第五章贝叶斯统计 5.1 简介 到目前为止，我们已经知道了大量的不同的概率模型，并且我们前面已经讨论了如何用它们去拟合数据等等。前面我们讨论了如何利用各种先验知识，计算MAP参数来估计θ=argmax p(θ|D)。同样的，对于某种特定的请况，我们讨论了如何计算后验的全概率p(θ|D)和后验的预测概率密度p(x|D)。当然在以后的章节我们会讨论一般请况下的算法。 5.2 总结后验分布 后验分布总结关于未知变量θ的一切数值。在这一部分，我们讨论简单的数，这些数是可以通过一个概率分布得到的，比如通过一个后验概率分布得到的数。与全面联接相比，这些统计汇总常常是比较容易理解和可视化。 5.2.1最大后验估计 通过计算后验的均值、中值、或者模型可以轻松地得到未知参数的点估计。在5.7节，我们将讨 论如何利用决策理论从这些模型中做出选择。典型的后验概率均值或者中值是估计真实值的恰当选择，并且后验边缘分布向量最适合离散数值。然而，由于简化了优化问题，算法更加高效，后验概率模型，又名最大后验概率估计成为最受欢迎的模型。另外，通过对先验知识的取对数来正 则化后，最大后验概率可能被非贝叶斯方法解释（详情参考6.5节）。 最大后验概率估计模型在计算方面该方法虽然很诱人，但是他有很多缺点，下面简答介绍一下。在这一章我们将更加全面的学习贝叶斯方法。 图5.1（a）由双峰演示得到的非典型分布的双峰分布，其中瘦高蓝色竖线代表均值，因为他接近 大概率，所以对分布有个比较好的概括。(b)由伽马绘图演示生成偏态分布，它与均值模型完全不同。 5.2.1.1 无法衡量不确定性 最大后验估计的最大的缺点是对后验分布的均值或者中值的任何点估计都不能够提供一个不确定性的衡量方法。在许多应用中，知道给定估计值的置信度非常重要。我们在5.22节将讨论给出后验估计置信度的衡量方法。 5.2.1.2 深耕最大后验估计可能产生过拟合
用于运动识别的聚类特征融合方法和装置 提供了一种用于运动识别的聚类特征融合方法和装置，所述方法包括：将从被采集者的加速度信号 中提取的时频域特征集的子集内的时频域特征表示成以聚类中心为基向量的线性方程组；通过求解线性方程组来确定每组聚类中心基向量的系数；使用聚类中心基向量的系数计算聚类中心基向量对子集的方差贡献率；基于方差贡献率计算子集的聚类中心的融合权重；以及基于融合权重来获得融合后的时频域特征集。 加速度信号 →时频域特征 →以聚类中心为基向量的线性方程组 →基向量的系数 →方差贡献率 →融合权重 基于特征组合的步态行为识别方法 本发明公开了一种基于特征组合的步态行为识别方法，包括以下步骤：通过加速度传感器获取用户在行为状态下身体的运动加速度信息；从上述运动加速度信息中计算各轴的峰值、频率、步态周期和四分位差及不同轴之间的互相关系数；采用聚合法选取参数组成特征向量；以样本集和步态加速度信号的特征向量作为训练集，对分类器进行训练，使的分类器具有分类步态行为的能力；将待识别的步态加速度信号的所有特征向量输入到训练后的分类器中，并分别赋予所属类别，统计所有特征向量的所属类别，并将出现次数最多的类别赋予待识别的步态加速度信号。实现简化计算过程，降低特征向量的维数并具有良好的有效性的目的。 传感器 →样本及和步态加速度信号的特征向量作为训练集 →分类器具有分类步态行为的能力 基于贝叶斯网络的核心网故障诊断方法及系统 本发明公开了一种基于贝叶斯网络的核心网故障诊断方法及系统，该方法从核心网的故障受理中心采集包含有告警信息和故障类型的原始数据并生成样本数据，之后存储到后备训练数据集中进行积累，达到设定的阈值后放入训练数据集中；运用贝叶斯网络算法对训练数据集中的样本数据进行计算，构造贝叶斯网络分类器；从核心网的网络管理系统采集含有告警信息的原始数据，经贝叶斯网络分类器计算获得告警信息对应的故障类型。本发明，利用贝叶斯网络分类器构建故障诊断系统，实现了对错综复杂的核心网故障进行智能化的系统诊断功能，提高了诊断的准确性和灵活性，并且该系统构建于网络管理系统之上，易于实施，对核心网综合信息处理具有广泛的适应性。 告警信息和故障类型 →训练集 —>贝叶斯网络分类器
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：贝叶斯公式公式在数学模型中的应用 院（系）理学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名鲁威学号09031213 指导教师张俊超职称讲师 2013 年6月1 日
