第3章 随机变量与分布函数
1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，
若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。
2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。
3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N
c
k f ==
（2）,,2,1,!
)( ==k k c
k f k
λ 0>λ。
(类似5)、证明函数)(2
1)(|
|∞<<-∞=
-x e x f x 是一个密度函数。 （类似6）、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，
12）；（3）（13，15）。
（类似7）、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{= 01.0}|5{|=>-a P ξ。 10、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切 10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。 11、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使 )}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=θθθ， 则称}, {Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ， 关于参数σ；（2）正态分布),(2 00σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。 但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。 13、试证) 2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02 <->>ac b c a π 2 b a c k -= 。 14、若)(),(21y f x f 为分布密度，求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数， ),(y x h 必须而且只需满足什么条件。 15、若),(ηξ的密度函数为 ???>>=+-其它, 00 ,0,),()2(y x Ae y x f y x ， 试求：（1）常数A ；（2）}1,2{<<ηξP ；（3）ξ的边际分布；（4）}2{<+ηξP ； （5）)|(y x f ；（6）}1|2{<<ηξP 。 17、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。 18、设二维随机变量),(ηξ的联合密度为 y k k e x y x k k y x p ----ΓΓ= 11 2121)() ()(1),( ∞<≤<>>y x k k 0,0,021，试求与ξ的η边际分布。 19、若)(),(),(321x f x f x f 是对应于分布函数)(),(),(321x F x F x F 的密度函数，证明对于一 切)11(<<-αα，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数 )(),(),(321x f x f x f ： ) (),(),(321x f x f x f ]}1)(2[]1)(2[]1)(2[1){(),(),(332211332211-?-?-+=x F x F x F x f x f x f α。 21、（1）若),(ηξ的联合密度函数为???≤≤≤≤=其它, 01 0,0,4),(y y x xy y x f ，问ξ与η是 否相互独立？ （2）若),(ηξ的联合密度函数为? ??≤≤≤≤=其它,01 0,0,8),(y y x xy y x f ，问ξ与η是 否相互独立？ 22 、 设 ) ,,(ζηξ的联合密度函数为 ?? ????? ≤≤≤≤≤≤-=其它时 当, 0202020),sin sin sin 1(81),,(3ππππ z y x z y x z y x p 试证：ζηξ,,两两独立，但不相互独立。 23、设),(ηξ具有联合密度函数?????<<+=其它, 01 ||,1||,41),(y x xy y x p ，试证ξ与η不独立， 但2ξ与2η是相互独立的。 26、若1ξ与2ξ是独立随变量，均服从普要松分布，参数为1λ2λ及，试直接证明 （1）21ξξ+具有普承松分布，参数为21λλ+； （2）k n k k n n k P -? ??? ??+? ?? ? ??+??? ??==+=21 2211211}|{λλλλλλξξξ。 24、若ηξ,相互独立，且皆以概率 2 1 取值+1及1-，令ξηζ=，试证ζηξ,,两两独立但不相互独立。 27、设ξ的密度函数为)(x p ，求下列随机变量的分布函数：（1）1-=ξη， 这里0}0{==ξP ；（2）ξηtg =；（3）||ξη=。 29、若ηξ,为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求ηξζ+=的分布密度 函数。 30、设ηξ,相互独立，分别服从)1,0(N ，试求η ξ ζ= 的密度函数。 31、若ηξ,是独立随机变量，均服从)1,0(N ，试求ηξηξ-=+=V U ,的联合密度函数。 32、若n ξξξ,,,21 相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为n λλλ,,,21 ，试求 ),,,min (21n ξξξη =的分布。 33、在),0(a 线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。 34、若气体分子的速度是随机向量),,(z y x V =，各分量相互独立，且均服从),0(2 σ=N ， 试证222z y x S ++= 斑点服从马克斯威尔分布。 37、设ηξ,是两个独立随机变量，ξ服从)1,0(N ，η服从自由度为n 的2 -x 分布(3.14), 令n t //ηξ=，试证t 的密度函数为 ) 1(212121)1(21)(+-???? ??