第3章 习题参考解答
习题3-1（未修改）
1、答：不能。因为函数)(x f 在区间],[b a 上的值可能取正和负。正确的解释应为在x 轴上方的曲边梯形的面积之和与在x 轴下方的曲边梯形的面积之和的差。
2、解：?∑=?==→b
a
n
i i i dx x F x F W )()(lim 1
ξλ。 3、解：（1）?1
02xdx =右图三角形面积=12121
=??； x
（2）dx x ?-1021=右图四分之一单位圆的面积=4
π；
（3）?-π
π
xdx sin =下图中两个曲边梯形的面积差额
=021=-A A
（4）?-
22
cos π
πxdx =上面右图中的两个曲边梯形的面积的和=?=+20
21cos 2πxdx A A
4、解：（1）n i x x x x x x x dx i i i i i i i n
i i
,,2,1,,],[,11
lim 11110
1
02 =-=?∈?+=+--=→∑?ξξλ 10210=<<<<=n x x x x ；
（2）n i x x x x x x xdx i i i i i i i n
i i ,,2,1,,],[,sin lim sin 111
=-=?∈?=--=→∑?ξξλπ
π=<<<<=n x x x x 2100。 5、解：
（1）因为10≤≤x ，所以23x x ≤，故dx x dx x ??≤1
21
3；
（2）因为21≤≤x ，所以32x x ≤，故dx x dx x ??≤2
1
321
2；
（3）因为e x <≤≤21，所以x x x ln )(ln 1ln 02
1
2
1
2
ln )(ln ；
（4）因为12-≤≤-x ，所以x x ??? ??≤313，故dx dx x
x
??----??
? ??≤1212313；
习题3-2
1、计算下列各函数的导数
（1）1sin x t
dt t ? 解：1sin sin ()x t x
dt t x '=? （2
）2
1
t dt
解：
2
2
ln 1
()t x dt e
e ''==
=
（3
）x
?
解：()x
'=?
（4）2
2
x t x
e dt -?
解：2
2
42
(
)2x t x x x
e dt xe e ---'=-?
2、计算下列定积分: 解：
（1）3334441111
(31)2044x dx x ==-=?
（2
）11212
11arcsin arcsin arcsin()()22663
x
πππ
-
==--=--=?
（3）1
1
100
1
()1x
x e dx e
e e e
---=-=--=-?
（4）42
2
440
tan (sec 1)tan 14
4
xdx x dx x
π
π
π
π
π
=-=-
=-
??
（5）1
1
100
11
11x dx x αααα+==
++? （6）2
2
2
124141
1
111811121()()2141338338x dx x x x +-++=+=--+=+-+??
3、设函数221
()31x x f x x x ≤??>?
，求21
()f x dx -?
解：212
122
231
1
1
1
1
()230817f x dx xdx x dx x
x
---=+=+=+-=???
4、求下列极限
（1）0
2sin 01lim cos x
x t dt x →?
解：0
20
022sin sin 000(cos )1lim cos lim lim cos(sin )cos 11
x
x x x x t dt t dt x x x →→→'==-?=-?? （2
）22(arctan ))lim
x
x t dt 解：
222
222(arctan ))((arctan ))2[arctan(2)]lim
lim lim 2x
x
x x x t dt t dt x x π∞∞
→+∞'===
5、设2
01()12
x x f x x
x ?≤≤?
<
()()x
x f t dt Φ=?在[0,2]上的表达式
解：当]1,0[∈x 时，30
20
3
1)()(x dt t dt t f x x
x
=
==Φ?? 当(1,2)x ∈时，6
12)1(2131)()(221
1
2
-=-+=+==Φ?
??x x tdt dt t dt t f x x x
所以3
2
01
3
()112
26
x x x x x ?≤≤??Φ=??-<≤??
习题3-3
1、求下列不定积分(其中a ，m ，n ，g 为常数) 解：
（1
）35
2
225
x dx x C ==+??
（2
）5
32
2
23x dx x C -
-==-+?
（3
）C = （4
）10.6
0.6
213()3[]du u
du u du u du u
u ---+=-+????
11
10.610.42
21153[ln ]3[2ln ]10.61212
u u u C u u u C -+-+=-++=-++-+-+
（5
）12dx C -==
（6）231
(2)(2)3
x dx x C -=-+?
