第二章 函数
2.1.1函数 知识疏理：（一）变量与函数的概念
【1.】 变量的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y,如果给定了一个x 值，相应的就确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数。 叫自变量， 叫因变量。 例1、s=πr 2 其中r 是 ，s 是 。例2、 I =
220
R
其中R 是 ，I 是 。 【2】函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数。记作：y=f(x) , x ∈A 。x 叫----。 【3】 定义域：函数中自变量x 的允许取值范围 例3、求下列函数的定义域： 1
）y x =
2
）y 3）
f(x 【4】、 函数的值域：如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值， 记作：y=f(a), 或y ︱x=a ，所有的函数值构成的集合{y ︱y=f(x),x A ∈},叫做这个函数的值域。 例4、求函数2
1
()1
f x x =
+，x R ∈，在0,1,2x =处的函数值和函数的值域。 例5、已知函数f(x)=1－2
x ,求f(0), f(-2), f(15)。
【5】、 函数的三要素：
关于函数定义的理解：定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体，值域由定义域、对应法则唯一确定；②f (x )与f (a )不同：f (x )表示“y 是x 的函数”;f (a )表示特定的函数值。常用f (a )表示函数y =f (x )当x =a 时的函数值；③f(x)是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 的对应函数值，是一个整体符号，不能分开.符号f 可以看做是对”x ”施加的某种运算步骤或指令.例如，f(x)=3x 2，表示对x 施加“平方后再扩大3倍”的运算。函数还可以用g(x), F(x)来表示.④函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，解析式后如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x 的集合，如果函数是由几个部分组成，那么函数的定义域是使各部分有意义的交集，在研究实际问题时，函数的定义域要受到实际意义的制约.
例6 判断下列命题正确与否：
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应.
2、函数的定义域和值域一定是无限集合.
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定.
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.
5、对于不同的x , y 的值也不同.
6、f (a )表示当x = a 时，函数f (x )的值，是一个常量. 例7：求函数的解析式1）已知函数f(x)=2
x ，求f(x-1)。2）已知函数f(x-1)=2
x ，求f(x)。 【6】、如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？ （1）定义域和对应法则是否给定； （2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y. 【7】、区间的概念：设,,a b R ∈且a
例8、分别满足,,,x a x a x a x a ≥≤＞＜的全体实数的集合分别记作： --， -， ---。 注意：在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示。 【8】、相同函数：函数与函数之间只要定义域和对应法则都相同，就是同一函数. 定义域是函数的灵魂，而对应法则相当于骨骼。
例9 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)=x ，?
; (2)2y y ==;
(3)y =
y =
y =
,y =例10 ：求下列函数的定义域：
(1)y =
(2)y =
(3)已知函数f(x)=3x －4的值域为[－10，5]，则其定义域为 例11： 求函数f(x)=3x －1(｛x|11x x Z -≤≤∈且｝)的值域。 例12：已知函数f(x)=
x
ax b
+(a,b 为常数，且a 0≠)满足f(2)=1,方程f(x)=x 有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f[f(-3)]的值。
【快乐体验】下列每对函数是否表示同一函数？1. (1)ｆ（ｘ）＝0(1)x +，ｇ（ｘ）＝１.（2）ｆ（ｘ）
3）ｆ（ｔ）＝t t
2.求下列函数的定义域，并用区间表示（1）ｆ（ｘ）＝
1
2
x -.（2
（3
1x
.（4）f(x)
＝2x +
3．设ｆ（ｘ）＝
11x x -+，则ｆ（ｘ）＋ｆ1()x ＝Ａ．11x x -+ Ｂ． 1
x
Ｃ． １ Ｄ． ０ 4. 当定义域是
时，函数ｆ（ｘ）＝
5、求函数ｙ＝2
67x x -+的值域。
6、设函数221,1,1
()()(2)2, 1.15278A........B.-........C..........D.18
16169
x x f x f f x x x ?-≤=?+->?
