对高三数学复习教学的几点思考
泰州市教研室石志群
首先要说明的：生源很重要，但不是唯一的因素。好的生源不一定有好的质量，不一定好的生源也可以有好的质量：南通与泰州（不能说南通的人智商高于泰州人）；我们对近两个，特别是今年的考生的中考与高考成绩进行了全面、细致的比对，数据充分说明：这个结论仍然成立。
这说明：教学管理、教学策略是影响质量的重要因素之一。
换个角度再看一下：今年中考、近几年高考——教师在教学中起了什么作用？在哪些方面可能起作用？
高三数学复习是在学生已经学习了相关的数学内容、教学目标更加明确地指向高考的背景下进行的教学活动，因此，从课型上看，以复习课、习题课、作业（试卷）讲评课为主。由此，本人对高三数学复习提出了如下几点看法，只是个人的点滴思考，仅以此就教于读者。
1．准确定位教学目标
目标定位是教学的第一要素。这里的“目标定位”包括教学内容（知识点、方法技能甚至包括题型）、教学深度和广度（知识与方法、思维能力要求的层次）、教学的方法与策略等。海安中学介绍：备课组集体研究教学定位：目标具体化、可测试。
有了合理的目标定位，不一定有好的效果，必须建立目标达成度的评价制度。任何时候都要清楚：共有哪些知识、技能，掌握得如何。不能等到考试才发现（平时作业、周练的测试功能及相应的补救措施，不是评讲过了就解决好了问题）；要对每个阶段应该达成怎样的目标心中有数，并在教学的各个环节为实现相应目标做好设计和工作（强化“过关”意识，这是很多学校，包括初中的成功经验）。
事实上，教学质量的一个重要环节是质量监测（西方国家企业管理特别重视对运营状况的评估），这是进行教学定位与调整的重要依据。而学习状况的了解要重视两个方面：一是自我评价，就是通过有较高信度的测试卷（甚至作业）进行阶段性（甚至即时性）的评价；二是通过大样本的比较了解置于较大样本空间下的位置参数，从而作出更为客观、现时性的评价（这就是我们为什么要求大家参加全市性统测的原因）。即使卷子可能不合某些学校的意，但其效能却是不容
忽视的。
1．1课程目标决定教学内容
“教什么比怎么教更重要”所强调的就是要准确把握教学方向。从教学内容上看，就是哪些会考、考到什么程度和怎样考？比如，对照这么多年的高考试卷，平时我们所讲的很多题目，花费了大量时间，增加学习难度，却从未考过。我们有没有思考过：为什么不考？为什么有些内容我们认为不应该考（近两年江苏卷此类题还较多），但高考却考了？究竟是我们的思路错了还是高考命题专家们的思路出了问题？今年的复合函数、递推数列、已知三角函数值，求角；2011年的递推数列；2010年的点到平面的距离、轨迹等，应该怎么看？
个人观点：一方面，可能命题专家对中学内容，特别是《教学要求》不了解，而中学去的教师又难以坚持；二是对学习观，大学教师与中学教师存在冲突，比如：对解二次方程组、三元方程，大学教师认为学生应该会；三是我们对《课程标准》、《教学要求》理解有偏差：如“已知三角函数值，求角”等简单三角方程，高考已考过两次：2010年第10题“y=6cos x与y=5tan x图象交于点P……”与今年的第15题；四是《教学要求》自身存在矛盾，如既然不要求求点到平面的距离，为什么又要求求几何体的体积？
为了把握好教学的对路问题，一个有效的办法就是根据《课程标准》，将高考所有的考点都列出来，对每个考点的命题方向都列出来，并列出各个方向上的命题的视角（有能力的话，还可以对可能的拓展的视角进行预测），再在这些视角上确定我们的学生可能达到的水平与高度。以此为标杆，明确各部分内容、各
知识点的教学重点、具体选题。
1．2高考导向决定教学方向
高三复习的另一特点就是直接服务于高考，因此，教什么还要充分研究高考命题规律、惯性。新高考已经5次了，其中呈现的规律性的东西应该可以总结（包括特色、问题），甚至对穷途末路下的命题会出现的变态倾向都有可能加以预测。比如，我通过对这些年江苏高考卷分析，归纳出下面几个特点（不一定准确，仅供参考）：一是前一年反响较大的问题后一年往往矫枉过正（这从难度变化的波浪式轨迹、试题内容的选择上可以得到充分的体现）；二是对分类讨论问题特别青睐（分段函数多年出现、含参数的问题所占比例甚高、综合性问题往往通过参数的增加以提高难度）；三是“新定义”成为热点（这是近两年的一个趋势，以
前江苏卷对此似乎尽量回避。这种试题更加注重对数学语言的理解能力的考查）；四是试卷结构的“模式化”导致命题的固定化（从2008年新课程卷以来，也由于江苏文理合卷的特殊背景，试卷的结构、各章节内容的考查形式几乎完全固化）；五是最后两题保持较高的创新性（这是一个较好的做法，它保证了不形成热点）；六是高等数学的思想的下放（如2010年江苏卷第19（2）就是极限思想、2010年陕西理科卷第21题是高等数学知识的下放：曲线相切和凸函数等）。七是突出对主干知识的重点考查（如这几年对函数的考查始终定位在函数的单调性、函数图象等核心知识上）；八是关注数学本质是始终坚持的原则（如函数考查突出代数工具与几何背景的关系）；九是逐步呈现从单元向多元拓展的趋势（单一知识向复合型：从研究一个函数的单调区间到研究两个函数的单调区间；研究两个函数组合（分段）后的单调区间；单调区间上具有的性质（几何性质用代数关系表示）等等）。
还要注意：在高考常规考查内容上（如立体几何、三角、解析几何等方面）要适当高于近几年的高考难度。
也要注意高考命题中的一些“小花招”，过去认为其“小气”，但在“大气”不起来的情况下，就免不了小气了（就是楚云飞评价李云龙的话：不泛大手笔，有时也来些偷鸡摸狗的勾当）。
今年第10题：f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上f(x)=?????ax + 1，-1≤x<0bx +2x +1
，0≤x ≤1．f 其中a ，b ∈R ，f (12)=f (32)，则a +3b = 。隐含着f (-1)=f (1)。
理科附加部分也要引起足够的重视，不是指搞难，4选2一定不会难，但必须全面过关，对尖子生平面几何、不等式一定要搞，因为可以节省时间。概率、空间向量、数学归纳法是区分之所在，是能作为之处，特别要重视。计数是概率的基础，常规的题型要掌握。
不过，不能将高三复习完全变成大量地讲解和训练高考题与模拟题，特别是一轮复习，要将基本知识与技能的训练放在重要地位。比如象集合表示法、对象与集合关系等题目高考可能永远不会考到，但学生在这些地放却有可能被扣分（如填空题的结果表示）。同时，在复习过程中用好高考题，重点应该在高考题在方向引领上的作用、在复习思路上的导向作用，而其特别的技巧可能在相邻的
几年中重复的可能性不会很高。
运算技能是需要特别重视的，一是课堂上要对运算技能进行示范，让学生掌握算理，提高运算中的思维能力，二是强化对运算技术的训练（常规的、常用的运算技巧要强化训练，如变形中的组合技巧、整体观点、减元策略、转化策略等等，包括分解因式的技巧）。
如：当x >-1时，求S =（x +1）(1+2-x 2 )的极值。
