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第4章可测函数(习题)

第四章可测函数

习题4-1-P108

P108

1、证明E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数. 证明：设∑==

i k

m k E i k

i x c

x 1

)()()()(χψ,2,1=i ,为E 上的两个简单函数,

那么∑∑∑∑=======

)1()1(1

)2(1

)1(m i m j j i m k k

m k k

E E E

E ,于是

∑∑==+=+2

)2(1

)1(1

)2(1

)1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j

χχψψ

∑∑∑∑====+=2

)2()

1(1

)2()

1(1

)2(1

1)1()()()()(m j m i E E j

m i m j E E i

x x c

i j

i χχ

χχ

∑∑==+=12)2()1(11

)2()1()()()(m i m j E E j

x x c c j

χχ∑∑==+=12

)2()1(11

)2()1()()(m i m j E E j i x c c j

i χ,

∑∑===2

)2(1)1(1

)2(1

)1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j

χχψψ

∑∑∑∑======12

)2()1(12)2()1(11

)2()1(11

)2()1()()()(m i m j E E j i m i m j E E j

i x c c x x c c j

i j

χχχ,

所以)()(21x x ψψ+与)()(21x x ψψ都是E 上的简单函数.

2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知

R ∈?a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,

于是

],)(;[21E E x a x f x E ∈>

n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11

所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.

、设+∞

0>ε,都有闭集E F ?,使ε<-)(F E m ,而在F 上)(x f 是有界的.

证明：显然M ↓?>=])(;[m x f x E D m ,E D

x f x E D m m

+∞==∞

= 1

])(;[,

由于+∞

lim 1

===∞

=∞

→mD D

m mD m m

m m ,

于是 0>?ε,+

∈?N M ..t s 2

M mD ,

对于M ∈-=M M D E E ,?闭集E E F M ??..t s 2

)(ε

-F E m M , 有ε<-+=-+-=-)()()()(F E m mD F E m E E m F E m M M M M , 显然在c

M M D E F ??上, M x f ≤≤)(0.

4、设)}({x f m 是可测集合E 上的非负可测函数序列,证明：如果对任意0>ε,都有

+∞<>∑∞

])(;[m m

x f

x mE ε,则必有0)(lim =∞

→x f m m ..e a E .又问这一命题

的逆命题是否成立？

证明：(1)} , 0)(lim |{E x x f x D x m m ∈≠=∈?∞

→,00>?ε,+

∈?N N ,N m >?

..t s 0)(ε>x f m , 即 ∞

=>?

m m

x f

x E D ])(;[0ε,

因

+∞<>∑∞

0])(;[m m

x f

x E ε,有

0])(;[0→>≤

∑∞

m m

x f

x mE mD ε,∞→N , 即0=mD ,

所以0)(lim =∞

→x f m m ..e a E .

(2)取非负M ∈=-)()(],1[x x f m m m χ,R =E ,

显然0)(lim =∞

→x f m m ,当然0)(lim =∞

→x f m m ..e a E ,由于

1],1[]1)(;[=-=>m m m x f x m m ,有+∞=>∑∞

]1)(;[m m x f x mE ,

可见逆命题不成立.

、设+∞y mE 的y 最多有可数多个.

证明：(1)由条件知,+∈?N k , M ∈+<≤]1)(;[k

y x f y x E ,则

M ∈+<≤===∞

= 1

)(;[])(;[k y k y x f y x E y x f x E E .

(2)由于21y y ≠时, φ=21y y E E ,记}1

|{k

mE y B y k >=,于是

}0|{>=y y mE E A ∞

==>=1

}0|{~k k y B mE y B ,

又因+∞

∞=?1

i y i E E ,+∞=≥=≥∑

∑∞

=∞=∞=1

)(i i y i y k

mE E m mE i i , 于是a B k ≤,所以a B

B A k k

≤=

=∞

= 1

6、设实函数)()(n

C x f R ∈,证明:M ∈?E ,均有)()(E x f M ∈.

证明：M ∈?E ,R ∈?a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1

G f

},)(|{)(10n x a x f x G f x R ∈>=∈?-,

因O ∈∈G x f )(0,0>?ε..t s G x f N x f ?∈)),(()(00ε, 这样对于0>ε,0>?δ,..t s ),(0δx N x ∈?,

均有G x f N x f ?∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈, 于是)(),(10G f x N -?δ,那么M O ?∈-)(1

G f .

由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11

G f E E x a x f x G f

所以)()(E x f M ∈.

7、设)(x f 是R 上的单调递增实函数,试证明:)()(R M ∈x f .

