13.1.1 同底数幂的乘法
◆随堂检测 1、判断
(1) x 5
·x 5
=2x 5
( ) (2) x 13
+x 13
=x 26
( ) (3) m ·m 3
=m 3
( ) (4) x 3
(－x)4
=－x 7
( ) 2、填空：
（1）5
4
m m = （2）n n y y y --??533= （3）()()3
2
a a --= （4）()
()2
2x x --=
3、计算：
(1)103
×104
(2)(－2)2
·(－2) 3
·(－2) (3)a·a 3
·a 5
(4) (a+b)(a+b)m
(a+b)n
(5) a 4n a n+3
a
(6)－a 2
·a 3
(7) (－a ）2
·a 3
(8) ()()5
222x y y x -?-
◆典例分析
若 3m
=5, 3n
=7, 求3
m+n+1
的值
分析：本题的切入点是同底数幂的乘法性质的逆用：a m+n
=a m
·a n
(m,n 为正整数)。运用此法则，可以把一个幂分解成两个（或两个以上）同底数幂的积。其中，拆分所得的（两个或两个以上）同底数幂的底数与原来幂的底数相同，指数之和等于原来幂的指数。 解：∵3m
=5, 3n
=7, ∴3
m+n+1
=3m ·3n
·3=5×7×3=105
◆课下作业 ●拓展提高 1、填空
（1）
()()()[]m
n p y x x y y x 32--?-?-= （2）已知2x+2=m,用含m 的代数式表示2x
= _____
2、选择：
（1）下列计算中 ① b 5+b 5=2b 5 ②b 5·b 5=b 10 ③y 3·y 4=y 12 ④m·m 3=m 4
⑤m 3
·m 4
=2m 7
其中正确的个数有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 （2）x
3m+2不等于（ ）
A x 3m ·x
2
B x m ·x
2m+2
C x 3m +2
D x m+2·x 2m
3、解答题：
（1）5,35==+++b a c b a x x ，求c x 的值. （2）若
,14x x x x n m =??求m+n. （3）若61
a a a
n m n =?++，且m-2n=1,求n m 的值.
（4）计算：4
3
5
3
x x x x x ??+?. ●体验中考
1.（2009年重庆市江津区） 下列计算错误的是 ( ) A ．2m + 3n=5mn B ．4
26a a a =÷ C ．632)(x x = D ．3
2a a a =? 2. （2009年山西省太原市）下列计算中，结果正确的是（ ）
A ．2
3
6
a a a =· B ．()()26a a a =·3 C ．()
3
26a
a = D ．623a a a ÷=
13.1.2幂的乘方
◆随堂检测
1、判断题，错误的予以改正。 （1）a 5
+a 5
=2a
10
（ ） （2）（x 3）3 =x 6
（ ）
（3）（－3）2
·（－3）4
=（－3）6
=18
（ ） （4）(x n+1)2
=x 2n+1
（ ） （5）[－（a 2）3]3=[－（a 3）2]3
（ ）
2、计算：
（1）.（103
）3
（2）.(－x 4)
7
（3）.[（－x ）4]
7
（4）.[(a-b)3]5
·[(b-a)7]3
(5).{[(-a)3]2}
5
(6). -(-m 3)2·[(-m)2]
3
(7). [(-a-b)3]2 [-(a+b)2]
3
3、化简
(1) 5（P 3
）4
（－P 2
）3
+2[（－P ）2]4
（－P 5
）2
(2) x
m －4
x 2+m －(－x
m －1)
2
◆典例分析
计算： （1）〔（-a ）2〕3 （2）(-a)2·(a 2)2 （3）〔（x+y ）2〕3·〔（x+y ）3〕4 分析：直接利用幂的乘方法则进行计算 解：（1）〔（-a ）2〕3=（-a ）6=a 6 （2）(-a)2·(a 2)2=a 2·a 4=a 6
（3）〔（x+y ）2〕3·〔（x+y ）3〕4=（x+y ）6·（x+y ）12=（x+y ）18
◆课下作业
●拓展提高
一、填空：
1、已知a 2
=3,则① (a 3)2
= ② a 8
= 2、若（x 2）n =x 8
，则n=_____________. 3.若[（x 3
）m ]2
=x 12
，则m=_____________。 二、选择：
1、化简2m
·4n
的结果是( ) A ．（2×4）mn
B.2×2
m+n
C.（2×4）
m+n
D.2
m+2n
2、若x 2
=a,x 3
=b ，则x 7
等于( )
A.2a+b
B.a 2
b C.2ab D.以上都不对. 三、解答题；
1.若x m ·x 2m =2，求x 9m 的值.
2.若a 2n =3，求（a 3n ）4的值.
3、计算(-3)
2 n+1
+3·(-3)2n .
4、已知a m
=2,a n
=3,求a 2m+3n
的值.
●体验中考
1、(2009年上海市) 计算32
()a 的结果是（ ）
A ．5
a
B ．6
a
C ．8
a
D ．9
a 9.
2、（2009年江苏省）计算23
()a 的结果是（ ）
A ．5
a B ．6
a
C ．8
a
D ．2
3a
13.1.3积的乘方
◆随堂检测
一.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?
1.(ab 2)2
=ab 4
（ ） 2.
