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第12讲向代及空解、微分的几何应用09

第12讲: 向量代数及空间解析几何、

多元微分的几何应用

12.1向量的概念

定义12.1 不仅有大小,而且有确定方向的量称为向量.

z 向量的几何表示及坐标表示：(,,)x y z a a a a =G

x y z a i a j a k =++G G G

z 长度

a =

z 单位向量: 方向 0a a a =G G G , 其中0a G 称为a G

方向的单位佝量

0cos cos cos a i j k αβγ=++G G G G

a a =G G

a ??

=, ,,αβγ是a G

分别与,,x y z 轴所夹之角; 显然有

222cos cos cos 1αβγ++=

cos ,cos ,cos αβγ称为a G

的方佝余弦,

12.2 向量的五种运算

(1) 向量的加法:

向量的加法b a c G

G G +=服从平行四边形法则和三角形法则

(2) 向量的数乘: 设a G

是一个非零向量,λ是一个实数. 用实数乘

以向量的运算,称a G

λ为向量的数乘, 它是向量:

模： ||G G a λ等于||||a G

?λ;

方向：当0>λ时,与a G 相同; 当0<λ时,与a G

相反;

当0=λ时, a G

λ是零向量.

(3) 向量的数量积(点积): n

||||cos(,)a b a b a b ?=??G G G G G G

z 交换律：a b b a G G G

G ×?=×

z 分配律: c b c a c b a G G G

G G G G ×+×=×+μλμλ)(

考

试

之

星

网

z 垂直和交角：0=??⊥b a b a G G G G ,|

|||cos b a b

a G G

G G ??=α a G 和b G 非零 z 模的计算及柯压不等式

：a =G , a b a b ?≤?G G

G G

z 向量a G 在向量b G 上的投影: ()0

b a b a a b b ?=?=K G G G G G

G (4) 向量的向量积(叉积) b a G

G ×(向量积)是一个向量:

sin ,a b a b a b ×=??G G G

G G G ， b a G G ,作边组成一个平行四边形的面积；

方向：由所谓“右手法则”确定。

z 反称律：a b b a G G G

G ×?=×

z 分配律: c b c a c b a G G G

G G G G ×+×=×+μλμλ)(

z 平行： b a b a G

G G G G //0?=×

(5) 向量的混合积

向量c b a G G G ,,的混合积为c b a G G G ?×,记作),,(c b a G

G G ,它是数量.

c b a ?×()cos n a b c a b c θ=×?=×?G G G G G G

z 以c b a G G G ,, 为棱作平行六面体, 则其(代数)体积等于),,(c b a G G G z ),,(),,(),,(),,(),,(),,(a b c b c a c a b b a c a c b c b a G

G G G G G G G G G G G G G G G G ?=?=?=== z c b a G G G ,,共面的充要条件是0),,(=c b a G

G G 12.3 用空间直角坐标系进行向量运算

设a G

),,(321a a a =，

b G

),,(321b b b =为任意两个向量，则

考

星

网

=±b a G

G )(11b a ±i G +)(22b a ±j G +)(33b a ±k G z 数乘： λa G

1a λ=i G 2a λ+j G +3a λk G ;

或 λa G

),,(321a a a λλλ= z 数量积

123123()()a b a i a j a k b i b j b k ?=++?++G

G G G G G G G 112233a b a b a b =++;

a a a G G G ?=2=2

32221a a a ++ , =

?=a a a G G G ||232221a a a ++

如果a G 是一个单位向量，即1||=a G

，则

a G k a a j a a i a

a a a G

G G G G G G G 321++==αcos =i G k j G G γβcos cos ++

其中γβα,,是向量a G

与坐标轴Oz Oy Ox ,,的夹角.

αcos ,γβcos ,cos 称为向量a G

的方向余弦。

显然有 +α2

cos

1cos cos 22=+γβ

z 向量积,

注意到k j i K

G G ,,是互相垂直并且成右手系的三个向量，所以

i j k j k i k i j ×=×=×=G G G G G G G G G ,

,,j i k k j i i k j ×=?×=?×=?G G G G G G G G G

, 0

0,0i i j j k k ×=×=×=G G G G

G G G G G ,

=×b a G

G （1a i G +2a j G +3a k G ）×（1b i G +2b j

+3b k ）= =（2a 3b ?3a 2b ）i G

+（3a 1b ?1a 3b ）j G +（1a 2b ?2a 1b ）k G =3232b b a a i G +1313b b a a j G +2121b b a a k G 3

21321b b b a a a k

j i G G G = 考

试

之

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网

设a G ),,(321a a a =，b G ),,(321b b b =, c G

),,(321c c c =，

则 c b a c b a G G G G G G ?×=),,(=

=（3232b b a a i G +1313b b a a j G +2121b b a a k G

）?（1c i G +2c j G +3c k G ）=

232b b a a 1c +1

313b b a a 2c +2

121b b a a 3c =3

213213

21c c c b b b a a a .

