珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ＤＤＣＣＢ ＤＡＢＢＡ ＣＣ
1． 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x n n N ==+∈,则M N ?=（ ）Ｄ A. (0,8) B. {3,5,7} C. {0,1,3,5,7} D. {1,3,5,7} 2． 已知复数11z i =+，232z i =-，则复数
2
1
z z 在复平面内对应的点位于（ ）Ｄ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3． 若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥??
+-≤??≥?
，则32x y +的最大值是（ ）Ｃ
A. 6
B. 7
C. 9
D. 10 4
=
=，则与的夹角为（ ）Ｃ A. 30o
B. 45o
C. 60o
D. 120o
5． 当2
x π
π-
≤≤时,
函数()sin f x x x =的（ ）Ｂ
A ．最大值是1
，最小值是．最大值是2
，最小值是C ．最大值是1，最小值是1- D ．最大值是2，最小值是1- 6． 函数2
cos y x =的单调增区间是（ ）Ｄ
A. (2,2),k k k Z πππ-∈
B. (2,2),2
k k k Z π
ππ-∈
C. (,),k k k Z πππ-∈
D. (,),2
k k k Z π
ππ-
∈
7．已知函数2
()(1)x f x e x ax =++在点(0,(0))f 的切线与直线260x y -+=垂直,则a =
（ ）Ａ
A ．3-
B ．2-
C ．2
D ．3
8． 已知cos()(0,[0,2))y x ω?ω?π=+>∈的部分图象如图所示，则?=（ ）Ｂ
A.
32π B. 74π C. 4
π D. 0
9．执行如右下图的程序框图，若输入2015n =，则输出T 的值为（ ）Ｂ
A ．1
2
- B ．23 C ．3 D ．34
10．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（ ）Ａ
A
．3π B
．3π C
．2π D
．2π11．若0a >，且1a ≠，设函数2,
1()2,1
x
a x f x x x x ?
(,3]-∞，则a 的取值范围是（ ）Ｃ
A. (1,)+∞
B. (1,3)
C. (0,1)
D. [3,)+∞
12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点个数为（ ）Ｃ
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
（第10题图）
俯视图
左视图
正视图
2
2
22
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知数列{}n b 的前n 项和为n S ,且231n n S b =-,则n b = ．1
3
n -
14．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为 ．
1225
15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0)c ,(0,)b 两点，若直
线l 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为
．
12
16．(3)n x y +展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，则展开式中的中间项是 ．2254x y
三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差2d =，10120S =. （1）求n a ； （2
）若n b =
,求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
解(1)
1(1)
2
n n n S na d -=+
Q ,
2
d =，
10120S =……………………………………………………2分
1109
1021202
a ?∴+
?=,
即
13a =………………………………………………………………………3分
所
以
1
(1
n a a =
+……………………………………………………………………………4分
(2)
1
2
n b =
==Q …………………………
……7分
1111
2222
n T ∴=
++++L ……………10分
即
1
1)2
n T =
……………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）
某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示； (1)求合唱团学生参加活动的人均次数； (2)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数的和，求
ξ的分布列.（结果用最简分数）
解：（1）由题意得：110260330
2.2100
?+?+?= (2)
分
∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为2.2…………………………… 3分 （
2
）
由
题
意
得
ξ
的所有可能取值为
2,3,4,5,6…………………………………………………………… 5分 1091
(2)10099110P ξ?===?，
210604(3)1009933
P ξ??===?，
21030605923(4)100991009955P ξ???==+=??，
230604(5)1009911P ξ??===?，
302987(6)10099990
P ξ
?===?，……………………………………………………………………
…………10分 ∴ξ的分布列为：
…………………………………………………………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）
已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,且2AE EB BC ===,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ；
(2)求二面角C DE A --的余弦值.