3
339)3(d c cd = （ ） 3.(-3a 3)2= -9a 6 （ ） 4.(-32x 3y )3= -96
x 6y 3
（ ）
二、填空：
1.()=33a ()=-23x
()=32
y x 2.如果()
9123
273y x y x
n
m m
=-成立，则整数m= ,n=
三、计算：
1.(2×107)3
2.(-a m b 6c )2
3.(-x m +2y 2n -1)3
4. -(-3a 2c 3)2
5. [-4(a -b )]2
(b -a )3
6.(-0.125)16
× 817
◆典例分析
计算：24
×44
×0.125
4
分析：灵活运用三个法则的逆运算，会给计算带来方便. 解: 24
×44
×0.1254
=(2×4×0.125)4
=14
=1
◆课下作业
●拓展提高
1.填空:
（1）645
×82
=2x
, 则x =_______.
（2）︱x -1︱+(y +3)2
=0,则(xy )2
=______. （3）若M 3
=-8a 6b 9
,则M 表示的单项式是________ 2．选择：
（1）已知23
×83
=2n
,则n 的值是（ ）
A.18
B.7
C.8
D.12
（2）如果(a m
b·ab n )5
=a 10b 15
,那么3m(n 2
+1)的值是( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 3.解答题： (1).已知16m
=4×2
2n -2
,27n =9×3m +3
,求m ,n .
(2).若n 是正整数，且x n
=6,y n
=5,求(xy )2n
. (3).已知3x +1·2x +1=62x -3
,求x .
4、简便运算： (1)212
·(-0.5)11
(2)(-9)5
×(-)23 5×( 13
)
5 ●体验中考
1、（2009年广东清远）计算：
()
2
3ab =
（ ）
2、(2009年山东东营）计算
()
4
3
23b a --的结果是（ ） Ａ.12881b a B.7612b a C.7612b a - D.12
881b a -
13.1.4同底数幂的除法
◆随堂检测
1.填空:
（1）8
13m m ÷= （2）32453y y y ?÷）（）（=
（3）()()420a a -÷-= （4）()()3
12x y y x -÷-=
（5） 10
3x x =÷ 2．计算：
（1）36
÷32
（2） (-8)12
÷(-8)5
（3）(ab )15
÷(ab )6
（4） t m+5
÷t 2
（m 是正整数） （5） t m+5
÷t m-2
（m 是正整数）
3．解答：
(1)已知83x
÷162x
=4，求x 的值 (2)已知3m
=6，3n
=2 ，求3m-n
的值。
◆典例分析
(1). x3÷x (2). (-a)5÷a3 (3). (x+1)3÷( x+1)2
分析：(1).本题较简单，考察同底数幂的除法运算法则(2). 须将(-a)5变为-a5,从而转化为同底数幂的除法(3).中两个幂的底数都是多项式x＋1.
解：（1）. x3÷x =x3－1=x2
（2）. (-a)5÷a3 =-a5 ÷a3=-a5-3=-a2
（3）. (x+1)3÷( x+1)2=(x+1)3-2= x＋1.
◆课下作业
●拓展提高
1.填空：
（1）x m·x n+7÷x3=_________
（2）若
,3x
x
x n
n
m=
÷
+
则m= ；=
÷+
+n
m
n
m x
x2
3
。
（3）
m
m4
8÷=
2．选择：
（1）计算:27m÷9m÷3的值为（）
A.32m-1
B.3m-1
C.3m+1
D. 3m+1
（2）如果将a8写成下列各式，正确的共有（）: ①a4＋a4 ②(a2)4 ③a16÷a2 ④(a4)2
⑤(a4)4 ⑥a4·a4 ⑦a20÷a12 ⑧2a8－a8
A.3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个3．计算：
（1）、(x-y)4÷(x-y)2
（2）、 (x-y)8÷(y-x)4×(x-y)
（3）、［(x-y)4］5÷［(y-x)3］3
4．解答题:
(1)、已知a m =5，a n =4， 求a
3m-2n
的值.
(2)、已知3a -2b =2，求27a
÷9b
的值. (3)、已知2x
÷16y
=8，求2x -8y 的值.
●体验中考
1．（2009年重庆綦江）计算a 3
÷a 2
的结果是（ ） A ．a 5
B ．a -1
C ．a
D ．a 2
2．（2008年哈尔滨市）下列运算中，正确的是（ ）． （A ）x 2
＋x 2
＝x 4
（B ）x 2÷x＝x 2 （C ）x 3－x 2＝x （D ）x·x 2＝x 3
13.2.1单项式与单项式相乘
◆随堂检测
1、（1）2a ·3a 2·4a 3=______（2）(-7ax) ·(31
xy)=______（3）-3xy ·2x 2
y=_____ （4）31x 2y ·29y 2x 3=_______（5）(-a)2·2a 3=______（6）72
a 3bc ·14a 5
b 2
=_________
2、计算:
(1)(-2x 2
) ·(-3x 2y 2)2
(2)(-3xy n
) ·(-x 2
·z) ·(-2xy 2)2
(3)-6a 2b ·(x-y)3·31
ab 2(y-x)
2
3、已知629n n
a
b
---与3122m n
a
b +-的积与45a b 是同类项，求,m n 的值.