目录 摘要 (1) Abstract (2) 前言 (3) 第一章贝叶斯公式及全概率公式的推广概述..................................... 错误！未定义书签。 1.1贝叶斯公式与证明 (5) 1.1贝叶斯公式及其与全概率公式的联系 (5) 1.3贝叶斯公式公式推广与证明 (6) 1.3.1贝叶斯公式的推广 (6) 1.4贝叶斯公式的推广总结 (7) 第二章贝叶斯公式在数学模型中的应用 (8) 2.1数学建模的过程 (8) 2.2贝叶斯中常见的数学模型问题 (9) 2.2.1 全概率公式在医疗诊断中的应用 (9) 2.2.2全概率公式在市场预测中的应用 (11) 2.2.3全概率公式在信号估计中的应用. ...................................... 错误！未定义书签。 2.2.4全概率公式在概率推理中的应用 (15) 2.2.5全概率公式在工厂产品检查中的应用 ................................ 错误！未定义书签。 2.3全概率公式的推广在风险决策中的应用 (17) 2.3.1背景简介 (17) 2.3.2风险模型 (18) 2.3.3实例分析 (18) 第三章总结 (21) 3.1贝叶斯公式的概括 (21) 3.2贝叶斯公式的实际应用 (21) 结束语 (23) 参考文献 (24) 后记 (25)
关于贝叶斯估计方法学习感想及看法 经过半学期的课程学习，终于在参数估计这部分内容的学习上有了个终结。参数估计方面的学习主要分了经典学派的理论和贝叶斯学派的理论。在参数估计上经典学派运用的是矩法和极大似然估计，贝叶斯学派用的当然就是Bayes 估计。经典学派的学习在本科学习比较多，而Bayes 方法对我来说算是个新知识，在此只对Bayes 统计方法做个小结，然而由于知识有限性，只能粗略地从讲义中对Bayes 估计总结点观点出来。 贝叶斯统计中除了运用经典学派的总体信息和样本信息外，还用到了先验信息，其中的两个基本概念是先验分布和后验分布。 1，先验分布，总体分布参数θ的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于总体分布参数总体分布参数θ的任何统计推断问题中，除了使用样本所提供的信息外，还必须规定一个先验分布，它是在进行统计推断时不可缺少的一个要素。他们认为先验分布不必有客观的依据，可以部分地或完全地基于主观信念。 2，后验分布。根据样本分布和未知参数的先验分布，可以用概率论中求条件概率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据后验分布，而不能再涉及本分布。可以看出Bayes 统计模型的特点是将参数θ视为随机变量，并具有先验分布H(θ)。Bayes 统计学派与经典学派的分歧主要是在关于参数的 认识上的分歧，经典学派视经典学派视θ为未知常数；而Bayes 学派视θ为随机变量且具有先验分布为随机变量且具有先验分布。两个学派分歧的根源在于对于概率的理解。经典学派视概率为事件大量重复实验频率的稳定值；而Bayes 学派赞成主观概率，将事件的概率理解为认识主体对事件发生的相信程度。个人认为将θ视为随机变量且具有先验分布具有实际意义，这也算Bayes 学派在二百年时间不断发展的一个前提。 然后用数学计算的观点来看看Bayes 估计： 一切估计的目的是要对未知参数θ作统计推断。在没有样本信息时，我们只能依据先验分布对θ作出推断。在有了样本观察值1(,,)n X x x = 之后，我们应依据(,)h X θ对θ作出推断。若把(,)h X θ作如下分解： ()(,)|()h X X m X θπθ= 其中()m X 是X 的边际概率函数： ??ΘΘ ==,)()|(),()(θθπθθθd X p d X h X m 它与θ无关，或者说)(X m 中不含θ的任何信息因此能用来对θ作出推断的仅是条件分布)|(X θπ，它的计算公式是：)|(X θπ=(,)h X θ/()m X 。 贝叶斯统计学关键是首先要想方设法先去寻求θ的先验分布h （θ），先验分布的确定方法有客观法，主观概率法，同等无知原则，共轭分布方法，Jeffreys
学院本科毕业论文（设计） 题目：贝叶斯公式公式在数学模型中的应用 院（系）理学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名鲁威学号09031213 指导教师俊超职称讲师 2013 年6月1 日
目录 摘要 (1) Abstract (2) 前言 (2) 第一章贝叶斯公式及全概率公式的推广概述........................................ 错误!未定义书签。 1.1贝叶斯公式与证明 (5) 1.1贝叶斯公式及其与全概率公式的联系 (5) 1.3贝叶斯公式公式推广与证明 (6) 1.3.1贝叶斯公式的推广 (6) 1.4贝叶斯公式的推广总结 (7) 第二章贝叶斯公式在数学模型中的应用 (8) 2.1数学建模的过程 (8) 2.2贝叶斯中常见的数学模型问题 (9) 2.2.1 全概率公式在医疗诊断中的应用 (9) 2.2.2全概率公式在市场预测中的应用 (11) 2.2.3全概率公式在信号估计中的应用. ......................................... 错误!未定义书签。 2.2.4全概率公式在概率推理中的应用 (15) 2.2.5全概率公式在工厂产品检查中的应用 ................................... 错误!未定义书签。 2.3全概率公式的推广在风险决策中的应用 (17) 2.3.1背景简介 (17) 2.3.2风险模型 (18) 2.3.3实例分析 (18) 第三章总结 (21) 3.1贝叶斯公式的概括 (21) 3.2贝叶斯公式的实际应用 (21) 结束语 (23) 参考文献 (24) 后记 (25)
