专题强化三 动力学两类基本问题和临界极值问题
专题解读 1.本专题是动力学方法处理动力学两类基本问题、多过程问题和临界极值问题，高考在选择题和计算题中命题频率都很高.
2.学好本专题可以培养同学们的分析推理能力，应用数学知识和方法解决物理问题的能力.
3.本专题用到的规律和方法有：整体法和隔离法、牛顿运动定律和运动学公式、临界条件和相关的数学知识.
一、动力学的两类基本问题
1.由物体的受力情况求解运动情况的基本思路：
先求出几个力的合力，由牛顿第二定律(F 合＝ma )求出加速度，再由运动学的有关公式求出速度或位移.
2.由物体的运动情况求解受力情况的基本思路：
已知加速度或根据运动规律求出加速度，再由牛顿第二定律求出合力，从而确定未知力.应用牛顿第二定律解决动力学问题，受力分析和运动分析是关键，加速度是解决此类问题的纽带，分析流程如下： 受力情况(F 合)
F 合＝ma
加速度a
运动学公式
运动情况(v 、x 、t )
自测1 (多选)(2016·全国卷Ⅱ·19)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量.两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关.若它们下落相同的距离，则( ) A.甲球用的时间比乙球长
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功 答案 BD
解析 小球的质量m ＝ρ·4
3πr 3，由题意知m 甲>m 乙，ρ甲＝ρ乙，则r 甲>r 乙.空气阻力f ＝kr ，对
小球由牛顿第二定律得，mg －f ＝ma ，则a ＝mg －f m ＝g －kr ρ·43πr 3＝g －3k
4πρr 2
，可得a 甲>a 乙，由
h ＝1
2
at 2知，t 甲
乙，由球克服阻力做功W f ＝f h 知，甲球克服阻力做功较大，选项D 正确.
二、动力学中的临界与极值问题 1.临界或极值条件的标志
(1)题目中“刚好”“恰好”“正好”等关键词句，明显表明题述的过程存在着临界点. (2)题目中“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词句，表明题述过程存在着“起止点”，而这些“起止点”一般对应着临界状态.
(3)题目中“最大”“最小”“至多”“至少”等词句，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点. 2.常见临界问题的条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0. (2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值.
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是F T ＝0.
(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力为零.
自测2 (2015·山东理综·16)如图1，滑块A 置于水平地面上，滑块B 在一水平力作用下紧靠滑块A (A 、B 接触面竖直)，此时A 恰好不滑动，B 刚好不下滑.已知A 与B 间的动摩擦因数为μ1，A 与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.A 与B 的质量之比为( )
图1
A.1μ1μ2
B.1－μ1μ2
μ1μ2
C.1＋μ1μ2μ1μ2
D.2＋μ1μ2μ1μ2
答案 B
解析 对物体A 、B 整体在水平方向上有F ＝μ2(m A ＋m B )g ；对物体B 在竖直方向上有μ1F ＝m B g ；联立解得：m A m B ＝1－μ1μ2
μ1μ2
，选项B 正确.
命题点一 动力学两类基本问题
1.解题关键
(1)两类分析——物体的受力分析和物体的运动过程分析；
(2)两个桥梁——加速度是联系运动和力的桥梁；速度是各物理过程间相互联系的桥梁. 2.常用方法 (1)合成法
在物体受力个数较少(2个或3个)时一般采用合成法. (2)正交分解法
若物体的受力个数较多(3个或3个以上)时，则采用正交分解法. 类型1 已知物体受力情况，分析物体运动情况
例1 (2014·课标全国卷Ⅰ·24)公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离.当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰.通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s.当汽车在晴天干燥沥青路面上以108 km/h 的速度匀速行驶时，安全距离为120 m.设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因数为晴天时的2
5.若要求安全距离仍为120 m ，求汽车在雨天安全行驶的最大速度.
答案 20 m/s
解析 设路面干燥时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ0，刹车时汽车的加速度大小为a 0，安全距离为s ，反应时间为t 0，由牛顿第二定律和运动学公式得 μ0mg ＝ma 0
① s ＝v 0t 0＋v 20
2a 0
②
式中，m 和v 0分别为汽车的质量和刹车前的速度.