证明：R ∈?a ,记)}({inf x f m x R

∈=,},)(|{R ∈>=x a x f x E a ,a x E R

∈=inf α,

因)(x f 递增,若a E ∈α,则M ∈+∞=),[αa E , 若a E ?α,则M ∈+∞=),(αa E ,所以)()(E x f M ∈.

8、证明n

R 中可测子集E 上的函数)(x f 可测的充要条件是存在上的一串简单函数)(x k ψ,使)(lim )(x x f k k ψ∞

→=于E .

证明：)()(E x f M ∈?)()(E x f M ∈±

??非负简单函数列)}({

x k ±ψ..t s )(lim )(x x f k k ±∞

→±=ψ ??简单函数列=)(x k ψ)()(x x k k -+-ψψ..t s

)(lim )(lim )()(x x x f x f k k k k -∞

→+∞

→-+-=-ψψ,即)(lim )(x x f k k ψ∞

→=.

9、证明；当)(1x f 是p E R ?1,)(2y f 是q

E R ?2中的可测函数,且)(),(21y f x f 在21E E E ?=上几乎处处有意义时,)()(21y f x f 是E 上的可测函数. 证明：由条件及上题知, ?简单函数列)(x i ?,)(y j ψ..t s

)(lim )(1x x f i i ?∞

→=,1E x ∈,)(lim )(2x y f j j ψ∞

→=,2E y ∈,

当然21),(E E y x ?∈时,上两式也成立, 由P70.1.知)()(y x j i ψ?都是简单函数,

因)(),(21y f x f 在21E E E ?=上几乎处处有意义,有

)()(lim lim )(lim )(lim )()(21x x x x x f x f j i j i j j i i ψ?ψ?∞

→∞→∞

→∞

→==..e a E ,

所以)()(21y f x f 是E 上的可测函数.

10、证明：如果)(x f 是定义于n

R 中上的可测子集E 上的函数,则)(x f 在E 上可测的充要条件是对R 中任意Borel 集B ,})(|{)(1

B x f x B f ∈=-都是E 的

可测子集,如果)(x f 还是连续的,则)(1

B f

-还是Borel 集.

证明：已知R ??B B i ,,有 c

c B f B f )]([)(11--=,

)()(1

∞

=-∞

=-=i i i i B f B f , )()(1

∞

=-∞

=-=i i i i B f B f ,

又已知n

R 中Borel 集是由开集经过一系列取余集,作可数交,作可数并而得到的集合,因此本题只要对开集证明即可.

(1))()(E x f M ∈?R ∈

b x f a x B f

?对R 中任意开集B ,M ∈-)(1B f

?对R 中任意Borel 集B ,M ∈-)(1B f .

2)如果)()(n C x f R ∈,O ∈?B ,O ∈-)(1B f

?对R 中任意Borel 集B ,)(1B f -是Borel 集.

11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.

证明：R ∈?a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有

O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g

由于})]([|{a x f g x x <∈?a x f g <)]([

?)()(1G g x f -∈?)]([11G g f x --∈, 于是M ∈=<--)]([})]([|{11G g f a x f g x , 所以)()]([E x f g M ∈.

12、证明：如果函数),,,()(21n x x x f x f =是n

R 上的可微函数,则

),,,(21n i

x x x f x ??

,n i ,,2,1 = 都是n

R 上的可测函数.

证明：因)(x f 可微当然连续, +

∈?N k ,由上题知,

)],,,,,(),,1,,,([)(2121n i n i k x x x x f x k

x x x f k x -+=?

可测,因)(x f 可微,有

)(lim ),,,(21x x x x f x k k n i

?∞→=??

所以

),,,(21n i

x x x f x ??

,n i ,,2,1 =,都是n R 上的可测函数.

习题4-2-P113

P113

1、举例说明Egoroff 定理中的条件+∞

(2))()(E x f k M ∈,+

∈N k ；(3))(lim ~)(x f x f k k E

∞

→,E x ∈；

0>?δ,均M ∈?δE ,满足E E ?δ,δδ<-)(E E m ,且)(x f k 在δE 上一致收敛于)(x f .

解：取R =E ,+∞=mE ,0)(=x f ,)()()()(],1[E E x x f k k k aF M ∈=-χ,

显然)(lim )(x f x f k k ∞

→=,当然)(lim ~)(x f x f k k E

∞

→,

取2

?δ,M ∈?δE ,虽然满足E E ?δ,δδ<-)(E E m ,

但+

∈?N k ,记],1[k k I k -=,由于

)()()()(1c

k k c k k E m I E m I E m I E m mI δδδδ+≤+==

有 2

1)(1)(1)(=

->--=-≥δδδδE E m E m I E m c

k , 可见+

∈?N k ,必δδE I E x k ?∈? ..t s 1|)()(|=-x f x f k , 说明)(x f k 在δE 上不一致收敛于)(x f .