则的值为（ ）
7、已知函数ｆ（ｘ）＝
2
6
x x +-当ｘ＝４时，求ｆ（ｘ）若ｆ（ｘ）＝２，求ｘ的值。 8、（1）若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域； （2）若函数f （3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域. 9、设 f (x )=2x -3 g (x )=x 2+2 则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。 求复合函数f[f(x)]和g[g(x)]并指出这两个函数的自变量是什么? 10、若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+
=x f y )4
1
(-?x f 的定义域。 （二）映射与函数
1、映射的定义：设Ａ.Ｂ是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应法则f ，使对于集合Ａ中的任意一个元素x ，在集合Ｂ中都有唯一确定的元素y 和它对应，那么就称f ：Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一个映射，记作y ＝ f(x)，x ∈Ａ．这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，x 称作y 的原象.
2、一 一 映射： 如果映射f 是A 到B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素，在集合A 中都有且只有一个原象，则这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射.函数是数集到数集的映射. 【自主测评】：1、在下列集合E 到集合F 的对应中，不．能构成E 到F 的映射是（ ）
2、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A → B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n+4，则在映射f 下，象20的原象是（ ）6 B 、7 C 、8 D 、9
3、设f:A →B 是集合A 到集合B 的映射，下列命题中是真命题的是（ ）
A. A 中不同元素，必有不同的象；
B. B 中每一个元素，在A 中必有原象；
C. A 中每一个元素在B 中必有象；
D. B 中每一个元素在A 中的原象唯一.
4、已知映射f:A →B 的对应法则是f:(x,y)→（x+y,x-y ）(x,y ∈R),那么与B 中元素（2,1）对应的A 中元素是（ ）A. (3,1) B. (
31,22
) C. (31
,-22) D. (1,3)
5、已知集合A={a,b},B={1,2,3},则从A 到B 的不同映射有几个？从B 到A 的不同映射有几个？
A 到
B 上的一一映射有几个？
6、下列对应是不是从A 到B 的映射？
(1)A=B=N ,:3;
1
(2),,:;
(3){12},{25},:2.
f x x A N B Q f x x
A x x
B y y f x y x *→-==→=≤≤=≤≤→= 2.1.2函数的表示方法
知识疏理：问题1下面是我国解放后五次人口普查数据表
这张表中，所表示的函数定义域为-----------------------，值域为------------------------
1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．
问题2：y = 2x + 1的图象能否表示一个函数？为什么？
2、图象法：如果图形F 是函数)(x f y =的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫做图象法．
问题3：我们在作函数y = 2x + 1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y = 2x + 1这种表示方法则叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？ 3、解析法：如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法．（也
称为公式法）。再比如y=x 2, s=4.9t 2等等.