设在雨天行驶时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，依题意有μ＝2
5
μ0
③
设在雨天行驶时汽车刹车的加速度大小为a ，安全行驶的最大速度为v ，由牛顿第二定律和运动学公式得 μmg ＝ma ④ s ＝v t 0＋v 22a
⑤
联立①②③④⑤式并代入题给数据得 v ＝20 m/s(v ＝－24 m/s 不符合实际，舍去)
变式1 如图2所示滑沙游戏中，做如下简化：游客从顶端A 点由静止滑下8 s 后，操纵刹车手柄使滑沙车匀速下滑至底端B 点，在水平滑道上继续滑行直至停止.已知游客和滑沙车的
总质量m ＝70 kg ，倾斜滑道AB 长l AB ＝128 m ，倾角θ＝37°，滑沙车底部与沙面间的动摩擦因数μ＝0.5.滑沙车经过B 点前后的速度大小不变，重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力.
图2
(1)求游客匀速下滑时的速度大小； (2)求游客匀速下滑的时间；
(3)若游客在水平滑道BC 段的最大滑行距离为16 m ，则他在此处滑行时，需对滑沙车施加多大的水平制动力？
答案 (1)16 m/s (2)4 s (3)210 N
解析 (1)由mg sin θ－μmg cos θ＝ma ，解得游客从顶端A 点由静止滑下的加速度a ＝2 m/s 2.游客匀速下滑时的速度大小为v ＝at 1＝16 m/s.
(2)加速下滑路程为l 1＝1
2at 12＝64 m ，匀速下滑路程l 2＝l AB －l 1＝64 m ，游客匀速下滑的时间
t 2＝l 2
v ＝4 s.
(3)设游客在BC 段的加速度大小为a ′，由0－v 2＝－2a ′x
解得a ′＝0－v 2
－2x ＝8 m/s 2，由牛顿第二定律得F ＋μmg ＝ma ′，解得制动力F ＝210 N.
类型2 已知物体运动情况，分析物体受力情况
例2 (2014·课标全国卷Ⅱ·24)2012年10月，奥地利极限运动员菲利克斯·鲍姆加特纳乘气球升至约39 km 的高空后跳下，经过4分20秒到达距地面约1.5 km 高度处，打开降落伞并成功落地，打破了跳伞运动的多项世界纪录.取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2.
(1)若忽略空气阻力，求该运动员从静止开始下落至1.5 km 高度处所需的时间及其在此处速度的大小；
(2)实际上，物体在空气中运动时会受到空气的阻力，高速运动时所受阻力的大小可近似表示为f ＝k v 2，其中v 为速率，k 为阻力系数，其数值与物体的形状、横截面积及空气密度有关.已知该运动员在某段时间内高速下落的v —t 图象如图3所示.若该运动员和所带装备的总质量m ＝100 kg ，试估算该运动员在达到最大速度时所受阻力的阻力系数.(结果保留1位有效数字)
图3
答案 (1)87 s 8.7×102 m/s (2)0.008 kg/m
解析 (1)设该运动员从开始自由下落至1.5 km 高度处的时间为t ，下落距离为s ，在1.5 km 高度处的速度大小为v .根据运动学公式有 v ＝gt
① s ＝12gt 2
②
根据题意有
s ＝3.9×104 m －1.5×103 m ＝3.75×104 m
③
联立①②③式得 t ≈87 s ④ v ≈8.7×102 m/s
⑤ (2)该运动员达到最大速度v max 时，加速度为零，根据平衡条件有mg ＝k v max 2 ⑥ 由所给的v —t 图象可读出v max ≈360 m/s
⑦
由⑥⑦式得k ≈0.008 kg/m
变式2 如图4甲所示，质量m ＝1 kg 的物块在平行斜面向上的拉力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，t ＝0.5 s 时撤去拉力，利用速度传感器得到其速度随时间的变化关系图象(v －t 图象)如图乙所示，g 取10 m/s 2，求：
图4
(1)2 s 内物块的位移大小x 和通过的路程L ；
(2)沿斜面向上运动的两个阶段加速度大小a 1、a 2和拉力大小F . 答案 (1)0.5 m 1.5 m (2)4 m/s 2 4 m/s 2 8 N
解析 (1)在2 s 内，由题图乙知： 物块上升的最大距离：x 1＝1
2×2×1 m ＝1 m
物块下滑的距离：x 2＝1
2×1×1 m ＝0.5 m
所以位移大小x ＝x 1－x 2＝0.5 m 路程L ＝x 1＋x 2＝1.5 m
(2)由题图乙知，所求两个阶段加速度的大小 a 1＝4 m/s 2 a 2＝4 m/s 2
设斜面倾角为θ，斜面对物块的摩擦力为F f ，根据牛顿第二定律有 0～0.5 s 内：F －F f －mg sin θ＝ma 1 0.5～1 s 内：F f ＋mg sin θ＝ma 2 解得F ＝8 N
命题点二 多物体多过程问题
1.将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接.
2.对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图.
3.根据“子过程”“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程.
4.分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程.