2、设+∞

∈N k ,0~)(lim E

m m x f ∞

→,证

明M ↑???}{,k k E E E ,..t s k k mE mE ∞

→=lim ,且在每个k E 上)}({x f m 都一致

收敛于)(x f .

证明：+

∈?N i ,M ∈?i D ,满足E D i ?,i

i D E m 21

)(<

-,且 )}({x f m 在i D 上一致收敛于)(x f ,

∈?N k ,取E D D E k k m m

i i k ?↑?==∞

= 1,M ∈k E ,且

)}({x f m 在k E 上一致收敛于)(x f ,由于

∞=∞=-1)(m m i i D E m )]

([)]([1 ∞

=∞=∞=≤=m

i c i m m i c i

D E m D E m

)()(→<-=≤∑

∑∑∞

=∞

=∞=m i i

i i m

i c i D E m D E m ,∞→m , 有 0)()(11

=-=-

∞

=∞

= m m

i i

k k

D E m E E m ,即

k k k k mE E m mE ∞

→∞

===lim )(1

3、设+∞

∈N k ,0~)(lim E

m m x f ∞

→,证

明

必有)}({x f m 的子序列)}({x f k m ,..t s +∞<∑∞

=1|)(|k m x f

..e a E .进而证明有

非负实数序列}{m t .

.t s +∞=∑∞

m m

而+∞<∑∞

|)(|m m m x f t ..e a E .

证明：(1)由条件及上题知,M ↑??}{k E ,..t s k k mE mE ∞

→=lim ,

且在每个E E k ?上)}({x f m 都一致收敛于)(x f ,那么

+∈?N k ,+↑∈?N k m ..t s k m m ≥?,k E x ∈?,均有k

m x f 21|)(|<

, 记 ∞

k k

D ,由于0lim )(=-=-∞

→k k mE mE D E m ,而

∞

==∈?1

k k E D x ,+∈?N 0k ..t s k E x ∈,0k k ≥,有

+∞<=≤

-∞

=∞

=∑∑100

2121|)(|k k k k k k m x f k , 所以

+∞<∑∞

|)(|k m x f

..e a E .

(2)由(1),+

∈?N m ,取

?????∈-≤≤-≤≤=+++,,1 ,1,1 ,1

1N k m m m m m m m t k k k k m

有 ∑∑∑∑∞=-==∞=++=111111k m m m m m m m m m k k t t t ∑∑∑∞=-=+=+-+=11

11111

1k m m m k

k m m k k m m

∑∑∞

=∞

=+++∞=+=--+=11

11111k k k k k

k m m m m m m ,

而

∑

∑∑∑∞=-==∞

=++=11

11|)(||)(||)(|k m m m m

m m m m m m m

m k k

x f t

x f t x f t

∑∑∑

∑

∑∞

=+=∞=-==-+=+≤+1

1111

12)

(|)(|2|)(|111k k

k k m m m m k m m m k m m m m m m t x f t x f k k

+∞<+=+=∑∑∑=∞

==1|)(|21

|)(|1

11m m m k k m m m x f x f ..e a E .

4、取消上题中+∞

证明：若+∞=mE .令)}(,|| |),,,{(21n N i k x x x x I i n k ∈≤= ,

有M K ∈=k k I E E , ∞

==1

k k

E .

(1)由上题,知

对)}({x f m 有子列)}({,1x f j ,..t s +∞<∑∞

,1|)(|j j

x f

..e a 1E ,

假设有)}({,1x f j k -,.

.t s +∞<∑∞

=-1

,1|)(|j j

k x f

..e a 1-k E ,

对)}({,1x f j k -有子列)}({,x f j k ,.

.t s +∞<∑∞

,|)(|j j

k x f

..e a k E .

令)()(,x f x f k k m k =,显然)}({x f k m 是)}({,x f j k 的子列,当然有

+∞<∑∞

|)(|j m x f

..e a k E ,+∈N k ,

于是

+∞<∑∞

|)(|j m x f

..e a E .

(2)由上题知,+

∈?N k , 有+

?R }{,j k t .

.t s +∞=∑∞

,m m

k t

而+∞<∑∞

,|)(|m m m k x f t ..e a k E ,

记10=m ,}{min ,1,1

m k m k i m t i -≤≤=τ,+

∈?N i ,1->?i i m m .