1 算法介绍 1.1 贝叶斯方法的基本观点 托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)是英国数学家，他对贝叶斯方法奠基性的工作是他的论文“关于几率性问题求解的评论”。由于当时贝叶斯方法在理论和应用中还存在很多不完善的地方，因此在很长一段时间并未被普遍接受。后来随着统计决策理论、信息论和经验贝叶斯方法等理论和方法的创立和应用，贝叶斯方法很快显示出它的优点，成为十分活跃的一个方向。随着人工智能的发展尤其是机器学习、数据挖掘的兴起，贝叶斯理论的发展和应用也获得了更为广阔的空间。近年来，贝叶斯学习理论方面的文章更是层出不穷，内容涉及到人工智能的大部分领域，如因果推理、不确定性知识表达、模式识别和聚类分析等，同时出现了专门研究贝叶斯理论的组织ISBA(IntemationalSoeietyofBayesianAnalysis)。 贝叶斯方法的特点是使用概率去表示所有形式的不确定性，学习或其他形式的推理都用概率规则来实现。贝叶斯理论在数据挖掘中的应用主要包括贝叶斯方法用于分类及回归分析、因果推理和不确定知识表达以及聚类模式发现等。贝叶斯方法正在以其独特的不确定性知识表达形式、丰富的概率表达能力、综合先验知识的增量学习特性等成为当前数据挖掘众多方法中最为引人注目的焦点之一。 贝叶斯统计是贝叶斯理论和方法的应用之一，其基本思想是：假定对所研究的对象在抽样前已有一定的认识，常用先验分布来描述这种认识，然后基于抽取的样本再对先验认识作修正，得到后验分布，而各种统计推断都基于后验分布进行。经典统计学的出发点是根据样本，在一定的统计模型下做出统计推断。在取得样本观测值X 之前，往往对参数统计模型中的参数θ有某些先验知识，关于θ的先验知识的数学描述就是先验分布。贝叶斯统计的主要特点是使用先验分布，而在得到样本观测值T n x x x X ),...,,(21 后，由X 与先验分布提供的信息， 经过计算和处理，组成较完整的后验信息。这一后验分布是贝叶斯统计推断的基础。 1.2 贝叶斯统计模型 1.2.1 概率论中的贝叶斯公式 设事件A 1，A 2，…，A k 构成互不相容的完备事件组，则Bayes 公式是 (1) 在上式中，先验信息以{P(A j ), j=1,2,…,k }这一概率分布的形式给出，即先验分布。由于事件B 的发生，可以对A 1，A 2，…，A k 发生的概率提供新的信息。根据这些信息以及先验分布，可得出后验分布{P (A i |B ), i=1,2,..,k }.可以看出，Bayes 公式反映了从先验分布向后验分布的转化。 1.2.2 数据挖掘中常用的贝叶斯公式 将(1)式中的随机变量的形式改写，引入随机变量θ，它的取值是θ1,θ2,…,θk ,其中θj =θ(A j )，即当A j 发生时，θ取值θj ，θ是离散型的(取有限值)，具有
《贝叶斯统计（双语）》教学大纲 课程编号：120872B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□√专业选修课 □学科基础课 总学时：32 讲课学时：32实验（上机）学时：0 学分：2 适用对象：经济统计学 先修课程：微积分、概率论与数理统计学 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题 2.可以建立统计模型，获得有效结论 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用 4.关注国际统计应用的新进展 5.基于数据结论，提出决策咨询建议 6.具有不断学习的意识 一、课程的教学目标 贝叶斯统计是上世纪50年代后，才迅速发展起来的一门统计理论。目前，在欧美等西方国家，贝叶斯统计已经成为了与经典统计学派并驾齐驱的当今两大统计学派之一；随着贝叶斯理论和方法的不断发展和完善，以及相应的计算软件的研制，贝叶斯方法在实践中获得了日趋广泛的应用；特别是，贝叶斯决策问题在统计应用中占有越来越重要的地位。在商业经济预测、政府宏观经济管理、国防工业中对武器装备系统可靠性评估、生物医学研究；知识发现和数据挖掘技术等都获得了广泛应用。