（7）224253
12(1)(21)53
x dx x x dx x x x C +=++=
+++??
（8）13
3
5
2
32
2
221221)(1)335
dx x x x dx x x x x C =-+-=-+-+??
（9）34
43103101(3)10ln x dx x dx x C x x x
-+=+=-+??
（10）335
222242
)
35x dx x x C =-=++?
（11）4223
223311(3)arctan 11x x dx x dx x x C x x
++=+=++++?? （12）
23(3arctan 2arcsin 1dx x x C x =-++?
（13）21
(1)x x
x e e dx e C x x
--=++?
（14）()1ln t t
t t
t
a e a e dt ae dt C a
==
++?? （15）2352225
[25()]3()333ln 2ln 3
x x x x x dx dx x C ?-?=-=-+-?? （16）sec (sec tan )tan sec x x x dx x x C -=-+? （17）22tan (sec 1)tan xdx x dx x x C =-=-+??
（18）211tan 1cos 22cos 2
dx x dx C x x ==++?
?
（19）21cos 11
cos sin 2222
x x dx dx x x C +==++??
（20）22cos 2cos sin sin cos cos sin cos sin x x x
dx dx x x C x x x x -==-+--?
? （21）2222cos 211
()(cot tan )cos sin sin cos x dx dx x x C x x
x x =-=-++?
? 2、求下列定积分 解：
（1）101
1
x dx a α=+?
（2）2
2
2321
11111
(3)(ln )ln 222x x dx x x x x -+=-+=+?
（3）2
2
23341
1
11121
()()338x dx x x x -+=-=?
（4
）9
3224
4
21271()326dx x x =+=?
（5）11
100
1x
x
e dx e
e ---=-=-?
（6
）2
1
arctan 6
dx x π
==
+
（7
）11212
11arcsin arcsin arcsin()223
x
π
-
==--=?
（8）2
2
4
440
tan (sec 1)(tan )
14
tdt t dt t t π
π
π
π
=-=-=-
??
3、21
2
x e ,x e shx 和x e chx 是否都是x e 2的原函数
解：因为22212(),()()22
x
x x x x x x x x e e e e shx e shx e chx e e e chx '''==+=== 所以chx e shx e e x x x 和,2
1
2都是x e 2的原函数。
4、已知曲线上的任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点(0,1)的曲线方程
解：由已知得2y x '= ，22y xdx x C ==+?，
又曲线过(0, 1)点，所以1=0+C ，即C=1，故所求曲线为12+=x y 。 5、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23t (m/s)，问： （1）经3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360m 需要多少时间？
解：（1）3
3
230
327()s t dt t m ===?，故经3秒后物体离开出发点的距离是27m ；
（2）因为3t s =所以3s t =，故物体走完360米所需时间为s t 3360=。 习题3-4
1、计算下列不定积分 解：
（1）55511(5)55
t t t
e dt e d t e C =
=+?? （2）55611
(12)(12)(12)(12)212
x dx x d x x C -=---=--+??
（3）1111
(32)ln 32322322
dx d x x C x x =--=--+--?? （4
）3
211
(82)(82)23
x x C =--=--+
（5
）2C ==-? （6）()x
x
x
x e e x e e dx e d e e C +==+??
（7
）22
()1arcsin 2
x
ad x a C a ===
（8）111
(ln )(ln ln )ln ln(ln )ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x
===+?
??
（9）10210111
tan sec tan (tan )tan 11
x xdx xd x x C ==+??
（10）2sec (tan )
ln tan sin cos tan tan dx x d x dx x C x x x x ===+?
?? （11）22()arctan 11x x x
x x x
x
dx e dx d e e C e e e e
-===++++??? （12）2222
11cos()cos()()sin()22
x x dx x d x x C =
=+?? （13）233
66
111()arctan 43462
x x dx d x C x x ==+++?? （14
）3
332
12(1)(1)39
x x x C =+=++?
（15
）11arcsin(2)ln 2ln 2x x x
C ==+ （16
）2x x x x dx =?
21arcsin 2x x x e C ==+
（17）43427511
cos sin cos (1cos )(cos )cos cos 75
x xdx x x d x x x C ?=--=-+??
（18）22222cos sin cos (cos )1(1cos )1
ln(1cos )1cos 1cos 21cos 2
x x x d x d x dx x C x x x ??+=-=-=-+++++??? （19
）2arcsin dx x C ==-=-+?