.t s 11

≥∑-=-i i m m m i

m τ

+∈?N m ,取+-∈-≤≤=N i m m m t i i i m m ,1 ,1,τ

有

∑∑

∑∑∞=∞=-=∞=-=∞

=+∞=≥==--0

,11

k i m m m i

m i m m m m

m m

i i i i t

,即+∞=∑∞

m m t ,

+∈?N k ,+∈?N r ..t s 1-≤r m k ,有

∑

∑∑∞=-=∞

=--=r i m m m m i

m m m m

m i i r x f x f t

|)(||)(|τ

+∞<=

≤∑∑

∑∞

=∞=-=--1

|)(||)(|,1

,r i i m m m

m k r i m m m m

m k x f t

x f t

,..e a k E

所以

+∞<∑∞

|)(|m m

m x f t

..e a E .

习题4-3-P117

P117 1、设E 是有限可测集, )(x f 在上几乎处处有限,则)(x f 可测的充要条件是有一串在整个空间上连续的函数)(x k Φ使)(lim )(x x f k k Φ=∞

→..e a E .

证明：“充分性”由于)(x k Φ连续当然可测,)(lim )(x x f k k Φ=∞

→..e a E ,

于是)(x f 可测.

“必要性” (1)若 m

k k

E 1

,C ∈⊕k F ,∑==

k F k x c x f k

)()(χ

,可定义

)()(11n C c x R ∈=?,且)()(1x f x =?,11D F x =∈,

假设有)()(1n

m C x R ∈-?,且)()(1x f x m =-?,11

--==∈m m k k

D F

x ,

那么)()

,(),()

,()(),()(111n m m m m m m m C F x D x F x x D x c x R ∈++=

---ρρρ?ρ?,

且)()(x f x m =?,m m

k k

D F

x =∈

= 1

取)()(x x m k ?=Φ,当然有)(lim )(x x f k k Φ=∞

→,E x ∈. (2)若)()(E x f M ∈,+∞

?简单函数)(x k ψ..t s )(lim )(x x f k k ψ∞

→=于E .

∈?N k ,∑==i

i k k i E i k k x c x 1

,)()(,χψ,i k i k i k E F F ,,,,?∈?C ,.. t s

k i i k i k F E m 221

)(,,<

-, k

F E m 21)(<-, i

k i i k E E 1

,==, i

k i i k k F F 1

,==, ∞

=∞

==1m m

k k F F ,

由(1)知, )()(n k C x R ∈Φ?,)()(x x k k ψ=Φ,k F x ∈,

∞=∞

=-≤-1)()(m m

k k F E m F E m )]([)]([1 ∞

=∞

=≤=m

k c k m m

k c k F E m F E m

021

)()(→<-=≤∑

∑∑∞

=∞=∞=m

k k m k k m k c k

F E m F E m , 有0)(=-F E m ,由于)(lim )(lim )(x x x f k k k k Φ==∞

→∞

→ψ,F x ∈, 所以)(lim )(x x f k k Φ=∞

→..e a E .

2、设E 是有界闭集,)()(E C x f ∈,则0>?M ..t s M x f ≤|)(|,E x ∈. 证明：反证.假设)(x f 在E 上无界,+∈?N m ,E x m ∈?..t s m x f m >|)(|,

由于E x m ?}{有界,故E x x k m ∈→?0, 而∞→>k m m x f k |)(|, 又)()(0x C x f ∈,于是∞==∞

→)(lim )(0k m k x f x f ,

这与)()(0x C x f ∈不符, 所以)(x f 在E 上有界.

习题4-4-P123 P123

1、设)()(x f x f m

k →,)()(x g x g m

k →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f m

k k ++→. 证明：已知,0>?σ,当2|)()(|σ

-x f x f k ,2

|)()(|σ

-x g x g k ,时,

σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,

由于)()(x f x f m

k →,)()(x g x g m

k →,E x ∈,有

]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k

0]2

|)()(|;[]2

|)()(|;[→≥

-+≥

-≤σ

x g x g x m x f x f x m k k ,

所以)()()()(x g x f x g x f m

k k ++→.

2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f m

k →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+

∈?N m ,当m

x f x f k 1

|)()(|<

-,K x f k ≤|)(|时, m

K x f x f x f x f k k 1

|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是

]

|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]

|)(|;[]1

|)()(|;[K x f x m m

x f x f x m k k >+≥-≤ 0]1

|)()(|;[→≥-≤m

x f x f x m k ,∞→k ,

有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞

→m m E K x f x m

所以K x f ≤|)(|..e a E .

3、举例说明+∞=mE 时,定理1不成立.

定理1(Lebesgue 定理)：设+∞

且)(lim ~)(x f x f k k E

∞→,则)()(x f x f m

k →,E x ∈.