本课程通过贝叶斯统计的教学使学习过传统的数理统计课程的学生了解贝叶斯统计的基本思想和基本观点，了解贝叶斯统计与传统的数理统计在理论和处理方法上的区别，了解贝叶斯统计的最新进展，能够系统的掌握贝叶斯统计的基本理论、基本方法，特别是贝叶斯统计极具特色的一些处理方法，引进一个效用函数(utility function)并选择使期望效用最大的最优决策，这样就把贝叶斯的统计思想扩展到在不确定时的决策问题。很好的将统计学与最优化的思想方法和技术很好的进行了结合。贝叶斯统计理论和方法技术的学习，不仅能够提高学生分析和解决实际问题的能力，还能够更进一步提高对经典数理统计的深入理解。 二、教学基本要求 根据贝叶斯统计课程的教学内容，本课程将重点介绍贝叶斯统计推断理论，贝叶斯决策理论。并且注重贝叶斯统计处理方法和基本观点与传统数理统计相应内容对比的讲授方式。注重案例教学，安排学生课后查阅文献资料，以及课堂研讨等方式，了解贝叶斯统计理论和应用最新成果及前沿研究进展。对最新贝叶斯网络和贝叶斯统计的方法除了传统讲授方式外，适当的安排上机实验，了解贝叶斯统计相关软件的使用方法。课程的考核方式：期末开卷+ 论文方式，卷面60%，平时和论文40%。 三、各教学环节学时分配 以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下： 教学课时分配
上海大学2013～2014学年春季学期研究生课程考试 课程名称：贝叶斯统计学课程编号：01SAQ9009 论文题目: 基于贝叶斯理论的R语言实例分析 研究生姓名: 杨晓晓、李腾龙学号:13720061、13720067 研究生班级：理学院统计系 论文评语: 成绩:任课教师: 评阅日期:
基于贝叶斯理论的R 语言实例分析 杨晓晓（13720061），李腾龙（13720067） 摘要：Gibbs 抽样和Metropolis-Hastings 算法是MCMC 理论中最为重要 的两种算法，Probit 模型也是二分类数据分析中非常重要的模型。本文的主要是通过小组两个人互相讨论的方式，应用Gibbs 和M-H 算法共同完成了Probit 模型在贝叶斯理论框架下的估计问题，深入学习并掌握Probit 模型、Gibbs 抽样、M-H 算法的相关知识，并能够初步使用R 语言进行编程。同时，在文章第二部分我们俩还给出了多项式分布的Gibbs 抽样的实现。 关键词：Probit ，Gibbs ，Metropolis-Hastings ，多项式分布 一、Probit 模型介绍 1.1 Probit 模型的定义 设y 是一个二值的响应变量，10或=i y 。y 的值依赖于解释变量x ，通常我们可以认为1=i y 的概率是关于x 的一个函数，即： )()|1(1i i x f x y P == 假设存在潜在变量)1,(~) 1,0(~βεεβi i i i i i x N z N x z '+'=则：其中， ?? ?≤>=0 1i i i z z y
) ()(1) (1) 0()0()|1(βββεεβi i i i i i i i i x x x P x P z P x y P 'Φ='-Φ-='-≤-=>+'=>== β是参数，i z 是潜变量。 通常，我们称由上式决定的模型为Probit 模型。 二、Probit 模型与Gibbs 抽样 2.1 满条件分布 由1.1节，我们知道潜变量)1,(~βεβi i i i i x N z x z '+'=：服从分布， 由于对i z 做了如下限制条件：0,0;1,0=≤=>i i i i y z y z ， 这暗示潜变量i z 的分布是以i y 为条件的截尾正态分布（truncated normal distribution,TN ）：)1,(~|βi i i x TN y z ' 再者，i i i x z εβ+'=，回归参数β和潜变量i z 为简单线性关系，由实用多元统计分析[1]第七章可知)1,(~βi i x N z '，所以： ? ? ? ?? ??=???? ? ??=????? ??=????? ??''=?? ????-'--∝? ?????-'-∝∏=n p np n p n n i i i i i n z z Z x x x x x x X Z X Z X z x x y z z f 11111111212)()(exp 2)(exp ),,|,,(βββββββ其中， 在先验分布1)(∝βπ的条件下，β的后验分布为： ()()()?? ? ? ??? ???''-''''-- ∝? ? ????''-''-∝? ? ????-'-- ∝--2)()(exp 22exp 2)()(exp ),,|(11Z X X X X X Z X X X Z X X X Z X Z X x z y i i i ββββββββπ