分析：因为-1 则S 可化简为 S =2sin 2(t +π4 )+2sin(t +π4 ). 再令 sin(t +π4 )=m ， 则 S =2m 2+2m (0 所以S 的极大值为4。 还有，对于高考中的最后两题中的难点部分，我的观点是绝大多数学生没必要，事实已经说明，即使是尖子生又能有多大作为？就是偶尔有个别学生做出来了，也未必是教师的功劳！ 尖子生的教法可能更多地给予自由，提供更多的有价值的问题用以自主解决。要注意自主招生的对口训练。 1．3学生基础决定教学层次 一方面，要注意义务教育阶段教学内容与高中数学教学内容的脱节带来的学生数学知识结构的缺漏：从09年、10年、11年、12年江苏高考解析几何题可以看出二元二次方程组是必要的基础知识，但初中没有学习，高中教学内容中也完全没有；繁分式是这两年江苏高考试题解答过程中都出现（至少部分学生的解题过程中会出现），但初中与高中都不讲，这样的知识内容中还较多；在技能与能力方面落差同样很大，如高考对运算能力要求较高，而初中教学要求却很低，高中教师又认为这是学生应该具备的。值得重视的是，对于初、高中衔接内容，如果我们认为用到时补充一下就行了，将会是灾难性的后果，因为技能是需要训练的，没有足够的训练和多角度的训练，不可能形成熟练的技能。这里我强调一下：一是高一（包括军训）补充是一个做法；二是用到这部分内容时作必要补充（补充时作适当而足够的训练）。另外，高次方程、无理方程（能够转化型）要 强化。 另一方面，高一、高二的学习状况也是必须重视的方面。我最近在一所学校听课，教师非常认真讲了大半节课，但课堂练习显示出绝大多数学生没有掌握；前年我市一所高中校长将教师准备的教案上的内容在课前让学生做，最后正确率达到96%以上。这两个案例说明：过难或过易地教学定位都是无效教学。全面、准确地了解学生的学习现状，并将教学的起点基于学生的认知起点、教学的定位基于学生的能力基础，使学生得到其能够达到的发展水平是教学中非常值得重视的一个问题。由此我认为：靖江高级中学的“课前预习案、课上教学案、课后巩固案”有着较强的实用性，对学生把握教材基础知识、基本技能，做好上课准备，对教师了解学习状况，进行有针对性的教学都很有利。 1.4在“怎样想到的？”上下功夫 一模立体几何题：Array 1 这里有一个辩证的视角：套路与思路如何协调？ 套路很重要：一是对边缘生，主要靠套路得分；二是试卷上的75%的题还是要靠套路的，否则规定时间内肯定难以完成；三是并不是所有问题都有必然的思维逻辑引领的思路，“灵感”这个东西是远没有研究透的课题（这也是平时新授课教学中应该注意的问题：有探索性的课题，也有欣赏性的内容）；四是某些所谓的创新题也有“老影子”，如今年第18题，我已见过两次，看到就立即回想起见到过的“原型”，高考后与省泰中杨鹤云组长交谈时我提到这个题时他也立刻回忆起对应的陈题。 思路更重要：要考好学校的学生必须有思路。现实中有很多例子，如南通平时比我们高很多，高考并高不到那么多；朱占奎校长的案例（当然有多种可能： 学生自学能力相应会由此“倒逼”而增强）。原因可能是高考的创新题较多，所 以更客观、有更高区分度。 两者结合起来看：思路要自然（学生的视角下），套路不宜多。四星高中要 加强研究：使思路变套路；其他学科加强基础：套路用熟练（熟能生巧）。 2、教学过程要尊重认知规律 教学定位还必须充分考虑学生的认知习惯，不能以教师评价解题思路、思维方法的标准确定教学方法、解题方法。我曾经听一位教师评讲一道考题，其中有 这样一个子步骤：已知a n = 2n +13 ，求T n =a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-…+(-1)n -1a n a n +1。老师详 细地讲解了下面的方法：当n 为偶数时，令n =2m (m 为正整数)，则T n =T 2m = a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-…-a 2m a 2m +1=a 2(a 1-a 3)+a 4(a 3-a 5)+…+a 2m (a 2m -1-a 2m +1)= - 43 (a 2+a 4+… +a 2m )= - 43 ·a 2+a 2m 2 ·2m = - 19 (8m 2+12m )=-19 (2n 2+6n )。然后要求学生解决n 为奇数的情况。可能由于学生基础的关系，从学生做的情况看，效果很不理想。这说明，教师讲的方法学生可能没有真正理解，或者可能也懂了，但自已并不能运用。后来我看了学生的试卷，发现不少学生已经将T n 写成了 ∑=-++-n i i i i 1 21 9384)1(=4·12+8·1+39 -4·22+8·2+39 + 4·32+8·3+39 -…+（-1）n -14n 2+8n +39 的形式，其中部分学生将其分成了三组，分别将平方项、一次项、常数项归类、组合：上式= 49 [12-22+32-42+…+（-1）n-1n 2]+89 [1-2+3-4+… +(-1)n -1n ]+13[1-1+1-1+…+(-1)n -1] ，少数学生甚至已经对常数项、一次项求出了结果。我想，如果我们事先了解一下学生的思路，再在其基础上引导其向前走，效果可能会更好。 在进入高三之初要通过适当方式（如前面所讲的对各知识点命题方向的分析，选择恰当的题目构成目标测试卷），了解学生的知识基础、能力基础和认知基础，再制订切实可行的教学计划与教学方案。要根据学生的实际情况，合理设计层次渐进的发展过程。主要有两个方面，第一，不要追求一次到位，因为知识的学习、方法的掌握、能力的提高是需要时间与过程的。为此，我们可以通过作业设计、测试卷的设计，运用变式递进的方式逐步达成。第二，进度不要过快，在基础知识、基本技能方面，新授课教学和第一轮复习都要力求透彻理解、把握本质、熟练掌握。第三，教学过程中要多了解学生的思维状况（从提问中、作业中、测试中了解）、思维习惯、思维风格，以学生思维的起点为教学起点，以学 生的思维方式为分析的基础，因为只有基于学生的思维的教学才是最有效的。 对于技能要求比较高的题型（思路不难想到），如今年第11题：设α为锐 角，若cos(α+π6 )= 45 ，求sin(2α+π12 )，大部分学生都知道“变角”，问题是如 何变？能力达不到。建议帮助学生找到“通法”，只要机械操作即可（其实还是本质）。 3．要重视提高学生的问题表征能力 问题的表征能力不仅包括实际问题的数学表征（数学建模），而且在解决任何数学问题的过程中都存在。不仅包括数学对象的形式化的表征，也包括对研究问题的思维过程与认知方式的表征。从某种意义上说，数学解题能力与数学表征的能力密切相关。 3.1理解题意是正确表征的基础 读题的过程是理解题意的过程，读题也是对题目进行不同“表征”的过程，而表征方式是实现有效思维的重要方面。 比如，2011年江苏卷第14题：设集合A =｛(x ,y )|m 2 ≤(x -2) 2+y 2 ≤m 2｝， B ={(x ,y )|2m ≤x +y ≤2m +1}。