4、有理数x 、y 满足︱x+y-3︱+(x-y+1)2=0，求(xy 2)2· (x 2y)2的值.
◆典例分析
如果单项式-3x 4a-b y 2与31x 3y a+b
是同类项，那么这两个单项式的积是（ ） A. x 6y 4 B.-x 3y 2 C. -38
x 3y 2 D. -x 6y 4
分析：由同类项定义可知4a-b=3，a+b=2,从而求出a=1,b=1，再由单项式乘以单项式的法则
即可求出结果。即-3x 4a-b y 2·31x 3y a+b =-3x 2y 2·31
x 3y 2=-x 6y 4
，故选D 。
答案：D
◆课下作业
●拓展提高
1、计算2x 2
(－2xy) ·(－2
1xy)3
的结果是_______
2、若（ax 3
）·(2x k
)=－8x 18
,则a=_______,k=_________ 3、已知a ＜0,若－3a n
·a 3
的值大于零，则n 的值只能是（ ） A.奇数 B.偶数 C.正整数 D.整数
4、小明的作业本中做了四道单项式乘法题，其中他作对的一道是（ ） A.3x 2
·2x 3
=5x 5
B.3a 3
·4a 3
=12a
9
C.2m 2·3m 3=6m 3
D.3y 3·6y 3=18y
6
5、设123n k ++++= ，求
1223()()()()n n n n x y x y x y xy --???? 的值. ●体验中考
1、（2009年泸州）化简：3
22)3(x x -的结果是
A ．56x -
B ．53x -
C ．52x
D ．5
6x 2、（2009年新疆乌鲁木齐市）下列运算中，正确的是（ ）． A ．6
2
3
x x x ÷= B ．22
(3)6x x -=
C ．3
2
32x x x -=
D ．32
7
()x x x =
13.2.2单项式与多项式相乘
◆随堂检测
1、计算：
222(35)a a b ?-=__________； 2、计算：
223(2)(35)a ab ab -?-=__________. 3、a 2(－a+b －c)与-a （a 2
－ab+ac ）的关系是( )
A. 相等
B. 互为相反数
C. 前式是后式-a 的倍
D. 以上结论都不对 4、计算x 2
y(xy －2x 3y 2
+x 2y 2
)所得结果是（ ） A 六次 B 八次 C 十四次 D 二十次 5、计算：2x(9x 2
+2x+3)－（3x ）2
(2x －1) 6、解方程：6x(7－x)=36－2x(3x －15)
◆典例分析
计算：32（ab 2-2ab ）·(－21ab)
2
分析：本题是单项式与多项式相乘，且含有积的乘方运算，可先进行积的乘方运算，然后按乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，计算时应注意符号的确定和系数的运算.
解：32（ab 2-2ab ）·(－21ab)2=32（ab 2-2ab ）·41
a 2
b 2
=32×41(ab 2·a 2b 2－2ab·a 2b 2)=61a 3b 4－31
a 3
b 3
◆课下作业
●拓展提高
1、一个长方体的高是xcm,底面积是(x 2
-x-6)cm ，则它的体积是___________cm 3
2、要使(-2x 2
+mx+1)(-3x 2
)的展开式中不含x 3
项,则m=__________. 3、当a=－2时，(a 4
+4a 2
+16)a 2
－4( a 4
+4a 2
+16)的值为( ) A. 64 B. 32 C. －64 D. 0
4、当x=21,y=－1,z=23
-时,x(y －z)－y(z －x)+z(x －y)等于( )
A.31
B. 123-
C. 43
- D. -2
5、现规定一种运算，a ※b=ab+a －b,求a ※b+(b －a)※ b 的值
6、已知︱a －2︱+(b －1)2
=0,求－a(a 2
－2ab －b 2
)－b(ab+2a 2
－b 2
)的值
●体验中考
1、(2009年贺州）计算：
3
1
(2)(1)
4
a a
-?-
= ．
2、(2009年成都)先化简，再求值：
22
(3)(2)1
x x x x x
-+-+，其中x=
13.2.3多项式与多项式相乘
◆随堂检测
1、（5b+2）（2b－1）=____________；（m－1）(m2＋m＋1)=________.
2、2－（x＋3）（x－1）=________________.
（x＋2y）2=_____________;（3a－2）（3a＋2）=____________________.
3、一个二项式与一个三项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）
A、5项
B、6项
C、7项
D、8项
4、下列计算结果等于x3－y3的是( )
A (x2-y2)(x-y)
B (x2+y2)(x-y)
C (x2+xy+y2)(x-y)
D (x2-xy-y2)(x+y)
5、计算：（
2
1 x＋3）（2x2－4x＋1）
6、先化简，再求值x（x2－4）－（x＋3）（x2－3x＋2）－2x（x－2）其中x=
2
3。
◆典例分析
当x=2,y=1时，求代数式(x2－2y2)(x+2y)－2xy(x－y)的值。
分析：先利用整式的乘法法则进行乘法运算，再进行加减运算，即合并同类项，最后代入求值。
解：(x2-2y2)(x+2y)-2xy(x-y)
=x3-2xy2+2x2y-4y3-2x2y+2xy2
=x3-4y3.