对贝叶斯定理及其在信号处理中的应用的理解 信号估计中的贝叶斯方法是对贝叶斯定理的应用，要理解贝叶斯估计首先要理解贝叶斯定理。 一、 贝叶斯定理： 1. 贝叶斯定理的简单推导过程 贝叶斯定理就是条件概率公式(贝叶斯公式)，所谓条件概率就是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，常用(/)P B A 表示。一般情况下(/)P B A 与 (/)P A B 是不相等的。容易得到: (/)P B A = ()()P A B P A ,(/)P A B =() () P A B P B 所以 (/)P B A ()P A =(/)P A B ()P B , 对上式变形得贝叶斯公式： (/) P A B =(/)() () P B A P A P B （1） 若',A A 为样本空间的一个划分，可得全概率公式： ()P B =''(/)()(/)()P B A P A P B A P A + 所以（1）式可以改写为： '' (/)() (/)(/)()(/)() P B A P A P A B P B A P A P B A P A = + （2） 如果12n A A A ，，...,为样本空间的一个划分，由（2）式可得条件概率(/)j P A B 1 (/)() (/)(/)() j j j n i i i P B A P A P A B P B A P A == ∑ （3） （3）式就是当样本空间的划分为n 时的贝叶斯公式即贝叶斯定理。我们把其中的()(1,...)i P A i n =称为先验概率，即在B 事件发生之前我们对i A 事件概率的一个判断。(/)j P A B 称为后验概率，即在B 事件发生之后我们对i A 事件概率的重新评估。 2. 贝叶斯公式的事件形式
基于贝叶斯估计的信息融合方法研究 摘 要：为了有效融合多个传感器的测量数据，得到准确的融合结果，本文以置信距离测度作为数据融合的融合度，利用分位图法，通过置信距离矩阵、关系矩阵寻找多传感器的最佳融合数，并以Bayes 估计理论为基础得到多传感器最优融合数据，最后将它与其它方法得到的融合数据进行了比较。 关键词：Bayes 估计；信息融合；分位图；传感器 Study on Information Fusion MethodsBased on Bayes Estimation Abstract ：For getting accurate fused data by fusing multi-sensor measurement data, in this PaPer,the confidence distance measure is used to be fusion measure of data fusion.The useful fused data are looked for by confidence distance matrix and relation matrix through using a method of bitmap.The optimal fused data is given by Bayes estimation theory, and optimal fused results obtained by other methods are compared with it. Key words ：Bayes estimation; information fusion; bitmap; sensor 1 引言 信息融合是把来自多种或多个传感器的信息和数据进行综合处理，得到更为准确可靠的理论，从而减少在信息处理中可能出现的失误。一个系统中同时使用着多个信息采集传感器，它们既可以是同种类型的，也可以是不同类型的。在实际应用中不同的传感器所测得的同一物体的某特性参数的数据会有偏差。这种偏差一方面来自传感器本身的误差，另一方面来自数据处理过程的数学方法。必须对传感器所测得的数据进行判断，以决定数据是否可信。信息融合的关键是对各个传感器所得数据的真实性进行判别，找出不同传感器数据之间的相互关系，从而决定对哪些传感器的数据进行融合。数据融合的目的在于运用一定的准则和算法，借助现代科技成果，自动对来自各信源的数据呈报进行联合、变换、相关和合成，从中提取质量的战术情报，洞察战场威胁态势，为作战指挥决策提供可靠依据[1]。本文以置信距离测度作为数据融合的融合度，利用置信矩阵、关系矩阵得到多传感器的最佳融合数，以Bayes 估计理论[2,3]为基础得到多传感器最优融合数据。 2 置信距离测度和置信距离矩阵的确定 用多传感器测量同一个指标参数时，设第i 个传感器和第j 个传感器测得的数据为 i X ,j X 。i X ,j X 都服从Gauss 分布，以它们的pdf 曲线作为传感器的特性函数，记成()x f i ,()x f j 。i x ,j x 为i X ,j X 的一次观测值。为了反应观测值i x ,j x 之间偏差的大小，引进 置信距离测度ij d (i ,j =1,2,…,m)，ij d 的值称为第i 个传感器与第j 个传感器数据的置信距离测度[4]，ij d 的值越小，i ,j 2个传感器的观测值越相近，否则偏差就很大，因此ij d 也称为i ,j 2个传感器的融合度。设 ()A ==?22dx x x f d i x x i ij j i （1） ()B ==?22dx x x f d j x x j ji i j （2） 式中， ()?? ???????????? ??--=2 21exp 21i i i i i x x x x f σσπ （3）