若A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是 。 本题平均得分仅为0.05分（满分5分），通过对考生答案的分析，发现问题就在对题意的理解上。 理解的困难之一：不能将集合A 、B 进行几何表征（事实上，A 、B 分别表示坐标平面内的圆环面与带型； 困难之二：不能发现只要考虑大圆与带型区域的位置关系； 理解的困难之三：对集合A 的表征形式中隐含的“m 2 ≤m 2”这一制约条件 没有注意。 又如2012年第9题：在矩形ABCD 中，AB =2， BC =2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →=2，求AE →·BF →。 特别地，近年来，各省（市）的高考卷都对“新 定义”的数学对象为背景的问题非常青睐，加之定义 B C E 方式大多运用抽象的符号语言，从而增加了理解的难度。比如2011年江苏卷第20题全省均分仅2.83分（满分16分，第1小题满分4分），对简单的第1小题都做不起来的同学大多对问题没有理解，或者没有将抽象的集合语言表示的意义揭示出来。2012年第20（1）结构分析的思路应该容易想到（中等学生）： 正项数列满足a n +1=a n +b n a n 2+b n 2 ,b n +1=1+b n a n ，求证：｛(b n a n )2｝是等差数列。 3.2多维表征是思路产生的灵感源泉 对于一个数学对象，你能想到什么？也就是看到这个对象你能联想到怎样的东西？你能否根据你的联想用适当的方式将问题进行重新的表征？在遇到困难的情况下，你能否变换表征形式，调整思维方向？ 比如，对于问题“若不等式x 2 + ax +1≥0对一切x ∈(0，12]都成立，求实数 a 的最小值。”，其中对不等式“不等式x 2 + ax +1≥0”就有多种表征形式： 表征一：函数f (x )= x 2 + ax +1的图象在x 轴上方，于是原题转化为“函数f (x )= x 2 + ax +1的图像与x 轴交点位置的问题。” 表征二：函数f (x )= x 2 + ax +1的最小值非负，于是原题转化为“函数f (x )= x 2 + ax +1在区间（0，12]上的最小值非负的问题。” 表征三：将不等式等价变换为x 2 +1 ≥-ax ，从而可将问题表征为函数y 1 = x 2 +1图象不在函数y 2 = -ax 图象的下方，于是原题转化为“在区间（0，12]上，函 数y 1的图象不在函数y 2的图象的下方。” 表征四：将不等式等价变换为－a ≤x +1x (0 y = x +1x 在0 又如，1997年全国高考卷第24题：设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程 f (x )-x =0的两个根x 1，x 2满足0 （2）设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0 有考生能够解决，究其原因，在于学生习惯的表征方式是将目标式中的x 1、x 2、 x0用系数a，b，c表示（阅卷参考答案即如此），但这样表征后得到的式子很繁，变形转化较复杂，且要用到不等式放缩技巧，难度很大。如果注意到目标导向的作用，将f(x)用根x1、x2加以表征，则可得到非常简捷的思路： 对（1），因为f(x)-x=0的两个根为x1，x2，所以可设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，因而要证明的也就是0< a(x-x1)(x-x2) 要证0 a，因为x、x2均在（0， 1 a）内，且x 对（2），注意到x0= - b 2a，又由韦达定理知x1+x2= - b-1 a，所以x0= x1+x2 2 - 1 2a，所以只要证： x1+x2 2- 1 2a< x1 2，也就是要证明x2< 1 a，显然成立。 在思维受阻时，调整数学对象（这里是函数f(x)）的表征方式，顿觉柳暗花 明又一村！ 今年两次模考，都出现了函数综合题（恒成立问题），一模时很多学生用分离变量的方法处理，结果做不下去；二模时有些学生“吸取教训”，直接通过整体函数的最值进行研究，增大了难度。这里就有一个“表征”方式的选择与可行性预估的问题（当然，这种题不是好题，高考命题时总是尽可能避免的；同时也要注意：适当训练一下也是必须的，可以提高学生考试时的应变能力。顺便说一下：平时考试要适当地让学生见识不同风格的试卷，不要坚持认为：这种试卷不符号方向，完全不做。高考命题有很多偶然因素，我们都有有所应对） 3.3通过适当表征揭示内在联系 在做过题目“已知sinα= 1 3，求cos( α+ π 6)”后再让学生独立解决形如“已 知sin（x - π 6）= 1 3，求cos x的值。”多数学生是不容易想到思路的。我们通 常教给学生变角的技巧：cos x=cos[（x - π 6）+ π 6]=cos（x - π 6）cos π 6-sin（x - π 6） sin π 6=…，学生也能理解。如果教学中再强调“将所求角用已知角表示”的转化 思想，学生更可以弄清方法中蕴含的思想方法。 不过，如果我们将这一转化思想再用数学符号加以表征，更能够使学生认识到两个问题之间在本质上的一致性，同时也可以从技能层面上强化此“类”问题 的掌握的效果：令α= x - π6 ，则问题“已知sin （x - π6 ）= 13 ，求cos x 的值。” 亦即“已知sin α= 13 ，求cos(α+π6 )”。 当然，准确表征思维过程也是一种必要的能力，是保证“想到就能做到”、“会做的就不失分”的前提条件。这里有两个问题，一是准确理解和运用数学语言，二是对高考数学解题的规范性要求要充分了解。 这里就存在一个问题：表征的过程、规范性的表征过程在教学过程中是否作过“展示”与“示范”？为了提高课堂容量，只重视思路分析，不重视表征的展示的倾向可能需要改进。 4．要让学生把握本质 一是全面、准确理解数学知识，做到融会贯通。 如“三个二次”是常见问题，考试出现的频率非常高，今年第13题：已知函数f (x )=x 2+ax +b 的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f (x ) 又如今年第15题：在ΔABC 中，已知AB →·AC →=3BA →·BC →，（1）求证：tan B =3tan A ；（2）若sin C =55 ，求A 。 二是通法不怕繁。 （2012年江苏卷第18（3）题）设函数f (x )=x 3-3x ，h (x )=f (f (x ))-c ，其中c ∈ [-2，2]，求函数y =h (x )的零点个数。 分析 令f (x )=t ，先研究f (t )-c =0（c ∈[-2，2]） 的零点的个数。为此，我们先作出函数f (t )的草 图，再考察函数y 1=f (t )与函数y 2=c 的交点个数。 由导数方法可以作出函数f (x )的草图（如 图）。 