12.4 例题

例12.1 设,j i a G G G +=,2k i b G G G +?= 求以b a G

G ,为边的平行四边形

的对角线的长度.

【解】31111=++=++?=+=k j i b a l G G G G

1111932=++=?+=?=k j i b a l G G G G

例12.2 设),4,1,1(=a G

),2,2,1(?=b G 求b G 在a G 方向上的投影向量.

【解】 a G 在b G 方向上的投影为 ()37

0=?=?=b

b a b a a b G G G G G G K

a G 在

b G

方向上的投影向量为

()(

)

000b a b a b b =?K G G G G G 0a b b b b

?=?G

G G G G 712271414,,,,3333999??????

==????????

例12.3 设),0,2,1(A ),1,3,1(?B ),2,1,2(?C 求ABC Δ的面积.S

【解】2

755212

311122121=

++=??=×=→→k j i k

i AC AB S G G G G G G 例12.4, 证 ),1,1,1(?A ),2,2,2(??B 及),2,1,1(?C )0,0,0(D 四点共面.

【证明】 01

320

33,,=?????=??

???

?→

→

AD AC AB 考

试

之

星

网

故),1,1,1(?A ),2,2,2(??B 及),2,1,1(?C )0,0,0(D 四点共面.

例12.5已知 ()2a b a b a ××=?G G G G G

, 且1,4a b ==G G , 求,a b G G 的夹角θ与a b ×G

G .

【解】 ()a b a a ××⊥G G G G ,()a b a b a ××⊥×G G G G

()

()a a b a ??××G G G G (2)0a b a =??=G G G 22a b a a ??=?=G G G G

21cos 423a b a b πθθ??===?=?G G G

G sin a b a b θ?×=?=G G

G G

例12.6 已知 ())a b c α×?=G G G , 求()()

()I a b b c c a ??=+×+?+??

G G G G G G

【解】()()

()I a b b c c a ??=+×+?+??

G G G G G G

()a b a c b c c a ??=×+×+×?+??G G G G G G G G

()()a b c b c a =×?+×?G G G G G G 2()2a b c α=×?=G G G

()()α2=?×+?×=a c b c b a .

12.5 平面方程

12.5-1平面的基本性质及方程:

z 法向为k C j B i A n G G G G

++=,过点),,(0000z y x M 的平面方程为

0)()()(000=?+?+?z z C y y B x x A

z 任何三元一次方程0=+++D Cz By Ax , 其图形定一张法向

k C j B i A n G G G G

++=, 的平面。 12.5-2例题:

例12.7设),,(,),,(,),,(333322221111z y x M z y x M z y x M 不共线,求过这三点的平面π.

【解】连接21M M 和31M M ,得到平面π上两个向量:

21M M =),,(121212z z y y x x ???和

31M M ),,(131313z z y y x x ???=

由此得到该平面的一个非零法向量为

考

试

之

星

网

=n G

=×3121M M M M 1

312121

2z z y y x x z z y y x x k

j i

??????G G G

对于平面π上任意一点),,(z y x M ,应当满足?n G

01=M M ,即

得到 1

312121

z z y y x x z z y y x x z z y y x x ?????????=0 称为平面π的三点方程式. 例12.8 已知平面π过两点)3,1,2(,)1,0,1(21??M M ,并且与向量

k j i a G G G G

+?=2平行,求此平面的方程.

【解】由于此平面的法向量与向量a G

和21M M 都垂直,所以向量

×=a n G

G 21M M =54

13112?=??k

j i k j i G G G ??11

是平面π的一个非零法向量.又知平面π上一点)1,0,1(1?M ,所以平面π的向量方程为 0)1()0(11)1(5=+?????z y x , 或者 04115=?++z y x

12.6 直线方程式

12.6-1直线的方程：

如果已知直线L 通过一点()0000,,z y x M , 并且与向量

v l i m j n k =++G G

G G 平行, 则可以唯一地确定这条直线.

