 例1．现有草莓40个，可以平均分给多少个小朋友？ 考点：找一个数的因数的方法． 分析：根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出40的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，那就不是1个．由此解答． 解答：解：40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40． 根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个． 答：可以分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个小朋友． 点评：此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题． 例2．只有一个因数的数是1 只有两个因数的数是质数 有三个因数以上的数是合数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：数的整除． 分析：在自然数中，只有一个因数的数是1；除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数； 除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；据此解答即可． 解答：解：只有一个因数的数是1； 只有两个因数的数是质数； 有三个因数以上的数是合数． 故答案为：1；质数；合数． 点评：此题考查了质数与合数的含义以及找一个数的因数的方法．属于识记内容． 例3．有144块糖平均分成若干份，要求每份不得少于10颗，也不能多于50颗，那么一共有6种分法． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：约数倍数应用题． 分析：找到144的约数中大于10且小于50的即可求解． 解答：解：因为144=2×2×2×2×3×3，所以144在10到50之间的约数有：12、16、18、24、 36、48，所以有6种； 答：一共有6种分法． 故答案为：6． 点评：解答此题的关键是先把144进行分解质因数，然后找出符合条件的数解答即可． 例4．a、b、c是三个互不相等的自然数，而且a÷b=c，a至少有4个约数． 考点：找一个数的因数的方法． 专题：压轴题． 分析：首先a．b．c肯定是a的因数，而且互不相等，所以算三个；然后考查1，1肯定是a 的因数，问题是会不会与上面的三个重复 课题《分解质因数》教学设计 教学内容：冀教版《数学》四年级上册第92、93页 教学目标： 1、在自主写算式、小组合作验证等学习活动中，经历认识质因数、分解质因数的过程。 2、知道质因数，会把一个数分解质因数。 3、在小组合作中积极与他人交流，体验合作学习的收获和乐趣。 教学过程： 一、课前交流 （因为讲课之前对学生毫无了解，所以课前利用15分钟与学生交流） 1、同学们，今天这么多的老师来这里听课，我们应该有什么表示？（欢迎老师们来听课并渲染气氛）今天由我来和大家一起上一节数学课，我想，从你们上小学开始到现在，我们互相认识一下好吗？先介绍一下你自己。（此时对学生说话提出相应的要求，目的是了解一下学生的课堂语言及表达能力）。然后：那你想了解老师什么呀？（姓名，年龄，体重，身高，职业等等） （本着为本节课服务的要求，对学生提出的年龄、身高、体重等数据适时板书。）年龄：你看看老师有多大呀？把你估计的结果写在黑板横线的下面，同时对估计准确地加以表扬。体重：同上。身高同上 2、你对老师有什么希望？（认真倾听学生对老师的期望，尽可能的做到）。 3、老师也提出几点希望：仔细倾听、认真思考、大胆发言（12个字）能不能做到？（最上说不行，老师要看看实际行动）我们先试一下好不好： 看看黑板，今天老师剪了一个大大的“数”字。那么，在这一单元的学习中，那么关于数，你知道那些知识：（自然数、奇数、偶数、倍数、因数、质数、合数）结合黑板上的“数”，以连线的形式把前面学过的知识与“数”连起来。 4、结合具体的数字（前面学生猜老师的身高、体重、年龄）分出质数和合数。 （同学们的表现真不错，准备好了吗？那么我们开始上课好吗？） 二、情境引入： 看来同学们对数的知识了解得还真多。看！这么多。但是在看一看“数”，好像告诉我们还有需要我们了解和研究的呢。（“数”字的笔画较多，“散”头很多，学生学过的“自然数、奇数、偶数、倍数、因数、质数、合数”连完之后还剩好多“头”）这节课我们继续研究“数”。从哪儿开始呢？这样吧，先从老师的年龄入手怎么样？（数比较小）（先选36——我今年36岁，估计课上学生猜年龄的时候应该出现，若不出现，教师在学生猜完年龄之后告诉学生老师的实际年龄。）， 三、探究与体验 1、认识质因数 刚才我们知道了36是一个合数，现在老师提出一个要求，把36写成几个因数相乘的形式，但不能出现1，能不能做到？开始吧！