+? ? ? ??Γ??? ??+Γ=n n n x n n n x P π 这分布称为具有自由度n 的-t 分布在数理统计中十分重要。 39、若ηξ,独立，且均服从)1,0(N ，试证22ηξ+=U 与η ξ = V 是独立的。 40、若（ηξ,）服从二元正态分布（2.22），试找出ηξ+与ηξ-相互独立的充要条件。 41、对二元正态密度函数() ? ?? ???+--++-= 6514222221exp 21),(22y x xy y x y x p π， （1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出r b a 21,,,σσ；（3）求)(x p i ；（4）求)|(y x p 。 42、设??? ? ? ??==-212143237,01 B a ，试写出分布密度（2.12），并求出),(21ξξ的边际密度函数。 43、设ηξ,是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0，且有二阶导数，试证若 ηξ+与ηξ-相互独立，则随机变量ηξηξηξ-+,,,均服从正态分布。 解答 1、 解：令n ξ表在n 次移动中向右移动的次数，则n ξ服从二项分布， n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1(}{=-==-ξ 以n S 表时刻时质点的位置，则 n n S n n n n -=--=ξξξ2)(。 n ξ的分布列为 ??? ? ?? -----n n n n n n p p p C p p C p n 22211)1()1()1(21 。 n S 的分布列为 ??? ? ? ?---+-+----n n n n n n p p p C p p C p n n n n 2221 1)1()1()1(42。 2、 解：qp pq P P P +=+==}{}{}1{成失失成ξ， ,}{}{}2{22p q q p qqp ppq P P P +=+=+==成成失失失成ξ 所以ξ的概率分布为 ,2,1,}{2=+==k p q q p k p k 。 3、 解： （1）∑=?= = N k N N c k f 1 )(1， 1=∴c 。 （2）∑∞ =-==1 )1(!1k k e c k c λλ， 1 ) 1(--=∴λe c 。 4. （类似5）证：0)(≥x f ，且 ∞-∞∞---∞ ∞-∞∞ --==-?? ?0||| |21)(x x x e dx e dx e dx x f )(x f ∴是一个密度函数。 （类似6）解：（1）? ?????-<-< -=<<)109(21)10(21)106(21 )96(ξξP P 285788.0)2(2121)10(211=-Φ-?? ? ??Φ=??????<-<-=ξP （2）? ?????-<-< -=<<)1012(21)10(21)107(21)127(ξξP P ()774538.0)211(11)10(21211=-Φ-Φ=? ?? ???<-<-=ξP （3）? ?????-<-< -=<<)1015(21)10(21)1013(21 )1513(ξξP P 06059 7.0)211(212212)10(21211 =Φ-?? ? ??Φ=??????<-<=ξP 6.（自解）（1）P{260<ξ<280}=2Φ(1)-1=0.68269 ( 2 ) P{ξ<250}=1-Φ(2)=0.02275 (3) P{ξ>300}=1-Φ(3)=0.00135 （类似7）解：（1）90.0)3.1(=Φ，而?? ? ??-Φ=??????-< -=<)5(21)5(21)5(21 }{a a P a P ξξ，令 3.1)5(2 1 =-a 解得6.7=a 。 （2）由01.0}|5{|=>-a P ξ得005.0}5{=>-a P ξ，从而? ?????≤-a P 21)5(21ξ =0.995，而995.0)6.2(=Φ所以 2.5,6.22 1 ==a a 。 7. 10、证法一：定义?? ? ??∞∈∈<≤-∞∈=) ,1(,1]1,0(}, 0{] 0,(,0)(x x x P x x F ξ则)(x F 是ξ的分布函数。由题设得， 对任意]1,0[2∈x 有}2{}0{x x P x P <≤=<≤ξξ，即有 }0{2}20{x P x P <≤=<≤ξξ。由此得)(2)2(x F x F =。逐一类推可得，若]1,0[∈nx ，则)()(x nF nx F =，或者)()(1n x F x F n =。从而对有理数n m ，若x n m 与x 都属于[0,1]，则有)(x F n m x n m F =??? ??。再由)(x F 的左连续性可得，对任意无理数a ，若ax 与x 都属于[0,1]，则)()(x aF ax F =。 因为区间)1,0[与[0,1]的长度相等，由题设得 1}10{}10{)1(=≤≤=<≤=ξξP P F . 由此及上段证明得，对任意]1,0[∈x 有x xF x F ==)1()(，即)(x F 为 ?? ? ??>≤<≤=1,110,0,0)(x x x x x F ∴ ξ服从[0,1]上均匀分布。 证法二：如同证法一中定义ξ的分布函数)(x F ，由)(x F 单调知它对[0,1]上的L －测试几乎处处可微。设)1,0(,21∈x x ，当)2,1](1,0[1=∈?+i x x 时，由题设得 }{)()(1111x x x P x F x x F ?+<≤=-?+ξ )2(}(}{222x F x x F x x x P -?+=?+<≤=ξ 等式两端都除以x ?，再令0→?x 可得，由)('1x F 存在可推得)('2x F 也存在，而且 )('2x F )('1x F =。从而对任意)1,0(∈x 有c x F ≡)('。当]1,0[∈x 时显然有0)('=x F 。 一点的长度为0，由题设得0}1{}0{====ξξP P 。由上所述可知ξ是连续型随机变量，)('x F 是其密度函数，从而定出1=c 。至此得证ξ服从[0,1]均匀分布。 11、证：（1）? ?????--=2 2221σπσσ)m x (exp )x (f ? ?????+--=πσσ21ln )(21exp 2 02 m x ? ?????----=πσσ222 2ln ln )m x (exp 若令σσσln _(,)()(,) 2(1)(2 02 -=-=-= D m x x T Q ， π2ln )(-=x S ，则有 )}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=σσσ 这就证明了正态分布),(20σm M 是单参数)0(>σσ的指数族。 （2）?? ????????--= 2 0202)(exp 21 )(σπσm x x f m ??????+--= 2 22022exp 21 σπσm mx x ?? ? ???????+--=02 022022021ln 22exp σπσσσx m m x 若令0 202202 2021ln 2)(,21 )(,)(,)(πσσσσ+=-===x x S m m D x x T m m Q ，则 )}()()()(exp{)(x S m D x T m Q x f m ++= 所以正态分布),(2 0σm N 是单参数)(∞<<-∞m m 的指数族。 （3）}!ln ln exp{! );(k k e k k p k --== -λλλλλ。 若令!ln )(,)(,)(,ln )(k k S D k k T Q -=-===λλλλ，则 )}()()()(exp{);(k S D k T Q k p ++=λλλ，所以);(λk p 是单参数)0(>λλ的指数族。 （4）关于],0[θ上的均匀分布，其密度函数为?? ?>>≤≤=0, 00,/1)(x x x x f 或θθ θθ )(x f θ是定义在∞<<∞-x 的函数，由于它是x 的分段表示的函数，所以无法写成形 式 )}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，故)(x f θ关于θ不是一个单参数的指数族。 13、证：必要性： dxdy e ke dxdy y x f y a b a c y a b x a ????--+-?=2 2 )(),( 令y v y a b x u =+ =,，得1,,=-==J v a b u x v y 。设 ?? ??∞ ∞ -∞∞ --- -=dv e du ke dxdy y x f v a b a c au 2 22 ),( 要积分收敛，必须0/)(,02 >->a b ac a ，由此得应有02>-b ac 以及0>c 。利用 ? ∞ ∞ --=πdu e u 2 可得 112 2 22 =-? ? =? ? ∞∞ -∞ ∞ --- -ππb ac a a k dv e du ke v a b a c au ∴ π 2 b a c k -= 从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。 14、解：设),()()(),(21y x h y f x f y x f +=是密度函数，则由0),(≥y x f 得 )(2)(),(1y f x f y x h -≥。又 ????????+=+==dxdy y x h dxdy y x h dy y f dx x f dxdy y x f ),(1),()()(),(121， 所以应有 0),(=??dxdy y x h 。 反之，若)(2)(),(1y f x f y x h -≥，),(y x h 可积且 0),(=??dxdy y x h ，显然有 0),(≥y x f 且1),(=??dxdy y x f ，即),(y x f 是密度函数。 所以为使),(y x f 是密度函数，),(y x h 必须而且只需满足)(2)(),(1y f x f y x h -≥且 0),(=??dxdy y x h 。 15、解：（1）? ? ∞∞--= 21dy e dx Ae y x () 2,2 |2100 2== -?? ? ? ??-=∞-∞ -A A e e A y x （2）{}?? --= <<10 20 221,2dy e dx e P y x ηξ()() )1)( 1(||14 10202------=--=e e e e y x 。 （3）ξ的边际分布，当0≤x 时0)(=x f ξ，当0>x 时有 x y x e dy e e x f 20 222)(--∞ -==?ξ. （4）{}? ? ---= <+x y x dy e dx e P 20 20 222ηξ ??+-------=20 )2(22 )2(222(1(2dx e e dx e e x x x x 2224244)1(21)22()1(-------=-+=-+-=e e e e e e . （5）当0,0> x y y x e e e y f y x f y x f 2)2(22)(),()|(--+-===η. （6）dx e dy P y x ?? ∞+-= <0 )2(10 2}1{η110 )2(10 12--∞+---=-==??e e dx e dy e y y x y , 利用（2）的结果可得 {}{}{}1 141) 1)(1(11,21,2------=<<<=< e e P P P ηηξηξ41--=e . 17、证：设多项分布为 r k k r r r p p k k n k k P 111111! !! },,{ = ==ξξ， （1） ∑∑====≥r i i r i i i p n k k 1 1 1, , 0。 （2） 利用（2）可以把（1）改写成 ===--},,{1111r r k k P ξξ 111)1()! (!!! 11111111----------?---= r r k k n r k k r r p p p p k k n k k n （3） 由边际分布的定义并把（3）代入得 },,{},,{11110 ,22111111 --≥≤++--=== ==∑ ---r r k n k k k r r k k P k k P r r r ξξξξ ?------?---=∑------=-------2111 2 10111121212121)! (!)!()!(!!!r r r r k k n k k r r r r r r k r k p k k n k k k n k k n k k p p n 11)1(121---------?r k k n r r p p p 由二项式定理得 ===--},,{2211r r k k P ξξ 212 1) 1()! (!!!21212121k k n r k r k r r p p p p k k n k k n r ----------?