5.联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论.
例3 (2015·全国卷Ⅱ·25)下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害.某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°＝35)的山坡C ，上面有一质量为m 的石板B ，其上下表面与斜坡平行；B
上有一碎石堆A (含有大量泥土)，A 和B 均处于静止状态，如图5所示.假设某次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m (可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A 、B 间的动摩擦因数μ1减小为3
8，B 、C 间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A 、B 开始运动，此时刻为计时起点；在第2 s
末，B 的上表面突然变为光滑，μ2保持不变.已知A 开始运动时，A 离B 下边缘的距离l ＝27 m ，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.取重力加速度大小g ＝10 m/s 2.求：
图5
(1)在0～2 s时间内A和B加速度的大小；
(2)A在B上总的运动时间.
答案(1)3 m/s2 1 m/s2(2)4 s
解析(1)在0～2 s时间内，A和B的受力如图所示，其中F f1、F N1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，F f2、F N2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示.由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得
F f1＝μ1F N1 ①
F N1＝mg cos θ②
F f2＝μ2F N2 ③
F N2＝F N1′＋mg cos θ，F N1′＝F N1 ④
规定沿斜面向下为正.设A和B的加速度分别为a1和a2，由牛顿第二定律得
mg sin θ－F f1＝ma1 ⑤
mg sin θ－F f2＋F f1′＝ma2，F f1′＝F f1 ⑥
联立①②③④⑤⑥式，并代入题给条件得
a1＝3 m/s2 ⑦
a2＝1 m/s2. ⑧
(2)在t1＝2 s时，设A和B的速度分别为v1和v2，则
v1＝a1t1＝6 m/s ⑨
v2＝a2t1＝2 m/s ⑩
2 s 后，设A 和B 的加速度分别为a 1′和a 2′.此时A 与B 之间摩擦力为零，同理可得 a 1′＝6 m/s 2
? a 2′＝－2 m/s 2
?
由于a 2′＜0，可知B 做减速运动.设经过时间t 2，B 的速度减为零，则有 v 2＋a 2′t 2＝0
? 联立⑩??式得t 2＝1 s
?
在t 1＋t 2时间内，A 相对于B 运动的距离为
x ＝????12a 1t 21＋v 1t 2＋12a 1′t 22－????12a 2t 21＋v 2t 2＋12a 2′t 22＝12 m ＜27 m
?
此后B 静止不动，A 继续在B 上滑动.设再经过时间t 3后A 离开B ，则有 l －x ＝(v 1＋a 1′t 2)t 3＋1
2
a 1′t 32
? 可得t 3＝1 s(另一解不合题意，舍去)
?
设A 在B 上总的运动时间t 总，有t 总＝t 1＋t 2＋t 3＝4 s
变式3 (2018·华中师范大学附中模拟)如图6甲所示为一倾角θ＝37°足够长的斜面，将一质量m ＝1 kg 的物体在斜面上静止释放，同时施加一沿斜面向上的拉力，拉力随时间变化关系图象如图乙所示，物体与斜面间动摩擦因数μ＝0.25.取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图6
(1)2 s 末物体的速度大小； (2)前16 s 内物体发生的位移.
答案 (1)5 m/s (2)30 m ，方向沿斜面向下
解析 (1)分析可知物体在前2 s 内沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得
mg sin θ－F 1－μmg cos θ＝ma 1，
v 1＝a 1t 1， 代入数据可得 v 1＝5 m/s.
(2)设物体在前2 s 内发生的位移为x 1，则 x 1＝1
2
a 1t 12＝5 m.