一会儿要向大家汇报你写的结果是什么， 主要形式：36=2×2×3×3 36=2×3×6 36=2×2×9 36=4×9 36=2×18 36=3×12 36=6×6 36=4×3×3等等 分析研究： 同学们写出的算式真多。把36写成几个因数相乘的形式，有这么多！我们一齐来看一看这些算式：它们（指着算式后面的数）都可以说成是36的因数。从这些算式里，你能发现点什么？ 引导学生发现：因数有多有少；有的还可以接着分解；其它的通过分解之后都可以写成36=2×2×3×3的形式；36=2×2×3×3的因数最多等等。 第2节分解素因数 一、选择题（共12小题；共60分） 1. 与的最小公倍数是 A. B. C. D. 2. 下列各数不是的因数的是 A. B. C. D. 3. 下列自然数中，素数是 A. B. C. D. 4. 自然数的所有的素因数的和是 A. B. C. D. 5. 下列各组数中互素的是 A. 和 B. 和 C. 和 6. 下列说法正确的是 A. 因为，所以是的倍数 B. 所有的偶数都是合数 C. 两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数 D. 是所有正整数的因数 7. 两个数的公倍数一定这两个数的公因数． A. B. C. D. 8. 下列说法错误的是 A. 的素因数有个 B. 和都是的素因数 C. 分解素因数是 D. 分解素因数是 9. 和的公因数有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 已知整数和的最大公因数是，则和的最小公倍数是 A. B. C. D. 11. ，，都是的 A. 素数 B. 因数 C. 素因数 D. 倍数 12. 甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 A. 甲数 B. 乙数 C. D. 没有 二、填空题（共8小题；共40分） 13. 几个数公有的，叫做这几个数的公倍数． 14. 如果和的最大公因数是，且，，那么． 15. 数既是的因数，又是的倍数，则把分解素因数，结果是． 16. 的因数中，两两互素的数有对． 17. 判断题． ．所有的偶数都是合数，所有的奇数都是素数． ．某数是 ．的素因数是和 ．一个素数，它的因数也都是素数． ．把分解素因数是： ．两个不同的素数，它们一定互素． ．甲数除以乙数的商正好是 ．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身． 18. 自然数中，最小的素数是，最小的合数是，最小的奇素数是，最小 的偶数是，既是偶数又是素数的数是． 19. 的最大的因数是，的最小的倍数是，，的最小公倍数是． 20. 规定一种新运算：对于不小于的正整数，表示不是的因数的最小正整数，如的因数 是和，所以；再如的因数是，，和，所以等等，请你在理解这种新运算的基础上，求． 三、解答题（共4小题；共50分） 21. 两个素数的和是，积是，这两个素数分别是多少? 22. 按要求完成下图． 23. 有一批图书总数在本以内，若按本书包成一捆，最后一捆差本书；若按本书包 成一捆，最后一捆还是差本书；若按本书包成一捆，最后一捆是本书，这批图书共有多少本? 备课时间：20150316 上课时间：20150402 总课时数_22__ 质因数和分解质因数 教学目标： 1.使同学掌握质因数和分解质因数的概念，知道合数能写成质因数相乘的形式，能把合数分解质因数；了解可以用短除法分解质因数。 2. 使学生主动参加探究活动，再探索分解质因数的过程中获得成功。 教学重点：掌握质因数和分解质因数的概念。 教学难点：学会分解质因数的方法。 教学用具：教学光盘 前课堂 一、学习目标： 掌握质因数和分解质因数的概念，学会分解质因数的方法。二、学习任务督促学生完成任务单。 任务一：预习例7、例8，了解什么是质因数和分解质因数。 任务二：写出下面各数的所有因数。 15的因数 36的因数 18的因数 49的因数 三、评价生成 根据自主学习情况，记录自己的收获和困惑，以备课堂交流。 课堂 一、交流释疑 1．要求每个同学说出20以内的质数。 2．指名说出什么叫合数？什么叫质数？ 3．判断下面哪几个数是合数？ 5、6、23、28、31、60 二、精讲点拨 1．理解什么叫做分解质因数。 （1）理解每个合数都可以写成比它自身小的两个数相乘的形式。 先把例7中的质数写成两个数相乘的形式。 再把例7中的合数28写成两个数相乘的形式。 指名说，教师填写：有几种写几种。 引导同学比较上面的等式，把质数和合数写成的两个数相乘的形式，有什么不同？ 同学回答后，教师归纳整理： 一个质数只能写成1和它自身相乘的形式，不能写成比它自身小的两个数相乘的形式。 （2）理解每个合数可以写成几个质数相乘的形式。 2.教学例8 教师说明，把30写成比它自身小的两个数相乘的形式，教师引导同学写出30的分解式，同时在黑板上板书出来。然后，可以引导同学想：15是合数怎么办？请同学们把每一个合数换成比它自身小的两个数相乘的形式。