高中平面几何
(上海教育出版社叶中豪)
知识要点
三角形的特殊点
重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat 点， Napoleon点， Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆
Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆
特殊三角形
中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，
第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形
相关直线及相关三角形
Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形
重心坐标和三线坐标
四边形和四点形
质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形
Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理
重要轨迹
平方差，平方和，Apollonius圆
三角形和四边形中的共轭关系
等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线
几何变换及相似理论
平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心
Miquel定理
内接三角形，外接三角形，Miquel点
根轴
圆幂，根轴，共轴圆系，极限点
反演
反演，分式线性变换（正定向和反定向）
配极
极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点
射影几何
点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus 定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理
著名定理
三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner 定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理
例题和习题
1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。求证：直线AD、BF、CE三线共点。
2．以△ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使∠ABD＝∠ACE＝90°。求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。
3．已知梯形ABCD中，AD∥BC。分别以两腰AB、CD为边向外侧作正方形ABGE和正方形DCHF。连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MA＝MD。
4．△ABC中，AM是中线，H是垂心，N是AH中点，过A作外接圆切线，交对边于D点。求证：ND⊥AM。(06061602．gsp)
M N
H
D A
B C
5．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，求证：A、O、O1、O2四点共圆。（Salmon定理）6．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，O′是A、O、O1、O2四点所共圆（Salmon圆）的圆心。求证：（1）O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心！
O'
O 2
O 1
D Ni
A
B C
（2）记△ABC 的九点圆心为N i 。作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。则N i E ∥AD ！ (06051705．gsp) (06052901．gsp)
Ni
E
O'
O 2
O 1
A
B C
D
7．四边形ABCD 中，P 点满足∠PAB ＝∠CAD ，∠PCB ＝∠ACD ，O 1、O 2分别是△ABC 、△ADC 的外心。求证：△PO 1B ∽△PO 2D 。（06060301．gsp ）
O 2
O 1
P
A
B
C
D
8．设I 是圆外切四边形ABCD 的内心，求证：△IAB ，△IBC ，△ICD ，△IDA
的垂心共线。
9．已知凸四边形ABCD 满足：AB+AD=BC+CD ，延长BA ，CD 交于E 点，
延长BC ，AD 交于F 点。求证：EB+ED=FB+FD （或EA+EC=FA+FC ）。（05123102．gsp ）
F
E
B
D
A
C
10．（06.8.9）设A 、B 、C 、D 是椭圆22
221x y a b
+=上四点。若直线AB 、CD
的斜率之积
22AB CD
b k k a
=，
则直线AC 、BC 或直线AD 、BC 的斜率之积也必等于2
2b a
。
（注：这时经过A 、B 、C 、D
四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆22
221x y a b
+=的离
心率──c
a
。）（06080901．gsp）（06081201．gsp）
1．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 1、O 2分别是△ABD 、△ACD 的外心，O ′是经过A 、O 1、O 2三点的圆之圆心。求证：O ′D ⊥BC 的充要条件是：AD 恰好经过△ABC 的九点圆心。
O'
O 2
O 1
D Ni
A
B C
【证明】取△ABC 的外心O ，则熟知A 、O 、O 1、O 2四点共圆（Salmon 圆）。易知△AO 1O 2