---= - （4） 把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得 11)1()! (!! }{111111k n k p p k n k n k P ---= =ξ 从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。 18、解：（1）ξ的密度函数为，当0≤x 时0)(=x p ξ；当0>x 时，注意积分取胜有选取，得 ? ? ∞---∞∞ -=--?ΓΓ-=x y k k x y dy x y x k k dy y x p x p )1()() ()(1 ),()(112121令σξ = ΓΓ=-∞---?dt e e t k x t x k k 0 121121)()(x k e k x --Γ)(111. （2）η的密度函数为，当0≤y 时0)(=y p η；当0>y 时， ? ? ---∞∞ --?ΓΓ-=y x y k k dx x y x k k dx y x p y p ση112 121)()()(1 ),()( 令yt x =，当0=x 时0=t ，当y x =时1=t ，所以 ydt t t y y k k e y p k k k k y 110111212121)1() ()()(------?ΓΓ=?η) () ()()()(),()()(2121211212112121k k k k k k e y k k B k k e y y k k y k k +ΓΓΓ?ΓΓ=?ΓΓ=--+--+211121 () k k y y e k k +--= Γ+ 其中用到-β函数与-Γ函数的关系式。 19、证：我们有 1121)(21,1)(0=-≤-≤≤≤i i i i x f x F , 1]1)(2][1)(2][1)(2[1332211≤---≤-x F x F x F , 代入),,(321x x x f α的表达式得 ),,(321x x x f α0≥ (1) 又有 []?∞∞--i i i i i dx x f x F )(1)(2[]?∞∞--=)(1)(2i i i i x dF x F []0)()(21=-=∞ ∞ -i i i x F x F 321321),,(dx dx dx x x x f ???∴α? ? ? ∞∞ -∞∞ -∞∞ -==1)()()(333222111dx x f dx x f dx x f (2) 由（1），（2）知),,(321x x x f α是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为 )(),,(1132321x f dx dx x x x f =∴???α, )(),,(3321321x f dx dx x x x f =???α )(),,(223132 1 x f dx dx x x x f =???α. 20.解：老师给的答案： P{ξ1=k|ξ2=m }=} 2{} 2,1{m P m k P ===ξξξ= m n m m n m k n m k m k n k n p p p C p p p C C ----+) (3 1 2 32 1 21、解：（1）边际分布的密度函数为，当]1.0[∈x 时0)(=x f ξ；当10≤≤x 时， ? ?∞ ∞ -===1 24),()(x xydy dy y x f x f ξ 同理，当]1.0[∈y 时0)(=y f η；当10≤≤y 时y y f 2)(=η。)()(),(y f x f y x f ηξ=，所以ξ与η独立。 （2）边际密度函数为，当]1.0[∈x 时0)(=x f ξ；当10< ? ?∞∞ --===1 2)1(48),()(x x xydy dy y x f x f ξ 当]1.0[∈y 时0)(=y f η；当10≤≤y 时 ? ?∞∞ -===1 248),()(y xydx dx y x g y f η 在区域10< 22、证：当ππ20,20≤≤≤≤y x 时 ，ξ与η的联合分布密度为 ? -=πξηπ20 3)sin sin sin 1(81),(dz z y x y x p 220 341)cos (sin sin 8πππ =??? ???--=z y x z ； 其余0),(=y x p ξη。当π20≤≤x 时， ? ? = -=πξηπ π20 20 3 21 )sin sin sin 1(81)(dz z y x dy x p ； 其余0)(=x p ξ。由于ζηξ,,三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当 ππ20,20≤≤≤≤z x 时，24/1),(πξζ=z x p ；当ππ20,20≤≤≤≤z y 时， 24/1),(πηζ=z y p ；当π20≤≤y 时，πη2/1)(=z p ；当π20≤≤z 时，πζ2/1)(=z p ；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于 ),()(),(y p x p y x p ηξξη= ),()(),(z p x p z x p ζξξζ=), ()(),(z p y p z y p ζηηζ=故ζηξ,,两两独立；但当πππ20,20,20<<<<< )()()(),,(z p y p x p z y x p ζηξ≠，故ζηξ,,不相互独立。 23、证：当1|| ∞∞ --=+== 1 12 1 41),()(dy xy dy y x p x p ξ， 其余0)(=x p ξ。同理当1|| 10< 现试能动分布函数来证2ξ与2 η独立。2ξ的分布函数记为)(1x F ， 则当10≤ -==<<-=<=x x x dx x x P x P x F 2 1 }{}{)(21ξξ； 同理可求得2 η的分布函数)(2y F ，得 ?? ? ??>≤<≤=??? ??>≤<≤=,1,110,0, 0)(,1,11 0,0, 0)(21y y y y y F x x x x x F ),(22ηξ联合分布函数记为),(3y x F ，则当1,10≥≤≤y x 时 x x P y x P y x F =<=<<=}{},{),(2223ξηξ 同理得当1,10≥≤≤x y 时),(3y x F y = ；当10,10≤≤≤≤y x 时 },{},{),(223y y x x P y x P y x F <<-<<-=<<=ηξηξ = ?? --=+x x y y xy dt st ds 41 合起来写得 ????? ????