9.1 不等式15年
一.选择题(共30小题)
1.(2015?怀化)下列不等式变形正确的是()
A.由a>b得ac>bc B.由a>b得﹣2a>﹣2b
C.由a>b得﹣a<﹣b D.由a>b得a﹣2<b﹣2
2.(2015?黄石)当1≤x≤2时,ax+2>0,则a的取值范围是()
A.a>﹣1 B.a>﹣2 C.a>0 D.a>﹣1且a≠0
3.(2015?南充)若m>n,下列不等式不一定成立的是()
A.m+2>n+2 B.2m>2n C.>D.m2>n2
4.(2015?乐山)下列说法不一定成立的是()
A.若a>b,则a+c>b+c B.若a+c>b+c,则a>b
C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b
5.(2015?广元)当0<x<1时,x,,x2的大小顺序是()
A.<x<x2 B.x<x2<C.x2<x<D.<x2<x
6.(2015?扬州)已知x=2是不等式(x﹣5)(ax﹣3a+2)≤0的解,且x=1不是这个不等式的解,则实数a的取值范围是()
A.a>1 B.a≤2 C.1<a≤2 D.1≤a≤2
7.(2015?绥化)关于x的不等式组的解集为x>1,则a的取值范围是()A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1
8.(2015?桂林)下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是()
A.5 B. 4 C. 3 D. 2
9.(2015?丽水)如图,数轴上所表示关于x的不等式组的解集是()
A.x≥2 B.x>2 C.x>﹣1 D.﹣1<x≤2
10.(2015?嘉兴)一元一次不等式2(x+1)≥4的解在数轴上表示为()
A.B.C.D.
11.(2015?昆明)不等式组的解集在数轴上表示为()
A.B.
C.D.
12.(2015?岳阳)一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图,则该不等式组的解集是()
A.﹣2<x<1 B.﹣2<x≤1 C.﹣2≤x<1 D.﹣2≤x≤1
13.(2015?遵义)不等式3x﹣1>x+1的解集在数轴上表示为()
A.B.C.D.
14.(2015?新疆)不等式组的解在数轴上表示为()
A.B.C.D.
15.(2015?长沙)在数轴上表示不等式组的解集,正确的是()
A.B.C.D.
16.(2015?临沂)不等式组的解集,在数轴上表示正确的是()
A.B.C.
D.
17.(2015?娄底)一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来,正确的是()
A.B.C.
D.
18.(2015?湖北)在数轴上表示不等式2(1﹣x)<4的解集,正确的是()
A.B.C.D.
19.(2015?南宁)不等式2x﹣3<1的解集在数轴上表示为()
A.B.C.
D.
20.(2015?河南)不等式的解集在数轴上表示为()
A.B.
C.D.
21.(2015?深圳)解不等式2x≥x﹣1,并把解集在数轴上表示()
A.B.C.
D.
22.(2015?泉州)把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来,则正确的是()
A.B.C.D.23.(2015?宜昌)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.C.D.
24.(2015?聊城)不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下,其中正确的是()
A.B.C.
D.
25.(2015?衡阳)不等式组的解集在数轴上表示为()
A.B.C.
D.
26.(2015?滨州)如果式子有意义,那么x的取值范围在数轴上表示出来,正确的是()
A.B.C.
D.
27.(2015?曲靖)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.
C.D.
28.(2015?锦州)如图,不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.C.
D.
29.(2015?莆田)不等式组的解集在数轴上可表示为()
A .
B .
C .
D .
30.(2015?广西)不等式5x ≤﹣10的解集在数轴上表示为( )
A .
B .
C .
D .
9.1 不等式 15年
参考答案与试题解析
一.选择题(共30小题)
1.(2015?怀化)下列不等式变形正确的是( )
A . 由a >b 得ac >bc
B . 由a >b 得﹣2a >﹣2b
C . 由a >b 得﹣a <﹣b
D . 由a >b 得a ﹣2<b ﹣2
考点: 不等式的性质.