∽△ABC ，且O 1O 2是AD 的垂直平分线。作顶点A 关于BC 边的对称点A ′，易看出△AO ′D ∽△AOA ′。设BC 边高的垂足为G ，再取AO 连线的中点L ，则LG 是△AOA ′的中位线，进而知△AO ′D ∽△ALG 。得∠O ′DA ＝∠LGA 。……………①
O'
O 1
O 2
L
D A'
G
O
A
B C
再作外心O 关于BC 的对称点O ′，由AH ＝2OM ＝OO ′知A O ′经过九点圆心Ni 。（注：△AHNi ≌ △O ′ONi ）
由LM ∥A O ′知∠ADC ＝∠LMG ；在直角梯形AOMG 中，得∠LMG ＝∠LGM 。 故∠ADC ＝∠LGM 。……………② 而∠LGM ＋∠LGA ＝90°。
将①、②代入得∠O ′DA ＋∠ADC ＝90°。 ∴ O ′D ⊥BC 。
M G
L
H
O'
O
O'
D Ni
A
B
C
2．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 1、O 2分别是△ABD 、△ACD 的外心，O ′是经过A 、O 1、O 2三点的圆之圆心。记△ABC 的九点圆心为N i 。作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。则N i E ∥AD 。
（叶中豪提供）
Ni
E
O'
O 2
O 1
A
B C
D
【证明】作LK⊥AH。由AH＝2OM，Ni F＝（OM＋HG）/2易知AK ＝Ni F。……………①
又因O′L在BC上的射影是EF，而AL在AG上的射影是AK，且两者夹角相等（都等于
1 2
B C
∠-∠），故
O L AL
EF AK
'
=。……………②
由①、②知Rt△AO′L∽Rt△Ni EF。得∠AO′L＝∠Ni EF。……………③
M
L K
G
F
E
Ni
H
O
A
B C
O'
而由下图，又易知∠AO′L＝∠ADC。……………④
由③、④得∠Ni EC＝∠ADC，
∴Ni E∥AD。
L
O
E
O'
Ni
A
B C
D
3．△ABC 中，AH 是BC 边上的高，D 是直线BC 上任一点。O 、O 1、O 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的外心，N 、N 1、N 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的九点圆心。设O ′是A 、O 、O 1、O 2所共圆（Salmon 圆）的圆心，作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。则H 、E 、N 、N 1、N 2五点共圆。
（闵飞提供）
E O'
O 2
O 1
O
H N 2
N 1
N
A
B
C
D
【证明】
引理 △ABC 中，记外心O 关于BC 边的对称点为O ′，则九点圆心Ni 是A O ′的中点。 （证略）
O'
Ni
O
A
B
C
如下图，作A 、O 、O 1、O 2诸点关于BC 边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形。再以A 点为位似中心，作1/2的位似变换，即可知所得到点H 、N 、N 1、N 2一定共圆。（且顺便得知所共圆的大小恰是Salmon 圆的一半！）
再在Salmon 圆上取A ″，使AA ″∥BC 。因此O ′E 所在直线是AA ″的中垂线。作A ″关于BC 边的对称点A ″′。易知AA ″′的中点恰是E ，于是E 也在上述位似后的圆上。
A'
A''A'''O'1
O'2
O'
E O'
O 2
O 1
O
H N 2
N 1
N
A
B C
D
5．四边形ABCD 中，P 点满足∠PAB ＝∠CAD ，∠PCB ＝∠ACD ，O 1、O 2
分别是△ABC 、△ADC 的外心。求证：△PO 1B ∽△PO 2D 。
（叶中豪提供）
O 2
O 1
P
A
B
C
D
【证法1】（田廷彦提供）
Q
O 2
O 1
P
A
B
C
D
如上图，延长CP 交△ABC 的外接圆于Q 。连接QA 、QB 、QO 1、AO 2。
在等腰△O 1BQ 和等腰△O 2AD 中，由于∠BO 1Q ＝2∠BCQ ＝2∠ACD ＝∠AO 2D ，故△O 1BQ ∽△O 2AD 。………①
又在△PAQ 中，由正弦定理
()()()()21
12
sin sin sin sin sin sin sin sin sin 180/sin sin sin /PAB BAQ DAC BCQ DAC DCA PQ PAQ PA PQA CBA CBA CBA CDA AC R R CDA CBA
CBA AC R R ∠+∠∠+∠∠+∠∠====∠∠∠∠-∠∠=
=
==
∠∠其中R 1、R 2分别是△BAC 和△DAC 的外接圆半径。
而12sin BQ R BCQ =∠，
22sin DA R ACD =∠，
故
1
2
R BQ DA R =
。 由此
PQ BQ
PA DA
=
， 又∠BQP ＝∠BAC ＝∠PAD ， ∴ △PQB ∽△PAD 。………②
由①、②，即可知O 1、O 2是相似三角形PQB 和PAD 中的对应点，从而得△PBO 1∽△PDO 2。证毕。
【证法2】（柳智宇提供）
柳智宇证法
C'
A'
O 2
O 1
P
A
B
C
D
如下图，延长AP 、CP 分别交△ACD 的外接圆于C ′、A ′。
首先证明△DA ′C ′∽△BAC ，而O 1、O 2分别是这两个三角形的外心。然后说明P 是这对相似三角形中的自对应点，从而△PBO 1∽△PDO 2（具体过程略）。
【证法3】（邓煜提供）
见下图，在AB 上取点Q ，使得△APQ ∽△ADC （具体过程略）。
邓煜证法
Q
O 2
O 1
P
A
B
C
D
重心坐标
{}123::μμμ
其余三点的坐标分别为：
{}123::μμμ-，{}123::μμμ-，{}123::μμμ-。
直线d ，d 1，d 2，d 3的坐标分别为：
123111::μμμ??????，123111::μμμ??-????，1
23111::μμμ??-????，123111::μμμ??
-????。 易算出Newton 线d 0的坐标为：2221
23111::μμμ??
????。