（教师巡视、发现问题。） 同学写完，指名说，教师板书： 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。板书“分解质因数” 着重说明书写的格式：把一个合数写成分解质因数的形式，要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号右边。 做练一练，把各数分解质因数后，再写成质因数相乘的形式。 2．教学用短除法分解质因数。 上面老师板书的分解质因数的过程，书写起来比较麻烦，为了简便，通常用短除法来分解质因数。 六年级数学数的整除、分解质因数的特征及性质班级姓名座号成绩 1、整除的概念： 对于某个整数a和一个不为0的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数（即余数为0），我们就说a能被b整除，或者说b能整除a，记作b / a，显然，0是任何自然数的倍数，但不是任何自然数的约数，而1是任何整数的约数，即任何整数都是1的倍数。 2、整除的性质 数的整除性有许多，常用的有以下四种： （1）如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和（a+b）及差（a－b）也能被c整除。如：18能被3整除，12能被3整除，那么它们的和18+12=30及 18－12=6也能被3整除。 （2）如果数a能被数b整除，数b又能被数c整除，则数a能被数c整除。如果32能被8整除，8能被4整除，则32能被4整除。 （3）若干个数相乘，其中有一个因数a能被数b整除，则它们的积也能被数b整除。如式子：11×12×13×14×15×16×17中的15能被5整除，则 11×12×13×14×15×16×17的积也能被5整除。 （4）若一个数被两个互质数中的每一个数整除，则这个数能被这两个互质数的积整除。如36能分别被互质数3和4整除，则36能被3和4的积12整除。推论：若一个数能被两个互质数的积整除，则这个数能被这两个互质数整除。 如72能被互质数4和9的积36整除。 例1：六位数3ABABA是6的倍数，这们的六位数有多少个？ 解：因为六位数3ABABA是6的倍数，即能被6整除，而6=2×3，且2和3互质，所以六位数3ABABA能同时被2和3整除。六位数3ABABA能被2整除，则可取A为0、2、4、6、8五个数。又因六位数3ABABA能被3整除，而3+A+B+A+B+A=3A+3+2B，则B可取0、3、6、9四个数。 所以，符合条件的有4×5=20个。 能被4，25整除的数 若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除， 如：97524，4 / 24 则4 / 97524。 用短除法分解质因数教学设计 平南县丹竹镇长岐塘小学蔡恒坤 教学内容：教科书第56页“你知道吗”分解质因数 教学目的： 1、认识短除符号及被除数、除数和商的正确位置 2、用短除法分解质因数的书写格式 教学重、难点： 用短除法分解质因数，正确书写分解质因数的格式 教具准备：多媒体 教学过程： 一、复习准备 1、什么是质数，什么是合数？ 随着学生回答，出示： 质数：只有1和它本身两个约数 合数：除了1和它本身还有别的约数 2、下面哪些数是质数，哪些数是合数？ 1 3 6 28 53 60 97 3、把上面的合数用比它本身小的两个整数相乘的形式表示出来。 师：分析上面的三个式子，你觉得那个式子的两个数是最有特点的？表现在什么地方？ 二、导入新课 我们来观察6、28这两个合数，它们都可以写成由几个 质数相乘得到： 6=2×3 28=2×2×7 师：现在我们就在这些知识的基础上学习运用短除法分 解质因数. 板书课题：用短除法分解质因数 师：刚才我们复习了把一些合数的写成整数相乘的形式，这样分解起来比较麻烦， 为了简便，通常我们用短除法来分解质因数。 教师向学生介绍短除法是把除法竖式中除的过程加以简化，除的时候 每次把除数写在被除数的左边，把商写在被除数的下面。并以10和28为例向学生具体介绍短除法的书写方法，被除数在哪里，除数在哪里，商又写 在哪里。然后重点问学生用什么作除数？为什么要用这个数作除数。教学 生分解质因数： 2 6 2 28 2 14 3 7 6=2×3 28=2×2×7 师:请大家用短除法将60分解质因数。（集体订证） 师：谁能把用短除法分解质因数的方法归纳一下 引导学生归纳：写出短除式———用能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除 ———商如果是合数，照上面的方法除下去，直到商是质数为止———把除数和最后的商写成连乘的形式。 三、巩固练习 1、把下面各数用短除法进行分解质因数： 12、16、72 四、小结 说说你怎样用短除法对两个数进行分解质因数？找一个数的因数的方法 - 答案
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