4、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，
这样的函数通常叫做分段函数。
例1：国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
1. 信函质量不超过100g 时,每20g 付邮资80分,即信函质量不超过20g 付邮资80分,信函质量
超过20g,但不超过40g 付邮资160分,依此类推;
2. 信函质量大于100g 且不超过200g 时,每100g 付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过
200g 付邮资(A+200)分,(A 为质量等于100g 的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g 付邮资(A+400)分,依此类推.设一封x g(0 例2. 设x 是任意一个实数，y 是不超过x 的最大整数，试问x 和y 之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象。 解：对每一个实数x ，都可以写成等式：x =y +a ，其中y 是整数，a 是一个小于1的非负数，例如，6.48=6+0.48，6=6+0，－1.35=－2+0.65，－12.52=－13+0.48，……， 这个“不超过x 的最大整数”所确定的函数记为 y =[x ].例如，当x=6时，y=[6]=6； 当x=π时，y=[π]=3； 当x=－1.35时，y=[－1.35]=－2. 如下图所示 例3画出函数y =∣x ∣与函数y=∣x －2∣的图像 例4、如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x ，面积为y ， 把y 表示为x 的函数。 例5、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5km 以内（含5km ），票价2元； （2）5km 以上，每增加5km ，票价增加1元（不足5km 的按5km 计算）如果某条线路的总里程数为20km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像 【快乐体验】（同学们，会了不等于做对！） 1. 画出函数y=2 23x x --的图像 2. 已知函数f （x ）=2 2(1) (12)2(2) x x x x x x +≤-??-< ，若f （x ）=3，则x 的值是 C.32， 1 D. 3、如图示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，由点B （起点）沿折线BCDA 向点A （终 点）运动，设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y 。 （1）求y 与x 的函数关系式y=f （x ）；（2）画出函数y=f （x ）的图像； 同学们，做对了不等于得满分，注意规范步骤哦！ 4、甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A 城出发到B 城旅游．甲、乙两人离开A ?城的路程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？ 参考答案： 根据图象能得到甲、乙两人旅游的以下一些信息： 1．甲骑自行车从A 城去B 城用了8个小时．乙骑摩托车从A 城去B 城用了2个小时． 2．甲比乙早4个小时出发，晚2个小时到达． 3．甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了40千米，第二个2小时内行驶了20千米，然后停留了1个小时，又在1个小时内行驶了20千米，最后用2个小时行驶了20千米完成全程到达B 城． 4．乙骑摩托车在2小时内行驶了100千米路程到达B 城． 5．甲、乙在距A 城60多千米的地方相遇一次． 5、对于每个实数x ，设函数f(x)取y=x+2,y=2,y=-2x+4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求函数f(x)的最大值. 6、函数f(x)=2(010,(0).x x x ?? ??? ＞）， ，（x=0）,＜画出函数图像，指出这个函数的定义域，值域，并求f{f[f(-3)]}的值. 7、函数f(x)满足13,(2000,), (),(2009).[(18)].(2000,)n n n N f n f f f n n n N +≤∈+? =? -∈+?试求的值＞ 2.1.3 函数的单调性 【知识疏理】 增函数与减函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间M A ，如果取区间M 中的 x 1、x 2，改变量△x= ,则当△y= 时，就称函数y=f(x)在区间M 上是增函数，当△y= 时，就称函数y=f(x)在区间M 上是减函数。如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有 ，区间M 称为 。 由此可知，在上面的函数中y=2x 的单调 区间是 ，y =－x 的单调 区间是 ，y=x 2 ＋1 的单调减区间是 ，单调增区间是 。 例1、如图，已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数。 【典例示范】（重点难点都在这里） 例2、（1）证明函数f(x)= 1 x 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数。 （2）证明函数f （x ）=－x 2 在（－∞，0）上是增函数。 （3 ）证明函数()f x = [0，＋∞）上是增函数。 例3、画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间。⑴y=|x|－1 ⑵y=|x －1| 【合作探究】（合作着，快乐着，提高着） 1、在函数单调性的定义中，所取的两个变量x 1,x 2应具有什么特征？ 2、在函数单调性的定义中，提到的是“区间M ”，对照引入中大家画的四个函数图象，你能举例说明单调区间M 和函数定义域是什么关系吗？是否每个函数都有单调区间？ 3、简单地说，单调性是先已知区间M 上任意两个自变量的大小，再得到对应函数值的大小，通过比较两者的大小关系是一致（或相反）来定义了增函数（或减函数）。 4、若函数f(x)在区间M 上是增函数，则图象在M 上的部分从左到右呈 趋势， 若函数f(x)在区间M 上是减函数，则图象在M 上的部分从左到右呈 趋势。 5、你掌握了哪几种判断函数单调性的方法？ 【快乐体验】（走出教材，你真有长进啦） 1. 已知函数()().f x f x = 求的单调区间 2.画出函数2 23.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间 3、求证：函数1 y x x =+ 在区间（0,1]上是减函数，在区间[1，＋∞）上是增函数。 4用函数单调性的定义证明： 3 1()22334 4 (3,). 3 f x x x x x =-++∞+-+∞+（）函数在（-，）上是增函数； （2）函数f(x)=在上是减函数 5已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2) 6、讨论函数21)(x x f -=的单调性。解：定义域 {x |-1≤x ≤1} 在[-1,1]上任取x 1,x 2且x 1 则 2 1 11)(x x f -=2 2 21)(x x f -=则 )(1x f -2 22 1 211)(x x x f ---==22 2 1 22 21 11)1()1(x x x x -+---- = 22 2 1 121222 2121 2211))((11x x x x x x x x x x -+--+= -+-- ∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112 22 1>++ +x x ∴若-1≤x 1 若 x 1 【小结】（1）利用定义证明函数f(x)在给定的区间M 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈M ，且△x=x 2-x 1>0；②作差△y=f(x 2)－f(x 1)；③变形定号（即判断差f(x 2)－f(x 1)的正负）；④得出结论（即指出函数f(x)在给定的区间M 上的单调性）． 巩固判断题： 1、已知 2、若函数 3、因为函数 在区间上 都是减函数，所以 在 上是减函数。 （2）特别强调两点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数及图像为孤立点的函数)． 【方法技巧】㈠利用单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x 1) 12121212,(),), ., (),), . x x f x a b a x b a x b x x f x a b a x b a x b < >?? < 若在（上是增函数，则有若在（上是减函数，则有 ㈡复合函数[()]y f g x =在定义域上的单调性符合同增异减的规律. ㈢函数的最值与单调性的关系：若函数在闭区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);若函数在闭区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最小值f(a),最大值f(b). 2.1.4函数的奇偶性 1.作出函数f(x)=2 x 和g(x)=3 x 的图像，观察图像的对称性。1s ：列表 1 (),(1)(2),()f x f f f x x =-<因为所以函数是增函数。(]()()()1223()13f x f x 在区间，和，上均为增函数，则在，上为增函数。1()f x x =(,0)(0, )-∞+∞和1()f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 2s ：描点作图 由图像可知，()y f x =的图像关于 对称，用式子可表达为--------。 ()y g x =的图像关于 -------对称，用式子可表达为 -----------。 3. 奇函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x , 都有-x ∈D , 且f(-x)= - f(x), 这个函数叫做奇函数.奇函数和它的图像特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图 像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 4. 偶函数的定义： 设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x , 都有-x ∈D , 且f(-x)= f(x), 这个函数叫做偶函数.