根据图象可以看出： 当c ∈(-2，2)时，f (t )-c =0有4个零点，且零点均在[- 3 , 3 ]之间； 当c = -2时，f (t )-c =0有2个零点（一个为-1，另一个为2）； 当c=2时，f(t)-c=0有2个零点（一个为1，另一个为-2）。 下面研究t=f(x)的零点的个数： 当c∈(-2，2)时，f(t)-c=0有3个零点，且零点均在[- 3 , 3 ]之间，故由图象可知，使f(x)=t的x共有3×3=9个，即原方程共有9个零点； 当c= -2时，对应t= -1的x有3个，对就t=2的有两个，故共有5个零点； 同理，当c=2时，也是5个零点。 三是“直观化”成为习惯。 （2010年江苏卷第20（2）题）设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。 已知函数g(x)具有性质P（2）。给定x1,x2∈(1，+∞),x1 分析根据题意，存在函数h(x)，使得g′(x)=h(x)(x2-2x+1)成立，其中对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0。因为对x∈(1，+∞)都有x2-2x+1=（x-1）2>0，所以，当x∈(1，+∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在（1，+∞）上单调递增。 从图象上可以很容易地看出：函数g(x)在(1，+∞)上，包含在某个区间内部的子区间上函数值的增量的绝对值一定小于这个区间上函数值增量的绝对值,同时，当0 上述思路源于对函数图象上的直观分析，这说明：对于函数综合问题，图象表示对于表征函数的特性有着非常重要的作用。 5．要努力建构高效的教学模式 高三复习是在学生已经学习过相关知识的基础上的教学，因此，充分运用好学生的学习基础，将学生作为学习主体，在此基础上建构一套相对稳定的课堂教学模式，是能够在促进学生主动学习、让学生学会学习、使学生的学与教师的教有机整合等方面产生良好的效果的。下面重点介绍一种课堂教学的模式，供参考。 基本步骤（程序）：课前练习——课上检查——建构体系——拓展延伸——总结提炼——巩固发展 具体地说，就是布置预习任务，通过阅读教材复习相关知识内容，并在此基 础上解决几个最基本的问题。上课时，让学生分组交流、相互检验课前练习，并互相释疑。然后让学生报告各个练习的解决过程与所得结果，在汇报的过程中不断地将相关的知识、方法提炼出来。当练习都解决后，一张知识结构网络图就形成了（这要求设计练习题时要精心，题目不能难，要让所有学生通过阅读教材都能解决；题目还要全面覆盖本节课学习的知识和方法）。接着通过几个变式的、综合性、拓展性的问题发展学生对知识、方法的认识，促使其更加深刻地理解和认识、更加熟练和灵活地运用相应的知识与方法。再通过对前面内容的总结、概括，提炼出本节课的知识要点、思想方法，最后适当巩固（也可以课后进行）。下面给出一个课例（以苏州大学《中学数学月刊》编辑部：高中数学教学与测试（文科总复习）第45课时为例）： 课前预习： 阅读教材（苏教版高中数学课程标准实验教科书《数学（必修2）》）第2.2.2节“直线与圆的位置关系”（P101-103）。 课前练习： 1.已知圆C：x2+y2-4x=0，则直线y=x+2与圆C的位置关系是；直线x=4与圆C的位置关系是；直线y=x-1与圆C的位置关系是。 2.直线x+2y=0被圆x2+y2-6x-2y-15=0截得的弦长等于。 3.自点（-1，1）作圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线，则切线长为。 课上检查： 学生分组对照、交流解法，并通过互助方式帮助有困难学生解决问题。然后请部分学生汇报每个问题的解题过程、结果。 建构体系： 通过对这几个问题的解决过程的总结，得到判断直线与圆的位置关系的几种方法（方程法、几何法）、求直线被圆截得的弦长的方法（方程法、几何法）、求圆的切线长的方法（方程法及构造三角形法（即几何法））。 拓展延伸： 例1.已知直线l：5x+12y+a=0，圆C：x2+y2-2x=0。 （1）若l与圆C相切，求a的值； （2）若l与圆C相交，求a的取值范围； （3）若l与圆C相离，求a的取值范围； （4）若l被圆C截得的弦长为10 13，求a的值。 （本题将练习中的定直线变为动直线（平行直线族），增加了问题的综合性）。 例2.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：（2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0。 （1）求证：不论m取何实数值，直线l与圆C恒交于两点； （2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及取得最小值时的直线l的方程。 （本题中动直线为绕定点旋转的直线族，在运用基本方法时灵活性更强了，并且增加了新的方法：动中找静、变中找定的“不变性”思想。）例3.直线y=kx+2与曲线y=1-x2有且只有一个公共点，求k的取值范围。 （本题将圆变为半圆，在用方程思想处理时要求更高，但也更一般化了；在用几何方法解决时就不能抽象想像了，要具体画出图形，再进行动态分析）。 例4.过点M（2，4）向圆C：(x-1)2+(y+3)2=1引切线，切点分别为P、Q。 （1）求直线PQ的方程； （2）求切点弦PQ的长。 （本题将切线、切线长问题拓展到了切点弦问题，是几何与代数有机结合的综合性问题）。 总结提炼： （1）基础知识与基本方法：判断或处理直线与圆的位置关系的方法；处理弦长、切线长、切点弦长的方法。 （2）基本思想： 数形结合的思想，表现为两个方面：一是运用图形几何性质研究问题；二是运用方程研究问题。 不变性思想：挖掘隐含性质。 运动与变化的思维策略。 巩固发展： （略） 当然，教学模式的选择与教学内容、学生状况有密切关系，没有万能、通适的教学模式。 作业（试卷讲评）课：各家都要探索好的、高效的模式（泰兴一高）。 高三数学教学是一个非常大的课题，这里仅就几个小的问题谈了个人的看法，不当之处敬请指正。 工作计划：________ 高三数学教学计划 单位：______________________ 部门：______________________ 日期：______年_____月_____日 第1 页共7 页 高三数学教学计划 一、指导思想 高三数学教学要以《全日制普通高级中学课程计划》为依据，全面贯彻教育方针，积极实施素质教育。提高学生的学习能力仍是我们的奋斗目标。近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。高考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 二、教学建议 1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。 “基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。我们希望在复习课中要认真落实“五十次基础练习”，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中的能力培养。特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。 2、高中的‘重点知识'在复习中要保持较大的比重和必要的深度。 原来的重点内容函数、不等式、数列、立体几何，平面三角及解析几何中的综合问题等。在教学中，要避免重复及简单的操练。新增的内容：向量、概率等内容在复习时也应引起我们的足够重视。总之、高三的数学复习课要以培养逻辑思维能力为核心，加强运算能力为主体进行复习。 3、重视‘通性、通法'的落实。 要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上；放在体现通性、通 第 2 页共 7 页 法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。 4、认真学习《考试说明》，研究高考试题，提高复习课的效率。 《考试说明》是命题的依据，复习的依据。高考试题是《考试说明》的具体体现。只有研究近年来的考试试题，才能加深对《考试说明》的理解，找到我们与命题专家在认识《考试说明》上的差距，并力求在复习中缩小这一差距，更好地指导我们的复习。 5、渗透数学思想方法，培养数学学科能力。 《考试说明》明确指出要考查数学思想方法，要加强学科能力的考查。我们在复习中要加强数学思想方法的复习，如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想。以及配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、解析法等数学基本方法都要有意识地根据学生学习实际予以复习及落实。 6、复习课中注意新的目标定位。 ① 培养学生搜集和处理信息的能力； ② 激发学生的创新精神； ③ 培养学生在学习过程中的的合作精神； ④ 激活显示各科知识的储存，尝试相关知识的灵活应用及综合应用。 三、教学参考进度 期中考试之前复习：完成高三选修课内容。因一般期中考试的范围除选修课内容外，还要涉及到排列组合、概率、简易逻辑、函数、不等式等内容，所以力争复习完函数内容。 期中考试之后逐步复习：数列、三角、向量、三角、不等式、解 第 3 页共 7 页 2019届高三数学《考前指导》参考答案 专题二 函数、导数 二、考题剖析 例1．解 (1)方程f(x)＝|m|，即|x －m|＝|m|. 此方程在x ∈R 时的解为x ＝0和x ＝2m.(2分) 要使方程|x －m|＝|m|在x ∈[－4，＋∞)上有两个不同的解． ∴2m≥－4且2m≠0. 则m 的取值范围是m≥－2且m≠0.(5分) (2)原 f(x 1)min ＞g(x 2)min .(7分) 对于任意x 1∈(－∞，4]，f(x 1)min ＝? ?? ?? ， m －＞ 对于任意x 2∈[3，＋∞)，g(x 2)min ＝???? ? m 2 －10m ＋9 ＜ ， m 2 － (9分) ①当m ＜3时，0＞m 2 －10m ＋9.(11分) ∴1＜m ＜3. ②当3≤m≤4时，0＞m 2 －7m.(13分) ∴3≤m≤4. ③当m≥4时，m －4＞m 2 －7m.(15分) ∴4≤m＜4＋2 3 综上所述1＜m ＜4＋2 3.(16分) 例2．解: （I ）,2)(x a x x f - ='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ① ………………2分 又x a x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x . ∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………4分 由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………5分 （II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(x x x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 列表分析 知)(x h 在∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. …………10分 （III ）设2 ' 23 122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ??=--+ =---<则, ()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >- 所以：11≤<-b 为所求范围. …………16分 高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下 浅谈核心素养视角下高中数学高效课堂的构建探究 发表时间：2020-03-10T15:25:57.533Z 来源：《教育学文摘》2019年第7月14期作者：李新源[导读] 传统的教学观念已经无法适应当前教育教学的发展趋势，并且随着新课改教育教学理念的推行，高中教学也发生了一定的变化摘要：传统的教学观念已经无法适应当前教育教学的发展趋势，并且随着新课改教育教学理念的推行，高中教学也发生了一定的变化。高中数学教师已经不再满足于传统的教学方式以及模式，也针对其中的问题制定了相应的解决措施，但是短时间内也无法将传统教学中的问题完全根除，教师也需要结合当前的核心素养教育理念，对高中生数学教学进行长时间的科学的改进，并在核心素养教育理念的指 导下，构建出高效的数学课堂教学。 关键词：核心素养视角；高中数学；高效课堂 一、核心素养视角下构建高中数学高效课堂的重要意义 （一）有助于推进高中数学教学的改革 在当前教育事业高速发展的形势下，传统教育必然会面临着改革，良好先进的教育教学理念是促进教育事业发展的重要因素，这也需要教育者对其进行有效的贯彻落实。对于大多数高中数学教师而言，其自身都受到传统教育教学思想观念的影响，在对学生进行数学教学的过程中，大都将教学重心偏向于数学理论知识的讲授，并且还会通过大量的习题训练提高学生的学习成绩，而这些也都是为考试而服务的，都是为了能够让学生在考试取得良好的成绩[1]。但是这样的数学教学却在极大程度上忽视了学生学习能力的培养，以及潜在能力的开发，以至于使得整个数学教学过程都变得极为枯燥，这样的教学不仅难以激发出学生自身的学习兴趣，而且还会对学生思维的创新性产生一定的束缚，影响学生的学习发展。