分析: A :因为c 的正负不确定,所以由a >b 得ac >bc 不正确,据此判断即可.
B :不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,据此判断即可.
C :不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,据此判断即可.
D :不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,据此判断即可.
解答: 解:∵a >b ,
∴①c >0时,ac >bc ;②c=0时,ac=bc ;③c <0时,ac <bc ,
∴选项A 不正确;
∵a >b ,
∴﹣2a <﹣2b ,
∴选项B 不正确;
∵a >b ,
∴﹣a <﹣b ,
∴选项C 正确;
∵a >b ,
∴a ﹣2>b ﹣2,
∴选项D 不正确.
故选:C .
点评: 此题主要考查了不等式的基本性质:(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变.
2.(2015?黄石)当1≤x ≤2时,ax+2>0,则a 的取值范围是( )
A . a >﹣1
B . a >﹣2
C . a >0
D . a >﹣1且a ≠0
考点:不等式的性质.
分析:当x=1时,a+2>0;当x=2,2a+2>0,解两个不等式,得到a的范围,最后综合得到a的取值范围.
解答:解:当x=1时,a+2>0
解得:a>﹣2;
当x=2,2a+2>0,
解得:a>﹣1,
∴a的取值范围为:a>﹣1.
点评:本题考查了不等式的性质,解决本题的关键是熟记不等式的性质.
3.(2015?南充)若m>n,下列不等式不一定成立的是()
A.m+2>n+2 B.2m>2n C.>D.m2>n2
考点:不等式的性质.
分析:根据不等式的性质1,可判断A;根据不等式的性质2,可判断B、C;根据不等式的性质3,可判断D.
解答:解:A、不等式的两边都加2,不等号的方向不变,故A正确;
B、不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变,故B正确;
C、不等式的两条边都除以2,不等号的方向不变,故C正确;
D、当0>m>n时,不等式的两边都乘以负数,不等号的方向改变,故D错误;
故选:D.
点评:本题考查了不等式的性质,.“0”是很特殊的一个数,因此,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存在与否,以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
4.(2015?乐山)下列说法不一定成立的是()
A.若a>b,则a+c>b+c B.若a+c>b+c,则a>b
C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b
考点:不等式的性质.
分析:根据不等式的性质进行判断.
解答:解:A、在不等式a>b的两边同时加上c,不等式仍成立,即a+c>b+c,故本选项错误;
B、在不等式a+c>b+c的两边同时减去c,不等式仍成立,即a>b,故本选项错误;
C、当c=0时,若a>b,则不等式ac2>bc2不成立,故本选项正确;
D、在不等式ac2>bc2的两边同时除以不为0的c2,该不等式仍成立,即a>b,故本选项错误.
故选:C.
点评:主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数,因此,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存在与否,以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质:
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
5.(2015?广元)当0<x<1时,x,,x2的大小顺序是()
A.<x<x2 B.x<x2<C.x2<x<D.<x2<x
考点:不等式的性质.
分析:采取取特殊值法,取x=,求出x2和的值,再比较即可.
解答:解:∵0<x<1,
∴取x=,
∴=2,x2=,
∴x2<x<,
故选C.
点评:本题考查了不等式的性质,有理数的大小比较的应用,能选择适当的方法比较整式的大小是解此题的关键.
6.(2015?扬州)已知x=2是不等式(x﹣5)(ax﹣3a+2)≤0的解,且x=1不是这个不等式的解,则实数a的取值范围是()
A.a>1 B.a≤2 C.1<a≤2 D.1≤a≤2
考点:不等式的解集.
分析:根据x=2是不等式(x﹣5)(ax﹣3a+2)≤0的解,且x=1不是这个不等式的解,列出不等式,求出解集,即可解答.