当拉力为F 2＝4.5 N 时，由牛顿第二定律可得 mg sin θ－μmg cos θ－F 2＝ma 2， 代入数据可得a 2＝－0.5 m/s 2， 物体经过t 2时间速度减为零，则 0＝v 1＋a 2t 2， t 2＝10 s ，
设t 2时间内发生的位移为x 2，则 x 2＝v 1t 2＋1
2
a 2t 22＝25 m ，
由于mg sin θ－μmg cos θ 1.基本思路 (1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律； (4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系. 2.思维方法 例4 如图7所示，在水平长直的轨道上，有一长度L ＝2 m 的平板车在外力控制下始终保持速度v 0＝4 m/s 向右做匀速直线运动.某时刻将一质量为m ＝1 kg 的小滑块轻放到车上表面的中点，滑块与车面间的动摩擦因数为μ＝0.2，取g ＝10 m/s 2，求： 图7 (1)小滑块m 的加速度大小和方向； (2)通过计算判断滑块能否从车上掉下； (3)若当滑块放到车上表面中点的同时对该滑块施加一个与v 0同向的恒力F ，要保证滑块不能从车的左端掉下，恒力F 大小应满足什么条件？ 答案 见解析 解析 (1)滑块放上车时相对车向左运动，所受滑动摩擦力向右，F f ＝μmg ， 根据牛顿第二定律有F 合＝F f ， F 合＝ma ， 得滑块加速度a ＝μg ＝2 m/s 2，方向向右. (2)滑块放上车后做匀加速直线运动，设当经历时间t 之后速度达到v 0，滑块通过位移x 1＝12at 2 且v 0＝at ， 车通过位移x 2＝v 0t ， 位移差Δx ＝x 2－x 1， 由于Δx >L 2 ＝1 m ，故滑块会掉下来. (3)加上恒力F 的方向与摩擦力方向相同，故滑块所受合力F 合′＝F f ＋F ， 由牛顿第二定律有F 合′＝ma ′， 滑块放上车后做匀加速直线运动，设当经历时间t ′之后速度达到v 0，滑块通过位移x 1′＝1 2 a ′t ′2， 且v 0＝a ′t ′， 车通过位移x 2′＝v 0t ′， 只需要满足位移差 Δx ′＝x 2′－x 1′≤L 2即可， 联立以上各式有F ≥6 N. 变式4 如图8所示，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增加，在增大到45 N 的过程中，则( ) 图8 A.当拉力F <12 N 时，物体均保持静止状态 B.两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动 C.两物体从受力开始就有相对运动 D.两物体始终没有相对运动 答案 D 解析 A 、B 一起加速运动是因为A 对B 有静摩擦力，但由于静摩擦力存在最大值，所以B 的加速度有最大值，可以求出此加速度下拉力的大小，如果拉力再增大，则物体间就会发生相对滑动，所以这里存在一个临界点，就是A 、B 间静摩擦力达到最大值时拉力F 的大小.以A 为研究对象进行受力分析，受水平向右的拉力和水平向左的静摩擦力，有F －F f ＝m A a ；再以B 为研究对象，受水平向右的静摩擦力F f ＝m B a ，当F f 为最大静摩擦力时，解得a ＝F f m B ＝ μm A g m B ＝12 2 m/s 2＝6 m/s 2，有F ＝48 N.由此可以看出，当F <48 N 时，A 、B 间的摩擦力达不到最大静摩擦力，也就是说，A 、B 间不会发生相对运动，故选项D 正确. 变式5 如图9所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球，静止时，箱子顶部与球接触但无压力.箱子由静止开始向右做匀加速直线运动，然后改做加速度大小为a 的匀减速直线运动直至静止，经过的总位移为x ，运动过程中的最大速度为v . 图9 (1)求箱子加速阶段的加速度大小； (2)若a >g tan θ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力大小. 答案 (1)a v 2 2ax －v 2 (2)0 m ????a tan θ－g 解析 (1)设箱子加速阶段的加速度为a ′，经过的位移为x 1，减速阶段经过的位移为x 2，有v 2 ＝2a ′x 1，v 2 ＝2ax 2，且x 1＋x 2＝x ，解得a ′＝ a v 2 2ax －v 2 . (2)如果球刚好不受箱子作用，箱子的加速度设为a 0，应满足F N sin θ＝ma 0，F N cos θ＝mg ，解得a 0＝g tan θ.箱子减速时加速度水平向左，当a >g tan θ时，箱子左壁对球的作用力为零，顶部对球的力不为零.此时球受力如图，由牛顿第二定律得，F N ′cos θ＝F ＋mg ，F N ′sin θ＝ma ，解得F ＝m ??? ?a tan θ－g . 1.如图1所示，一质量为1 kg 的小球套在一根固定的直杆上，直杆与水平面夹角θ为30°.现小球在F ＝20 N 的竖直向上的拉力作用下，从A 点静止出发向上运动，已知杆与球间的动摩擦因数为 3 6 .试求： 图1 (1)小球运动的加速度大小； (2)若F 作用1.2 s 后撤去，求小球上滑过程中距A 点最大距离. 答案 (1)2.5 m/s 2 (2)2.4 m 解析 (1)在力F 作用下，由牛顿第二定律得(F －mg )sin 30°－μ(F －mg )cos 30°＝ma 1 解得a 1＝2.5 m/s 2 (2)刚撤去F 时，小球的速度v 1＝a 1t 1＝3 m/s 小球的位移x 1＝v 1 2 t 1＝1.8 m 撤去力F 后，小球上滑时，由牛顿第二定律得mg sin 30°＋μmg cos 30°＝ma 2 解得a 2＝7.5 m/s 2 小球上滑时间t 2＝v 1 a 2＝0.4 s 上滑位移x 2＝v 1 2 t 2＝0.6 m 则小球上滑的最大距离为x m ＝x 1＋x 2＝2.4 m. 2.如图2所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，物块在A 点的速度为v 0＝2 m/s ，A 、B 之间的距离L ＝10 m.已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝3 3 .重力加速度g 取10 m/s 2. 图2 (1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小. (2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 答案 (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30° 133 5 N 解析 (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得 L ＝v 0t ＋1 2at 2 ① v ＝v 0＋at ② 联立①②式，代入数据得 a ＝3 m/s 2 ③ v ＝8 m/s ④ (2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面的夹角为α，受力分析如图所示， 由牛顿第二定律得 F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ⑤ F sin α＋F N －mg cos θ＝0 ⑥ 又F f ＝μF N ⑦ 联立⑤⑥⑦式得F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α ⑧ 由数学知识得cos α＋ 33sin α＝233 sin(60°＋α) ⑨ 由⑧⑨式可知对应F 最小时与斜面间的夹角α＝30° ⑩ 联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为F min ＝ 133 5 N ? 3.如图3所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一名幼儿用沿与水平面成30°角的恒力拉着它沿水平地面运动，已知拉力F ＝6.5 N ，玩具的质量m ＝1 kg ，经过时间t ＝2.0 s ，玩具移动了距离x ＝2 3 m ，这时幼儿将手松开，玩具又滑行了一段距离后停下.(g 取10 m/s 2)求： 图3 (1)玩具与地面间的动摩擦因数. (2)松开后玩具还能滑行多远？ (3)当力F 与水平方向夹角θ为多少时拉力F 最小？ 