当高中教师将核心素养的教育理念融入其中，则会对传统的数学教学造成极大的影响，促使高中教师能够在数学教学中更加注重学生数学能力及素养的培养，进而实现数学教学目标，促进高中数学教学的有效改革。（二）能够促进高中生自身综合素养的提升 对于核心素养这一教育教学理念而言，其自身的提出以及实行对数学教学产生了极大的促进作用，核心素养理念提出的目的也并不只是为了让学生能够牢固掌握所学知识，还是为了加深学生的理解，提高学生对数学知识的应用能力。高中教师在以核心素养的视角对学生进行数学教学时，会将培养学生的能力以及素养放在课堂教学的中心，同时也会将其作为数学教学目标，另外，高中教师也会在课堂教学运用多种教学方式，并对针对学生自身的数学学习情况，设置科学合理的数学教学内容，以此对学生进行能力与素养的有效培养，这样不仅能够提高高中数学教学的高效性，更能够提高学生自身的数学能力与素养，进而促进其综合发展。 二、核心素养视角下构建高中数学高效课堂的有效途径 （一）创新高中数学教学方式 在传统的高中数学教学中，教师是以主导者的角色对学生进行数学知识的讲解，而且还将自己放在课堂教学的中心位置，并运用讲授式的教学方式，根据自身多年的教学经验，对学生进行理论知识的讲解，而学生在听讲过程中只能跟随教师的思路学习，在这样的情况下，数学教学过程既枯燥又无趣，不仅会降低学生自身的学习兴趣，也会影响高中生数学学习能力的形成与发展，这样也就导致学生的发展不符合社会的人才需求[2]。 基于此，高中教师要以核心素养为指导，对传统的数学教学方式进行科学的创新，增加数学教学过程的趣味性，培养高中生对数学知识的兴趣，另外，教师也可以运用相关教学方式，将抽象性的数学理论知识转化为生动具体的图像，以此促进学生对数学知识的理解，进而提高数学教学的高效性。比如，以人教版的高中数学教材为例，教师在对学生讲解相关曲线与方程这一章节的知识时，则可以运用巧思结合教学内容，将各种曲线组合成一幅幅美丽的图画，同时还要确保组合中的每条曲线都能够被定义，这样既能够吸引学生对数学知识的注意力，也能够培养学生的创新思维。 （二）营造良好的数学教学氛围 高中教师若想在核心素养视角下，实现高效的数学课堂，还要注意整个课堂的教学氛围，在传统的高中数学教学中，教师在对学生讲解数学知识时，通常都会很严肃，以至于整个数学教学过程弥漫着一种紧张的氛围，而学生也会受到这种氛围影响，产生出一种紧张的情绪，这样也会影响学生思维的活跃性，导致学生难以提高自身的学习效率。基于此，高中教师需要运用各种方式在数学课堂中营造出良好的教学氛围，教师可以结合数学教学内容设置相应的教学活动，也可以在数学教学中融入一些小游戏，以此调动的教学气氛，促使学生在教学过程中变得更加活跃，激发学生的数学思维，使其自身的思维能够得以发散，并得到相应的锻炼，另外，教师还可以在教学中运用风趣幽默的语言，去讲解相关的教学知识，吸引学生的注意力，同时也能够缓解学生在数学教学中的紧张情绪，促使学生能够更好的投入到数学学习过程中[3]。 三、总结 通过上述分析，高中数学本身就极具抽象性，学生在难以理解的情况下，很容易产生厌烦数学的情绪，因此，高中数学教师在对学生进行教学时，不仅要重视学生对数学知识的掌握，更要重视学生自身数学学习能力以及素养，基于此，高中教师要以核心素养的视角，提高数学教学的高效性。 参考文献 [1]殷克军,李杰华,刘梅,王丽,张华晖. 核心素养视角下高效课堂的构建研究[A]. .《教师教学能力发展研究》科研成果集（第十五卷） [C].:,2018:3. [2]章丽洁. 浅谈核心素养视角下高中数学高效课堂的构建探究[J]. 中学数学,2019(21):72-73. [3]马绒绒. 浅析核心素养视角下高中数学高效课堂的构建策略[J]. 新课程(下), 2018(9). 高三数学教学计划5篇精选合集 高三数学教学计划1 为了做好这学期的数学教学工作，我计划做好以下几方面 的工作： 1、理论学习： 抓好教育理论特别是最新的教育理论的学习，及时了解课 改信息和课改动向，转变教学观念，形成新课标教学思想，树 立现代化、科学化的教育思想。 2、做好各时期的计划： 为了搞好教学工作，以课程改革的思想为指导，根据学校 的工作安排以及数学教学任务和内容，做好学期教学工作的总 体计划和安排，并且对各单元的进度情况进行详细计划。 3、备好每堂课 认真钻研课标和教材，做好备课工作，对教学情况和各单 元知识点做到心中有数，备好学生的学习和对知识的掌握情况，写好每节课的教案为上好课提供保证，做好课后反思和课后总 结工作，以提高自己的教学理论水平和教学实践能力。 4、做好课堂教学 创设教学情境，激发学习兴趣，爱因斯曾经说过：“兴趣 是最好的老师。”激发学生的学习兴趣，是数学教学过程中提 高质量的重要手段之一。结合教学内容，选一些与实际联系紧 密的数学问题让学生去解决，教学组织合理，教学内容语言生动。想尽各种办法让学生爱听、乐听，以全面提高课堂教学质量。 5、批改作业 精批细改每一位学生的每份作业，学生的作业缺陷，做到心中有数。对每位学生的作业订正和掌握情况都尽力做到及时反馈，再次批改，让学生获得了一个较好的巩固机会。 6、做好课外辅导 全面关心学生，这是老师的神圣职责，在课后能对学生进行针对性的辅导，解答学生在理解教材与具体解题中的困难，使优生尽可能“吃饱”，获得进一步提高;使差生也能及时扫除学习障碍，增强学生信心，尽可能“吃得了”。充分调动学生学习数学的积极性，扩大他们的知识视野，发展智力水平，提高分析问题与解决问题的能力。 总之通过做好教学工作的每一环节，尽最大的努力，想出各种有效的办法，以提高教学质量。 高三数学教学计划2 根据学科的特点，结合我校数学教学的实际情况制定以下教学计划。 一、教学内容 高中数学所有内容：抓基础知识和基本技能，抓数学的通性通法，即教材与课程目标中要求我们把握的数学对象的基本 2019高三数学第一轮复习教学计划 高三数学第一轮复习计划 一、指导思想： 根据本校学生的实际，立足基础，构建知识网络，形成完整的知识体系。面向低、中档题抓训练，提高学生运用知识的能力，要突出抓思维教学，强化数学思想的运用，要研究高考题，分析相应的应试对策，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益。 二、复习进度： 结合本校实际，第一轮复习从8月1日开始，在3月初或中旬结束。复习资料以学校下发材料为主，难题删去。 三、复习措施： (1)首先要加强集体研究，认真备课。集体备课要做到：“一结合两发挥”。一结合就是集体备课和个人备课相结合，集体讨论，同时要发挥每个教师的特长和优势，互相补充、完善。两发挥就是，充分发挥备课组长和业务骨干的作用，充分发挥集体的智慧和优势、集思广益。 (2)其次精选习题，注重综合。复习中要选“题型小、方法巧、运用活、覆盖宽”的题目训练学生的应变能力。选有一定的代表性、层次性和变式性的题目取训练学生综合分析问题的能力。 (3)再次上好复习课和讲评课。复习课，既讲题也讲法， 注重知识的梳理，形成条理、系统的结构框架，章节过后学生头脑中要清晰。