基于加权灰色系统预测模型的地面沉降研究
杨华
(上海众恒信息产业股份有限公司，上海 200042)
摘要
地面沉降是一种严重的永久性资源损失的地质灾害现象，它具有持续时间长、影响范围广和防
治难度大的特点。本文采用加权GM(1,1)模型，利用MA TLAB 语言及其工具箱，结合上海某地区地面沉降监测数据编制了预测程序及其精度验证程序。研究成果对于预测地面沉降的发展趋势以及有效控制该地区地面沉降都具有非常重要的指导意义。 关键词
地面沉降；灰色系统；后验差比值；小误差概率
1 前言
地面沉降是一个受多方面因素影响的复杂过程，这些因素中有已知信息，也有未知信息，而且处于不断的变化之中，所以预测沉降量的未来变化问题，实质上可以看作一个灰色系统。在过去的地面沉降研究中，在地面沉降的定量分析中，灰色建模理论是一个有力的数学工具。由于引起地面沉降的因素是复杂多样的，且彼此之间的关系是灰色的，灰色预测模型正是适应这种客观需要，通过对灰色系统各因素间的“灰”关系“白化”，即清晰化，从而达到准确预测未来的变化趋势[1]。
传统的GM （1，1）建模方法是基于最小二乘法而得到的，它认为历史数据对于预测值具有同样的贡献率。实际上，历史数据对预测值的贡献率同数据的采样时间是密切相关的，越新的数据在预测中贡献率越高。所以本文采用加权GM(1,1)系统模型，对时间序列上的地面沉降进行分析研究，研究区地面沉降的发展变化规律。
2 基本原理
2.1
加权GM(1,1)系统模型
设)()0(k X 是所要预测的地面沉降某一时间k 的原始数据，则地面沉降时间序列数据可
表示为：
{})(),2(),1()
0()0()0()0(n X X X X ，??= （1）
对)
0(X 作一阶累加处理，即1-AGO （Accumulated Generating Operation ）生成一阶灰色
模块：
{})(),2(),1()1()1()1()1(n X X X X ，??= （2）
其中
∑==i
t t X t X
1
)0()
1()
()(
即：
{})()1(),2()1(),1()
0()1()0()1()0()1(n X n X X X X X +-??+=， 白化形式的微分方程为：
u t aX dt dX =+)()1()
1( （3）
式中，a 为系统的发展指数；u 为系统的内生控制灰数。 根据最小二乘法可以求解出参数向量：
WY B WB B u a a T T T 1^
)(],[-== （4）
其中：
??
?
??
?? ??+--????+-+-=1))()1((5.01))3()2((5.01))2()1((5.0)1()1()
1()1()1()1(n X n X X X X X B
T n X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0(??= ???????????????
????
?=???????
??????
?
????=q q q n n w w w W 00
03000
200
0000
32
经反复尝试预测模型，q
的最优值为3/2。
求出
u a ,后，将其代入（3）式，即可确定微分方程的形式及其时间响应函数：
a u
e a u X j X
aj +
-=+-])1([)1()0()
1(^
（5）
然后通过1-IAGO （Inverse Accumulated Generating Operation ）还原生成预测序列为：
)()1()1()
1(^)
1(^)
0(^j X
j X
j X
-+=+ （6）
式（5）、式（6）即为地面沉降预测GM （1，1）模型的时间响应函数及预测序列计算
公式。 2.2
预测精度分析及检验
预测精度检验采用后验差检验方法，设原始数据序列为
{})()
0(i t X ，均值为：
∑==n i i t X n X
1
)
0()
0()(1
记i t
时刻的残差为：
)()()()
0(^)
0()
0(i i i t X
t X
t -=ε
残差均值为：
∑==n i i t n 1
)
0()
0(^)(1εε
则原始数据的均方差1S 为：
∑=--=n i i
X t X n S 1
2)0()
0(2
1
])([11
残差的均方差2S 为：
∑=--=n i i
t n S 1
2)0()
0(2
2
])([11εε
后验差比值12/S S C =
小误差概率
{}1
)
0()
0(6745.0)(S t p i <-=
ε
ε
模型精度由C 和p 共同确定，其标准为模型精度级别=MAX{C 所处级别，p 所处级别}。模型的精度通常分为四级，分级标准及相应的C ，p 值见表1[2]。
表 1.