当x=2,y=1时
原式=23-4×13=8-4=4
◆课下作业
●拓展提高
1、若多项式（mx ＋8）（2－3x ）展开后不含x 项，则m=________。
2、三个连续奇数，若中间一个为a ，则他们的积为__________.
3、如果（x-4）（x+8）=x 2
+mx+n,那么m 、n 的值分别是（ ）
A. m= 4,n=32
B.m= 4,n=-32.
C. m= -4,n=32
D. m= -4,n= -32 4、若M 、N 分别是关于的7次多项式与5次多项式，则M·N（ ） A.一定是12次多项式 B.一定是35次多项式 C.一定是不高于12次的多项式 D.无法确定其积的次数
5、试说明：代数式（2x ＋3）（6x ＋2）－6x （2x ＋13）＋8（7x ＋2）的值与x 的取值无关.
6、若(x 2
+nx+3)(x 2
－3x+m)的展开式中不含x 2
和x 3
项，求m 、n 的值.
●体验中考
1、(2009年达州)若a －b ＝1，ab=-2，则(a ＋1)(b －1)＝___________________.
2.（2009年北京市）已知2
514x x -=，求()()()2
12111x x x ---++的值
13.3.1两数和乘以这两数的差
◆随堂检测
1、观察下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A.（a+b ）(b-a) B. (2x+1)(-2x-1) C. (－5y+3)(5y+3) D. (－2m+n)(2m －n)
2、乘积等于m 2
－n 2
的式子是（ ）
A. (m －n)2
B.(m －n)(－m －n)
C.(n － m)(－m －n)
D.(m+n)(－m+n) 3、用平方差公式计算：1999×2001+1=_______ 4、（x+1）（x －1）（x 2
+1）=________ 5、计算:
(1)（－1+4m ）(－1－4m) (2) (x －3)(x+3)(x 2
+9)
6、解方程 x(9x－5)－(3x+1)(3x－1)=51．
◆典例分析
计算 (1)、(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)
（2）、2004×2006－20052
分析：（1）先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项（2）利用平方差公式进行简便运算
解：(1)、(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=（4x2－25）—（9x2－16）
=4x2－25－9x2+16=－5x2+9
（2）、2004×2006－20052=(2005－1)(2005+1)－20052=20052－1－20052=-1
◆课下作业
●拓展提高
1、下列各式中不能用平方差公式计算的是（）
A.(x－2y)(2y+x)
B.(x－2y)(－2y+x)
C. (x+y)(y－x)
D. (2x－3y)(3y+2x)
2、下列各式中计算正确的是（）
A.(a+b)(－a－b)=a2－b2
B. (a2－b3)(a2+b3)=a4－b6
C.(－x－2y)(－x+2y)=-x2－4y2
D.(2x2+y)(2x2－y)=2x4－y4
3、如果a+b=2006,a－b=2,那么a2－b2=________.
4、已知x2-y2=6,x+y=3,则x-y=__________.
5、化简求值－2x(x－2y)(x＋2y)－x(2x－y)(y＋2x) 其中x=1；y=2.
6、试求（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1的值.
●体验中考
1、（2009年宁波市）先化简，再求值：(2)(2)(2)
a a a a
-+--，其中1
a=-．
2、（2009年嘉兴市）化简：
)
8
(
2
1
)
2
)(
2
(b
a
b
b
a
b
a-
-
-
+
．
13.3.2两数和的平方
◆随堂检测
1、（-2x+y）2 =_________.（-2x-y）2=__________.
2、(1) (5x-___)2=_____－10xy+y2 (2) (____+____)2=4a2+12ab+9b2
3、下列各式是完全平方式的是（）
A.x2+2xy+4y2
B.25m2+10mn+n2
C.a2+b2
D.x2+4xy－4y2
4、若多项式x2+kx+25是一个完全平方式,则值是（）
A.10
B.±10
C.5
D.±5
5、用简便方法计算： (1) 5022 (2) 1992
6、计算：(x－y)2－(x+y) (x-y)
◆典例分析
已知x+y=3,xy=40,求下列各式的值
（1）x2+y2 （2）(x-y)2
分析：很显然，先x,y求的值，再求代数式的值很麻烦，要充分考虑完全平方公式的特点. 解：（1）x2+y2 =（x+y）2-2xy=32-2×(-40)=89
