第30讲 排列与组合
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A ．112
B ．114
C ．115
D ．118
2．(2017新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
3．(2017山东)从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A ．518
B ．49
C ．59
D ．79
4．(2016年全国II )如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
5．(2016四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A ．24
B ．48
C ．60
D ．72
6．(2015四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
7．(2014新课标1)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A ．18
B ．38
C ．58
D ．78
8．(2014广东)设集合(){}
12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-= ，那么集合A 中满足
条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )
A ．60
B ．90
C ．120
D ．130
9．(2014安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60?的共有( )
A ．24对
B ．30对
C ．48对
D ．60对
10．(2014福建)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A ．()()()555432111c b a a a a a +++++++
B ．()()()554325111c b b b b b a +++++++
C ．()()()554325111c b b b b b a +++++++
D ．()()()543255111c c c c c b a +++++++
11．(2013山东)用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A ．243
B ．252
C ．261
D ．279
12．(2012新课标)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
13．(2012浙江)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
14．(2012山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是( )
A ．232
B ．252
C ．472
D ．484
15．(2010天津)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用( )
A．288种B．264种
C．240种D．168种
16．(2010山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A．36种B．42种
C．48种D．54种
17．(2010广东)为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A．1205秒B．1200秒
C．1195秒D．1190秒
18．(2010湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )
A．152 B．126 C．90 D．54
二、填空题
19．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有____种．(用数字填写答案)
20．(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成____个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
21．(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____种不同的选
排列组合 1、分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m ×n 种不同的方法。 3、排列及排列数： （1） 排列：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2） 排列数：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素的所有排列的 个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示。 （3） 排列数公式：()()11+-???-=m n n n A m n . （4） 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全 排列， ()()n n n n A n n =???????-?-?=12321！ ()!!m n n A m n -= ，规定0！=1 4、组合及组合数： （1） 组合：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 （2） 组合数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合个数， 叫做从n 个不同元素取出m 个元素的组合数，用m n C 表示。 （3） 计算公式：()()()()!!!1111m n m n m m m n n n A A C m m m n m n -=???-+-???-==. 由于0！=1，所以10=n C . 5、组合数的性质：
两个计数原理 【知识网络】 【典型例题】 题型一、分类加法计数原理 例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（） 例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 【变式练习】 1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个． 2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个
例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（） A．21种B．315种C．143种D．153种 例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()． A．4种B．10种C．18种D．20种 方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理 【变式练习】 1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（） A．120 B．98 C．63 D．56 2．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（） 3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
A．238个B．232个C．174个D．168个 例5、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A．10 .11 C 【变式练习】 1．为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________． 2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。 3.有4人各写一张贺卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不 同取法 题型二：分步乘法计数原理 例6、（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种 （2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种