偶函数和它的图像特征：如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像 是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数. 5. 函数根据奇偶性可分成四类： . 【练习探究】1、判断函数的奇偶性：（1）53()f x x x x =++ （2）2()1f x x =+ （3）()1 f x x =+（4）2 (),[1,3]f x x x =∈- （5 ）()f x = （6 ）()f x =（7）()22f x x x =+-- （8）2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ?++ ==??-+->? 2、研究函数21 y x =的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图像 【巩固拓展】1、已知()f x 为R 上的奇函数，且当x (0,)∈+∞时， f(x)=(1x ,求f(x)。 2. 已知函数()f x 对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断函数的奇偶性 3：已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2 ()f x x x =-，求0x <时函数的解析式. 【快乐体验】1、下列说法中，不正确的是（ ） A. 图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B. 奇函数的图像一定经过原点 C. 偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数 D.图像关于y 轴成轴对称的函数一定是偶函数 2、若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（ ）。 A.2 [()]y f x = B.(2)y f x = C.()y f x = D.()y f x =- 3、已知函数①()44f x x x =+--；②3()35f x x x =-+ ；③()f x = 则（ ）A. 都是偶函数 B. 都是奇函数 C. 仅②是偶函数 D.仅①是奇函数 4、已知()f x 为偶函数，当0x >时，()(1),f x x x =-则0x <时，()f x =（ ） A.(1)x x -+ B.(1)x x + C.(1)x x -- D.(1)x x - 5、若2(1)23y m x mx =-++是偶函数，则m = 6、已知53()8f x x ax bx =++-，若(2)f -=10，则(2)f = 7、定义在R 上的两个函数中，()f x 是偶函数，()g x =奇函数，并且2()()(1),f x g x x +=+ 则()f x = ，()g x = 。 8、已知函数)(x f 在R 上是奇函数，并且在()+∞,0上是减函数，试说明函数)(x f 在()0,∞-上是增函数还是减函数？ 【方法技巧总结】： （1）求给定区间上的解析式时，首先要设这个区间上的x ，然后把x 转化为-x, - x 为另一已知区间上的解析式中的变量，通过奇偶性转化，求得所求区间上的解析式； （１） 对于奇函数f(x),有函数图像关于原点对称；②在关于原点对称的区间上单调性相同； ③若在x=0处有定义，则必有f(0)=0. (3)对于偶函数f(x)，有① 函数图像关于y 轴对称； ① 在关于原点对称的区间上单调性相反； f(-x)=f(x)=f(x ) (4)对于同一定义域上的两个奇（偶）函数，有 ①两个奇函数的和或差仍为奇函数； ②两个偶函数的和或差仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数； ② 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）利用奇偶性定义的变式证明函数的奇偶性 对于函数f(x),若满足f(x)+f(-x)=0,则f(x)是奇函数；若满足f(x)-f(-x)=0,则f(x)是偶函数. （6）一个函数是奇函数或偶函数，定义域必须关于原点对称；有的函数既是奇函数，又是偶函数. 如： y=0, x ∈R; y=0, -1 （7）任何一个定义在R 上的函数都可以写成一个偶函数和一个奇函数的和. 2.2.1一次函数的图像和性质 【一次函数的性质与图像】1）一次函数的概念：函数 叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为 。2)一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ，其中k 叫做该直线的。b 叫做该直线在y 轴上的 。3）一次函数的性质（1）函数值的改变量 与自变量的改变量12x x x -=?的比值等于常数 。（2）当k >0时，一次函数是增函数；当k <0时，一次函数是 。 （3）当 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 时，它既不是奇函数也不是偶函数。（4）直线y kx b =+与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。 探究：直线1y kx b =+与直线2y kx b =+的位置关系如何？ 【典例示范】 例：画出函数21y x =+的图像，利用图像完成下述问题：求方程210x +=的根；求不等式210x +≥的解集；当0y ≤时，求x 的取值范围；当33x -≤≤时，求y 的取值范围；求图像与坐标轴的两个交点的距离；求图像与坐标轴围成的三角形的面积。 