解答:解:∵x=2是不等式(x﹣5)(ax﹣3a+2)≤0的解,
∴(2﹣5)(2a﹣3a+2)≤0,
解得:a≤2,
∵x=1不是这个不等式的解,
∴(1﹣5)(a﹣3a+2)>0,
解得:a>1,
∴1<a≤2,
故选:C.
点评:本题考查了不等式的解集,解决本题的关键是求不等式的解集.
7.(2015?绥化)关于x的不等式组的解集为x>1,则a的取值范围是()
A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1
考点:不等式的解集.
分析:解两个不等式后,根据其解集得出关于a的不等式,解答即可.
解答:解:因为不等式组的解集为x>1,
所以可得a≤1,
故选D
点评:此题主要考查了不等式组的解集,关键是根据其解集得出关于a的不等式.
8.(2015?桂林)下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是()
A.5 B. 4 C. 3 D. 2
考点:不等式的解集.
分析:根据一元一次不等式的解法,移项、合并,系数化为1求出不等式的解集,再根据各选项确定答案.
解答:解:移项得,5x﹣2x≥9,
合并同类项得,3x≥9,
系数化为1得,x≥3,
所以,不是不等式的解集的是x=2.
故选:D.
点评:本题考查了解简单不等式的能力,解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.解不等式要依据不等式的基本性质.
9.(2015?丽水)如图,数轴上所表示关于x的不等式组的解集是()
A.x≥2 B.x>2 C.x>﹣1 D.﹣1<x≤2
考点:在数轴上表示不等式的解集.
分析:根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可.
解答:解:由数轴可得:关于x的不等式组的解集是:x≥2.
故选:A.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集,熟知“小于向左,大于向右”是解答此题的关键.10.(2015?嘉兴)一元一次不等式2(x+1)≥4的解在数轴上表示为()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
分析:首先根据解一元一次不等式的方法,求出不等式2(x+1)≥4的解集,然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法,把不等式2(x+1)≥4的解集在数轴上表示出来即可.
解答:解:由2(x+1)≥4,
可得x+1≥2,
解得x≥1,
所以一元一次不等式2(x+1)≥4的解在数轴上表示为:
.
故选:A.
点评:(1)此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要注意“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.(2)此题还考查了解一元一次不等式的方法,要熟练掌握,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
11.(2015?昆明)不等式组的解集在数轴上表示为()
A.B.
C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:解不等式组,求出不等式组的解集,即可解答.
解答:解:不等式组的解集为:﹣3<x≤1,
故选:A.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
12.(2015?岳阳)一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图,则该不等式组的解集是()
A.﹣2<x<1 B.﹣2<x≤1 C.﹣2≤x<1 D.﹣2≤x≤1
考点:在数轴上表示不等式的解集.
分析:根据不等式解集的表示方法即可判断.
解答:解:该不等式组的解集是:﹣2≤x<1.
故选C.
点评:本题考查了不等式组的解集的表示,不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线.
13.(2015?遵义)不等式3x﹣1>x+1的解集在数轴上表示为()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
分析:首先根据解一元一次不等式的方法,求出不等式3x﹣1>x+1的解集,然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法,把不等式3x﹣1>x+1的解集在数轴上表示出来即可.
解答:解:由3x﹣1>x+1,
可得2x>2,
解得x>1,
所以一元一次不等式3x﹣1>x+1的解在数轴上表示为:
故选:C.
点评:(1)此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要注意“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.(2)此题还考查了解一元一次不等式的方法,要熟练掌握,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
14.(2015?新疆)不等式组的解在数轴上表示为()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:分析:先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.
解不等式组得:,再分别表示在数轴上即可得解.
解答:解:由x+1>2,得x>1;
由3﹣x≥1,得x≤2,
不等式组的解集是1<x≤2,
故选:C.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数
与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
15.(2015?长沙)在数轴上表示不等式组的解集,正确的是()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.本题解不等式组得:,再分别表示在数轴上即可得解.