（2）(x-y)2=（x+y）2－4xy=32-4×(-40)=169
◆课下作业
●拓展提高
1、以下式子运算结果是m2n4－2mn2+1的是( )
A.(m2n+1)2
B. (m2n-1)2
C. (mn2-1)2
D. (mn2+1)2
2、已知a+b=10，ab=24,则a2+b2等于（）
A.52
B.148
C.58
D.76
3、计算：（m－n）（m+n）（m2－n2）=___________
4、若（x-2y）2=（x+2y）2+A,则代数式A应是________
5、用简便方法计算：80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
6、计算：2(a+1)2－4(a+1)(a-1)+3(a-1)2
●体验中考
1．（2008汕头市）下列式子中是完全平方式的是（ ） A ．2
2
a a
b b ++
B ．2
22a a ++
C ．22
2a b b -+
D ．2
21a a ++
2、（2009年长沙）先化简，再求值：
22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133
a b ==-，．
13.4.1单项式除以单项式
◆随堂检测
1、计算：2ab 2c ÷6ab 2=___________,a 2b 4c 3÷(－65
abc 2
)=___________ 2、一个单项式乘以(－31x 2y)的结果是(9x 3y 2
z)，则这个单项式是___________
3、下列计算结果正确的是（ ） A. 6a 6
÷3a 3
=2a 2
B. 8x 8÷4x 5=2x
3
C. 9x 4÷3x=3x
4
D. 10a 14
÷5a 7
=5a
7
4、计算ｘ２
ｙ３
÷（ｘｙ）２
的结果为（ ） A.ｘｙ B ．ｘ C ．ｙ D.ｘｙ
２
5、一个单项式与３ｘ２
ｙ３
的积为１２ｘ６ｙ５
，求这个单项式。
◆典例分析
计算：（1）15a m+1x m+2y 4÷(-3a m x m+1y)（2）-3x 6y 3z 2÷6x 4
y ÷21
xy
分析：根据单项式除以单项式的法则，即系数相同字母分别相除，单独存在的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
解：（1）15a m+1x m+2y 4
÷(-3a m x m+1
y)=15÷(-3)a
m+1-m x (m+2)-(m+1)y 4-1
=-5axy
3
（2）－3x 6y 3z 2÷6x 4y ÷21xy=－21x 6-4y 3-1z 2÷21xy=－21x 2y 2z 2÷21
xy=－xyz 2
◆课下作业
●拓展提高
1、已知8x 3y m ÷28x n y 2=72
xy 2
,则的m 、n 值为__________
2、世界上最大的动物是鲸，有一种鲸体重达7.5×104
kg,世界上最小的一种鸟叫蜂鸟，体重仅为2g,则这种鲸的体重是这种鸟体重的_________倍
3、若n 为正整数，则(-5)n+1
÷[5·(－5)n
]的结果为( ) A. 5
n+1
B. 0
C. -5
n+1
D. －1
4、计算（5×108
）÷（4×103
）的结果是（ ） A 、 125 B 、1250 C 、12500 D 、125000
5、请你根据所给式子15a 2
b ÷3ab ，联系生活实际，编写一道应用题. 6、已知实数x,y,z 满足|x －1|+|y+3|+|3z －1|=0,求(xyz)2007
÷(x 9y 3z 2
)的值.
●体验中考
1．（2008德州市）下列计算结果正确的是 ( ) A ．4332222y x xy y x -=?- B ．2253xy y x -=y x 22- C ． xy y x y x 4728324=÷ D ．49)23)(23(2-=---a a a 2.（2009年重庆）计算3
2
2x x ÷的结果是（ ） A ．x
B ．2x
C ．5
2x
D ．6
2x
13.4.2多项式除以单项式
◆随堂检测
1、计算：（2a 2
b －4ab 2
）÷(－2ab)=_______ 2、(_____________)·3xy=6x 2
y+2xy
2
3、计算（－8x 4
y+12x 3y 2
－4x 2y 3）÷4x 2
y 的结果是( ) A.－2x 2
y+3xy －y 2
B. －2x 2+3xy 2－y
2
C.－2x 2+3xy －y
2
D. －2x 2
+3xy －y
4、长方形的面积为4a 2
－6ab+2a ，若它的一边长为2a ，则它的周长为（ ） A. 4a －3b B. 8a －6b C. 4a －3b+1 D. 8a －6b+2
5、计算：（52y 2－6xy 2+32y 5）÷32
y
2
6、一个多项式与2x 2y 3
的积为8x 5y 3
－6x 4y 4
+4x 3y 5
－2x 2y 3
，求这个多项式.