≥≥≤≤≤≤≥≤≤≥≤≤≤≤=1 ,1, 110,10,1,10, 1 ,10,00,0),(2y x y x xy x y y y x x y x y x F 或 不难验证)()(),(213y F x F y x F =对所有y x ,都成立，所以2 ξ与2 η独立。 24、证：由题设得 2121212121})1,1(}1,1({}1{=?+?= -=-=====ηξηξξ P P ， 21 21212121})1,1(}1,1({}1{=?+?==-=-===-=ηξηξξ P P 。 }])1,1(}1,1[{}1({}1,1{-=-=======ηξηξξζξ P P }1{}1{4 1 }1{}1{}1,1{==== ======ζξηξηξP P P P P ， }])1,1(}1,1[{}1({}1,1{=-=-====-==ηξηξξζξ P P }1{}1{4 1 }1{}1{}1,1{-==== -===-===ζξηξηξP P P P P ， 同理可证 }1{}1{}1,1{=-=+=-=ζξζξP P P ， }1{}1{}1,1{-=-=+-=-=ζξζξP P P . 所以ξ与ζ相互独立。用同样的方法可片η与ζ也相互独立。但 }])1,1{}1,1[{}1,1({}1,1,1{-=-=========ηξηξηξζηξ P P ， 8 1 }1{}1{}1{= ===ζηξP P P ， 所以ζηξ,,只两两独立而不相互独立。 26、证：（1）由褶积公式及独立性得 },{}{210 21i k i P k P k i -====+∑=ξξξξ}{}{210 i k P i P k i -===∑=ξξ 2 1 12 1 )! (! λλλλ-=--∑ -? =e i k e i k i k i 1 210)()! 1(!!!121-=+-∑-=k i k i k i k e k λλλλ ) (2121! )(λλλλ+-+=e k k ,2,1,0=k 这就证明了21ξξ+具有普阿松分布，且参数为21λλ+ （2）} {} ,{}|{21211211n P n k P n k P =+=+== =+=ξξξξξξξξ }{},{2121n P k n k P =+-=== ξξξξ} {} {}{2121n P k n P k P =+-=== ξξξξ ) (212 1 212 1 ! )()! (! λλλλλλλλ+----+÷-? = e n e k n e k n k n k k n k k n -? ??? ??+? ??? ??+??? ??=21 2211λλλλλλ证毕。 27、解：（1）由0}0{==ξP 知，η以概率1取有限值。当0>y 时， ??∞-∞+=??? ???>+<=??????<=01)()(1}0{1)(y dx x p dx x p y P P y P y F ξξξη； 当0 ?=??? ???<<=??????<=01)(011)(y dx x p y P y P y F ξξη； 当0=y 时， ? ∞ -=0)()(dx x p y F η。 （2）}{)(y tg P y F <=ξη??? ? ??+<<-=∞-∞= k y arctg k k P })2{πξπ π ∑?∞ -∞ =+- = k y arctg k k dx x p ππ π2 )( （3）当0≤y 时，0)(=y F η；当0>y 时， {}{}? -=<<-=<=y y dx x p y y P y P y F )(||)(ξξη。 29、解：ξ与η的密度函数为 ? ? ?≤≤==其它,01 0,1)()(x x p x p ηξ （1） 由卷积公式及独立性得ηξζ+=的分布密度函数为 y dx x y p x p y p )()()(-=? ∞∞ -ηξζ （2） 2 C 把（2）与（1）比较知，在（2）中应有10≤≤x ， 10≤-≤x y ，满足此不等式组的解),(y x 构成 D 图中平面区域平形四边形ABCD ，当10≤≤y 时 1 B y x ≤≤0 ,当21≤≤y 时11≤≤-x y 。所以当 A0 1 x 10≤≤y 时（2）中积分为 ?=?=y y dx y p 011)(ζ 当21≤≤y 时，（2）中积分为 ? --=?=1 1 211)(y y dx y p ζ; 对其余的y 有0)(=y p ζ。 30、解：22 1 21)()(x e x p x p -= =π ηξ， ) (21 2221),(y x e y x p +-=π ξη 由求商的密度函数的公式得 ?∞ ∞-=dx x xy p x y p ),(||)(ζdx e x x y x ?∞∞-+-=) (21 22221| |π dx xe y x ? ∞+-=0 )1(2 1 2222π ∞ +-??????-+?=0 )1(21 222111y x e y π)1(12 y +=π, +∞<<∞-y η ξ ζ= 服从柯西分布。 31、解：作变换，令y x t y x s -=+=,，得2 1 ||),(21),(21=-=+= J t s y t s x 。由ξ与η独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U ，V 的联合密度函数为 ||2121),(222 12 1J e e t s p y x UV ?? = --π π 2 1 21 2 22221? = ? ?????????? ??-+??? ??+-t s t s e π 2 2 22221221)(4 1 2 212 21 41??? ? ??-??? ? ??-+-?? ?= = t s t s e e e πππ )()(t p s p V U = 所以U,V 两随机变量也相互独立，且均服从N （0，2）。 32、解：当0>y 时由独立性得 },,,{}{)(121y y y P y P y F n ≥≥≥=≥=-ξξξηη ∑==-==-==-=≥=n i i n i y n i n i y e y F y P i i 1 1 1 1 1)exp()())(1(}{λξλξ ??? ? ??--=∴∑n i y y F ληexp 1)( 当0y ≤时()0F y η=。求导得η的密度函数为，当0y ≤时()0p y η=；当0y >时 11()()exp n n j j j j p y F y y ηηλλ==?? '==- ??? ∑∑. 33、解：设),0(a 在内任意投两点21,ξξ，其坐标分别为y x ,，则21,ξξ的联合分布密度为 ??? ???∈?∈=),0(),0(),(,1),0(),0(),(, 0),(2 a a y x a a a y x y x p 。 