（20）()()2
322222
222222
9119999()()ln 99292922922d x x x x x x dx d x d x x C x x x x ++-===-=-++++++???? （21）222422222
1()1(1)11
arctan()252(1)44(1)142xdx d x d x x C x x x x ++===+++++++??? （22）2111112()[ln 2ln 2]ln 4422442dx x
dx x x C C x x x x +=+=+--+=+--+-?? （23
）21212dx dx C x ==+-?? （24）11112
()ln (1)(2)32131
dx x dx C x x x x x -=-=++--++?
?
（25）32231
cos cos (sin )(1sin )(sin )sin sin 3
xdx xd x x d x x x C ==-=-+???
（26）21cos 2()
cos ()2
t t dt dt ω?ω?+++=??
11sin 2()cos 2()[2()]2424t t t t d t C ω?ω?ω?ωω
+=+++=++? （27）32231
tan sec tan (sec tan )(sec 1)(sec )sec sec 3
x xdx x x x dx x d x x x C ?==-=-+???
（28
）2arccos 2arccos 2arccos 1110(2arccos )1022ln10
x x x
d x C =-
=-+? （29）1111cos3cos5(cos8cos 2)](sin8sin 2)2282
x xdx x x dx x x C =+=++?? （30
）2
11
(arcsin )(arcsin )arcsin d x C x x
==-+?
（31
）232sin 222
sin cos 1cos 2cos 2x a t
t a t tdt t
a dt a t ππ=-<<-=====??令
221(sin 2)(arcsin 222a a x t t C C a =-+=+（0a >）
（32
）1()
1arccos d C x ==-=+ （33
）2tan 322sec cos sin sec x x
t tdt tdt t C C t ππ=-<<======+=+??令 （34）
3sec 23tan 33sec tan 3tan 3(tan )3arccos 3sec x t t t tdt tdt t t C C x t x
======-+=+?
??令 （35
）22
ln 1ln(11t t x t dt t t C C t
==-++=++?令；
（36
）sin cos 1cos 1cos x t
tdt dt
dt t t ====
=-++???令
2
tan arcsin 22cos 2
dt
t t t C x C t =-=-+=+?
注：x x
x x x x x cos 1cos 1sin cos 1cos 1sin 2tan +-±=-=+=
2、求下列不定积分
解：
（1）222
223(310)
ln 310310310
x d x x dx x x C x x x x ++-==+-++-+-?? （2）5442
38(1)8834(1)(1)(1)11
x x x x dx dx x x dx x x x x x x x x +-+-==+++---+--+??? 32
8ln 3ln 14ln 132
x x x x x x C =+++---++ （3）32213(21)31222()ln 11111
x x dx dx x dx x x x x x x --
-=-=+-++-+-+???
22131ln 1ln(1)ln 1ln(1)13222()24dx x x x x x x C
x =+--++=+--+-+?（4）(1)(2)(3)
xdx
x x x +++?
解：由
(1)(2)(3)123
x A B C
x x x x x x =++++++++
得0
54316320
A B C A B C A B C ++=??
++=??++=?，13222A B C ∴=-==-，，
13
2
22(1)(2)(3)123
x x x x x x x --
∴=++++++++ ∴4
3
131(2)2ln (1)(2)(3)212232(1)(3)xdx dx dx dx x C x x x x x x x x +=-+-=+++++++++?
??? （5）22
1(1)(1)
x dx x x ++-? 解：由2221(1)(1)1(1)1
x A B C
x x x x x +=++
+-++- 得1
201
A C
B
C A B C +=??
+=??--+=?
，11122A B C ∴==-=，，
∴222211111
ln 1(1)(1)21(1)21(1)2x dx dx dx dx x C x x x x x x +=-+=+-++-++-+???? （6）2(1)dx
x x +?
解：由
221(1)
1
A Bx C x x x x +=
+++ 得001A B C A +=??
=??=?
，1
10A B C ∴==-=，， ∴22
22221(1)1ln ln (1)12121dx dx xdx d x x x C x x x x x x +=-=-=+++++????（）
（7）22(1)()
dx
x x x ++?
解：由
222
1(1)()11
Ax B C D
x x x x x x +=++++++
得00
1A C D A B C B C D C ++=??++=?
?++=??=?，112A B D C ∴===-=，
∴2221(1)1(1)()21
21dx x dx dx dx
x x x x x x +=-+-++++?