◆典例分析
计算：（1）(12x 4y 3
－6x 3y 4+3xy )÷(－3xy)
（2）[(2x+y)2
－(2x+y )(2x －y)]÷2y －21
y
分析：（1）利用多项式除以单项式的法则，把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，然后进行计算。
（2）形式虽然复杂，但把握住正确的运算顺序，计算起来就简单了。 解:(1) (12x 4y 3
－6x 3y 4+3xy )÷(－3xy)
=12x 4y 3
÷(－3xy)－6x 3y 4÷(－3xy)+3xy ÷(－3xy)
=-4x 3y 2+2x 2y 3-1
（2）[(2x+y)2
－(2x+y )(2x －y)]÷2y －12
y
=[(4x 2+4xy+y 2)－(4x 2-y 2)] ÷2y －12
y
=(4x 2+4xy+y 2－4x 2+y 2) ÷2y －12
y
=(2y2+4xy)÷2y－1
2
y
=y+2x－1
2
y
=1 2y x +
◆课下作业
●拓展提高
1、已知M和N都是整式，且M÷x=N，其中M是关于x的四次多项式，则N是关于x的__________次多项式
2、当时a=1,b=－2,代数式[(a+b)(a－b)－(a－b)2]÷(-2b)=_________
3、一个多项式除以2x－1，所得的商是x2+1，余式是5x，则这个多项式是( )
A.2x3－x2+7x－1
B. 2x3－x2+2x－1
C.7x3－x2+7x－1
D. 2x3+9x2－3x－1
4、若4x3+2x2－2x+k能被2x整除，则常数k的值为（）
A.1
B.2
C.－2
D.0
5、计算：[(2x+y)2－y(y+4x)－8x]÷(－2x)
6、如果3n m
+能被13整除，那么3
3n m
++能被13整除吗？
●体验中考
1、（2009年台湾）将一多项式[(17x2-3x+4)-(ax2+bx+c)]，除以(5x+6)后，得商式为(2x+1)，余式为0。求a-b-c=？
A．3 B．23 C．25 D．29
13.5.1因式分解
◆随堂检测
1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A. a(a+1)=a 2+a
B. a 2
+3a －1=a(a+3)+1 C. x 2
－4y 2
=(x+2y)( x －2y) D. (a-b)3
=－(b －a)3
2、下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是( ) A. x 2
－y2 B. x 2
+2x C. x 2
+y 2
D. x 2
-xy+y 2
3、多项式8m 2
n+2mn 的公因式是____________ 4、分解因式:－2x+4=_________;mx+my=__________ 5、分解因式：（1）3x 2
－6xy+x （2）－6ab 2
+18a 2b 2
－12a 3b 2
c
◆典例分析
分解因式（1）－5a 2
b+15ab －10a （2）6(x-－3)2
+x(3－-x) 分析：用提取公因式法分解，（1）中的公因式为-5a （2）由于3－-x=-(x-－3),所以公因式为（x －3） 解：（1）－5a 2
b+15ab －10a=－5a(ab －3b+2) （2）6(x －3)2
+x(3－x)= 6(x －3)2
－x(x －3)
=(x －3)[6(x －3)－x]= (x －3)(6x －18－x)= (x －3)(5x －18)
◆课下作业
●拓展提高
1、计算：18.9×0.125+1.1×81
=_________
2、如果3x 2
－mxy 2
=3x(x －4y 2
),那么m=__________ 3、－x(a －x)(x －b)－m(a －x)(b －x)的公因式是（ ）
A. x(a －x)
B. x(b －x)
C. (a －x)(b －x)
D. －m(n －1) (a －x)(b －x)
4、把多项式2(a-1)+a(1-a)提取公因式后，另一个因式是( ) A. –a-2 B. a C. 2+a D. 2-a 5.分解因式：(1)（x+y ）2
+2x+2y (2) 10a(x －y)2
－5b(y －x)
6、已知：a －b=3,ab=4,求3a 2
b －3ab 2
的值.
●体验中考
1.（2009年广西南宁）把多项式2
288x x -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．()2
24x -
B ．()2
24x -
C ．()2
22x -
D ．()2
22x +
2.（2009年浙江嘉兴）下列运算正确的是（ ） A ．b a b a --=--2)(2 B ．b a b a +-=--2)(2 C ．b a b a 22)(2--=--
D ．b a b a 22)(2+-=--
第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、 会求110的平方根吗？试一试 5、 －4有平方根吗？为什么？ 6、 想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、 求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结：
八年级上册知识点 第11章 数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 二、平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0有一个平方根，就是它本身。 3. 负数没有平方根。 三、算术平方根 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”；另一个平方根是它的相反数，即-。因此，正数a 的平方根可以记作±，其中a 称为被开方数。 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同； 2. 表示方法不同； 3. 个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1. 概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。 2. 性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。 3. 表示：数a 的立方根，记作，读作“三次根号a ”。其中a 称为被开方数，3是根指 数。 4. 一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1. 无线不循环小数叫做无理数。 2. 无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 a a a 3a
2. 实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数 分数 实数 负分数 正有理数 无理数 负有理数 （2）按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ?? ???<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.一个数的绝对值是非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．两个相反数的绝对值相等． 第12章 整式的乘除 12.1幂的运算 12.1.1同底数幂的乘法
八年级华师大版数学（下） 第16章分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 A 1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 B 叫做分式。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： A=0的条当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B 件是：A=0，B≠0。 二、分式的基本性质 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再
约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示： bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 注意事项：（1）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（2）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约b c a b c b a ±=±
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式 1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 4522--x x x x 235-+2 3+x
初二(上)数学期末测试题（华东师大版） (满分100分 考试时间100分钟) 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分, 满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1. 以下四家银行行标中，不是旋转对称图形的有 （ ） 2. 如图1所给的4个正方形网格图形中，黑色部分只用．．平移可以得到的有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 64的平方根是（ ） A. 4 B. 4± C. 8 D. 8± 4. 8a 可以写成（ ） A. 44a a + B. a 4·a 2 C. 62 ()a - D. (-a)7·(-a) 5. 下列计算正确的是（ ）. A. ()()2555a a a +-=- B. () 2222x x x x +÷=+ C. ()2 222a b a ab b +=-+ D. ()()2 2 a b b a b a ---=- 6. 若2 6(3)(2)x kx x x +-=+-，则k 的值为（ ） A. 2 B. –2 C. 1 D. –1 7. 下列四边形中，两条对角线不一定相等的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 8. 已知ΔABC 的三边分别是3,4,5cm cm cm ,则ΔABC 的面积是( )2 cm A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 12 9. 如图2，在菱形ABCD 中，6cm,8cm AC BD ==，则菱形AB 边上的高CE 的长是（ ） A. 24 5 cm B. 48 5 cm C. 5cm D. 10cm