(),,M x y z L ∈? 0//M M v JJJJJ J G G 0,t M M ??JJJJJ J G =t v G

即 =?0r r G G t v G 000,()x x l t

y y m t t z z n t

=+??

=+?∞<<+∞??=+?

这就直线l 的的直线参数方程,

向量v l i m j n k =++G G

G G 称为该直线的方向向量。

消去参数 t ,得到直线的标准方程(或直线的点向式方程):

考

试

之

星

网

z z m y y l x x 0

00?=

?=? 直线作为两个平面的交线, 直线的交面式方程

?=++=++2222

111d z c y b x a d z c y b x a 12.6-2例题：

例12.9 已知直过两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ,求方程.

【解】显然向量)(1221x x M M ?=i G

)(12y y ?+j G +)(12z z ?k

G 是该直线的一个方向向量.),,(1111z y x M 是直线上一点,所以直线的

参数方程为 )()()()(121121121+∞<

???+=?+=?+=t t

z z z z t

y y y y t x x x x

例12.10若直线l 由两个平面 011423:1=?++z y x π

0132:2=??+z y x π和相交而成,求该直线的参数方程.

【解】这时可以用联立方程 ?

?=??+=?++01320

11423z y x z y x

表示直线l .这个方程称为直线l 的一般方程式. 平面21,ππ的法向量分别为1n G

)4,2,3(=和2n G

)3,1,2(?=.由于直线l 既在平面1π,上又在2π上,所以直线l 既垂直于1n G

,又垂直于2n G

.因此直线l 的一个方

向向量为 21n n v G

G G ×==?=3

12423k

j i G G G ?10i G +17j G ?k G

再求出直线l 上一点.注意到直线l 既在平面1π,上又在2π上,所以直

线l 上任意一点),,(z y x 都满足方程组 ?

?=??+=?++01320

11423z y x z y x 在上述方程组中令1=x ,则得到 ??

?=+?=?+0

130

842z y z y

考

试

之

星

网

解这个方程组得到 1,2==z y .于是)1,2,1(0M 为直线l 上一点,因

此求得直线l 的参数方程: )(1172101+∞<

???=+=?=t t z t

y t

例12.11过()1,3,2M 的直线L 与另两直线:24

1+==?z y x L , ??

?=+=+2

3:2z y y x L 都相交, 求直线L 的方程. 【解】 2L 可以写成 11

132?=

??=+z y x 设n

z m y l x L 1

32:

?=?, 则1L L 与相交可得02

132=?+n m

同理,

11322=???+n m l , 7,10,55===n m l

103552:

?=?z y x L 例12.12 判断直线121145?=

?=??z y x 与38

22??==z y x 之间的关系，若平行或异面，求两直线之间的距离。

【解】)3,2,2(),1,1,4(21?=?=T T G

G ，)6,1,5(?=PQ

0256

3221

14≠=???, 两直线为异面直线。 ???

??????=××32,32,312121T T T T G G G

G , 352121=××?=T T T T PQ d G G G G

例12.13 求过直线?

??=?=??020

72:1z x y x L 并与直线

2333:

2??=

+=+z y x L 平行的平面方程. 考

试

之

星

网

【解】1L 的方向112024201

i j k

T i j k =?=++?G G G G G G G

2L 的方向232T i j k =+?G

G G G , 所求曲面的法方向为

12224914321

i j k

n T T i j k =×==?++?G G G G G G G G G

在1L 上任取一点(1,-3,2), 所求曲面的方程为

0)2()3(14)1(9=?+++??z y x 12.7 平面、直线间的垂直, 平行条件

12.7-1 两个空间平面的相互关系:

重合 21//n n G G ，且有一点重合平行 21//n n G

垂直 21n n G

G ⊥

12.7-2两条空间直线的相互关系:

相交

平行 21//T T G

共面 21,T T G

G 以及两条曲线上个取一点构成的向量共面

异面 21,T T G

G 以及两条曲线上个取一点构成的向量不共面 12.7-3 点与直线的关系: 点0000(,,)P x y z 到直线

L n

z z m y y l x x 1

11?=

?=?直线的距离, 设(),,l m n τ=G

, 1111(,,)P x y z L ∈.