利用隔板法巧解排列组合问题（共1页） 1 利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面） 隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。 一、放球问题。 例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？ 解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在 11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。所以，把8个相同的球放入4个不同 的盒子，有311165C =种不同方法。 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。 二、指标分配问题。 例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？ 解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成 一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。由 分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。 点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。 三、求n 项展开式的项数。 例3、求()10125x x x +++ 展开式中共有多少项？ 解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈ ，，，，，记作i x 的i k 次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。由隔板法知，在14 个位置中任取4个位置排上隔板，有414C 种排法。故()10125x x x +++ 的展开式中共有 4141001C =项。 四、求n 元一次方程组的非负整数解。 例4、求方程1257x x x ++???+=的正整数解的个数。 解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示均不能为0的正整数未知数1x 、2x 、 、5x 。要得到方程1257x x x ++???+=的正整数解的个数，分两步。第一步：5个盒子每个盒子先分配1个小球，只有1种分法；第二步：将剩下的2个小球分配给5个盒子。取514-=块相同隔板，连同2个相同小球排成一排， 共6个位置。由隔板法知，在6个位置中任取4个位置排上隔板，有46C 种排法。由分步计 数原理知：共有4 6C 种放法。我们把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N *=∈ ， ，，，，记作：i i x k =。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1257x x x ++???+=的每一组解()125k k k ，，，。所以，方程1257x x x ++???+=的正整数解共有4615C =个。 例3例4点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1257x x x ++???+=的非负（或正）整数解的个数的理论依据。
职 高 数 学 单 元 测 试 集合---排列组合 (时间:100分钟,满分100分) 姓名________成绩__________ 一．填空：(每空2分,共38分) 1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数. 2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____ 3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有 种不同站法. 4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数. 5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______ 6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________ 7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________ 8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个. 9.已知a
第一讲集合的概念及运算 考点解读 【基础性考点知识突破】 一、集合的含义及表示方法 1．元素与集合的含义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合． 构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质 集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性． (1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征． (2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素． (3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序． 3．集合的表示 集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征． 4．元素与集合的关系 “属于”或“不属于”，记为“”或“?”． 二、集合与集合之间的关系 1．集合与集合之间的关系 (1)包含关系 子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，显然A?A，??A. (2)相等关系 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B. 对于两个集合A与B，如果A?B，同时B?A，那么集合A与集合B相等，记作A=B． (3)真子集关系
对于两个集合A 与B ，若A ?B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论： ①对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，B ?C ，则A ?C ； ②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，则A C ． (4)不包含关系 用表示 2．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作?． 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集． 3．有限集的子集、真子集的个数 关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的 个数有2n 个，即02C C C 2n n n n n ++???+=（个），非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n -）个， 三、集合的交、并、补集的运算 1．交集 (1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. (2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)； A ∩?=?；(A ∩B )?A ；(A ∩B )?B ； 若A ?B ，则A ∩B =A ． 2．并集 (1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. (2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)； A ∪?=A ；A ?(A ∪ B )；B ?(A ∪B )； 若A ?B ，则A ∪B =B ． 3．补集 (1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给
超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A
排列组合公式(全)
排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
第一讲排列组合的基本方法 【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．计数原理 1．分类计数原理 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法． 2．分步计数原理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． 3．分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，将种数相乘． 二、排列组合 1．排列与组合的概念 名称定义 按照一定的顺序排成一列 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 组合合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．