答案 (1) 33 (2)33 5 m (3)30° 解析 (1)玩具做初速度为零的匀加速直线运动，由位移公式可得x ＝1 2at 2，解得a ＝ 3 m/s 2， 对玩具，由牛顿第二定律得F cos 30°－μ(mg －F sin 30°)＝ma 解得μ＝ 3 3 . (2)松手时，玩具的速度v ＝at ＝2 3 m/s 松手后，由牛顿第二定律得μmg ＝ma ′ 牛顿运动定律中的临界和极值问题 1．动力学中的典型临界问题 (1)接触与脱离的临界条件 两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝0. (2)相对静止或相对滑动的临界条件 两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值． (3)绳子断裂与松弛的临界条件 绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是 F T＝0. (4)速度最大的临界条件 在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值． 2．解决临界极值问题常用方法 (1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的． (2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题． (3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件． 题型一：接触与脱离类的临界问题 例1: 如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一 托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做 匀速直线运动（a 动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m 时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ 【致远提示】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。 动力学的临界和极值问题 教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值 在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。 1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。 【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ） A 、一直加速 B 、先减速，后加速 C 、先加速、后减速 D 、匀加速 【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()k g m m l +- C 、k mg l -0 D 、k g m l 00- 【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为?45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。 考点二 动力学中的临界与极值问题 动力学中的临界问题一般有三种解法： 1.极限法 在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 2．假设法 有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法． 3．数学法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件． 命题点1 接触与脱离的临界条件 3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2) 【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有 kx 1＝(M ＋m )g ① kx 2－mg ＝ma ② x 1－x 2＝12 at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k ＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2. F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ， F max ＝M (g ＋a )＝168 N. 【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N 命题点2 相对滑动的临界条件 4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求： (1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小； (2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小． 【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma 解得a ＝5 m/s 2. (2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg ) 解得n ≤3.33 即小铅块最多只能带动3个木块运动 设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12 M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s. 【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s 命题点3 数学方法求解极值问题 5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33 .重力加速度g 取10 m/s 2.求： 动力学中的临界极值问题的处理 动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题 注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题 常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语 其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界 术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀 减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问 题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情 景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分 析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ 动力学的临界和极值问题 教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值 在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。 1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。 【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ） A 、一直加速 B 、先减速，后加速 C 、先加速、后减速 D 、匀加速 【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()k g m m l +- C 、k mg l -0 D 、k g m l 00- 【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为?45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。 