八年级数学上册复习试题 一、选择题 1．计算（﹣a ）3?（a 2）3?（﹣a ）2的结果正确的是（ ）A ．a 11 B ．﹣a 11 C ．﹣a 10 D ．a 13 2．下列计算正确的是（ ）A ．x 2（m+1）÷x m+1=x 2 B ．（xy ）8÷（xy ）4=（xy ）2 C ．x 10÷（x 7÷x 2）=x 5 D ．x 4n ÷x 2n ?x 2n =1 3．已知（x+a ）（x+b ）=x 2﹣13x+36，则ab 的值是（ ）A ．36 B ．13 C ．﹣13 D ．﹣36 4．若（ax+2y ）（x ﹣y ）展开式中，不含xy 项，则a 的值为（ ）A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．2 5．已知x+y=1，xy=﹣2，则（2﹣x ）（2﹣y ）的值为（ ）A ．﹣2 B ．0 C ．2 D ．4 6．若（x+a ）（x+b ）=x 2+px+q ，且p ＞0，q ＜0，那么a 、b 必须满足的条件是（ ） A ．a 、b 都是正数 B ．a 、b 异号，且正数的绝对值较大 C ．a 、b 都是负数 D ．a 、b 异号，且负数的绝对值较大 7．一个长方体的长、宽、高分别是3x ﹣4、2x ﹣1和x ，则它的体积是（ ） A ．6x 3﹣5x 2+4x B ．6x 3﹣11x 2+4x C ．6x 3﹣4x 2 D ．6x 3﹣4x 2+x+4 8．观察下列多项式的乘法计算： （1）（x+3）（x+4）=x 2+7x+12；（2）（x+3）（x ﹣4）=x 2﹣x ﹣12； （3）（x ﹣3）（x+4）=x 2+x ﹣12；（4）（x ﹣3）（x ﹣4）=x 2﹣7x+12 根据你发现的规律，若（x+p ）（x+q ）=x 2﹣8x+15，则p+q 的值为（ ）A ．﹣8 B ．﹣2 C ．2 D ．8 9．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①（2a+b ）（m+n ）； ②2a（m+n ）+b （m+n ）；③m（2a+b ）+n （2a+b ）； ④2a m+2an+bm+bn ， 你认为其中正确的有（ ）A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④ 10、4的平方根是（ ）A 、2 B 、-2 C 、±2， D 、±4 11、27的立方根是（ ）A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、27± 12、下列实数中，是无理数的是（ ） A 、9± B 、38- C 、 3 π D 、0.101001 13、32a a ?的结果是（ ）A 、a 6 B 、5a C 、6a D 、26a 14、32)2(x -的结果是（ ）A 、58x B 、58x - C 、68x D 、68x - 15、99100)2()2(-+-的结果是（ ） A 、2- B 、2 C 、992- D 、992 16、36)()(a b b a -÷-的结果是（ ） A 、22b a - B 、22a b - C 、3)(b a - D 、3)(b a -- 17、2-x 有意义的条件是（ ） A 、2≠x B 、2≥x C 、2>x D 、2 第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点 和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x取何值时，下列分式有意义？ （1）（2）（3） 3. 当x为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时. （2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2．当x取何值时，分式无意义？ 3. 当x为何值时，分式的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, , 分式： , ， 2．(1）x≠-2 （2）x≠ （3）x≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, ,; 整式：8x, a+b, ; 分式：, 2． X = 3. x=-1 课后反思： 华东师大版八年级数学 上册全册教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 第十一章 数的开方 平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗这两个问题的实质是什么 2、 3、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 4、 5、 25的平方根只有5吗为什么 6、 7、 会求110的平方根吗？试一试 8、 9、 －4有平方根吗为什么 10、 11、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 12、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 13、 14、什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ② ③81 16 ④（－）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ② ③（－ 5 3）2 八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如：若3 x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3） 八年级数学上册教学计划 一、学生情况分析： 本班学生：63人，其中男生39人，女生：24人。上期末数学考试最高分120分，最低分15分，平均分103，110分以上30人.总体上看，学生的数学成绩较差，及格的同学仅93.5%；在学生的数学知识上看，基本概念，基本计算，以及基本的空间与图形知识都极其欠缺；数学的思维混乱；不能独立思考，大部分学生对数学兴趣低落，多数学生对数学严重丧失信心，谈数学而色变。 二、教材分析： 1、体系结构： （1）数学内容的引入，采取从实际问题情景境入手的方式，贴近学生的生活实际，选择具有现实背景的素材，建立数学模型，使学生通过问题解决的过程，获得数学概念，掌握解决数学问题的技能和方法。 （2）教材内容的呈现，努力创设学生自主探究的学习情况和机会，适当编排应用性、探索性和开放性的，发挥学生的主动性、留给学生充分的时间与空间，自主探索、促进学生数学思维能力、创造能力的培养与提高，为学生的终身可持续发展奠定良好的基础。 （3）教材内容的编写，把握课程标准，同时又具有弹性，编入一些选学内容，以适应较高程度学生学习的需要，使不同水平的学生都得到发展。 （4）教材内容的叙述、行当介绍数学内容的背景知识与数学史料等，将背景材料与数学内容融为一体，激发学生学习数学的兴趣，引导学生体会数学的文化价值。 （5）现代信息技术的应用在教材中占有适当地位，有利于学生理解概念、自主探索、实践体验。 2、教材体例。 （1）教材的正文中，根据教材内容的实际需要，适当设置了一些相应的栏目。如“观察”、“思考”、“实验”、“想一想”、“试一试”、“做一做”等，给学生适当的思考空间，让学生通过自主探索，获得体验和感受，掌握必要的知识。 （2）结合教材各块内容，安排一些有关的阅读材料，涉及数学史料、数学家故事、实际生活中的问题、数学趣题、知识背景等，扩大学生的知识面，增强学生的应用意识和对数学的兴趣，对学生进行爱国主义和人文主义精神教育。 （3）控制习题总量，降低难度，增加探索、开放、实践类型的习题，按照不同的要求， 第11章数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25的平方根只有5吗？为什么？ 4、会求110的平方根吗？试一试 5、－4有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－5 3 ）2 五、 测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结： 1、什么叫做平方根？ 2、一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？ 八年级上册知识点 第11章数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2.0有一个平方根，就是它本身。 3.负数没有平方根。 三、算术平方根 a，读作“根号a”；另一个平方根是它正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 a。因此，正数a的平方根可以记作±a，其中a称为被开方数。 的相反数，即- 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1.概念不同； 2.表示方法不同； 3.个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1.概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 2.性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。 3.表示：数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”。其中a称为被开方数，3是根指数。 4.一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1.无线不循环小数叫做无理数。 