设||21ξξη-=，则η的分布函数为，当0≤z 时0)(=z F η；当a z >时1)(=z F η；当a z ≤<0时， S a dxdy a dxdy y x p z P z F a y x z y x z a y x z y x z 2,02 ,0211 1),(}|{|)(????<<<-<-<<<-<-= = = <-=ξξη， 积分S 为平面区域ABCDEF 的面积，其值为 2 2 2 2)(z az z a a -=--，所以 2 2 /)2()(a z az z F -=η. 34、证：由独立性得，),,(z y x V =的概率密度为 ) (213 3 2222 )2(1),,(z y x e z y x p ++- = σ σ π 222z y x S ++= 的分布函数为，当0>s 时， { } dxdydz e s z y x P s F z y x S z y x ) (213 3 2 22222 2 222)2(1)(++- <++?? = <++=σσ π 作球面坐标变换，?ρ?θ?θρcos ,sin sin ,sin cos ===z y x ，则?ρs i n ||2= J ， ρρσπ??θππσρd e d d s F a 220 /2 1 3 322)2(1sin )(?=? ?? - ρρσππσρd e a 20 /2 1 3 322)2(122??=? - 由此式对s 求导可得，当0>s 时，S 的密度函数为 ??? ? ??-==2222 2exp 2)()('σσπs s s f s F . 37、证：（3.14）式为 0,2121)(2 1 1212 1>? ? ? ??Γ= --x e x n x p x n n 。 令n x y = ，则ny x ny x y 2',2==，由|)]'([|)]([)(1 1y f y f p y p --=得，n η的 密度函数为，当0>y 时 ny e ny y p ny n n n 2212) ()(22 12 1 2 112 /?? ? ? ??Γ= --η22 12 112 12122ny n n n e y n --? ? ? ??Γ= ξ与 n η 仍独立。记n T //ηξ=，则由商的密度函数公式得T 的密度函数为 ?∞ ∞ -=dy y p ty p y t p n T )()(||)(/ηξdy n e y n e y n ny n n y t ? ? ? ??Γ? ?=--∞ -?2122212 12 11 2 10 2 1 222π ? ∞+--+?? ? ? ??Γ= 2)(2 1 1)1(2 1 22 12 122) (2122dy e y n n t n y n n n π， 令)(22t n y u +-，则) (2 2 t n du dy += ，得 du e u n t n n t p u n n n n T 2 10 1)1(212 1)1(2 1 2 2 12122) ()(-∞ =++-??? ? ? ??Γ+= π )1(2 1 2 )1(2 1 2 12 1)(21)1(212122+-++?? ? ????? ??+Γ?? ? ? ??Γ= n n n t n n n π ) 1(212121)1(21)(+-???? ? ?+?? ? ??Γ??? ??+Γ=∴n T n t n n n t p π ∞<<∞-t 39、证：（U ，V ）联合分布函数为 dxdy e v u F v y x u y x y x ??<<++-=2222) (21 21),(π 当0>s 时作变换，y x t y x s = +=,2 2，反函数有两支 ??? ? ?? ?+-=+-=??? ? ?? ?+= +=)1()1()1()1(2222t s s y t s t x t s y t s t x 与 )1(22212222221 +-=--=-=-t y x y x y y x J ，)1(21||2t J += 考虑到反函数有两支，分别利用两组 dxdy e v u F y x y v y x u y x y v y x u y x ) (210,0,22222221),(+-><<+><<+??? ???? ???????+=????π dt t e u v s ??+?=∞--0221 )1(21212π 李贤平《概率论与数理统计》标准答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一 定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件 第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻 0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。 2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f Λ==（2）,,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。 4、证明函数)(2 1)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。 5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=-a P ξ。 7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。 8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。 9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服 从[0，1]均匀分布。 10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使 )}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ， 则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ； （2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。 但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。 