动力学中临界与极值问题 一、分离问题 相互接触的物体间可能存在弹力，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离．抓住相互接触物体分离的这一条件，就可顺利解答相关问题. 例1：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？ 思考： 1 何时分离时？ 2分离时物体是否处于平衡态。弹簧是否处于原长？ 3.如何求从开始到分离的位移？ 4.盘对物体的支持力如何变化。 练习1．如图3－3－2所示，质量都为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保 持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时B与A分离．则下列 说法中正确的是() A．B和A刚分离时，弹簧为原长 B．B和A刚分离时，它们的加速度为g C．弹簧的劲度系数等于mg/h D．在B与A分离之前，它们做匀加速运动 2、如图1所示，在倾角为θ的光滑斜面上端系有一劲度系数为k的弹簧，弹簧下端连一个质量为m的小球，小球被一垂直斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变．若 挡板A以加速度a（a 高中物理-动力学中的临界和极值问题 在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，会出现一些临界或极值条件的标志： 1．若题目中出现“恰好”“刚好”等字眼，明显表示过程中存在临界点． 2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就对应临界状态． 3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，而极值点往往是临界点． 4．若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等即是求收尾加速度或收尾速度． 一、接触与分离的临界条件 物体分离的临界条件是相互作用力由原来的不为零变为零．因此解答此类问题，应该对原状态下研究对象的受力和运动状态进行分析，由牛顿第二定律或平衡条件列方程，令其中相互作用的弹力为零解得临界状态的加速度，以临界加速度为依据分析各种状态下物体的受力情况及运动状态的变化． 质量为m 、半径为R 的小球用长度也 为R 的轻质细线悬挂在小车车厢水平顶部的A 点，现观察到小球与车顶有接触，重力加速度为g ，则下列判断正确的是( ) A ．小车正向右做减速运动，加速度大小可能为3g B ．小车正向左做减速运动，加速度大小可能为3 3 g C ．若小车向右的加速度大小为23g ，则车厢顶部对小球的弹力为mg D ．若细线张力减小，则小球一定离开车厢顶部 [解析] 如图所示，小球恰好与车顶接触的临界状态是车顶对小球的弹力恰为零，故临界加速度a 0＝g tan θ，由线长等于小球半径可得，θ＝60°，a 0＝3g .小球与车顶接触时，小车具有向右的加速度，加速度大小a ≥3g ，A 、B 项错；当小车向右的加速度大小a ＝23g 时，ma F N ＋mg ＝tan θ，解得F N ＝mg ，C 项正确；细线张力F T ＝ma sin θ， 小球与车顶接触 的临界(最小)值F Tmin ＝2mg ，当张力的初始值F T >2mg 时，张力减小时只要仍大于或等于临界值，小球就不会离 开车厢顶部，D 项错误． [答案] C 二、绳子断裂与松弛的临界条件 绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T ＝0. 如图所示，小车内 固定一个倾角为θ ＝37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2 kg 的小球，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6， cos 37°＝0.8，则： (1)当小车以a 1＝5 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？ (2)当小车以a 2＝20 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？ [解析] 本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面的状态，设此时加速度为a 0，对小球受力分析如图甲所示．将细线拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力， 则得到 F cos θ＝ma 0 F sin θ－mg ＝0 a 0＝g tan θ＝403 m/s 2. (1)a 1＝5 m/s 2 专题二：动力学中的临界极值问题 1当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件?用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键. 2 ?临界或极值条件的标志 (1) 有些题目中有刚好” 恰好” 正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2) 若题目中有取值范围”、多长时间”、多大距离”等词语，表明题述的过程存在着起止点”而这些起止点 往往就是临界状态； (3) 若题目中有最大”、最小”、至多”、至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界占； 八、、\ (4) 若题目要求最终加速度”、稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度. 3?动力学中的典型临界条件 (1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N= 0. (2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值. (3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于 它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T = 0. (4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时. 【例1 □如图所示，质量为m= 1 kg的物块放在倾角为0= 37°的斜面体上，斜面体质量为M = 2 kg，斜面体与物块 间的动摩擦因数为尸0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要 使物块m相对斜面静止，试确定推力F的 取值范围.(sin 37 =0.6, cos 37 = 0.8, g= 10 m/s2) 【例2 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上, 之间的动摩擦因数卩=0.2,开始时F = 10 N，此后逐渐增加，在增大到 A .当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态 B ?两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动 45 N的过程中，贝U ( A、B 质量分别为m A = 6 kg , m B = 2 kg , A、B 专题二：动力学中的临界极值问题 1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键． 2．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点 往往就是临界状态； (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界 点； (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度． 3．