解：（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ， ABCD 是矩形
∴G 为AC 的中点…………………………………… 1分 由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥
由EB BC =知：点F 为CE 中点…………………………………………………………… 2分 ∴FG 为ACE ?的中位线
∴FG //AE …………………………………………………………………………………… 3分 ∵ AE ?平面BFD ；FG ?平面BFD ；
∴ //
AE 平面BFD ； (4)
分
（2）由
BF ⊥平面ACE 得：BF AE ⊥；
由BC ⊥平面ABE 得: BC AE ⊥，BC BE
⊥；
∴AE ⊥平面BCE ，则BE AE ⊥ (6)
分 在BCE Rt ?中，CE =
=同理可得：
DE AB CD ===
AC =
8分 ∵ 2AD BC AE ===
∴ 取DE 中点H ，连结AH ，CH ,则AH DE ⊥,CH DE ⊥且
12AH DE =
=
2
CH DE == 10分 ∴CHA ∠即为二面角C DE A --的平面角；
在CHA ?中，222cos 2CH AH AC CHA CH AH +-∠===?； ∴
二
面
角
C D
--的余弦值为
F E D
C B
A
3
-
………………………………………………………………… 12分 20．（本小题满分12分）
已知动圆过定点1
(0,)4
F ,且与定直线1
:4
l y =-
相切． （1）求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；
（2）若点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为
,M N ，求证：直线MN 恒过定点，并求AMN ?面积S 的最小值.
解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹C 是以点1
(0,)4
F 为焦点，以定直
线
1:4
l y =-
为准线的抛物
线；………………………………………………………………………………………………2分 设2:2(0)C x py p => ∵ 点1
(0,)4
F 到准线1
:4
l y =-的距离为12,∴12p =
∴
圆
心
的轨迹
C 的方程为
2x y =………………………………………………………………………… 4分
(2) ∵2
x y =,∴2y x '=
设切点,M N 的坐标分别为11(,)M x y ,22(,)N x y ,则211x y =,222x y =
则过点11(,)M x y 的切线方程为1112()y y x x x -=-，即2112y x x x =-，即112y x x y =- 过点22(,)N x y 的切线方程为2222()y y x x x -=-，即2222y x x x =-，即222y x x y =- ∵过点,M N 的切线都过点00(,)A x y ∴01012y x x y =-，02022y x x y =-
∴点11(,)M x y ,22(,)N x y 都在直线002y xx y =-上 ∴
直
线
MN
的方程为
002y xx y
=-，即
0020x x y y --=…………………………………………………6分
又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=
∴直线MN 的方程为002(1)0x x y x ---=,即0(21)(1)0x x y -+-= ∴
直
线
MN
恒过定点
1
(,1)2
…………………………………………………………………………………8分 联立002
20x x y y y x
--=??=?得到20020x x x y -+= 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=,即
200210x x x x -+-=…①
则12x x 、是①的二根
∴2
0012012
044(1)021
x x x x x x x x ??=-->?
+=???=-?,
∴MN =
=
=……………………………………………………………………
…………10分
点00(,)A x y 到直线0020x x y y --=的距离是
:
d =
=
=
………………………………………
…………11分
∴
2
00112S MN d x x ?=?==-+
即14
AMN S ?==≥=
∴面积的最小值是
1
4
…………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数2
1()(2)2ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈. （1）若0a =，证明:()0f x <；
（2）讨论函数()f x 零点的个数.
解(1) 证明:当0a =时, ()22ln (0)f x x x x =-+>
22(1)()2x f x x x
-'=-+
= 列表:
max ()(1)20f x f ∴==-< max ()()0
f x f x ≤<,
即
()0f x <………………………………………………………………………………2分
(2)
2
()(2)(0)f x ax a x x
'=-++
>…………………………………………………………………………3分
2(2)2(1)(2)
()(0)ax a x x ax f x x x x
-++--'==>
讨论: 0
1
当0a =时,由第(1)问可得函数()f x 没有零
点; ……………………………………………4分
02 当
2
1a
>,即02a <<时, 令(1)(2)
()0x ax f x x
--'=
>得01x <<,或2x a >,即函数()f x 的增区间为(0,1),2
(,)a
+∞
令(1)(2)()0x ax f x x --'=
<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2
(1,)a 而11
(1)(2)2ln12022
f a a a =-++=--<,
因为函数()f x 的减区间为2(1,)a ,所以2
()(1)0f f a <<
又函数()f x 的增区间为(0,1),2
(,)a +∞
所以当(0,1)x ∈时,()(1)0f x f <<
所以当2
(,)x a
∈+∞时, 2()()f x f a >，x →+∞时，()f x →+∞ 所以函数()f x 在区间2(0,)a 没有零点,在区间2