模型精度等级 模型精度等级
p
C
1级（好） ≥0.95
≤0.35
2级（合格） 0.80≤p ＜0.95 0.35＜C ≤0.50 3级（勉强） 0.70≤p ＜0.80 0.50＜C ≤0.65 4级（不合格）
＜0.70
＞0.65
3 上海市某地地面沉降灰色预测模型的建立
3.1
数据获取
1965年以后，上海市通过限制地下水开采、调整地下水开采层次及开展地下水人工回灌等措施，地面沉降得到了有效控制。在措施实施初期，市区地面出现明显回弹。但自1972年开始，地面每年以平均约3mm 左右的速度沉降，且上海郊区的沉降速度逐年加快，造成
这种现象的原因在于缺乏监控和管理。上海市中心城区自上世纪60年代就启动了地质灾害研究，但上海的10个郊县，在地面沉降的研究方面就相对较少。
根据上海市某地区地面沉降GPS 监测点获得的时间序列图表，得到了以3个月为时间间隔的19个沉降数据。如下表：
表 2. 某地区地面沉降数据 (单位：mm) 时间序列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )0(X 3 21 24 20 21 27 29 31 33
时间序列
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 )0(X
35 37 39 42 43 45 46 47
48
49
3.2 模型建立及预测
根据上述加权灰色预测模型，求出了响应函数中的参数向量和两个精度检验量（后验差比值C 和小误差概率p ），并对其预测结果进行了精度等级判定。
参数向量为：
???
???-=??????=9568.160585.0^
u a a GM(1,1)模型的白化微分方程为：
9568
.16)0585.0()1()
1(=-+X dt dX
其时间响应序列为：
0585.09568
.16)0585.09568.16)1(()1()0585.0()0()
1(^-+
--
=+--k e X k X
因此，得到还原生成的预测序列： )()1()1()
1(^)1(^)
0(^k X k X k X
-+=+
获得加权GM(1,1)模型的后验差比值C=0.2092，小误差概率p=1，按照表1模型精度等
级划分，预测精度为1级，计算结果见表3。
表 3. 地面沉降加权GM(1,1)模型计算结果 时间
序列 序列 观测值 GM(1,1) 预测值 加权GM(1,1) 预测值
GM(1,1) 误差值 加权GM(1,1) 误差值 1 3 3.0000 3.0000 0 0
2 21 17.6429 21.5508 -3.3571 0.5508
3 2
4 18.7050 22.6212 -5.294
5 -1.3788 4 20 19.8311 23.7447 -0.1689 3.7447 5 21 21.0249 24.9241 0.0249 3.9241
6 2
7 22.2907 26.1620 -4.7093 -0.8380 7 29 23.6326 27.4614 -5.3674 -1.5386
8 31 25.0553 28.8254 -5.9447 -2.1746
9 33 26.5637 30.2571 -6.4363
-2.7429
10 35 28.1629 31.7599 -6.8371 -3.2401
11 37 28.8583 33.3374 -8.1417 -3.6626
12 39 31.6558 34.9932 -7.3442 -4.0068
13 42 33.5616 36.7313 -8.4384 -5.2687
14 43 35.5820 38.5557 -6.4180 -4.4443
15 45 37.7241 40.4707 -7.2759 -4.5293
16 46 39.9952 42.4808 -6.0048 -3.5192
17 47 42.4029 44.5908 -4.5971 -2.4092
18 48 44.9557 46.8055 -4.0443 -1.1945
19 49 47.6621 49.1303 -1.3379 0.1303
20 - 50.5314 51.5705 -
21 - 53.5735 54.1319 -
22 - 56.7987 56.8206 -
23 - 60.2180 59.6428 -
24 - 63.8433 62.6051 -
25 - 67.6867 65.7146 -
26 - 71.7616 68.9786 -
27 - 76.0817 72.4046 -
3.3 结果分析
20世纪90年代以前，上海市施工量较少，地面沉降的主要原因是抽取地下水。20世纪90年代以来，上海跨入发展新时期，到2000年底上海共有高层建筑3529幢，这时期工程施工对地面沉降的影响约为32%[3]。由此可以看出，从21世纪开始，上海开始了大量的工程施工，所以又开始了一个沉降的严重时期。
本文建立的模型是时间序列模型，通过后验差精度方法验证，可以得出GM(1,1)模型的后验差比值为0.2217，小误差概率为1，加权GM(1,1)模型的后验差比值为0.2092，小误差概率为1。由此可以看出，加权GM(1,1)模型比GM(1,1)模型能更好的预测地面沉降。通过此模型也可以看出，该地区地面沉降呈逐年增大趋势，如果在今后的几年内政府在抽取地下水应用和城市建筑规划方面不及时加以控制，地面沉降趋势将加重。
4结论
从理论上来说，灰色系统可以对地面沉降进行长期预测，但是由于地面沉降是由一个复杂的确定和不确定的因素引起的灰色系统，随着时间的推移，可能还会有一些新的因素进入系统或一些因素退出系统，对系统施加影响从而使系统发生变化[5]。所以灰色系统模型在实际应用的过程中，每隔一定的时间，必须实时补充一些新的数据，同时剔除一些老的数据，对模型进行更新，从而保证其预测精度。
参考文献
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态,2007,20(5):32-34.