3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) ＝n ！(n －m )！ (2)C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！ m ！(n －m )！ 性质 (3)0！＝1；A n n ＝n ！ (4)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1 n __ 考向一 两个计数原理 【例1】（1）满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2 ＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ， b )的个数为________． (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法． 【答案】（1）13 （2）120 【解析】（1）方程ax 2 ＋2x ＋b ＝0有实数解的情况应分类讨论．①当a ＝0时，方程为一元一次方程2x ＋b ＝0，不论b 取何值，方程一定有解．此时b 的取值有4个，故此时有4个有序数对． ②当a ≠0时，需要Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．a ≠0时，(a ，b )共有3×4＝12(个)实数对，故a ≠0时满足条件的实数对有12－3＝9(个)，所以答案应为4＋9＝13. （2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)． 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
2005年全国高考数学试题分类汇编——排列组合 1.(全国卷Ⅰ文第15题)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。 2.（全国卷Ⅱ理第15题）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个. 3．（辽宁卷第15题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数， 要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不． 相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 4.（江苏卷第12题）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( ) （A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 5.（北京卷理第7题）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( ) （A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 6.（北京卷文）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( ) （A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44 C 种 （ D ）44A 种 7.（福建卷理第9题）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 8．（湖北卷文）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144
庖丁巧解牛 知识·巧学 一、排列、排列数公式 1.排列 一般地，从ｎ个不同的元素中任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列. (1)“一定的顺序”说明如果两个排列相同，那么不但所有元素相同，而且排列的顺序也要相同.如三个数的排列123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列. (2)“ｎ个不同的元素”，所给的ｎ个元素不同，所取出的元素也就各不相同，也就是说如果某个元素被取出，就不能再取了，即无重复的排列. 深化升华 判断一个具体问题是不是排列问题，就看从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素后，再安排这ｍ个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列.也就是说，排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列.如取出两个数做乘法就与顺序无关，就不是排列，做除法就与顺序有关，就是排列. 2.排列数 从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，用符号A m n 表示. 排列数概念可以从集合的角度进行解释.例如：从ａ、ｂ、ｃ这三个不同的元素中任取两个元素的排列数的问题，就是集合A={ab,bc,ca,ba,cb,ac}的元素个数问题，显然card(A)=6.这里，由排列的定义知，集合A 中的元素ａｂ与ｂａ应视为不同的元素. 辨析比较 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数.它是一个数.在写具体排列时，要按一定规律写，以免造成重复或遗漏. 3.排列数公式 （1）排列数公式：①连乘表示式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m+1).其中,n ，m ∈N *，且ｍ≤ｎ；②阶乘表示式：)! (!m n n A m n -=，其中n,m ∈N *，且ｍ≤ｎ. （2）全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的一个全排列. （3）阶乘：ｎ个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘， 用n!表示，即n n A =n!.规定0!=1. （4）排列数性质：①m n A =n 11--m n A ；②m n A =m n m n A A 111---+. 记忆要诀 排列数的连乘表示式的右边是ｍ个数的连乘积，其特点是：第一个因数是ｎ，后面的每一个因数都比它前面的因数少1；最后一个因数是ｎ-ｍ+1，一共有ｍ个连续自然数的连乘积. 方法归纳 对于排列数的两个形式的公式，连乘表示式常用于计算具体的含有数字的排列数的值；阶乘表示式则常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式. 二、组合、组合数公式 1.组合
专题10 排列组合二项式定理 排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法． 这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力． §10－1 排列组合 【知识要点】 1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合． ?=-=-=m n m n m n m n A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(! 3．组合数的性质： (1)m n n m n C C -=； (2)11-++=m n m n m n C C C ． 【复习要求】 理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性． 熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证． 正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】 例1 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法? (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法? 【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有3 4A ＝24种寄信方法． 例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．