【快乐体验】1、下列说法正确的是（ ）A 、函数b kx x f +=)(为一次函数B 、函数 )0(,)(≠+=b b kx x f 的图像是一条是与x 轴相交的直线C 、函数b kx x f +=)(的图像是一条是与x 轴相交的直线D 、函数)0()(≠+=k b kx x f ， 是一次函数 2、函数的解析式为270x y -+=，则其对应直线的斜率与在y 轴上的截距分别为（ ） A. 12, 72 B 1, 7- C 1, 72 D 17 ,22 - 3、若3 32 )1(+--=m m x m y 是一次函数，则A 、1=m B 、2=m C 、1>m D 、1=m 或2=m 4、若函数(23)(31)y m x n =-++的图像经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围分别是（ ）A 31,23m n > >- B 3,3m n >>- C m<31,23n <- D 31 ,23 m n >< 5、如果,0,0<>bc ab 那么一次函数0=++c by ax 的图像的大致形状是（ ） A B C D 6、函数 (的图像不可能是（ ） A B C D 7、过点)2,1(-A 作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、函数[]3,1)(∈+=x b kx x f ，的值域为[]7,5则k= ，b= 。 9、函数b x k x f ++=)12()(在()+∞∞-,上是减函数，则k 的范围是 。 10、一次函数)32()1()(++-=m m x f 在[]2,2-上总取正值，则m 的取值范围是 。 11、已知直线l 的斜率为 6 1 ，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程。 12、解答下列各题：（1）、求函数)21(,23≤≤--=x x y 的值域。（2）、函数b x a y ++=)23(是 减函数，求a 的取值范围。（3）、函数12)(-+=a ax x f 在[]1,1-上的值有正有负，求a 的取值范围。（4）、直线m x m y 21)2(-+-=的图像不经过第二象限，求实数m 的取值范围。 2.2.2二次函数的性质和图像 【二次函数的性质与图像】 1）定义：函数 叫二次函数，它的定义域是 。特别地，当0b c ==时，二次函数变为 （0)a ≠。2）函数2 (0)y ax a =≠的图像和性质：（1）函数2 (0)y ax a =≠的图像是一条顶点为原 点的抛物线，当0a >时，抛物线开口 ，当0a <时，抛物线开口 。（2）函数2(0) y ax a =≠为 （填“奇函数”或“偶函数”）。（3）函数2 (0)y ax a =≠的图像的对称轴为 。3）二次函数2 ()()f x a x h k =-+的性质（1）函数的图像是 ，抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的 对称轴是直线 。（2）当0a >时，抛物线开口向上，函数在 处取得最小值 ；在 区间 上是减函数，在 上是增函数。（3）当0a <时，抛物线开口向下，函数在 处取得最大值 ；在区间 上是增函数，在 上是减函数。4）二次函数的图像如果和x 轴有公共点，则可以表示为两根式，即 f(x)=a(x-x 1)(x-x 2) 其中x 1,x 2图像与x 轴交点的横坐标. 【典例示范】：例1：将函数2 361y x x =--+配方，确定其对称轴和顶点坐标，求出 它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像。 例2：二次函数()f x 与()g x 的图像开口大小相同，开口方向也相同。已知函数()g x 的解析式和() f x 的顶点，写出符合下列条件的函数()f x 的解析式。函数2() g x x =，()f x 的图像的顶点是（4，7-）; 函数2()2(1)g x x =-+，()f x 图像的顶点是(3,2)-。 例3、求函数2y ax bx c =++的值域和它的图像的对称轴，并说出它在那个区间上是增函数?在那 个区间上是减函数？ 【归纳总结】二次函数图像的作法，常用五点法或三点法；二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）中系 数a,b,c 的作用：（1）a 决定抛物线的开口方向和开口大小.a>0,开口向上，a 越大开口越大；a<0,开口向下，a 的绝对值越大，开口越大（2）a,b 决定抛物线对称轴的位置.b=0时函数为偶函数. （3）c 决定抛物线于y 轴交点的位置，c=0时抛物线过原点. （4）判别式△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数. △>0时，抛物线与x 轴有两个交点；△=0时，抛物线与x 轴只有一个交点；△<0时，抛物线与x 轴没有交点.（5）在求二次函数的最值时，需注意函数的定义域，若定义域是区间[m,n],则最大值、最小值不一定在顶点处取得，要看对称轴所在的位置，要结合图像，利用函数的单调性来求解，若是区间或对称轴的位置不定，需分类讨论求解，请多多留意. 