解答:解:由x+2>0得x>﹣2,
由2x﹣6≤0,得x≤3,
把解集画在数轴上为:
故选A.
点评:本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
16.(2015?临沂)不等式组的解集,在数轴上表示正确的是()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可.
解答:解:,
由①得,x>﹣3,
由②得,x≤2,
故不等式组的解集为:﹣3<x≤2.
在数轴上表示为:
.
故选C.
点评:本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集,熟知“小于向左,大于向右”是解答此题的关键.17.(2015?娄底)一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来,正确的是()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
专题:计算题.
分析:分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式组的解集,表示在数轴上即可.
解答:解:,
由①得:x≤1;
由②得:x>﹣2,
∴不等式组的解集为﹣2<x≤1,
表示在数轴上,如图所示:
,
故选B.
点评:此题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
18.(2015?湖北)在数轴上表示不等式2(1﹣x)<4的解集,正确的是()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
分析:根据解不等式的方法,可得不等式的解集,根据不等式的解集在数轴上表示的方法,可得答案.
解答:解:由2(1﹣x)<4,得2﹣2x<4.
解得x>﹣1,
故选:A.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
19.(2015?南宁)不等式2x﹣3<1的解集在数轴上表示为()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
专题:数形结合.
分析:先解不等式得到x<2,用数轴表示时,不等式的解集在2的左边且不含2,于是可判断D 选项正确.
解答:解:2x<4,
解得x<2,
用数轴表示为:
.
故选D.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集:用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.
20.(2015?河南)不等式的解集在数轴上表示为()
A.B.
C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:先将每一个不等式解出来,然后根据求解的口诀即可解答.
解答:解:,
解不等式①得:x≥﹣5,
解不等式②得:x<2,
由大于向右画,小于向左画,有等号画实点,无等号画空心,
∴不等式的解集在数轴上表示为:
故选C.
点评:此题考查了不等式组的解法及不等式组解集在数轴上的表示,解题的关键是:熟记口诀大于向右画,小于向左画,有等号画实点,无等号画空心.
21.(2015?深圳)解不等式2x≥x﹣1,并把解集在数轴上表示()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
分析:先移项、合并同类项,把x的系数化为1即可.
解答:解:2x≥x﹣1,
2x﹣x≥﹣1,
x≥﹣1.
故选:B.
点评:本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集.把不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画).在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
22.(2015?泉州)把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来,则正确的是()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
分析:先解的不等式,然后在数轴上表示出来.
解答:解:解不等式x+2≤0,得
x≤﹣2.
表示在数轴上为:.
故选:D.
点评:本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集.把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
23.(2015?宜昌)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:根据不等式的基本性质来解不等式组,两个不等式的解集的交集,就是该不等式组的解集;然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示.
解答:解:不等式组的解集是﹣1≤x≤3,其数轴上表示为:
故选B
点评:不等式组的解集:不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解,然后再找它们的相交的公共部分(最好先在数轴上画出它们的解),找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住:同小取小,同大取大;比大的小,比小的大,取中间;比大的大,比小的小,无解.
24.(2015?聊城)不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下,其中正确的是()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
分析:不等式移项,再两边同时除以2,即可求解.
解答:解:不等式得:x≥﹣2,其数轴上表示为:
故选B
点评:本题考查了解简单不等式的能力,解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.
解不等式要依据不等式的基本性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
25.(2015?衡阳)不等式组的解集在数轴上表示为()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:根据不等式的基本性质来解不等式组,两个不等式的解集的交集,就是该不等式组的解集;然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示.
解答:解:不等式组的解集为:﹣2≤x<1,其数轴表示为:
故选A
点评:不等式组的解集:不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解,然后再找它们的相交的公共部分(最好先在数轴上画出它们的解),找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住:同小取小,同大取大;比大的小,比小的大,取中间;比大的大,比小的小,无解.
26.(2015?滨州)如果式子有意义,那么x的取值范围在数轴上表示出来,正确的是()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;二次根式有意义的条件.