解：取R =E ,+∞=mE ,0)(=x f ,)()()()(],1[E E x x f k k k aF M ∈=-χ,

显然)(lim )(x f x f k k ∞

→=,当然)(lim ~)(x f x f k k E

∞

→,由于

1],1[]1|)(|;[]1|)()(|;[=-=≥=≥-k k m x f x m x f x f x m k k ,

有01]1|)()(|;[lim ≠=≥-∞

→x f x f x m k k ,所以)()(x f x f m

k →,E x ∈不成

立.

第三章可测函数的知识要点与复习自测

第三章可测函数的知识要点与复习自测一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤

第四章可测函数汇总

第四章可测函数教学目的： 1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近. 3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点： 1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性. 2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. §4.1 可测函数及相关性质由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记 =α D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数. 我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数. 又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为 =)(x f )(x E λ???=0 1 E D x E x -∈∈

1.5 可测集与可测函数(讲义)

1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ，则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数；当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。证设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。

实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章_复习指导

主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数一一可测函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给出的一些充要条件（如定理等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越和方便之处。二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理，可以把不一致收敛的函数列部分的“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理（定理）告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。然而，黎斯定理（定理）指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。一般常见的函数，如连续函数, 单调函数等都是可测函数。然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的（如迪里克雷函数）。所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理证明中的构造方法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到般的证明方法在许多场合都是行之有效的。

可测函数与连续函数

可测函数与连续函数实变大作业 2011/4/27

可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。一、基本概念 1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m E?E1=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。 2、可测函数：设E??是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数：设E??是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1， m E?E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数 4、连续函数：设D??，f是定义于D的函数，x∈D，假如 lim y→x,y∈D f y=f x 则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。 5、预备定理、引理定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。若f n在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。

定理2.3（Egoroff）设 f 和f n(n≥1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若f n在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 ε>0，有 D 的闭子集 F，使 m D? F <ε，并且f n在 F 上一致收敛于 f。引理2.1设 F 是 R中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数f?，并且sup x∈R| f?x|=sup x∈R| f x|。引理2.2设 f是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有沿 D连续的函数f?使 m {f≠f?} <ε。二、可测函数和连续的关系 1、连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。证明:对任意a∈R，设x∈E f>a，则由连续性假设，存在x的某邻域U x，使U x∩E?E f>a。因此，令G=U(x) x∈E(f>a)，则： G∩E=U(x) x∈E(f>a)∩E=U(x) x∈E(f>a) ∩(f>a) 反之，显然有E f>a?G，因此： E f>a?G∩E f>a?G∩E 从而： E f>a=G∩E f>a 但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即E f>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断 2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f?，并且： sup x∈R f?(x)=sup x∈R f(x) 证明：此时F c=(a n,b n)是开集，其中开区间族(a n,b n)两两不相交。今定义

实变函数第四章复习题及解答(1)

第四章复习题（一）一、判断题 1、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 2、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 3、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞? ，则()f x 在E 上勒贝格可积。（√ ） 4、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 5、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 6、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞? ，则()f x 在E 上勒贝格可积。（√ ） 7、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（× ） 8、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 9、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E - ∈至少有一个成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 10、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则() f x 在E 上勒贝格可积。（√ ） 11、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，若()()f x L E ∈，则()d E f x x -∞<<+∞? 。（√ ） 12、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则 ()()f x L E ∈。（√ ） 13、若E 为零测集，()f x 为E 上的任何实函数，则()()f x L E ∈。（√ ） 14、若()()f x L E ∈，则[]0mE f =+∞=。（√ ） 15、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。（√ ）

《实变函数》第四章可测函数

第四章可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. §1 可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >?∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数. 2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1n i i E E ==? (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数； 1()()i n i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i E i x E x x E E χ∈?=?∈-? 注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续 00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ?>?>??若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续 0lim ()()x x f x f x →=若

第二章测度与可测函数

第二章测度与可测函数本章内容提要： 1.引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质 2.引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质 3.讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构 4.讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系本章重点难点提示： 1.Lebesgue测度与抽象测度的概念及其性质 2.判定一个集合是否可测的方法 3.可测函数的几种等价定义 4.可测函数与连续函数之间的关系 5.可测函数列的几种收敛性之间的关系第一节Lebesgue测度 2.1.1定理存在集族L与集函数L，使它们具有以下两组性质 L. 若L，则L. 若L，则L. 若是开集，则L. . -可加性若L，互不相交，则

完备性若则L. 测度单位. 平移不变性若L，则L，且逼近性质任给L，，存在闭集与开集，使且. 证明见§2.5. 定义Th2.1.1中的称为一维Lebesgue测度，L中的集称为一维Lebesgue可测集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L的构成，而则表示测度的特征. 由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质 2.1.2命题若L，，则L；若L，则L. 证明 L，L. 综合性质与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为可测集.由性质进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集叫Borel集，见§2.5)，特别地:型集与型集是可测集. 2.1.3命题测度有以下性质L. ①单调性:若L，，则. ②可减性:若L，，则. ③次可加性:若L，则. ④下连续性:若L是一升列，则. ⑤上连续性:若L是一降列，且则 .