(,)a
+∞有一个零
点………………………………………6分
03 当
2
1a
=,即2a =时, 2
(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x
-----'===≥恒成立
即函数()f x 在(0,)+∞上递增 而11
(1)222022
f a =--=-?-<，x →+∞时，()f x →+∞ 所
以
函
数
()
f x 在区间
(0,)
+∞有一个零
点……………………………………………………………………8分
04 当2
01a
<
<,即2a >时, 令(1)(2)()0x ax f x x --'=
>得2
0x a
<<,或1x >,即函数()f x 的增区间为2
(0,)a
,(1,)+∞ 令(1)(2)()0x ax f x x --'=
<得2
1x a
<<,即函数()f x 的减区间为2(,1)a 因为2a >,所以2222
()22ln 22ln10f a a a a =--+<--+<，又x →+∞时，()f x →+∞
根据函数单调性可得函数()f x 在区间(0,1)没有零点,在区间(1,)+∞有一个零点……………………10分
05 当
2
0a
<,即0a <时, 令(1)(2)
()0x ax f x x
--'=
>得01x <<,即函数()f x 的增区间为(0,1) 令(1)(2)
()0x ax f x x
--'=
<得1x >,即函数()f x 的减区间为(1,)+∞ 0x →时，()f x →-∞
x →+∞时，()f x →-∞
而114(1)(2)2ln12222
a f a a a --=
-++=--=
当4
(1)02a f --=
>即4a <-时, 函数()f x 有两个零点; 当4
(1)02
a f --==即4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 当
4(1)02
a f --=<即40a -<<时, 函数
()
f x 没有零
点. ………………………………………11分 综上，4a <-时, 函数()f x 有两个零点;
4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 40a -<≤时, 函数()f x 没有零点；
0a >时, 函数()f x 有一个零点；………………………………………12分
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP OM ⊥于P
(1)证明：2
OA OM OP =?；
(2)N 为线段AP 上一点，直线NB ON ⊥且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线
ON 于K .证明：090OKM ∠=．
证明：（1）由MA 是圆O 的
切
线
知:AM OA ⊥ …………………………………………………………2分 又∵AP OM ⊥；
∴ 在Rt OAM 中，由射影定理
知：
2OA OM OP =?……………………………………………………4分 （2）证明：由BK 是圆O 的切线知：B N
O K ⊥．同（1）
2OB ON OK =?……………………………6分
由
OB OA =得：
O
?
=?………………………………………………………………………7分
即
:
OP OK
ON OM
=．又N O P ∠=∠，则
NOP MOK V :V …………………………………………9分
∴
090OKM OPN ∠=∠=．………………………………………………………………………
………10分
(用M P N K 、、、四点共圆来证明也得分) 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知射线1C :()
03
π
θρ=
≥，动圆2C ：
220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈．
(1)求1C ，2C 的直角坐标方程；
(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两点，求0x 的取值范围.
解(1) ()tan ,03y x πθθρ==≥Q
(0)y
x x
∴=≥, 所
以
1
C 的直角坐标方程
为
(0)y x x =≥…………………………………………………………2分 cos sin x y ρθ
ρθ
=??
=?Q ,
所
以
2
C 的直角坐标方程
22200240x y x x x +-+-=.…………………………2分
(2) 联立()22000032cos 40()
x x x R πθρρρθ?
=≥???-+-=∈? 关于ρ的一元二次方程22
00040()x x x R ρρ-+-=∈在[0,)+∞内有两个实
根…………………………6分
即
22
00120212
04(4)00
40
x x x x x x x x ??=-->?
+=>???=->?,……………………………………………………………………………………8分
得
000
3302,2
x x x x ?-<
>?
?><-???
或,即
023
x <<
…………………………………………………………………10分 (用数形结合法解出也给分) 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知不等式221x x a +-->．
(1)当0a =时，求不等式的解集；
(2)若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.
解
：
(1)
由
题
意
得
：
2210
x x +-->，即：
221x x +>-……………………………………………1分
∴
22
(22)(1)x x +>-，即：
231030
x x +
+>……………………………………………………………3分 解得：3x <-或1
3
x >-； ∴
不
等
式
的
解
集
为
1(,3)(,)3
-
∞-?-+∞……………………………………………………………………
5分 (2)设()221([4,2])f x x x x =+--∈-,
则:3,(41)
()31,(11)3,(12)x x f x x x x x ---≤<-??
=+-≤
, ……………………………7分
其图像如图示：则()f x 的最大值为(2)5f =……………………8分 ∵ 不等式221x x a +-->在区间[4,2]-无解，
∴实数a 的取值范围为[5,)+∞…………………………………………10分