分析:根据式子有意义和二次根式的概念,得到2x+6≥0,解不等式求出解集,根据数轴上表示不等式解集的要求选出正确选项即可.
解答:解:由题意得,2x+6≥0,
解得,x≥﹣3,
故选:C.
点评:本题考查度数二次根式的概念、一元用差不多少的解法以及解集在数轴上的表示方法,正确列出不等式是解题的关键,注意在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
27.(2015?曲靖)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.
C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:先解不等式组中的每一个不等式,再把不等式的解集表示在数轴上即可.
解答:解:,
解得:.
故不等式组无解.
故选:D.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集,不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),在表示解集时“≥,≤”要用实心圆点表示;“<,>”要用空心圆点表示.
28.(2015?锦州)如图,不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.C.
D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:数轴的某一段上面表示解集的线的条数,与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.实心圆点包括该点,空心圆圈不包括该点,大于向右小于向左.
解答:解:由①得,x>﹣2,
由②得,x≤2,
故此不等式组的解集为:﹣2<x≤2.
故选:B.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集.不等式的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
29.(2015?莆田)不等式组的解集在数轴上可表示为()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:分别求出两个不等式的解集,即可作出判断.
解答:解:解不等式x+2>1得:x>﹣1;
解不等式x≤1得:x≤2,
所以次不等式的解集为:﹣1<x≤2.
故选A.
点评:本题主要考查对不等式的性质,解一元一次不等式(组),在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.
30.(2015?广西)不等式5x≤﹣10的解集在数轴上表示为()
A.B.C.D.
考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.
分析:将不等式两边同时除以5将系数化1即可确定不等式的解集,然后在数轴上表示出来即可.解答:解:不等式两边同时除以5得:x≤﹣2,
故选C.
点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集和解一元一次不等式的知识,易错点是:在数轴上表示最后的解集时,要注意数轴上这个点是实心点还是空心点.
不等式及其性质(提高)知识讲解 【学习目标】 1.了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用. 【要点梳理】 知识点一、不等式的概念 一般地,用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 要点诠释: (1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大. (2) (3)有些不等式中不含未知数,如3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知数,如2x>5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立. 知识点二、不等式的解及解集 1.不等式的解: 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 2.不等式的解集: 对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集. 要点诠释: 3.不等式的解集的表示方法 (1)用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8. (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:
要点诠释: 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;二是确定方向,对边界点a而言,x>a或x≥a向右画;对边界点a而言,x<a或x≤a向左画. 注意:在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点. 【高清课堂:一元一次不等式370042不等式的基本性质】 知识点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c. 不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 用式子表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a b c c >). 不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 用式子表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a b c c <). 要点诠释:不等式的基本性质的掌握应注意以下几点: (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会. (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变.【典型例题】 类型一、不等式的概念 1.有数颗等重的糖果和数个大、小砝码,其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克,且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形.判断下列正确的情形是() 【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量>5克,3个糖果的质量<16克,依此求出1个糖果的质量取值范围,再在4个选项中找出情形正确的.