【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.2第3课时 排列与组合 课时作业 新人教A 版选修2-3 一、选择题 1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) A ．40 B ．50 C ．60 D ．70 [答案] B [解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C 26 ＝15种不同的分法；两组各3人共有C 3 6 A 2 2 ＝10种不同的分法，所以乘车方法数为(15＋10)×2＝50，故选B ． 2．(2015·青岛市胶州高二期中)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ， C ， D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分 配方案共有( ) A ．60种 B ．72种 C ．84种 D ．96种 [答案] B [解析] 解法1：根据题意，分两种情形讨论： ①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有C 12C 33C 13A 3 3＝36种选派方案． ②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C 2 3·A 2 3·A 2 2＝36种选派方案， 综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案， 故选B ． 解法2：从甲、乙以外的三人中选一人从事A 工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有C 13A 3 4＝72种选法． 3．(2014·广州市综合测试二)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．38
教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。 提高学生解决问 题分析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有 n 类办法，在第 1类办法中有 种不同的方法，在第 2类办法中有 m 2种不 同的方法，…，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第1步有m ,种不同的方法，做第 2步有m 2种不同的方 法，…，做第n 步有口种不同的方法，那么完成这件事共有 : 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行 ，确定分多少步 及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 然后排首位共有C 4 A 3 解：由于末位和首位有特殊要求 3 ,应该优先安排 以免不合要求的元素占了 这两个位置
排列组合公式 久了不用竟然忘了 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
引言 1、什么是离散数学？ 离散数学是研究数学中适用于研究离散对象的那一部分。（这里“离散”的含义是指不同的连接在一起的元素。） 可数集合里发生事的数学方面都是离散数学的研究对象。 离散数学成为一门课程，于上世纪60年代、70年代，与计算机发展并驾齐驱，其内容与传统数学有很大区别；过去的高等数学是连续数学，这里表现的离散结构，是计算机表现的量，现实生活中也有十分广泛的应用。 离散数学特点：散、抽象、应用广泛、 注重数理逻辑推理。 2、对离散数学的认识与离散数学的应用 a、极度抽象抽象到把所有男生都看作1，把所有 女士都看成0来研究, b、行云流水有了数学分析、高等代数、概率论 知识，关键是数理逻辑思维的能力，方法得当
可以轻松的学习 c、由难变易放下包袱，解放思想，办法多多 d、非常聪明学过离散数学，思维方式上一个新 台阶，对后续课程的学习，以后就业、工作、个性发展等帮助收益匪浅。 e、地位重要从20世纪80年代起，离散数学越 来越受到宠爱，有人戏称，微积分在科学中的皇位有朝一日会让给离散数学的，从应用角度看，很多重大实用项目（如信息技术、战争、密码学、作弊与反作弊技术、催眠术、经济理论等等）的理论模型正是离散数学模型；通过离散数学的理论推导、算法设计与分析、编程与软件制作，上机并付诸实现，离散数学是一种高技术 f、科大王树禾： “离散数学是数学领域当中数学思想最为活泼、最为深刻和充满矛盾的地方，对数学基础的奠定与巩固，离散数学有着不可替代的作用。同时它富含的文化和人文哲理则是人类现代文明的重要成分。离散数学是一种高文化。”
同时，离散数学是通向所有数学学科计算机学科高级课程的必经之路；考研、就业选择、生活中的推理，离散数学无时不在。
10．排列组合 本部分是高考的必考内容，每年都有2、3道与排列组合二项式定理展开式及通项有关.纵观近三年的高考，从难度程度看，二项式定理、概率相对容易，排列组合时难时易. 目前在考查能力、思想、应用、创新、综合的趋势下，排列、组合和概率依旧会以中等偏上难度考查下去，二项式定理的考查趋向于对能力的要求.排列、组合与概率的应用题常以现实生活、社会热点为载体，同时也考查两个基本原理. 一、排列组合的意义，计算公式及其应用 【例1】（2008年上海卷）上海卷12）组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ D ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1) C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1 D ．n r C r -1n -1 【例2】（2008年全国Ⅰ）如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块， 现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48 【解析】B 分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有4 4A 种种法.共有234444284A A A ++=. 另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84???+?= 【例3】 （2008年陕西卷）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）． 【解析】 96 分两类：第一棒是丙有11412448C C A ??=,第一棒是甲、乙中一人有11421448C C A ??= 因此共有方案484896+=种 【例4】（2008年重庆卷）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答） 【解析】216 111432A B C 处种，处种，处种则底面共 43224??=， 1131A B B C ，B 分类，A ，同，处种，处种，则共有3种 ，
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入
1． 2排列与组合 1、排列 综合卷 1．90×9l×92×……×100=（） （A）10100A（B）11100A（C）12100A（D）11101A 2．下列各式中与排列数mn A相等的是（） （A）!(1)!??nnm（B）n(n－1)(n－2)……(n－m) （C） 11mn nAnm???（D）111mnn AA?? 3．若 n∈N且 n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（） （A）827n A?（B）2734nn A??（C）734n A?（D）834n A? 4．若S=123100123100AAAA????，则S的个位数字是（） （A）0 （B）3 （C）5 （D）8 5．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个 6．从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（） （A）20个（B）19个（C）25个（D）30个 7．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（） （A）12种（B）18种（C）24种（D）96种 8．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（） （A）6种（B）9种（C）18种（D）24种 9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（） （A）88A种（B）48A种（C）44A·44A种（D）44A种 10．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（） （A）(4!)2种（B）4!·3!种（C）34A·4!种（D）35A·4!种 11．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同排法共有（） （A）12种（B）20种（C）24种（D）48种 二．填空题:： 12．6个人站一排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有种不同排法．14．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有种． 15．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的