【快乐体验】： 1、已知函数c bx ax y ++=2，如果c b a >>，且0=++c b a ，则它的图像是（ ） 2、函数）（0,0,02 < <>++=c b a c bx ax y 的图像顶点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、二次函数)(x f y =的图像过原点，且顶点为)8,2(-，则=)(x f （ ） A 、x x 822 -- B 、x x 822 - C 、x x 822 + D 、x x 822 +- 4、一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2 在同一坐标系中的图像大致是（ ） 5、已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ，若0)( A 、正数 B 、负数 C 、零 D 、符号与a 有关 6、若函数2()32(1)f x x a x c =+-+在区间(,1]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A (,2]-∞- B [2,)-+∞ C (,2]-∞ D [2,)+∞ 7、函数2(23,y x x x =--≤≤且)x z ∈的值域是 。 8、如果二次函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,2 1(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是。 9、抛物线226y x x c =++与x 轴有两个交点，且两个交点间的距离为2，则c = 10、已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，求m 的取值范围。 2.2.3待定系数法1、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写 为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来 确定变量之间关系的方法叫做 。 2、两个一元多项式分别整理成标准式之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个 多项式相等，如: ??? ? ?? ??++=++'''22c x b x a c bx ax 3、二次函数解析式形式有哪几种？ （1）、 ；（2）、 ；（3）、 。 1、已知一个二次函数5)2(,4)1(,5)0(),(=-=--=f f f x f ，求这个函数。 2、已知)(x f y =是一次函数，且有1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-f f f f ，求这个函数的解析式。 1、 已知x ∈R 时，都有2x 2+x-3≡(x-1)(ax+b) , 求a,b. 2、 抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交于点)0,3(-A ，对称轴1-=x ，顶点C 到x 轴的距离为2，求 此抛物线的解析式. 【基础训练】1、已知一次函数过点（10，ａ）与（2 9,23），且其对应直线的斜率为３，则a 的值为】 Ａ． 2 3 Ｂ．30 Ｃ．10 Ｄ．15 2、已知一个一次函数的图像过点)4,3(),3,1(，在这个函数的解析式为（ ） Ａ．2521-= x y Ｂ．2521+=x y Ｃ．2521+-=x y Ｄ．2 521--=x y 3、已知一个二次函数经过)3,2(),0,1(),0,1(-点，则这个函数的解析式为（ ） Ａ．12-=x y Ｂ．21x y -= Ｃ．1212+- =x y Ｄ．12 1 2-=x y 4、已知函数f （ｘ）＝c bx ax ++2 （0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ++=23)(是（ ） Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．可能是奇函数也可能是偶函数 Ｄ．不是奇函数也不是偶函数 5、二次函数1422+-=x x a y 有最小值－１，则ａ的值为（ ） Ａ．2 Ｂ．－2 Ｃ．2± Ｄ．2± 6、如果二次函数12++=bx ax y 的图像的对称轴是1=x ，且通过点)7,1(-A ，则a ，b 的值分别是（ ）Ａ．2，4 Ｂ．2，－4 Ｃ．—2，4 Ｄ．—2,—4 7、函数132++-=x ax ax y 的图像与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为（ ） Ａ．0 Ｂ．0或1 Ｃ．0或1或9 Ｄ．0或1或9或12 8、已知)(,2))(()(b a b x a x x f <---=，并且βα,是方程0)(=x f 的两根，则实数βα,,,b a 的大小关系可能是Ａ．βα<< 9、若不等式22 ++bx ax ＞０的解集是? ?? ???<<- 3121|x x ，则ａ－ｂ的值是（ ） Ａ．10 Ｂ．14 Ｃ．－10 Ｄ．－14 10、二次函数c bx x y ++=2 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为 122+-=x x y ，则b= ，c= 。 11、已知c bx ax x f ++=2 )(，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，则=)(x f 。 12、已知偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，试比较)4 3(-f 与 )(),1(2R a a a f ∈+-的大小。 13、已知Ａ＝{} 0|2≤++q px x x ，Ｂ＝? ?? ??? >--013| x x x ，且R B A =?，{}43|≤<=?x x B A ，则ｐ，ｑ的值分别为（ ） Ａ．