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 单元测试(五) 不等式与不等式组 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.不等式2x+3≥1的解集在数轴上表示为( ) 2.已知实数a1 C.1≤x<2 D.1 A.50页 B.60页 C.80页 D.100页 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.用不等式表示,比x 的5倍大1的数不小于x 的一半与4的差:____________________. 10.不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是__________. 11.不等式组()10,1432 x x ->+????的解集是__________. 12.某采石场爆破时,点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域.甲工人在转移过程中,前40米只能步行,之后骑自行车.已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒,步行的速度为1米/秒,骑车的速度为4米/秒.为了确保甲工人的安全,则导火线的长要大于__________米. 三、解答题(共60分) 13.(12分)(1)解不等式:5(x-2)+8<6(x-1)+7; (2)解不等式组()()10,32561,x x x +>+≥-????? ①②并在数轴上表示其解集. 14.(8分)若代数式()3252 k +的值不大于代数式5k+1的值,求k 的取值范围. 15.(8分)已知关于x ,y 的方程组521118,23128x y a x y a +=+-=-???①② 的解满足x>0,y>0,求a 的取值范围. 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 不等式与不等式组知识总结 一、不等式的概念 1.不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2.不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。 3.不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。 4.解不等式:求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 5.用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1.不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2.不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3.不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 说明: ①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立。 三、一元一次不等式 1.一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项 (4)合并同类项(5)将x项的系数化为1 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念: 几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 练习题:P133 一、不等式 (一)、不等式的基本概念 1、用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式。 2、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。 例1.下面哪些数值是关于x的不等式1-5x<16的解? -4.5 , -4 ,-3 ,4 ,2.5 ,0 ,-1 答:当x=-4.5,-4,-3时,不等式不成立。当x= 4,2.5,0,-1时,不等式成立。 例2.下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是? -3 , -1 , 0 , 1, 1.5 , 2.5 ,3 , 3.5 例3.用不等式表示下列数量关系 (1)x的3倍大于x的2倍与5的差; (2)y的3/4与x的1/2的差小于2; (3)y的一半与4的和是负数; (4)5与a的4倍的差不是正数。 (5)a与1的和是正数; (6)y的2倍与1的和大于3; (7)x的一半与x的2倍的和是非正数; (8)c与4的和的30%不大于-2; (9)x 除以2的商加上2,至多为5; (10)a 与b 两数的和的平方不可能大于3。 3、不等式的解集 (1)、一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合。 (2)、含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 (3)、求不等式解集的过程叫做解不等式。 求下列不等式的解集 ○12(x-2)≤6-3x ○22x-3>1 ○33x+1<-2 ○43x+4≤6+2(x-2) ○5421+≤x x ○65 351x x ->+ 4、不等式解集的数轴表示 例将方程x+6=5的解在数轴上表示出来,如下图所示 而不等式x+6>5则有无数多个解,即x>-1的任何一个数都是不等式的解, 在数轴上表示出来是一个区间,如图 注意上图中的“空心点” 课堂练习 在数轴上表示出下列各式: (1)x≥2 (2)x<-2 (3)x>1 (4)x≤-1 (二)、不等式的性质 性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变; 如果a>b,那么a+c>b+c (或a-c>b-c) 性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变; 如果a>b,且c>0,那么ac>bc (或a/c >b/c) 性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 如果a>b,且c<0,那么ac .选择题(共20小题) 1?实数a, b在数轴上的对应点如图所示,则下列不等式中错误的是( a b 0 A ab> 0 B a+b v 0 C a v 1 D a - b v 0 ?恫 2.据丽水气象台天气预报”报道,今天的最低气温是17C,最高气温是25C,则今天气温t (C)的范围是( At V 17 B t > 25 C t=21 D 17W <25 3?