要讲知识的重、难点和学生容易错的地方，要引导学生对知识横向推广，纵向申。复习不等于重复也不等于单纯的解题，应温故知新，温故求新，以题论法，变式探索，深化提高。讲出题目的价值，讲出思维的过程，甚至是学生在解题中的失败的教训和走过的弯路。功夫花在如何提高学生的分析问题和解决问题的能力上 (4) 每章(每周)进行一次单元(150分)过关考试或一次100分答卷。 (5)通过课堂提问、学生讨论交流、批改作业、评阅试卷、课堂板书以及课堂上学生情态的变化等途径，深入的了解学生的情况，及时的观察、发现、捕捉有关学生的信息调节教法，让教师的教最大程度上服务于学生。 (6)数学复习要稳扎稳打，不要盲目的去做题，每次练习后都必须及时进行反思总结(改错) 。反思总结(改错)解题过程的来龙去脉；反思总结(改错)此题和哪些题类似或有联系及解决这类问题有何规律可循；反思总结此题还有无其它解法，养成多角度多方位的思维习惯；反思总结做错题的原因：是知识掌握不准确，还是解题方法上的原因，是审题不清还是计算错误等等。 (7)注意心理调节和应试技巧的训练，应试的技巧和心理的训练要三高三的第一节课开始，要贯穿于整个高三的复习 《高三数学复习课》教学设计 内容：第二节统计案例 辅助工具: ppt课件 (一)循纲忆知 1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本(抽签法、随机数表法)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大() (2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样() 答案：(1)×(2)× 2．(2015·广东七校联考)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行) 87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 解析：由随机数表，可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是，第4个样本个体的编号是068. 答案：068 基础盘查二系统抽样 (一)循纲忆知 了解系统抽样方法(编号、分组抽取)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体() (2)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平() 答案：(1)√(2)× 高三数学教学计划 高三数学第一轮复习以抓基础，练基本功（主要是解题基本功）为主，注重对知识的梳理，数学方法的养成，使学生对整个高中数学知识、方法和思想有个完整的认识，形成网络。在本轮复习中应对高中数学的所有考点，涉及的解题方法进行全面的复习，使学生对每个知识点掌握到位，对数学概念的内涵和外延，公式定理的适用范围有着本质、透彻的理解，使学生切实掌握数学基本知识，基本技能和基本的数学思想方法，对基本的解题方法（解题方法的培养、训练要注重通性通法，淡化特殊技巧）能运用自如，做到稳扎稳打，基础过关，牢固。 高三数学第二轮复习以专题复习、专题训练为主，注重学生数学能力与思维水平的养成，使学生在解题方法，解题技能上达到运用自如的境界。本轮复习中对高中数学重点内容要加深加难，重点培养学生解活题、较难题、难题的能力。专题复习既要按章节进行，又要按题型进行，按章节进行内容如下：函数与导数、数列（特别是递推数列）与极限、三角函数与平面向量、不等式、直线与圆锥曲线（注意圆锥曲线与向量的结合）、立体几何、概率与统计。按题型进行内容如下：选择题解法训练，填空题解法训练，解答题解法训练，特别要注重解答题训练的质量。 本轮复习应多在知识网络的交汇处选题，强调学科内的小综合，加强对知识交汇点问题的训练，达到 培养学生整合知识，能综合地运用整个高中数学思想方法解题的能力之目的。 高三数学第三轮复习以强化训练、查漏补缺为主。在本轮复习中，让学生多做模拟题，强化做题的速度与质量。同时针对第一轮、第二轮的不足进行查漏补缺，特别是在第一轮、第二轮大多数学生做不出来的题目在本轮复习中可集中让学生重做，解决学生在前面复习中暴露的问题。 具体措施建议如下： 一、处理好课本与资料的关系 对资料精讲，用好用巧，但不被资料束缚手脚，牵着鼻子走，不仅老师认真钻研资料，更要引导学生在复习课本的基础上认真钻研资料，用活用巧。 二、分层教学 由于数学分为文理科，且文理各有不同的层次，所以分层教学非常必要，计划对高三数学分为四层：理科A层、文科A层、理科B、C层、文科B、C 层，各层实施不同的教学进度。其中理A、文A在重点抓好基础的同时适当加深难度与深度，其他层主要抓基础。 三、抓好周练 每周分层出一次周练，要求周练围绕上一周所授内容命题，题量适中，难易适当，针对性强，注重基础知识与方法的反馈训练。命题的主导思想是“出活题、考基础、考能力”。在周练的基础上，每章节复习过程中印发年高考试题分章选解给学生课后完成。 四、集体备课 俗话说：三个臭皮匠顶得一个诸葛亮。在复习 ——教学资料参考参考范本——2019-2020最新高三数学一轮复习第1讲集合教案 ______年______月______日 ____________________部门 课标要 求1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 命题走 向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2017年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 教 学 准 备 多媒体 教学过程要点精讲: 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A a∈；若b不是集 合A的元素，记作A b?； （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成 立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变 化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示 法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N + ； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系： （1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或 有的学 生对整 数包括 哪些数 还不太 清楚， 后面还 要通过 具体题 目增强 认识。 