万能的贝叶斯决策——应用总结 学完《模式识别》一课之后，收获颇多。说实话，这门课要想学好不简单，但是老师教会我们要掌握方法，不要拘泥于大堆的公式。方法的思想掌握了，遇到问题以后就可以开阔思路，直接拿来用了。课上主要讲了四大块，Beyes 决策，概率密度函数估计，线性判别以及聚类和Fuzzy 模式识别。下面就其中的Beyes 判别一项做一下应用方面的总结，所选材料均来自学校图书馆CNKI 中国学术期刊全文总库。 众所周知，Beyes 公式是统计学里一个非常重要的公式，而Beyes 决策理论方法则是统计模式识别中的一个基本方法。根据Beyes 决策设计的分类器理论上性能最优，经常被用来作为衡量其他分类器优劣的标准。 当然，要想使用Beyes 理论进行决策，还必须满足几个条件：（1）对象的所有特征观察量，我们设为d 维特征空间，记为],,,[21d x x x d =；（2）要决策分类的类别数，我们设为c 类，用i ω来表示，},,,{21c ωωωω =Ω∈；（3）各类别总体的概率分布，即i ω出现的先验概率)(i p ω；（4）类条件概率密度)|(i x p ω。知道以上几个条件以后，给定一个观测值x ，我们就可以根据需要利用相应的Beyes 决策规则把它分到相应的类去。几种决策规则包括：基于最小错误率的Beyes 决策、基于最小风险的Beyes 决策、最小最大决策以及序贯分类方法等。 Beyes 决策理论是模式识别中的一个比较基础的决策方法，应用十分广泛，几乎涉及到了方方面面。 1.医学方面 Beyes 决策在医学方面有非常重要的地位，主要应用在医疗诊断中。比如我们模式识别经典课本中所例举的癌细胞判别的例子。在医疗诊断中，许多疾病的症状比较相似，即使同一种病，病情的严重程度不同，症状更复杂（如：阑尾炎是慢性，急性还是穿孔；胃癌的早期，中期与晚期等），这就给医生的诊断带来了一定的困难。利用Beyes 统计决策就可以很好的解决这一问题。 例如：诊断阑尾炎的例子[1] 设有三种疾病状态：1A 表示慢性阑尾炎，2A 表示急性阑尾炎，3A 表示阑尾炎穿孔，根据以往的统计经验先验概率已知。又设疾病的症状可分为n 类，表示为n B B B ,,,21 。疾病)3,2,1(=i A i 涉及到症状),,2,1(n j B j =的概率为)|(i j A B p 。
Bayesian Parameter Estimation （贝叶斯参数估计） 09009128 曹祥09009131 严富函 贝叶斯估计的基本原理 ?假设 ?将待估计的参数看作符合某种先验概率分布的随机变量 ?估计方式 ?通过观察样本，将先验概率密度通过贝叶斯规则转化为后验概率密度
1 引言 概率密度估计的两种基本方法： 参数估计(parametric methods) ： 根据对问题的一般性的认识，假设随机变量服从 某种分布，分布函数的参数通过训练数据来估计。 如：ML 估计，Bayesian估计。 非参数估计(nonparametric methods)： 不用模型，而只利用训练数据本身对概率密度做 估计。如：Parzen窗方法，k -近邻估计。 n
（Bayes，Thomas）(1702─1761) 贝叶斯是英国数学家.1702年生于伦敦；1761年4月17日 卒于坦布里奇韦尔斯. 贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理宗教事务，后来长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师.1742年，贝叶斯被 选为英国皇家学会会员. 如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，该分布称为先验分布。 后验信息 统计推断 贝叶斯定理 先验信息 样本信息
3.3 贝叶斯估计 ML 估计： 根据每一类的训练样本估计每一类的类条件概率密度。 Bayesian 估计： 同样根据每一类的训练样本估计每一类的类条件概率密度。但不再把参数看成是一个未知的确定变量，而是看成未知的随机变量。通过对第i 类样本的观察，使概率密度分布转化为后验概 再求贝叶斯估计。 θ