ｐ＝－３，ｑ＝４ Ｂ．ｐ＝３，ｑ＝－４ Ｃ．ｐ＝－５，ｑ＝４Ｄ．ｐ＝５，ｑ＝４ 14、若函数3)2(2+++=x a x y ，ｘ[]b a ,∈的图象关于ｘ＝１对称，则ａ＝ ，ｂ＝ ． 15、已知二次函数bx ax x f +=2)(（ａ，ｂ是常数，且ａ≠０）满足条件：)2(f ＝０，方程) (x f ＝ｘ有两个相等的实根．（１）求)(x f 的解析式；（２）问是否存在实数ｍ，ｎ()n m <，使)(x f 的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2，如果存在，求出ｍ，ｎ的值，如果不存在，说明理由． 2.3函数的应用（1） 1、 常见数学模型直线模型（k>0,k<0）;二次函数模型（高考永恒的主题）； （１） 分段函数模型（在实际问题中具有广泛应用）. 2、 解函数应用问题的基本步骤 第一步，阅读理解，认真审题（要正确理解题意，充分挖掘条件）； 第二步，引进数学符号，建立数学模型（函数思想，方程思想，实际问题数学化）； 第三步，利用数学方法解答数学模型问题； 例1、 某产品按质量分为10个档次，生产第一档（即最低档次）的利润是每件8元，每提高一 个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件，问在同样的时间内生产哪一档次的产品的总利润最大？有多少元？ 例2、 有300m 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，围成一块矩形 菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ 例3、 某商场经营一批进价为12元/个的小商品，在四天的试销中，对此商品的单价 （1） 能否找到一种函数，使它反映y 与x 的函数关系？若能，写出解析式。 （2） 设经营此商品的日销售利润为p （元），求p 关于x 的函数解析式，并指出当此商品的销售价 每个为多少元时才能使日销售利润p 取最大值？最大值是多少？ 例4、 某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行 驶路程多少，均收费10元（即起步费），4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元。试写出收费金额f 与打车路程s 之间的函数关系（其它因素产生的费用不计）。 2.4.1函数的零点 1、引入：已知二次函数○ 1函数26y x x =--，试求当y=0时的x 值，并画出其图象，由图象观察当x 在何区间上使得y>0？y<0？。 2、零点的定义：一般地，如果函数))((D x x f y ∈=在实数α处的值等于，即 ，则α叫做这个函数的 。在坐标系中表示 。3、二次函数的零点：（１）△＞０，方程02 =++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有-．（２）△＝０，方程 02=++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有一个．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无 二次函数的图象与x 轴无，二次函数无 4、二次函数零点的性质：当函数 图象通过零点且穿过x 轴时，函数值 ;两个零点把x 轴分成三个区间，在每个区间上所有函数值； 如果一个二次函数有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号 。 【合作探究】1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的是否一定有零点，判断依据是什么 2、函数的零点与方程的根、函数图象与x 轴交点的关系：函数)(x f y =有零点?方程0)(=x f 有 ?函数)(x f y =的图象与x 轴 ． 3、函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点即求 。 4、二次函数零点两侧的函数值有何变化？零点将x 轴分成几个区间，在每个区间上函数值有何特点？分别以下列函数为例说明①122+-=x x y ；②223y x x =--+；③322 +-=x x y 。 【典例示范】例1、求下列函数的零点： ①220y x x =--+；② 32 332y x x x =+++；③()()22 2 32y x x x =-++ 例2、求函数32 22y x x x =--+的零点，并画出它的图象。 选作题）例3、已知函数()()2 ()2366f x k x k x k =--++若函数恒有零点，求实数k 的取之范围， 若函数有两个小于零的零点，求实数k 的取之范围。 【快乐体验】1、函数2 23y x x =-++在区间（-1，3）内的函数值A ≤0 B ≥0 C<0 D>0 2．函数2 y x ax b =++有两个零点-1，6，则a ，b 分别为（ ）A5,6 B-5,6 C 5,-6 D -5,-6 3、3()21f x x x =--零点的个数为 （ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞ 5．已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________． 6、已知函数()221421y m x mx m =+++-，m 为何值时，函数的图象与x 轴有交点。
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