可测函数(知识题)

第四章可测函数习题4-1-P108 P108 1、证明E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数. 证明：设∑== i i k m k E i k i x c x 1 )()()()(χψ,2,1=i ,为E 上的两个简单函数, 那么∑∑∑∑======= 12 1 1 11 )1()1(1 )2(1 )1(m i m j j i m k k m k k E E E E E ,于是 ∑∑==+=+2 )2(1 )1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑====+=2 1 )2() 1(1 2 )2() 1(1 1 )2(1 1)1()()()()(m j m i E E j m i m j E E i x x c x x c j i j i χχ χχ ∑∑==+=12)2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i x x c c j i χχ∑∑==+=12 )2()1(11 )2()1()()(m i m j E E j i x c c j i χ, ∑∑===2 )2(1)1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑======12 )2()1(12)2()1(11 )2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i m i m j E E j i x c c x x c c j i j i χχχ, 所以)()(21x x ψψ+与)()(21x x ψψ都是E 上的简单函数. 2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈?a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,

1.5可测集与可测函数(讲义)(可编辑修改word版)

1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数定义 1.5.1 设 X 是基本空间， R 是 X 上的 - 代数，且 X = E ， E ∈R 则称 ( X , R ) 是可测空间 (measurable space)， R 中的元素 E 是 ( X , R ) 上的可测集 (measurable set)。特别地，当 X = R 1 ， R = L 时，称(R 1 , L ) 是 Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为 Lebsgue 可测集；当 X = R 1 ， R = S (R ) = B 时，称(R 1 , B ) 是 Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为 Borel 可测集. 注定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在- 代数 R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。定义 1.5.2 设( X , R ) 是可测空间， E ? X ， f 数c ，集是定义在 E 上的有限实函数。若对一切实 E (c ≤ f ) ={x c ≤ f (x ), x ∈ E } 都是( X , R ) 上的可测集（即： E (c ≤ f )∈ R ），则称 f 称 E 上的可测函数(measurable function)。特别地，是 E 上关于 R 的可测的函数，简当( X , R ) = (R 1, L ) 时，称 f 当( X , R ) = (R 1, B ) 时，称 f 是 E 上关于 L 的 Lebsgue 可测函数；是 E 上关于 B 的 Borel 可测函数。定理 1.5.1 设( X , R ) 是可测空间， f 是定义在 E ? X 上的有限实函数。则 f 是 E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数c , d ，集 E (c ≤ f < d ) 是可测集。证设 f 是可测函数，由于 E (c ≤ f < d ) = E (c ≤ f ) - E (d ≤ f ) ，而 E (c ≤ f ) 和 E (d ≤ f ) 都是可测集，所以 E (c ≤ f < d ) 是可测集。反之，若已知对任意实数c , d ，集 E (c ≤ f < d ) 是可测集，则由

(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论 1、集合的运算规律 2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。即或为有限集或为可数集。（3）可数个可数集的并集是可数集。（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集 A={} n x x x a , , ,2 1 Λ, ()() ()n k x x x k k k . ,2,1 ; , ,2 1Λ Λ= = 则A为可数集。 3、常见的可数集：有理数及其无限子集。三、基本要求： 1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2、掌握集之间的并、交、差、余运算。 3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4、理解集列的收敛、单调集列的概念。 5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数

集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。二、基本结论 1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。 2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。 3、开集、闭集具有对偶性。 4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。三、基本要求： 1、明确n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。 2、理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3、理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4、理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5、理解康托集的构造、特性。四、重点： 1、能够正确计算点集的边界、聚点和闭包 2、能够正确应用Cantor 集合的构造及性质举例。五、学习主要事项：本章介绍的点集是带有某种距离结构的集合，通过内点和聚点可以定义其它的所有概念；集合的开、闭性是集合的整体性质，利用它可以定义函数的连续性；本章最后的例子介绍康托集，它的构造方法十分有用，利用这种方法。我们可以构造类似的不同性质的例子，例如，测度为任意正数的疏朗集。第三章测度论一、基本内容：外测度及其性质；Lebesgue可测集及其性质。二、基本结论 1、可测集的性质（基本性质、运算性质）。