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报,2002,30(9):1129-1133.
[4]吴振祥,樊秀峰,简文彬.福州温泉区地面沉降灰色系统预测模型[J].自然灾害学
报,2004,13(6):59-62.
[5]王军平,陈世全.灰色_神经网络综合预测模型[J].计算机工程与应用,2004.09.
The Research of Land Subsidence of the Area in Shanghai Based on Gray System Model Used
in Forecasting
YangHua
(Shanghai Triman Information & Technology Co., Ltd, Shanghai 200042) Abstract Land subsidence is a severe geological disaster phenomenon with losing resource permanently, and it has characters as follows :long duration ,expansive influence and difficult prevention and control .In this article ,we select the area ground subsidence data sequence in Shanghai，use grey system model ,and establish the land subsidence prediction model with MATLAB language and toolbox. The research results can predict the development trend of land subsidence and have a very important guiding significance of the effective control of land subsidence.
Keywords Land subsidence; Gray system; Posterior poor radio; Small error probability
基于灰色预测模型的上海世博会分析 张文彬华北电力大学保定 张静峰华北电力大学科技学院保定 摘要：众所周知，世博会正日益成为全世界人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。世博会的举行可以推动该城市经济的发展。本文基于灰色预测模型从第一、第二、第三产业、进出口贸易、居民消费价格指数等方面对上海世博会的举行对上海经济的发展进行了分析和说明。 关键词：灰色预测模型，世博会，经济发展 一前言 世界博览会是人类文明的驿站。自1851年伦敦的万国工业博览会开始，世博会正日益成为全球经济、科技和文化领域的盛会，成为各国人民总结历史经验、交流聪明才智、体现合作精神、展望未来发展的重要舞台。 中国是一个历史悠久的文明古国，2010年世界博览会的成功举行，让中国了解了世界，也让世界更多的了解中国，同时上海世博会的成功举行对上海经济的发展也起到了巨大的推动作用。而评价经济体系的指标有很多，本文选择有代表性的第一产业（农业、林业、牧业、渔业等）、第二产业（采矿业、制造业、电力、燃气及水的生产和供应业，建筑业等）、第三产业（交通运输业、邮电通讯业、商业饮食业等流通类行业和金融业、保险业、旅游业、教育文化、酒店业等服务类产业）、居民消费价格指数、进出口贸易等指标[1][2]，根据上海统计年鉴中1997-2002年各指标的数据，剔除世博会举行的因素，利用灰色预测模型对2003-2009年的相关数据进行预测，并进行了残差分析，然后根据实际世界博览会举行时各项指标数据，通过与预测数据的图形对比，可以直观反映出上海世博会对上海经济发展的影响力，并对相关数 据进行了分析。 二灰色预测模型[3][4] 灰色系统理论最早由华中理工大学邓聚龙教授提出，先后发表过灰色控制、灰色预测、灰色决策等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的产生、原理与应用。什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作黑系统；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”，而灰色预测就是采用已知的数据来预测未知的数据的一种方法。其中G表示Grey(灰，M表示Model(模型，前一个“1”表示一阶，后一个“1”表示一个变量，GM(1, 1则是一阶，一个变量的微分方程预测模型。其算法流程如下： 1．由已知数据得初始，并按生成新的数列 。
灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 1.1灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 1.2灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。 上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进行预测，比如 灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。