2.无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 2.实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数0 有理数负整数 正分数 分数 实数负分数 正有理数 无理数 华东师大版八年级数学上册全册教案 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片,纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm 2,求圆的半径长。 要想解决这些问题,就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、 看第2页,知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、 会求110的平方根吗？试一试 5、 －4有平方根吗？为什么？ 6、 想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25,（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4,所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算,叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③ 125 4 2、 求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结： 1、 什么叫做平方根？ 2、 一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？ 3、 平方和开平方运算有什么区别和联系？ 区别：①平方运算中,已知的是底数和指数,求的是幂。而在开平方运算中,已知的是指数和幂,求的是底。 ②平方运算中的底数可以是任意数,平方的结果是唯一的,在开平方运算中,开方的数的结果不一定是唯一的。 联系：二者互为逆运算。 七、 布置作业 1、 P 7第1题 2、 （选做）已知：x 是49的平方根,y 是1的平方根,求： ①2x+1 ②(x+y)2 11.1 平方根与立方根（2） 【教学目标】：1、引导学生建立清晰的概念系统,在学生正确理解平方根概念的意义和平方根的表示方法基础上,讨论算术平方根的概念及其表示方法。 第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的 分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： 第16章 分式 安岳县自治九年义务教育学校----王耀尚 §16.1.1 分式的概念 教学目标： 1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式 a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 11－x ； （2）3 22+-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式 1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-23 . 所以，当x ≠-23 时，分式3 22+-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 五、小结： 什么是分式？什么是有理式？ 4 5 22--x x x x 235-+23+x x x 57+x x 3217-x x x --221 八年级数学试题 2015.10.22 一、选择题(每小题3分，共36分) 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（） 2.下列说法中正确的是( ) A.面积相等的两个图形是全等形 B.周长相等的两个图形是全等形 C.所有正方形都是全等形 D.能够完全重合的两个图形是全等形 3.点（3,2）关于x轴的对称点为( ) A.(3，-2) B.(-3，2) C.(-3，-2) D.(2，-3) 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（） A. ∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C. BC∥EF D. ∠A=∠EDF 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A/O/B/=∠A O B的依据是 ( ) A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 6. 下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是 （） A. 等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若 CD=4，则点D到AB的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8. 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合 要求的是( ) ．．． 9.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=4cm，则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10. 如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( ) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 11. 如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A/B/C/D/E/F/.下列判断错误 ．．的是（）. A. AB=A/B/ B. BC//B/C/ C.直线l⊥BB/ D.∠A/=120° 2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分 子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1．判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0 1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分 第12章数的开方 12.1平方根与立方根（1） 知识技能目标 1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点； 2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧； 4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识． 教学重点与难点 通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根. 教学过程 一、创设情境 问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长． (学生探索，回答问题) 二、探究归纳 问题1解设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：x2＝25， 求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长． 因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5． 答正方形纸片的边长为5cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25． 问题2解设圆的半径为R cm，依题意有： πR2=16π，即R2=16， 求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径． 因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．答圆的半径为4cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16． 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值． 概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．三、实践应用 例1求100的平方根． 新版华师大版八年级下 数学教案全册 Revised as of 23 November 2020 第十六章 分式 16．1分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为 v +20100小时，逆流航行60千米所用时间 v -2060小时，所以v +20100= v -2060. 3. 以上的式子v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点它们与分数有什么相同点和不同点 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0 （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○ 1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式 9x+4, x 7 , 20 9y +, 54-m , 238y y -，9 1-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义 （1） （2 ） （3） 1-m m 32 +-m m 112 +-m m 4522--x x x x 235-+23 +x新版华师大版八年级下数学教案全册
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