让落实更扎实，让备考更有效——浅谈高三技能数学复习备考策略 发表时间：2016-04-11T11:44:49.153Z 来源：《教育学》2016年2月总第95期作者：钱远 [导读] 回首2015年的技能高考，我们远安职教中心创造了辉煌，数学取得了可喜的成绩。面对上届骄人的战绩，我们倍感压力。 钱远安县职业教育中心学校湖北宜昌444200 回首2015年的技能高考，我们远安职教中心创造了辉煌，数学取得了可喜的成绩。面对上届骄人的战绩，我们倍感压力。我们高三数学组更要团结合作，齐心协力，再创佳绩。 一、加强考纲研究，找准复习的重点，提高复习的有效性 考纲是高考命题的主要依据，也是高三复习教学的主要依据，是我们在复习教学过程中评估学生学习效果的依据与标准，同时提出了对知识、能力和数学思想方法的考查方式和考查角度。2016年技能高考考纲在2015年九月出台，相对于2015年高考，仅仅删减了分式不等式的解法，却增加了更多的要求，对知识点的考查要求更细化。我们在复习的过程中，针对考纲的变化，在知识点的细节上强调更多，重点在基础知识的强化落实。 二、加强高考试题的研究，摸清命题规律，提高复习的针对性 进入高三以来，我们组就达成共识，首先要研究高考数学试题。从近几年的高考试卷中寻找命题规律，多年连续的考点，就是复习的重点，相同考点的不同考法，就是平时教学中必须关注的焦点。纵观每年的高考数学试题，可以发现其突出的特点之一是它的连续性和稳定性，始终保持稳中有变的原则，只要根据近几年的高考试题就能发现它的共同特点，如试卷的结构、试题类型、考查的方式和能力要求等，从而理清复习的思路，制定相应的复习计划。对于我们的学生而言，关键是抓好不变的基础分，只要保证学生没有过失性失误，那就是高分了。从15年开始，选择题命题开始发生改变，出现三个或四个选项中确定正确选项的个数（内容相对广泛、题简面广），也就大大地增加了得分的难度。16年第一次省联考更是出现了选择哪几个正确的题型，难度越发增大。这就要求我们在知识点全覆盖的同时还要进一步加强对学生审题仔细度的强化。 三、合理利用复习资料，提高复习效率 复习资料是编写教师智慧的集中体现，是编写教师对考纲和高考试题的一种解读心得。而这种心得与解读，不一定适合我们的学生。技能高考从2015年开始全面推行，现在的复习资料中很多内容还有对口高考的痕迹。复习过程中我们结合学生的实际情况组织教学材料，对资料中的例题和习题做了适当删减；在每个月末进行月考，内容除了当月复习内容外，对前面章节的内容也适当涉及，滚动复习以加深学生印象，巩固复习效果。除此之外，我们也对高考试题精华部分进行了重组、变形和创新改编，并受此启发，他们也对课后习题进行了整编，因为课后习题可以说是高考的母体，它们绝大多数是基础题，也是经典试题，历经多年仍具有很强的代表性。 四、研究学生特点，制定合理的得分策略，使复习效益最大化 学生的学习能力、理解能力各不相同，但是班级教学制却将学生视为同一个水平，这本身就是一个问题。每一个学生的学习习惯和各自的关注点是不一样的，因此，学习兴趣、知识掌握、方法系统、思想系统都是不一样的。在复习中我们根据学生的特点，帮助每一个学生制定适合自己的得分策略，期望得到复习效益的最大化。 五、推行生本课堂，尽量使每节课都成为有效课堂乃至高效课堂 高三复习的课堂教学不同于新课教学，总复习课堂有其自身的规律。复习过程中，我们加强高考总复习的课堂教学模式研究，追求符合学生实际的课堂教学模式，尽量使每堂复习课都充满生机、充满效率，从而实现每堂课都成为有效课堂。如何才能使课堂有效呢？那就是充分发动学生，以学生学到知识、掌握方法为目的。针对学生的实际情况，我们给每个学生的要求是：首先能拿到自己已掌握知识的基础分。 六、狠抓落实，向规范化训练要质量 学生最终是要参加高考，知识要落实到卷面上。在卷面上，不会做和会做做不对以及会做做得慢都是等效的，所以我们组提出要求：会题做对。这就需要我们师生共同努力。首先，教师自己的教学行为要规范，身体力行，做好表率；其次，对学生练习要限时限量，提高解题速度和准确率；再者，创设条件让学生充分暴露思维过程，针对学生思维上的缺陷对症下药，辅以跟踪训练，在纠错改错中达到我们的目的；最后，对学生在考试中丢分的试题进行专题补偿，再次过关，不留问题到下次，让落实工作走向高效。 一个人的精力与智慧是有限的，要集众家之长改自身之短，充分发挥集体的智慧为高三数学教学服务。高三数学组满怀豪情，充满信心，团结协作，力争为2016年的高考贡献自己的力量。 高三数学下学期教学计划 为您编辑整理高三数学下学期教学计划，欢迎阅读。更多教学计划请关注教学计划栏目。 高三数学下学期教学计划(一) 一、加强集体备课优化课堂教学 新的高考形势下，高三数学怎么去教，学生怎么去学?无论是教师还是学生都感到压力很大，针对这一问题备课组在王修汉校长、谢镇祥主任的领导下，在张群怀主任的具体指导下，制定了严密的教学计划，提出了优化课堂教学，强化集体备课，培养学生素质的具体要求。即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基础。 在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处www.，集体备课前，每位教师都准备一周的课，集体备课时，每位教师都进行说课，然后对每位教师的教学目标的制定，重点、难点的突破方法及课后作业的布置等逐一评价。集体备课后，各位教师根据自己班级学生的具体情况进行自我调整和重新精心备课，这样，总体上，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。 ： 二、立足课本夯实基础 实行新教材后，高考的要求和高考的内容都发生了很大的变化，这就要求我们必须转变观念，立足课本，夯实基础。复习时要求全面周到，注重教材的科学体系，打好“双基”，准确掌握考试内容，做到复习不超纲，不做无用功，使复习更有针对性，细心推敲对高考内容四个不同层次的要求，准确掌握那些内容是要求了解的，那些内容是要求理解的，那些内容是要求掌握的，那些内容是要求灵活运用和综合运用的;细心推敲要考查的数学思想和数学方法;在复习基础知识的同时要注重能力的培养，要充分体现学生的主体地位，将学生的学习积极性充分调动起来，教学过程中，不仅要展现教师的分析思维，还要充分展现学生的思考思维，把教学活动体现为思维活动;同时还适当增加难度，教学起点总体要高，注重提优补差，新高考将更加注重对学生能力的考查，适当增加教学的难度，为更多优秀的学生脱颖而出提供了更多的机会和空间，有利于优秀的学生最大限度发挥自己的潜能，取得更好的成绩;对于差生充分利用辅导课的时间帮助他们分析学习上存在的问题，解决他们学习上的困难，培养他们学习数学的兴趣，激励他们勇于迎接挑战，不断挖掘潜力，最大限度提高他们的数学成绩。 ： 二、因材施教全面提高 今年高考采用新的模式，学生选修的科类不同，因此学高三数学教学计划
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