则点到直线的距离:()

10100d PP PP τ

τ=?G JJJJ G JJJJ G G 10

10PP PP

ττ

?=?JJJJ G G

JJJJ G G , 其中10010101()()()PP x x i y y j z z k =?+?+?JJJJ G G G G .

考

试

之

星

网

12.7-4 点与空间平面的关系:

点0000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离:

22000|

B A D Cz By Ax d +++++=

12.7-5 直线与空间平面的关系

相交 T G 不垂直于n G

; 平行 n T G G ⊥ 12.8 球面

以点),,(0000z y x P 为中心,以)0(>R 为半径的球面由下述方程确定:

2202020)()()(R z z y y x x =?+?+?

设c b a ,,为正数,由方程 122

2222=++c

z b y a x 确定的曲面为椭球面.

12.9 二次曲面(二次方程的图形): 由方程认图.

单叶双曲面, 双叶双曲面, 椭圆抛物面, 马鞍面, 球面, 椭球面

12.9-1 抛物面

旋转抛物面: 坐标面zOx 上的抛物线2

ax z =)0(>a 绕Oz 轴旋转

一周得到的曲面称为旋转抛物面.它的方程为 )(2

y x a z +=.

12.9-2 椭圆抛物面:

由方程 )0,(2

>+=b a by ax z ,确定的曲面称为椭圆抛物面. 12.9-3双曲抛物面: 由方程 ),(2

同号b a by ax z ?=确定的曲面称为双曲抛物面（马鞍面 z xy =）.

12.10 特殊空间曲面: 旋转面、柱面、锥面方程. 12.10-1柱面: 方程中缺变量: (,)0f x y =;

柱面: 设L 是空间一条曲线,l 是一条直线.平行于l 的直线沿着曲线

L 移动所形成的轨迹是一张曲面,称这张曲面为以L 为准线的柱面.

沿曲线L 移动的直线称为该柱面的母线.

考

试

之

星

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例12.14设S 为以平面曲线???==+0

:222z a y x L 为准线、母线平行与

Oz 轴的柱面,求S 的方程.

【解】该柱面是与Oz 轴平行的直线沿曲线L 移动生成的曲面.由于母线通过L 上某点、并且垂直与Oz 轴,所以母线上的所有点),,(z y x 到Oz 轴的距离都相等.柱面上的任意一点),,(z y x 都位于某条母线上.因此必然满足方程 2

a y x =+ 这就是柱面S 的方程式.这个柱面的母线是圆周.因此称为圆柱面.

例12.15设S 为以抛物线?????==0

z x y L 为准线、母线平行与Oz 轴的柱

面,求S 的方程.

【解】该柱面是与Oz 轴平行的直线沿曲线L 移动生成的曲面.由于

母线通过L 上某点、并且垂直与Oz 轴,所以母线上的所有点),,(z y x 都满足方程2

x y =.也就是说,该柱面的方程就是2

x y =.这个柱面的母线是抛物线,因此称为抛物柱面.

12.10-2, 锥面, 如)(222y x a z +=, 0,=??

???x z x y F ,方程中变量

次数相同

设L 是空间一条曲线,M 为L 外一点. 假定由点M 出发的每一条射线与曲线L 最多只有一个交点. 由点M 向曲线L 上的每一个点引射线.所有这些射线组成的曲面称为以M 为顶点、以曲线L 为准线的锥面.

2.10-3 例题

例12.16 yOz 平面上的直线)0(>=k ky z 绕Oz 轴旋转一周得到的旋转曲面 2

:y x k z S +=, 就是以原点为顶点、以曲线

?==+k

z y x L 1

:22为准线的锥面. 考

试

之

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z 旋转面, 如:L 0),(=z y f 绕y 轴旋转而成之曲面方程为:

0),(22=+±z x y f

假设L 是yOz 坐标面上的一条曲线,方程为?

??==00),(x z y F , 0≥y ,

求L 绕Oz 轴旋转一周所得到的旋转曲面S 的方程式.

(,,)M x y z S ∈? 在曲线L 上),,0(z Y P .使得00PM MM =, 其

中),0,0(0z M , ()0,=z Y F 。由00PM MM =Y y x =+?22;

再由()0,=z Y F ()

0,22

=+?z y x

F , 这就是所求旋转曲面S 的

方程.