11、试证)2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02<->>ac b c a π2 b a c k -=。 12、若)(),(21y f x f 为分布密度，求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数，),(y x h 必须而且 只需满足什么条件。 13、若),(ηξ的密度函数为 ???>>=+-其它, 00,0,),()2(y x Ae y x f y x ， 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件 的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ； （2）0)1(321321 =-+-+--n n n n n n nC C C C ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2） 第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的 概率，这里N M ≤≤1 18、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有 1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 第一章 事件与概率 1、解： (1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P ｛只订购A 的｝=0.30, P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20. ∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73. (4) P{正好订购两种报纸的} ＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14. (5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90. (6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10. 2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。 （2）A C ?????=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。 （3）A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。 （4）C B A BC A ???，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。 3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ． 4、解：（1）C AB ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}； C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2）A BC A ABC ??=，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时，B C ?成立。 （4）A=B 及C B A C A ==?=，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也就不是运动员的学生全体 时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5、解：设袋中有三个球，编号为1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有3个样本点（1），（2），（3）。设{}{}{}3,3,1,2,1===C B A ， 则{}{}},2{,1,3,2,1},3{=-===B A B A B A A {}3,2,1=+C A 。 6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A . （2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++. 第2章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋， 然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回 时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ??? ??=--≥=,0,11, 1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有 )1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98， 而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。 概率论答案---李贤平版---第二章 第二章条件概率与统计独立性 1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二 袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?? ? ??=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女 孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1 )2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正 好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为 第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概 率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件 下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然 后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回 时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为， 而误认废品为合格品的概率为，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,, 皆与C 独立。 概率论 数字特征与特征函数 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 7、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。 9、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥= 1 }{k k P E ξξ。 11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λ μλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 13、若21,ξξ相互独立，均服从),(2 σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 20、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第 二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量，试说明这样做的道理。 24、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 25、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关； 第四章 数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶 数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为 !/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。 5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥=1 }{k k P E ξξ 。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max(21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第 二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量，试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ <∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1x y p x y x y π?+≤?=??+>? ，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 第一章 事件与概率 1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ?；(4)BC A ?. 2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 4、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有 )(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 10、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 11、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。 12、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？ 13、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r 第四章 数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶 数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1Λ=，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望 及方差。 5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥=1}{k k P E ξξ。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证π σξξ+=a E ),max (21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第 二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求n S 。 10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量，试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,, n ξξ的算术 平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,, ξξ的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11 ()n n n ηξξ= ++，11 ()n n a E E n ξξ= ++，则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。李贤平《概率论与数理统计》标准答案
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