四．贝叶斯估计 1．贝叶斯点估计 定义3.6 设总体X 的分布函数为(,)F x θ,θ为随机变量，()πθ为θ的先验分布。 若在决策空间D 中存在一个决策函 数)(*X d ，使得对决策空间D 中任一决策函数)(X d ，均有 (*)inf (),d R d R d d =?∈D （下确界） 则称)(*X d 为参数θ的贝叶斯估计量。 由定义可见，贝叶斯估计量)(*X d 就是贝叶斯风险 )(d R 达到最小的决策函数。 注意,贝叶斯估计量依赖于先验分布()πθ，即对于不同的()πθ，θ的贝叶斯估计量是不同的，在常用损失函数下，贝叶斯估计有如下几个结论。 定理3.2 若给定θ的先验分布()πθ和平方损失函数 ()2 (,)L θd θd =? 则θ的贝叶斯估计是 ()Θ()|()d x E θX x θh θx d θ===∫ 其中)(x h θ为参数θ的后验密度。 证明 由于 [] {} 2 Θ()() ()()min χ R d m x θd x h θx d θdx =?=∫∫ 与[]2 Θ()()min .θd x h θx d θa s ?=∫（几乎处处）
是等价的。而 []2 Θ ()()θd x h θx d θ?∫ 2 Θ()()()()θE θx E θx d x h θx d θ??=?+?? ?∫ 22 ΘΘΘ()()()()()2()()()(),θE θx h θx d θE θx d x h θx d θθE θx E θx d x h θx d θ????=?+?????????+??? ???∫∫∫ 其中 ()()||.E x h x d Θ=∫θθθθ 又 Θ()()()()θE θx E θx d x h θx d θ??????????∫ Θ()()()()E θx d x θE θx h θx d θ????=??????∫ ,0)]()()][()([=??=x E x E x d x E θθθ 故 []Θ()()θd x h θx d θ?∫ 2 2 ΘΘ()()()()()θE θx h θx d θE θx d x h θx d θ????=?+?? ???∫∫ 显然，当()()d x E x θ= .a s 时,)(d R 达到最小。 定理3.3 设θ的先验分布为)(θπ，取损失函数为加权平方损失函数 ()2 (,)()L θd λθd θ=? 则θ的贝叶斯估计为[()] *()[()] E λθθx d x E λθx ?= ,这里略去不证。 定理3.4 设参数θ为随机向量，()1,,T p θθθ="，对给定的先验分布)(θπ和二次损失函数 (,)()()T L θd d θQ d θ=??
信号的参数估计一般指参数在观测时间内不随时间变化，故是静态估计。若被估计参量是随机过程或非随机的未知过称，则称为波形估计或状态估计，波形估计或状态估计是动态估计。 3.2贝叶斯估计 贝叶斯估计是基于后验概率分布（posterior distribution ）的一类估计方法，其中后验概率分布中采用了先验信息（prior information ）。所谓先验信息，是指已知待估计参数的概率密度函数0()p θ，不管θ是随机变变量或是未知的固定常数。而后验概率分布具有下面的形式， 00 ()(|)(),1 (|)()p c p X p c p X p d θθθθθθ*==?。 注意两点：1，0()p θ不必满足标准化条件，即0()1p d θθ=?，但是0()p θ必须是非负的，并且0102 ()( ) p p θθ代表似真比（ratio of plausibility ），若0102 ()( )1p p θθ>，则说明在1θ和2θ两个值之间我们更倾向于1θ为真值； 2，()p θ*实际上就是(|)p X θ，是通过试验得到数据X 以后θ的概率密度函数，仅当0()1p d θθ=?时有明确的含义。 下面讨论中，()p θ代表0()p θ，(|)p X θ代表()p θ*。 类似于信号检测中的问题，贝叶斯估计在参数估计中对于不同的估计结果赋予了不同的代价值，然后求解平均代价最小的情况。 估计误差为θθ-，我们只关心估计误差的代价，于是代价函数 ()() c c θθθ-=，是估计误差的单变量函数。典型的代价函数有三种： ⑴ 平方型 () 2()c θθθ=-，它强调了大误差的影响 ⑵ 绝对值 () c θθθ=-，给出了代价随估计误差成比例增长 ⑶ 均匀型 () 1 c θε θεθε >?=? ?-<< 这种代价函数给出了估计误差绝对值大于某个值时，代价等于常数，而估计误差绝对值小于某个值时，代价等于零。