若x>y,则下列式子错误的是() A x - 3>y - 3 B 3 - x> 3 - y C x+3 > y+2 4 .如果a v b v 0,下列不等式中错误的是( ) A ab> 0 B a+b v 0 C |a v 1 D a - b v 0 ?恫LI 的解集是x> 1 .其中正确的个数是() A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 A x v 4 B x v 2C2v x v 4 不等式J> 1的解集是() A 1 x >-—. 2 B x>- 2 C x v- 2 D .不等式2x > 3 - x的解集是() A x > 3 B x v 3 C x > 1D x > 2 x v 1 9. x v A a> b>- b> B a>- a> b> C b>a>- b> D-a>b>-b . -a.-b. -a> a x > 2;④ \>1 x>2 12 5.如果a v 0, b>0, a+b v0,那么下列关系式中正确的是( 6.下列说法:①x=0是2x - 1v 0的一个解; ②. 不是3x- 1> 0的解;③-2x+1v 0的解集是 3 7.一个不等式的解集为-1v x电,那么在数轴上表示正确的是( &如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为( O 10 《基本不等式》同步测试 一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ,下列不等式恒成立的是 ( ) A .21a a +> B .2111 a <+ C .296a a +> D .2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B.22a b + C.2ab D.a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 ( ) A.3 B.332- C.3-23 D.-1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数,且 14 1x y +=,则xy 有 ( ) A.最大值16 B.最小值 116 C.最小值16 D.最大值116 6. 若a , b , c ∈R ,且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( ) A .2222a b c ++≥ B .2 ()3a b c ++≥ C . 11123a b c + + ≥ D .3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A .114x y ≤+ B .11 1x y +≥ C .2xy ≥ D .11xy ≥ 8. a ,b 是正数,则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 ( ) A.22a b ab ab a b +≤≤+ B.22a b ab ab a b +≤≤ + C. 22ab a b ab a b +≤≤+ D.22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,设这两年平均增长率为x ,则有( ) A.2p q x += B.2p q x +< C.2p q x +≤ D.2 p q x +≥ 10. 下列函数中,最小值为4的是 ( ) A.4y x x =+ B.4sin sin y x x =+ (0)x π<< 9.2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1.理解一元一次不等式的概念;(重点) 2.掌握一元一次不等式的解法.(重点、难点) 一、情境导入 1.什么叫一元一次方程? 2.解一元一次方程的一般步骤是什么?要注意什么? 3.如果把一元一次方程中的等号改为不等号,怎样求解? 二、合作探究 一元一次不等式的概念 下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A .5x -2>0 B .-3<2+1x C .6x -3y ≤-2 D .y 2+1>2 解析:选项A 是一元一次不等式,选项B 中含未知数的项不是整式,选项C 中含有两个未知数,选项D 中未知数的次数是2,故选项B ,C ,D 都不是一元一次不等式.故选A. 方法总结:如果一个不等式是一元一次不等式,必须满足三个条件:①含有一个未知数;②未知数的最高次数为1;③不等式的两边都是关于未知数的 根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围 已知-1 3 x 2a -1+5>0是关于x 的一元一次不等式,则a 的值是________. 解析:由-13 x 2a -1+5>0是关于x 的一元一次不等式得2a -1=1,则a =1.故答案为1. 解一元一次不等式 解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集 解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1)2x -3<x +13; (2)2x -13-9x +26 ≤1. 解析:先去分母,再去括号、移项、合并同类项,系数化为1,求出不等式的解集,然后在数轴上表示出来即可. 解:(1)去分母,得3(2x -3)<x +1, 去括号,得6x -9<x +1, 移项,合并同类项,得5x <10, 系数化为1,得x <2. 不等式的解集在数轴上表示如下: (2)去分母,得2(2x -1)-(9x +2)≤6, 去括号,得4x -2-9x -2≤6, 移项,得4x -9x ≤6+2+2, 合并同类项,得-5x ≤10, 系数化为1,得x ≥-2. 不等式的解集在数轴上表示如下: 方法总结:在数轴上表示不等式的解集时,一要把点找准确,二要找准方向,三要区别实心圆点与空心圆圈根据不等式的解集求待定系数 已知不等式x +8>4x +m (m 是常数)的解集是x <3,求m 的值. 解析:先解不等式x +8>4x +m ,再列方程求解. 解:因为x +8>4x +m ,所以x -4x >m -8,所以-3x >m -8,所以x <-13 (m -8). 因为其解集为x <3, 所以-13 (m -8)=3,解得m =-1. 方法总结:已知解集求字母系数的值,通常是先解含有字母的不等式,再利用解集的唯一性列方程求字母的值.解题过程体现了方程思想. 求不等式的特殊解 y 为何值时,代数式5y +4 6的值不大于代数式78-1-y 3 的值?并求出满足条件的最大整数.七年级下册数学不等式与不等式组
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