实变函数论课后答案解析第四章

实变函数论课后答案第四章1 第四章第一节习题 1．证明：E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数证明：设1 ()i n i E i f c x χ==∑，1 ()i m i F i g d x χ==∑，这里{}1n i i E =互不相交，{}1 m i i F =互不相交令ij i j K E F =?，1,1i n j m ≤≤≤≤ ij i j a c d =+， 1,1i n j m ≤≤≤≤ 则易知1 1 11 ()()()()i j i j n m n m i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χχχ?====+=+=+∑∑∑∑ 先注意：若1 m i i K K == ，i K 互不相交，则1 ()()i m K K i x x χχ==∑ （m 可为无穷大）（x K ?∈，i ?使i x K ∈，()1()i K K x x χχ==， ,()0K x K x χ??=，且i ?，i x K ?则()0i K x χ=）且1 1 1 1 (())(())()(( ))m m m m c c i i j i j i j i j j j j j E E F E F E F E F =====???= ??? 1 1 1 () (( )) (( )) 1 ()()()()()m m m i i c c i j i j i j j j j m E E F E F E F E F j x x x x x χχ χ χχ ===????==+=+∑ 同理：1 ( ) 1 ()()()m j i j c j i i n F E F F E i x x x χχχ =??==+∑ 1 1 ()()i j n m i E j F i j f g c x d x χχ==+=+∑∑ 1 1 ( )( )1 1 1 1 (()())(()())m m i j i j c c i j j i j i n m m n i E F j E F E F F E i j j i c x x d x x χχ χχ ==????=====+++∑∑∑∑

(完整版)1.5可测集与可测函数(讲义)

1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈= U R ，则称 (,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集 (measurable set)。特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤ ∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数；当1(,)(,)X =R R B 时，称 f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间， f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数, c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。证设 f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，

第四章实变函数

习题4.2 1．设A 是]1,0[=E 中的不可测集， ? ? ?∈-∈=,\]1,0[,; ,)(A x x A x x x f 证明：（1） R ∈?a ，),(]|[|+∞=>a E a f E ；（2）当A ?0时，A f E =>]0[；当A ∈0时，}0{\]0[A f E =>. 试问：f 与||f 在E 上是否可测？证明（1）因为E x ∈?，有x x f =)(||，所以R ∈?a ，有 ),(},:{]|[|+∞=>∈=>a E a x E x x a f E . （2）由定义知0)0(=f 。若A ∈0，则}0{\0)(A x x f ∈?>；若A ?0，则A x x f ∈?>0)(. 所以（2）成立. 由（1）知f 在E 上可测. 因为A 是不可测集，所以}0{\A 也是不可测集。从而，由（2）知f 在E 上不可测。 2．证明：若函数f 在可测集1E 及2E 上可测，则函数f 在21\E E 与1E 2E 上也可测．证明因为f 在12,E E 上可测，所以12,[],[]a R E f a E f a ?∈≥≥可测，从而 1 212()[][][]E E f a E f a E f a ≥=≥≥ 可测。因此，f 在1 2E E 上可测。因为 1212(\)[][]\[]E E f a E f a E f a ≥=≥≥，可测，所以f 在12\E E 上可测. 3．证明：若函数f R →),(:b a 在任意闭区间),(],[b a a ?β上可测，则f 在开区间 ),(b a 上可测．证明因为111(,)[,]n a b a b n n ∞ ==+-，其中11 [,](,)a b a b n n +-?，又由题意知：f 在每一个11 [,](1,2,)a b n n n + -=上可测，所以由定理4.2.6知：f 在 111 [,](,)n a b a b n n ∞=+-= 上可测. 4．证明：点集n S R ?的特征函数S χ在可测集n E R ?上可测当且仅当S E 是可测集．证明因为?? ??∈=, ,0; ,1)(S x S x x S χ所以R ∈?a 有 ,1[],01,0.s a E x a E S a E a ?>?? ≥=<≤??≤? ，，充分性. 若E S 是可测集，则对任意的a ∈R , []s E a χ≥可测，所以s χ在E 上可测. 必要性. 设s χ在E 上可测，则对任意的a ∈R , []s E a χ≥可测。特别地，对于 01a <≤，[]s E a χ≥也是可测的。由于[]s E a χ≥E S =，所以E S 可测. 5．证明：],[b a 上连续函数列的极限函数是可测函数．证明由可测集上的连续函数是可测函数可知：],[b a 上的连续函数列是可测函数列，

