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高考不定期考查内容:定积分专项问题只需要这一篇文章!

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定积分相关问题

1. 定积分的几何意义:

()b

a

f x dx ⎰

实际上表示的是0()

x a

x b y y f x =⎧⎪=⎪

=⎪⎪=⎩这四条线围成的曲边梯形的面积或曲边梯形面积的相反数,特别注意,定积分计算的结果,是一个可正可负可以为零的常数。

f (x )称为被积函数,b ,a 称为积分的上、下限,dx 称为被积元素,也就是指对谁积分的意思。

2. 常用到的运算公式:

[()()]()();

()();

()()(),();

()0,()0;

()(),()();

b

b

b

a a

a

b

b

a a

b

c b

a

a

c

b a

b

b

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx f x dx f x dx f x dx a c b f x f x dx f x g x f x dx g x dx ±=±==+<<>>>>⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

尤其是第三个性质,多用于分段函数和含有绝对值的函数求定积分,一定要注意掌握运用。

高考考察定积分,多是要考察定积分的计算,定积分的计算有两种方法,一是利用公式,也就是定积分基本公式(也叫牛顿莱布尼茨公式),即

()()|()()

b

b a

a

f x dx F x F b F a ==-⎰

,F (x )是f (x )的一个原函数,也就是F (x )求导后,得

到f (x ),F(X)不是唯一的。这个公式法需要考生要特别熟悉导数中我们所学的求导公式。二是利用定积分的几何意义,此时的f (x )已经无法找寻原函数,也就意味着不需要再找原函数,而是要考虑定积分的几何意义,需要画出图像,也就是本专项所讲的第一个性质,这种问题中的被积函数一般都与不完整圆相关,例如被积函
数所表示的是半圆或四分之圆等。 3. 求

到f (x ),F(X)不是唯一的。这个公式法需要考生要特别熟悉导数中我们所学的求导公式。二是利用定积分的几何意义,此时的f (x )已经无法找寻原函数,也就意味着不需要再找原函数,而是要考虑定积分的几何意义,需要画出图像,也就是本专项所讲的第一个性质,这种问题中的被积函数一般都与不完整圆相关,例如被积函数所表示的是半圆或四分之圆等。 3. 求

()a

a

f x dx -⎰

,需要对()f x 的奇偶性进行判断,当()f x 为奇函数时,()a

a

f x dx -⎰=0,当()f x 为,偶函数时,

()a

a

f x dx -⎰

=20

()a f x dx ⎰。

下述习题包含各种类型。 1.若

=T

dx x 0

29,则常数T 的值为(

)。

2.直线x y 4=与曲线3

x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )。

3.曲线x y =,直线2-=x y 及y 轴所围成的图形面积为( )。

4.若⎰

+=1

2

)(2

)(dx x f x x f ,则⎰1

)(dx x f =(

)。

5.设⎪⎩⎪

⎨⎧≤+>=⎰a

x dt t x x x x f 0

2

0,30,lg )(,若f(f(1))=1,则a=( )。

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