例12.17求平面曲线)21(0

:3≤≤????==?y x y z L 绕Oz 轴旋转

一周得到的旋转曲面的方程式.

【解】曲线L 位于Oy 轴上侧的一段:)20(0

:31≤≤???==?y x y z L

绕Oz 轴旋转一周得到的旋转曲面的方程为0)

322

=+?y x z ;

位于Oy 轴下侧的一段 )01(00

:32≤≤??

?==?y x y z L 绕Oz 轴旋转一周得到的旋转曲面的方程为0)

=++y x z ;

曲面S 可以统一地用一个方程表示: 3

)(y x z +=

12.11 近两年的考题

例12.18由zx yz xy e z

++=确定的隐函数),(y x f z =存在的充分条件是，曲面),(y x f z =在点)0,1,1(处的为切平面方程为，),(y x f z =在点)0,1,1(处的梯度为。

【解】

e y x ≠+，切平面方程：2=++z y x ，)1,1(grad

f )(j i +?=。 )(),,(zx yz xy e z y x F z ++?=，隐函数),(y x f z =存在的充分条

考

试

之

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件是 0),,(≠??=y x e z y x F z

z 。

例12.19点

），，（012到平面0543=++z y x 的距离2=d .

【解】22

250

105

4314232

++×+×=

d 。

梯度与方向导数

12.12 函数沿一方向上的变化, 方向导数

定义12.1 函数)(x f G 在0x G 附近有定义, l G 为一给定的向量, x

为过0x G 点沿l G 方向的射线上的点, 若x G

沿射线趋于0x G 时,极限

0)()(lim 0x x x f x f x x G G G G G G ??→ 存在, 则称该极限为函数)(x f G 在0x G

点沿l G 方向的方向导数,记作 0

00)()(lim )(0x x x f x f x l f x x G G G

G G

G ??=??→沿射线定义12.2

梯度????

??????????=n x f x f x f

x gradf ,,,)(21

0"G

021

0,,,)(l x f

x f x f x l f n G

"G ????

???????????=?? z 沿梯度方向()0x f grad l G

G =的方向导数最大, 即沿梯度方向函数

增加最快;

z 其模等于该点最大方向导数之值。例12.20 221),(y x y x f +?

=, 在)0,0(点的各方向导数均为

1?，但函数在)0,0(点不可微．

例12.21 设),(y x f 在点),(00y x M 可微，j i u j i v G G G

G G G 2,+?=?=．

如果

,(,2),(0000=???=??u

y x f v y x f G K ，求),(y x f 在点),(00y x M 的微分．

考

试

之

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答案：dy dx )225()245(?+?．

例12.22设函数),(y x f 有连续的偏导数,且在点)2,1(?M 的两个偏

导数分

1)2,1(=???x f , 1)

2,1(?=???y

f .则),(y x f 在点)2,1(?M 增加最快的方向是( )

i A . j B . j i C +. j i D ?.

例12.23 若),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则（ B ）

（A ）),(y x f 在0P 点连续；（B ）一元函数),(0y x f z =和),(0y x f z

=分别在0y y =和

0x x =连续；

（C ）),(y x f 在0P 点的微分为 dy y

z dx x

dz P P 0

??+

??=

；

（D ）),(y x f 在0P 点的梯度为0

),(

)(0P

y z

x z P f grad ????=. 例12.24如),(y x f 在点),(00y x 不可微, 则下列命题中一定不成立的是（ C ）

(A)),(y x f 在点),(00y x 不连续；

(B)),(y x f 在点),(00y x 沿任何方向v K

的方向导数不存在； (C)),(y x f 在点),(00y x 两个偏导数都存在且连续；

(D)),(y x f 在点),(00y x 两个偏导数存在且至少有一个不连续.

考

试

之

星

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多元微分的几何应用

?????

??????????????????????条件极值无条件极值极值切平面法线曲面法平面切线

曲线几何多元微分的应用 12.13 空间曲线与曲面

12.13-1 空间曲面, 曲线的表达式

z 空间曲面的表达式: 显函数表示： ()y x f z ,=, 隐函数表示: ()0,,=z y x F

参数表示：2),(),()

,(),(R D v u v u z z v u y y v u x x uv ?∈??

??===.

z 空间曲线的表达式:

z 空间曲面的参数方程: )( )()()

(βα≤≤??

