省2015年高考一轮复习备考试题
立体几何
一、填空题
1、（2014年高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S ,S ，体积分别为21V ,V ，若它们的侧面积相等，
49S S 21=，则=2
1V V
▲ ． 2、（2013年高考）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则
=21:V V 。
3、（2012年高考）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥
11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．
4、（2015届高三9月调研）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲
5、（2015届市直中学高三9月调研）如图，各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，M 为11
A C
的中点，则三棱锥1M AB C -的 体积为 ▲
6、（2015届高三9月调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为
1S 、2,S 则有12:S S = ▲
7、（市2014届高三第三次模拟）已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：
①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m ?β，则α∥β． 其中所有真命题的序号是 ▲
8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ 9、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲
10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲
二、解答题
1、（2014年江苏高考）如图，在三棱锥P错误!未找到引用源。ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB 的中点。已知PA⊥AC，PA=6,BC=8，DF=5.
求证：（1）直线PA∥平面DEF;
（2）平面BDE⊥平面ABC.
2、（2013年江苏高考）如图，在三棱锥ABC
S-中，平面⊥
SAB平面SBC，BC
AB⊥，AB
AS=，过A作SB
AF⊥，垂足为F，点G
E，分别是棱SC
SA，的中点.
求证：（1）平面//
EFG平面ABC；（2）SA
BC⊥.
3、（2012年江苏高考）如图，在直三棱柱
111
ABC A B C
-中，
1111
A B AC
=，D E
，分别是棱
1
BC CC
，上的点（点D不同于点C），且AD DE F
⊥，为
11
B C的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面
11
BCC B；
（2）直线
1
//
A F平面ADE．
A
B
S
G
F
E
4、（2015届江苏南京高三9月调研）如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，
CC 1＝5，E 是棱CC 1上不同于端点的点，且CE →＝λCC 1→
．
（1） 当∠BEA 1为钝角时，求实数λ的取值范围；
（2） 若λ＝2
5
，记二面角B 1－A 1B －E 的的大小为θ，求|cos θ|．
5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，
PA
CD ⊥．
（1）求证：直线//AB 平面PCD ；
（第22题图）
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
（2）求证：平面PAD 平面PCD ．
6、（南京市2014届高三第三次模拟）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N
分别在线段PA 和BD 上，BN ＝1
3BD ．
（1）若PM ＝1
3
PA ，求证：MN ⊥AD ；
（2）若二面角M －BD －A 的大小为π
4，求线段MN 的长度．
7、（南通市2014届高三第三次调研）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．
（1）求证：AB ∥EF ；
（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．
C
·
· P
M
A
B
D
N (第22题图)
8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））
如图，在空间直角坐标系A - xyz 中，已知斜四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是边长为3的正方形，点B ，D ，B 1分别在x ，y ，z 轴上，B 1A = 3，P 是侧棱B 1B 上的一点，BP = 2PB 1 ． （1）写出点C 1，P ，D 1的坐标；
（2）设直线C 1E ⊥平面D 1PC ，E 在平面ABCD 内， 求点E 的坐标．
9、（徐州市2014届高三第三次模拟）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=． （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．
z y
x
11
1
1
P
A
B C D D
C
B
A （第22题图）
A
B
C A 1
B 1
C 1
10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，
BP ＝BC ，E 为PC 的中点．
（1）求证：AP ∥平面BDE ；
（2）求证：BE ⊥平面PAC ．
参考答案
一、填空题
1\、2
3
2、
24
1
21413131311111211
21=
??====--h h S S Sh h
S V V V V C B A ABC ADE F 棱柱三棱锥 3、6
4、
3 5、23
6、3：2
7、②
8、
9、
10、1
2
二、解答题
1、（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA 又∵DE
?平面PAC ，PA ?平面PAC
P
B
C
D
E
A
(第15题图)
∴直线PA ∥平面DEF
（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4
∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5 ∴DF 2=EF 2+DE 2=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ? EF=E ，AC ?