??? 222
11(1)1ln ln 124121d x dx x x x x +=-+--++??
2
111ln ln 1ln(1)arctan 242x x x x C =-+-+-+ （8）4
1
dx
x +?
解：4
1111x x x ++
==+
∴4
11(2(2144x x dx x =-+?
1(4=++
2
((1[84
d x d x -=
++
1)1)C =+-+ （9）41
dx
x -? 解：42
211111111
1(1)(1)(1)414121
x x x x x x x ==?-?-?--++-++
∴4111
ln arctan 1412
dx x x C x x -=-+-+? （10）cos 1sin cos cos sin 1
(ln sin cos )1tan sin cos 2sin cos 2
dx xdx x x x x dx x x x C x x x x x ++-===++++++?
??
注：可使用“万能替换”公式求解。
（11）1sin cos dx
x x
++?
解：用“万能替换”，令2222
212tan cos sin 2111x dt t t
t dx x x t t t -====+++，则，， 2
22
2
1
2ln 1ln 1tan 211sin cos 112
111dx
dt x dt t C C t t x x t t t t =?
==++=++-++++++++??
? （12
）322
1313((1))3(ln 1)112t x t t dt dt t dt t t t C t t =-=-+=-+++++???令
2
33
(1)3ln 12
x C =+-+ （13
）32
22121]23dx x x x C ==-++?
（14
）2211[(1)2][(1)1](1)3(1)2
2221
11t x t t t t t t tdt dt dt t t t =--+-+-+-+-==+++???令
1
2[(1)32(
1)](1)64l n 1
t d
t d t t d t t t t C -=+-++=+-+++??? C x x x C x x x +++++-=+++++-++=)11l n (414)11l n (416)11(12 （15
）432241
44(1)11t x t t dt t dt t dt t t t t ===-++++???令
21
4(ln 1)4ln(12
t t t C C =-+++=++
（16
）21arcsin 2x C ==-= （17
）211211
111t x t dt dx dt t t t =--==----+??令（）
1111
1ln
ln 21ln 1
2t C C x C x C t +=+=+=+++=+++- （18
）2tan 1
sec sec (tan 1)sec tan 1x t tdt tdt
t t t =-======--??令
()
4csc()cot()
sin cos44
)sin()
44
d t
dt dt
t t C t t t t
π
ππ
ππ
-
====---+ ---
??
cos sin
ln(2
sin cos
t t
C x x C
t t
+
=-+=-++
-
3、计算下列定积分
（1）1
3
2(115)
dx
x
-+
?1
122
3
2
2
1(115)1151
(115)(161)
5(115)1010512
d x
x
x
--
-
-
+
==-+=--=
+
?
（2）0
2
222
dx
x x
-++
?00
22
2
(1)
arctan(1)()
1(1)442
d x
x
x
πππ
-
-
+
==+=--=
++
?
（3
）
2
4222
1
111
2112
22[(ln1)]2(1ln)
113
t
x t
tdt t
dt t t
t t
=
+-
==-+=+
++
???
令
（4
）2
4444
2222
0000
sec(tan)
)
1sin sec tan12tan
dx xdx d x
x
x x x x
ππππ
====
+++
???
（5
）
2
2
22
66
6
1cos2111
cos(sin2)(
22223
u
udu du u u
π
ππ
ππ
π
π
+
==+=
??
（6
）
2
1 101
22435 010
1
114
(1)(2)2()2()
3515
u
x u
u u udu u u du u u
=-
--=-=-=???
令
（7
）
2
2
arcsin)(
22
y
π
===+注：用了171页的例13的结论。
（8
）
sin
22422
22
000
sin cos cos sin cos
x a t
a
x a ta ta tdt a t tdt
ππ
=
====
???
2444
4222
000
sin21cos411
(sin4)
44242816
t a t a a
a dt dt t t
ππππ
-
===-=
??
（9
）()
2
sin2
12
22
2
44
4
cos
csc1(cot)11
sin244 x t t
dt t dt t t
t
π
ππ
ππ
π
πππ=
====-=--=-++=-
??
（10
）
2
tan3
33
22
1
44
4
sec cos1
tan sec sin sin
x t tdt tdt
t t t t
π
ππ
ππ
π
=
=====-=
??
（11
）33
00
2
2
13
d
x
π
===
+
??