动力学中的典型临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值． (3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T＝0. (4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a＝0时． 例1如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2) 例2如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为m A＝6 kg，m B＝2 kg，A、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则() A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态 B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动 C．两物体从受力开始就有相对运动 D．两物体始终没有相对运动 质疑与反思： （1）、若m A=2Kg，m B=6Kg，则： 动力学中的临界极值问题 临界和极值问题是物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点。分析此类问题重在找临界条件，常见的临界条件有： 1.细线：拉直的临界条件为T=0，绷断的临界条件为T=Tmax 2.两物体脱离的临界条件为：接触面上的弹力为零 3.接触的物体发生相对运动的临界条件为：静摩擦力达到最大静摩擦 临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态； (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点； (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 例3 (2013·山东·22)如图5所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的 拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝ 10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝3 3 .重力加速度g 取10 m/s 2. 图5 (1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小． (2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 解析 (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得 L ＝v 0t ＋12at 2 ① v ＝v 0＋at ② 联立①②式，代入数据得 a ＝3 m/s 2 ③ v ＝8 m/s ④ (2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二 定律得 F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ⑤ F sin α＋F N －mg cos θ＝0 ⑥ 又F f ＝μF N ⑦ 联立⑤⑥⑦式得 F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α ⑧ 由数学知识得 cos α＋33sin α＝23 3sin(60°＋α) ⑨ 由⑧⑨式可知对应最小F 的夹角 α＝30° ⑩ 联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为 F min ＝1335 N 动力学的临界和极值问题 教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值 在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会 出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。 1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。 【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ） A 、一直加速 B 、先减速，后加速 C 、先加速、后减速 D 、匀加速 【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()k g m m l +-00 C 、 k mg l -0 D 、k g m l 00- 【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为?45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。 在动力学中临界极值问题的处理 在动力学中临界极值问题的处理 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ 【灵犀一点】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 【解析】飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt求路程。 （1）设甲、乙相遇时间为t，则飞鸟的飞行时间也为t，甲、乙速度大小相等v甲= v乙=5m/s，同相遇的临界条件可得：s = (v甲+v乙)t 则：?Skip Record If...? （3）这段时间，鸟飞行的路程为：?Skip Record If...? 【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。 【例2】在平直公路上一汽车的速度为15m/s，从某时刻汽车开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度做匀减速运动，则刹车后第10s末车离刹车点的距离是 m. 【灵犀一点】在汽车刹车问题中，汽车速度为0后将停止运动，不会反向运动。在分析此类问题时，应先确定刹车停下来这个临界状态所用的时间，然后在分析求解。 圆周运动临界问题极值问题 相关知识复习： 一、由于受静摩擦力作用 二、绳杆等恰好无作用力或者有承受最大力 三、两个典型模型 1、绳球模型（已知绳长L，小球质量m，线速度V） 1）画出小球的受力示意图 2）写出小球过最高点的动力学方程 3）若小球刚好过最高点，F= 拉 ，此时V= 2、杆球模型（已知杆长L，小球质量m，线速度V） 1）若小球刚好过最高点，杆对球的作用力F=，方向此时V= 2）若v gL =，则杆对球的作用力F=。 3）若v gL >，则杆对球的作用力F=，方向。 4）若0v gL <<，则杆对球的作用力F=，方向。 四、带电粒子在磁场中的临界问题极值问题 举例: 1 对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足 A．v≥kRg B．v≤kRg C．v≤kRg 2D．v≤2 kRg 2 如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另 一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距 离为0.2 m．若A与转盘间的最大静摩擦力为F f＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘 绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g＝10 m/s2） 3 质量为m A和m B的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起，用长为L1的细绳将 A球系于O轴上，使AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速 圆周运动，如图所示，当两球间的距离为L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间， 两球加速度a A和a B各是多少？ 4 光滑管形圆轨道，且轨道半径为R（管径远小于R），小球的质量为m，其直径略小 于管径，能在管中无摩擦运动。 