平面ABC ，EF ?平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ?平面BDE ，∴平面BDE
⊥平面ABC
2、证明：（1）∵AB AS =，SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E ．F 分别是SA ．SB 的中点 ∴EF ∥AB
又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF ∥平面ABC 同理：FG ∥平面ABC
又∵EF FG=F, EF ．FG ?平面ABC ∴平面//EFG 平面ABC （2）∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ?平面SAB AF ⊥SB
∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF ⊥BC
又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB ．AF ?平面SAB ∴BC ⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB ∴BC ⊥SA 3、证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ?平面ABC ，∴1CC AD ⊥。 又∵1AD DE CC DE ⊥?，，平面111
BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面
11BCC B 。
又∵AD ?平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ?平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ?，平面11BCC B ，1
111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。
由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。
又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE
4、解：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系．
由题设，知B (2，3，0)，A 1(2，0，5)，C (0，3，0)，C 1(0，3，5)．
因为CE →＝λCC 1→
，所以E (0，3，5λ)． 从而EB →＝(2，0，－5λ)，EA 1→
＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分 当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0， 所以EB →·EA 1→
＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，
解得15＜λ＜45
．
即实数λ的取值范围是(15，4
5
)． …………………………………… 5分
（2）当λ＝25
时，EB →＝(2，0，－2)，EA 1→
＝(2，－3，3)．
设平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
由?????n 1·EB →
＝0，n 1·EA 1→＝0
得???2x －2z ＝0，2x －3y ＋3z ＝0，
取x ＝1，得y ＝5
3
，z ＝1，
所以平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(1，5
3，1)． ………………………………… 7分
易知，平面BA 1B 1的一个法向量为n 2＝(1，0，0)．
因为cos< n 1，n 2>＝
n 1·n 2| n 1|·| n 2|
＝
1
439
＝3
4343，
从而|cos θ|＝
3
43
43
． …………………………………… 10分 5、（1）证明:∵ABCD 为矩形，∴//AB CD ． ………………………………………………2分
又DC ?面PDC ，AB ?面PDC ，……………………………………………………4分 ∴//AB 面PDC ． ……………………………………………………………………7分 （2）证明: ∵ABCD 为矩形, ∴CD AD ⊥, ……………………………………………9分
又PA ⊥CD ,PA
AD A =， PA AD ?，平面PAD ,
∴CD ⊥平面PAD ． …………………………………………………………………11分 又CD ?面PDC ,∴面PAD ⊥面PCD ． ………………………………………14分
6、证明：连接AC ，BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系． 因为PA ＝AB ＝
2，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1)．
（1）由BN →＝13BD →，得N (0，13，0)，由PM →＝13PA →
，得M (13，0，23)，
所以MN →
＝(－13，13，－23
)，AD →＝(－1，－1，0)．
因为MN →·AD →
＝0．所以MN ⊥AD ． ………………………………………4分 （2）因为M 在PA 上，可设PM →＝λPA →
，得M (λ，0，1－λ)． 所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →
＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
由?????n ·BD →
＝0，n ·BM →＝0，
得???－2y ＝0，λx －y ＋(1－λ)z ＝0，
其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．………………………8分 因为平面ABD 的法向量为OP →
＝(0，0，1)， 所以cos π
4＝|
n ·OP
→
|n ||OP →||
，即2
2
＝
λ
(λ－1)2＋λ
2，解得λ＝1
2， 从而M (12，0，12)，N (0，1
3，0)，
所以MN ＝
(12－0)2＋(0－13)2＋(12－0)2＝22
6
． ……………………………10分 7、【证】（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，
因为AB ?平面CDEF ，CD ?平面CDEF ，
所以AB ∥平面CDEF ．……………………… 4分 因为AB ?平面ABFE ，平面ABFE
平面CDEF EF =，
所以AB ∥EF ． …………………………… 7分 （2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，
所以DE ⊥BC ． …………………………… 9分 因为BC ⊥CD ，CD
DE D =，,CD DE ?平面CDEF ，
所以BC ⊥平面CDEF ． …………………………… 12分
因为B C ?平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF．……………………………14分8、
9、如图，以{}1
,,
CA CB CC为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz
-．则(1,0,0)
A，(0,1,0)
B，
1
(1,0,2)
A，
1
(0,1,2)
B，所以
1
(0,1,2)
CB=，(1,1,0)
AB=-，1
(1,1,2)
AB=-，
1
(1,1,2)
BA=-．
（1）因为11
11
11
30
cos,
65
CB BA
CB BA
CB BA
?
===
?
所以异面直线
1
BA与
1
CB
30．
…………………………4分
（2）设平面
1
CAB的法向量为(,,)
x y z
=
m，
则1
1
0,
0,
AB
CB
??=
?
?
?=
??
m
m
即20,
20,
x y z
y z
-++=
?
?
+=
?
取平面
1
CAB的一个法向量为(0,2,1)
=-
m；
x
y
z
（第22题图）
A
B
C
A1
B1
C1
所以二面角1B AB C --平面角的余弦值为10
5
． …………………………10分 10、证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．
因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．
因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． ………………………………4分 因为AP /?平面BDE ，OE ?平面BDE ，
所以AP ∥平面BDE ． …………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面PAB ． ………………………8分 因为AP ?平面PAB ，所以BC ⊥PA ．
因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ?平面PBC ，
所以PA ⊥平面PBC ． …………………………12分 因为BE ?平面PBC ，所以PA ⊥BE ．
因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ?平面PAC ，
所以BE ⊥平面PAC ． ……………………………14分