贝叶斯估计对比于经典估计的优势分析与其局限性 经典估计和贝叶斯估计 经典估计理论是通过一个随机抽样过程，从总体中随机抽取一定数量的样本，再结合总体分布或总体分布族提供的的信息，推断出总体分布或总体特征，在整个推断过程中，使用到了总体信息和样本信息。 贝叶斯估计在推断总体的过程中，不仅使用到了总体信息和样本信息，还须要使用先验信息。贝叶斯学派认为，通过历史资料和经验总结出先验信息，可以使统计推断更为精确。 经典估计的局限性 经典估计理论包括两种形式的估计，即点估计与区间估计。 点估计就是将估计值表示成一个数值，通过验证其是否具有充分性、无偏性、一致性和有效性来判断估计的精确程度。在估计的过程中，通常需要的是充分统计量，它包含了所有有关参数的信息，而在实际研究中，我们如果像做题目一样假设我们抽样的统计量就是充分统计量，就显得太过于主观。用于衡量有效性的是估计量关于参数值的方差，方差越小，有效性越高，但是在抽样调查中，我们都知道样本容量越大的样本统计量的方差越小，这使得有效性的标准在某种程度上失效。 区间估计相较于点估计具有更高的精确度，通过明确样本的误差，做出更可靠的估计，只要参数落在在估计区间的概率能被人们接受就足够，这种概率被称为置信水平。但是置信水平是人们主观确立的，不同的置信水平得出的置信区间就不一样，而且存在一定的重叠，估计区间中也包含了错误值，使得基于频率主义区间估计也具有一定的局限性。 经典估计局限性还包括将先验信息排除在外，这不符合科学推理原则，因为我们在进行估计的时候往往是在特定的背景下进行，就像《数理统计》贝叶斯估计中例1说的那样，工厂的生产是具有连续性的，在估计当天的产品合格率时，除了进行抽样检测，也需要联系过去一段时间该产品的合格率，从而做出更合理的估计。例如通过查询得知过去一段时间的产品合格率为0.95，而在今天的抽样中得出产品的合格率为0.8，如果简单地认为今天产品的合格率为0.8，显然不能让人接受。 贝叶斯估计的优势 相较于经典估计的频率主义，贝叶斯估计坚持主观主义的概率解释，它的估计必须依赖于先验概率的分布，而先验分布是试验者对于在进行试验之前得到的资料的主观意见，虽然这种主观意见与科学的客观性存在一定的矛盾，但是在一定程度上弥补了经典估计不能应用于不可重复独立事件的概率问题。例如，如果要估计在一场比赛中甲乙双方的胜率，双方世界排名相当，采用经典估计的方法，认为两个人胜利的概率分别为0.5，但是利用贝叶斯估计，查询两个人比赛的历史记录，发现在近5场比赛中甲方赢了四场，则可以估计甲获胜的概率应该更大。 贝叶斯估计需要利用到似然原则，而就像上课提到的那个问题一样，抛12 次硬币有3次正面朝上的二项分布和抛硬币得到3次正面向上的试验次数为12 的负二项分布的似然函数是相似的，似然函数与试验的设计没有关系。贝叶斯估
极大似然估计与贝叶斯估计原理、区别及应用 1..极大似然估计 极大似然估计是以概率为基础的，并不会考虑先验知识。其代表频率派，认为参数是客观存在的，只是未知而矣。因此，频率派最关心是通过极大似然函数，求参数，然后根据参数，在给定自变量X时，确定Y。参数解法：根据已知，列出关于参数的似然方程，令似然方程取得最大值，从而解得参数值。 例1.我们得到一个中国人口的样本，个数为1000，男女比例为3:2，现在让你估计全国人口的真实比例，你肯定不会估计为男：女=1:0。因为如果是1:0，不可能得到3:2的样本。我们大多很容易也估计为3:2。本例子中所要估计的是男：女=3:2。因为在该比例下，我们所得到的样本男：女=3:2.这种情况才最容易出现。该例子与上面所讲用样本频率来估计整体的思想是一样的。 上面例子用极大似然思想求解过程： 我们要估计的变量是：男（或者女）在总人口中所占的比例。设为p. 目标使得样本所获得的男:女=3:2，该结论尽可能可能实现。设为L。 则：L=P（y1,y2….yn）=p^600(1-p)^400最大。此方程也被称为似然方程。 其中yi表示第i词抽样的结果。 对上述方程求导：600*P^599*(1-P)^400-P^600*400*(1-P)^399=0. 解方程可得：P=0.6. 例2.极大似然估计在朴素贝叶斯算法中的应用—对先验概率和条件概率的估计。 上述思想一般情况解释：我们已有一些数据D={x1,x2,,,x n}（上面例子中男女比例），我们的目的是在给定数据D的条件下，找到一个参数θ使得概率最大。即： (1)
根据贝叶斯定理有： (2) 我们假设θ是不变的（概率派认为此概率固定不变），另外D是已知条件。所以求(1)就变为求： (3) 因为我们假设条件相互独立。则; (4) 2.贝叶斯估计 不同于频率派认为参数固定不变的，而是服从一定的概率分布。所以贝叶斯估计不再采用这样的策略：首先计算出参数，然后根据参数和输入x计算得y。模型推导： 同样的，目的是在给定数据D的条件下，找到一个参数θ使得概率最大。 因为由参数不是一个固定值，而是满足一定的概率分布。 由全概率公式得： (5) 将(4),(5)带入(2)得： (6) 由于θ是满足一定概率分布的变量，所以在计算得时候需要将考虑所有θ取值的情况，以致在计算过程中不可避免的高复杂度。所以计算时候并不把所有的后验概率p(θ|D)都找出来，而是仍然采用类似于极大似然估计的思想，来极大后验概率(Maximum A Posterior)得到这种简单有效的叫做MAP（极大化后验概率）。