则：1）小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？ 2）当小球在最低点的速度时，小球在轨道最高点对轨道是否有压力？ gR v5 = . 《动力学中的临界与极值问题》进阶练习 1.速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ 2.在平直公路上一汽车的速度为15m/s，从某时刻汽车开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度做匀减速运动，则刹车后第10s末车离刹车点的距离是 m. 3.A、B两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度匀加速开出，2s后B车同向以3m/s2的加速度开出。问：B车追上A车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？ 参考答案 1.【解析】飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt 求路程。 （1）设甲、乙相遇时间为t ，则飞鸟的飞行时间也为t ，甲、乙速度大小相等v 甲= v 乙=5m/s ，同相遇的临界条件可得：s = (v 甲+v 乙)t 则：2000=20010 s t s s v v ==+乙甲 （3） 这段时间，鸟飞行的路程为：10200s vt m '==? 2.【解析】 设汽车从刹车到停下来所用时间为t 0， 由运动学规律得：0000150,7.52 t t v v v v at t s s a --=-=== 由于t 0<10s ，所以在计算时应将t=7.5s 代入公式求解。 则有：22011(157.527.5)56.2522 s v t at m m =-=?-??= 3.【解析】〖解法1〗由于当A 车的加速度度小于B 车的加速度，B 车后启动，则B 车一定能追上A 车，在追上前当两车的速度相等时，两车相距最远。设当A 车运动t 时间时，两车速度相等，则有,(3)A B A B v v a t a t ==- 解得：39B A B a t s a a ==- 把t 代入两车之间距离差公式得：2211(3)2722 A B A B s s s a t a t m ?=-=--= 〖解法2〗设A 启动ts 两车相距最远，A 车的位移：212 A s at =， B 车的位移：21(3)2 B s a t =- 两车间距离为22211(3)0.5913.522 A B A B s s s a t a t t t ?=-=--=-+- 由数学知识可知，当992(0.5) t s s =-=?-时， 两车间有最大距离：2211(3)2722A B A B s s s a t a t m ?=-= --= 动力学中的临界极值问题 临界与极值问题就是物理中的常见题型,结合牛顿运动定律求解的也很多,临界就是一个特殊的转换状态,就是物理过程发生变化的转折点。分析此类问题重在找临界条件,常见的临界条件有: 1、细线:拉直的临界条件为T=0,绷断的临界条件为T=Tmax 2、两物体脱离的临界条件为:接触面上的弹力为零 3、接触的物体发生相对运动的临界条件为:静摩擦力达到最大静摩擦 临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点; (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这 些起止点往往就对应临界状态; (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点往 往就是临界点; (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等,即就是求收尾加速度或收尾速度. 例3 (2013·山东·22)如图5所示,一质量m＝0、4 kg的小物块,以v0＝2 m/s的初速度,在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下,沿斜面向上做匀加速运动,经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点,A、B之间的距离L＝10 m.已知斜 面倾角θ＝30°,物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝ 3 3、重力加速度g取10 m/s 2、 图5 (1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小. (2)拉力F与斜面夹角多大时,拉力F最小？拉力F的最小值就是多少？ 解析(1)设物块加速度的大小为a,到达B点时速度的大小为v,由运动学公式得 L＝v0t＋1 2at 2 ① v＝v0＋at ② 联立①②式,代入数据得 a＝3 m/s2 ③ v＝8 m/s ④ (2)设物块所受支持力为F N,所受摩擦力为F f,拉力与斜面间的夹角为α,受力分析如图所示,由牛顿第二定律得 F cos α－mg sin θ－F f＝ma ⑤ F sin α＋F N－mg cos θ＝0 ⑥ 又F f＝μF N ⑦ 联立⑤⑥⑦式得 F＝mg(sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α ⑧ 由数学知识得 cos α＋ 3 3sin α＝ 23 3sin(60°＋α) ⑨ 由⑧⑨式可知对应最小F的夹角 α＝30°⑩联立③⑧⑩式,代入数据得F的最小值为 F min＝133 5N 答案(1)3 m/s28 m/s(2)30°133 5N 动力学中的典型临界条件 (1)接触与脱离的临界条件:两物体相接触或脱离,临界条件就是:弹力F N＝0、 (2)相对滑动的临界条件:两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对滑动的临界条件就是:静 专题五牛顿运动定律的应用 ——临界和极值问题 一、概念 （1）临界问题：某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的转折状态。 （2）极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。 二、关键词语 在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题一般用假设法。 三、常见类型 动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱 离的问题；二是绳子的绷紧与松弛问题；三是摩擦力发生突变的滑动 与不滑动问题。 四、解题关键 解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件。 常见的三类临界问题的临界条： 1、相互接触的两个物体将脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。 2、绳子松弛的临界条件是：绳子的拉力为零。 3、存在静摩擦的系统，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值。 五、例题解析 【例题1】质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角为θ=60°的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图所示，不计摩擦，求在下列三种情况下，细线 对小球的拉力（取g=10 m/s2） (1) 斜面体以23m/s2的加速度向右加速运动； (2) 斜面体以43m/s2，的加速度向右加速运动； 【例题2】如图所示，轻绳AB与竖直方向的夹角θ=37°，绳BC水平，小球质量m=0.4 kg，取g=10m/s2。试求： （1）小车以a1=2.5m/s2的加速度向右做匀加速运动时，绳AB的张力是多少？ （2）小车以a2=8m/s2的加速度向右做匀加速运动时，绳AB的张力是多少？ 【例题3】如图所示，质量为2kg 的m1和质量为1kg 的m2两个物体叠放在一起，放在水平面，m1与m2、m1与水平面间的动摩擦因数都是0.3，现用水平拉力F拉m1，使牛顿运动定律中的临界和极值问题
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