可测函数的定义及简单性质1

补充:特征函数定义1 设X 是非空全集， , 称为集合A 的特征函数. 显然的充分必要条件是A=B . 例如：取，，则特征函数如图图1-13-1 特征函数定理1 （1）；（2）； X A ?A x A x x A ?∈?? ?=0 1)(χ）X x x x B A ∈=()()(χχ[]0,1X =1,12A ?? =?? ? ?0 )(1)(≡=≡=x A x X A A A χφχ充分必要条件是；充分必要条件是) (, )()(X x x x B A B A ∈?≤?χχ充分必要条件是

（3） .特别时；（4）；（5）；（6）；（7）设是任一集列，则；（8）存在，且当极限存在时， . 证明仅证（3），（7）. ；（3）任意，.当时，；当时，；同理； )()()()(x x x x B A B A B A I Y χχχχ-+=φ=B A I )()()(x x x B A B A χχχ+=Y )()()(x x x B A B A χχχ=I )](1)[()(\x x x B A B A χχχ-=) (min )(, ) (max )(x x x x A A A A αα ααα αχχχχ ααΛ ∈Λ ∈==Λ ∈Λ ∈I Y {}k A ) (lim )() (lim )(lim lim x x x x k k k k k k A k A A k A χχχχ==) () (lim lim X x x A k A k k k ∈∞ →∞ →任意，存在的充分必要条件是χ) () (lim )(lim X x x x k k k A k A ∈=∞ →χχX x ∈B A B A x Y I ?∈) (1111)()()(x x x x x x B A B A B A Y I χχ==-+=-+B A x \∈) (1001)()()(x x x x B A B A B A Y I χχχχ==-+=-+) ()()()(\x x x x A B x B A B A B A Y I χχχχ=-+∈有

第三章可测函数

第三章可测函数为了引进新的积分，我们还需要引进一类重要的函数即可测集上的可测函数，这类函数一方面与数学分析中的连续函数有着密切的联系，另一方面比连续函数更为广泛、应用价值更大. 这里我们需要强调，今后所提到的函数都是指定义在n R 中某点集上的单值实函数，且允许它的值可以取±∞（±∞也称为非正常实数，通常的实数称为有限实数或实数）.另外，我们规定： (+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞，对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞，（+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，对∞≠b ， o b =∞，对o c ≠，∞=o c ，但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义. §1 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多，本节，我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单的可测函数，然后分析这些函数的测度特性从而归纳出一般可测函数的定义. 一、可测函数的定义及等价定义 1．简单函数定义1 设E n R ?为一个可测集，)(x f 为定义在E 上的实函数，如果（1）E = m i i E 1 =，其中i E 为两两不交的可测集，（2）在每个i E 上)(x f =i c ，即)(x f = ???1 C C m 1 E x E x m ∈∈ ，亦即∑==m i E i x c x f i 1 )()(χ，其中)(x i E χ表示i E 的特征函数，则称)(x f 为E 上的简单函数.

第四章实函习题解答

第四章习题解答 1. 证明：f(x)在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ,集E[f > r ] 可测。如果集 E[f=r]可测，问f(x)是否可测？证明若对任一有理数r ，E[f > r ] 可测，则对任一实数α ，记{n r }是大于α的一切有理数，则有1 [][]n n E f E f r α∞ =>= > ，由[]n E f r >可测得[]E f α>是可测的，所以(x) 为E 上为可测函数。证毕。若对任有理数r ，E[f=r]可测，则f(x)不一定是可测的。例如， (,)E =-∞+∞z 是(,)-∞+∞中不可测集。对任意x z ∈ ，(),()f x x z f x =?=则对任意有理数r ， []E f r ==? 是可测的。而[E f z =是不可测的，因此f 不是可测的。 2 . 设f(x),…,()(1,2,...)n f x n =是定义在区间[a,b]上的实函数，k 为正整数，试证 11 [||]lim n k n E f f k ∞ =→∞ -< 是E 中使()n f x 收敛于f(x)的点集。证明：记A 为E 中n f 收敛的点集。对任意x A ∈，任意k,存在N ，使,n>N 时， 1 ()n f f x k -< ，因此 1[]lim n n x E f f k →∞ ∈-< 由k 的任意性，得 11 [||]lim n k n x E f f k ∞ =→∞ ∈ -< 对任意11 [|| ]l i m n k n x E f f k ∞ =→∞ ∈ -< ，对任意0ε>，存在0k ，使 01k ε<，由10 1 [|| ]l i m n k n x E f f k ∞ =→∞ ∈-< 可知存在N ，使n>N 时01[||]n x E f f k ∈-<，，即 011 [||]n f f k k ε-< <<，所以lim ()()n x f x f x →∞=，即x ∈A ，所以 A= 11 [||]lim n k n E f f k ∞ =→∞ -< .

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第4章 可测函数(习题)

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