??===t t z z t y y t x x

参数方程又可以写作 ()

()()(

)();()T

r r t x t y t z t t αβ==≤≤G

z 空间曲线的交面式：一条空间曲线L ，可以看作通过它的两个曲

面1S 与2S 的交线，若设1S 的方程为0),,(=z y x F ，2S 的方程为

0),,(=z y x G ，则L 的方程是 ???==0),,(0),,(z y x G z y x F

12.13-2 空间曲线的切线与法平面

z 空间曲面的参数方程表示，其切线为

???′+=?′+=?′+=)

)(())(()

)((000000000t t t z z z t t t y y x t t t x x x 考

试

之

星

网

切向量为：

())(),(),(000t z t y t x ′′′

法平面为： 0))(())(())((000000=?′+?′+?′z z t z y y t y x x t x

例题

例12.25求螺线 ??

??===ct z t a y t

a x sin cos ；)0,0(>>c a ,在点

,2,2(

c a a M π 处的切线与法平面. 【解】由于点M 对应的参数为4

0π=t ，所以螺线在M 处的切向量

是 ),2,2())4(),4(),4((c a a

z y x v ?=′′′=πππG

因而所求切线的参数方程为 ()???

???+=+=?=,4,22,

22t c c z t a a y t a a x π 法平面方程为

(

)

(

)

()0)4()2(2)2(2=?+?+??c z c a

y a

x a

π.

例12.26 设曲线3

,,t z t y t x ===，求曲线上一点，使曲线在该点

的切线平行于平面42=++z y x ．

【解】曲线3

,,t z t y t x ===的切线方向为)3,2,1(2

t t ．曲线在该点的切线平行于平面42=++z y x , 可知

03412=++t t . 1,3

??=t

所求的点为()1,1,1,271,91,31?????

????

．

12.13-3 空间曲面的切平面与法线

z 空间曲面S 由显函数表示()y x f z ,=，

设 ()000,y x f z =，空间曲面S 过()000,y x P 切平面方程为

()

()()

()()0,,000000=?????+???z z y y y

y x f x x x y x f

考

试

之

星

网

法线方程是

()()1

,,0

000000??=???=

???z z y y x f y y x

y x f x x 法向量为 ()()???

????????=1,,,,0000y y x f x y x f n G

空间曲面S 存在切平面的条件：若曲面S 由显函数表示()y x f z ,=在点()00,y x p 可微, 则曲面S 在点()00,y x p 有不平行z 轴的切平面. z 若曲面S 由隐函数()0,,=z y x F 表示, 曲面S 过()

000,0,P x y z 切平面方程为

()()()()()()0000000F P F P F P x x y y z z x y z

????+?+?=??? 法线方程为

()()()000

000x x y y z z F P F P F P x y z

???==

?????? 法向量 ()

()()000F P F P F P n x

z ?????

??????

12.13-3 例题

例12.27 求曲面S :12222

=+?z y x 上切平面与直线

??=++=??0523:z y x z y x L 平行的切点的轨迹。

【解】 (1) 直线??

????=+==5554:x z x y x

x L 的方向：

=τG

k j i k

j i G G G G G G 541

11123+??=??.

切点为()z y x P ,,处曲面S 的法向：k j y i x n G G G G

244+?=.

(2)所求轨迹：τG

G ⊥n ?010164=++?=?y x n τG G ,

考

试

之

星

网

轨迹为空间曲线：

???=+?=??12225822

2z y x y x ()()

??+??=?==?645760608522

x x z x y x x 例12.28 证明R z y x S 22221:=++与z a y x S 222

22:=+正交. 证明: 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直. 记z a y x z y x G R z y x z y x F 222

22222),,( ,),,(?+=?++= 曲面1S 上任一点M x y z (,,)处的法向量是

z y x z y x gradF )2,2,2(),,(= 或者T

z y x v ),,(1=G

曲面2S 上任一点M x y z (,,)处的法向量为T

z a y x v ),,(22?=G

. 设点M x y z (,,)是两曲面的公共点，则在该点有

0),,(),,(2222221=?+=??=?z a y x z a y x z y x v v T G

即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交. 例12.29 过直线0,

272210=?+=?+z y x z y x 作曲面

273222=?+z y x 的切平面，求该切平面的方程．

【解】设切平面过曲面2732

=?+z y x 上的),,(000z y x 点，则切平面的法向量为 )2,2,6(000z y x ? 过直线 0,

272210=?+=?+z y x z y x 的平面可以表示为

()()0272210=?++??+z y x z y x λ

其法向量为 )2,2,10(λλλ??++

002222610z y x ???=+=+λ

λλ (1) ),,(000z y x 是曲面273222=?+z y x 上的点，

273202020=?+z y x (2)

()()0272210000000=?++??+z y x z y x λ

（３）

联立（１），（２），（３），解得)1,1,3(),,(000=z y x ，或)17,17,3(),,(000???=z y x ，切平面方程为

考

试

之

星

网

0279=??+z y x ，或02717179=+?+z y x

例12.30 过:S 3=+?+z y x e

y x 上点)1,0,1(的切平面（ B ）

（A ）通过y 轴；（B ）平行于y 轴；（C ）垂直于y 轴；（D ）A ，B ，C 都不对. 解题思路令3),,(?+?+=z y x e

z y x F xyz

.则S 在其上任一点M 的法向量为 )(grad M F M z

y F x F ),,(

??????= 于是S 在点M )1,0,1(的法向量为

)1,0,1()1,1,1()1,0,1(=+?+xyz xyz xyz xye xze yze

因此, 切平面的方程为0)1()1(=?+?z x . S 在)1,0,1(的法向量

垂直于y 轴，从而切平面平行于y 轴．但是由于原点不在切平面，故切平面不含y 轴.

例12.31 求???=??=?++0

622

222y x z z y x ,在点)2,1,1(0M 处的切线方程. 【解】取6),,(2

?++=z y x z y x F ，y x z z y x G 2

2),,(??=，

则 )1,2,2()( ),4,2,2()(00??==M gradG M gradF

所以曲线在0112M (,,)处的切向量为

)0,10,10()()(00?=×=M gradG M gradF v ，

于是所求的切线方程为 ??

??=?=+=2101101z t y t x

例12.32已知f 可微，证明曲面0,=????

?????c z b y c z a x f 上任意一点处的切平面通过一定点，并求此点位置．证明：设y f f x f f ??=??=

'2'

1,，于是有：11f f x z c ???

′=???????

, 考

试

之

星

网

21f f y z c ???′=???????, .)()(2

221c z y b f c z x a f z

???′+???′=?? 则曲面在),,(0000z y x P 处的切平面是：

+??′+??′c

z y y P f c z x x P f 00

020001)()

( 0)()()()()(020********=????

???

???′+??′z z c z y b P f c z x a P f 可以得到：

+??+??))()(())()((000'2000'1y y c z P f x x c z P f

.0))()(())()((000'2000'1=??+??z z y b P f z z x a P f

易见当b y c z a x ===,,时上式恒等于零。于是知道曲面

0,=???

?????c z b y c z a x f 上任意一点处的切平面通过一定点),,(b c a ．例12.33 曲面S 上由方程(

y x G cz by ax ++=++确定,

试证明：曲面S 上任一点的法线与某定直线相交。证明: 曲面上任意一点0000(,,)P x y z 的法线为

222222

00000000

2()2()x x y y a x G x y z b y G x y z ??=′′?++?++ 0

2220000

2()z z c z G x y z ?=′?++ 设相交的定直线为

z z y y x x ?=?=?, 与法线向交:

()0000002(),2(),2()a x G P b y G P c z G P ′′′???不平行于()γβα,,

()()0000002(),2(),2(),,a x G P b y G P c z G P αβγ′′′???×????

()101010,,0x x y y z z ????=

考

试

之

星

网

微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何主要习题解答第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

第四版微分几何第二章课后习题答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

微分几何第四版习题答案梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，

γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方

向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。（二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）

微分几何陈维桓习题答案

习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ，又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，

微分几何期终试题

《微分几何》期终考试题（A）班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的【】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是【】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的【】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是【】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是【】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是【】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是【】 k g k n k

微分几何第四版习题答案梅向明

微分几何第四版习题答案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数），其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ，其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。证明易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -，而1sin cos dv ds a u θθ ==，故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-，并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。证明设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何习题及答案解析

第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2）这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3）其中n t hn =，0h >称为步长。在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法：（i.4）从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

微分几何练习题库与答案

《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-．第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

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第12讲向代及空解、微分的几何应用09

微分几何第四版习题答案解析梅向明

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

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常微分方程的实际应用

第四版 微分几何 第二章课后习题答案

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