实验四 1． 实验项目名称 灰色系统预测模型 2．实验目的 要求掌握灰色系统检验方法，尤其是GM(1.1)模型 2． 实验环境 使用灰色系统理论建模软件 4．实验内容与实验步骤 1.灰色预测时关于残差、关联度、方差比和小误差概率的检验准则 M(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。 （1）残差检验：对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算(1)?(1)x i +，将(1)?(1)x i +累减生成(0)?()x i ，最后计算原始序列(0)()x i 与(0)?()x i 的绝对残差序列及相对残差序列，并计算平均相对残差。给定α，当φα<，且n φα<成立时，称模型为残差合格模型。 （2）关联度检验:即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述 的关联度计算方法，计算出 (0) ?()x i 与原始序列(0)()x i 的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。 （3）后验差检验:即对残差分布的统计特性进行检验。若对于给定的00C >，当 0C C <时， 称模型为均方差比合格模型；如对给定的 00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格 模型。若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。 2.实验的基本程序、基本步骤和运行结果 现在已知我国从2002年-2013年的每年的专利申请量的数据，试建立灰色预测模型并且预测2014年我国的专利申请量的情况。 2.1在excel 表格中输入以下数据
2.2计算并累加 设时间序列为 X(0)=（x(0)(1), x(0)(2), x(0)(3)，x(0)(4)………………………………. x(0)(12)）=（205396，251238，278943，345074…………… 1505574） 计算并累加 X(0)的1-AGO序列为(累加) (1)(1)(1)(1)(1)x(1)(12)）得到下图 2.3对X(1)做紧邻均值生成 令Z(1)（k）=（0.5x(1)(K)+0.5X(1)(K-1)），k=1,2,3,4…….13;
灰色预测模型的Matlab 程序及检验程序 %灰色预测模型程序 clear syms a b; c=[a b]'; A=[46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3];% 原始序列 B=cumsum(A);%累加n=length(A); for i=1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; end %计算待定参数 D=A; D(1)=[]; D=D'; E=[-C; ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c'; a=c(1); b=c(2); %预测往后预测5个数据 F=[];F(1)=A(1); for i=2:(n+5) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end G=[];G(1)=A(1); for i=2:(n+5) G(i)=F(i)-F(i-1); end t1=2002:2009; t2=2002:2014; G plot(t1,A,'o',t2,G) %灰色预测模型检验程序 function [ q,c,p ] = checkgm( x0,x1 ) %GM 检验函数 %x0 原始序列
%x1 预测序列 %·返回值 % q –- 相对误差 % c -- ·方差比 % p -- 小误差概率 e0=x0-x1; q=e0/x0; s1=var(x0); %qpa=mean(e0); s2=var(e0); c=s2/s1; len=length(e0); p=0; for i=1:len if(abs(e0(i)) < 0.6745*s1) p=p+1; end end p=p/len; end
建设与管理工程学院 课程设计 课程名称: 物流系统分析与优化课程设计课程代码:1204179 题目:某物流公司订单额预测 年级/专业/班:2012级物流管理2班 学生姓名:杨超 学号:312012********* 开始时间: 2016年6月6日 完成时间: 2016年6月 20日 课程设计成绩： 指导教师签名：年月日
物流系统分析与优化课程设计 任务书 学院名称：建设与管理工程学院课程代码：__1204179_ 专业：物流管理年级：2012 一、题目 自选题目，题目可以选择当前物流或流通领域热点问题或企业实际情况，开展物流系统分析与优化活动，提交成果，写出总结。选题尽量细小，避免假、大、空。 选题参考： 选题参考： 1、针对当前物流或流通领域的相关问题，在国内外公开出版的刊物上发表论文。 2、物流或流通相关领域的发明创造、创业计划书。 4、针对当前物流或流通领域热点问题的物流系统分析与优化课程设计等。 本人题目：某物流公司订单额预测 二、主要内容及要求 内容与物流或流通领域相关的物流系统分析，形式上可以是（但不限于）以下之一： 1.一人一题，不允许重复。调查类型的题目允许以小组为单位，但个人论文题目应有所区 别，各有侧重。 2.格式要求（附后，含目录、摘要、引言、正文、致谢、参考文献） 3.工作量要求：正文部分字数4000以上 4.阶段性要求：每周必须与导师见面，寻求指导；选题须经导师同意后才可进 入下一阶段； 5.本课程特别强调物流系统分析与优化。抄袭者将不予成绩且无重新提交报告 的资格。 6.提交材料： Ａ、最终成果：（装订顺序为：封面、任务书、课程论文，可能的案例或调查计划。）Ｂ、参考的资料（可以是原始文稿电子文档或纸质件、书、手写的读书笔记、摘抄等反应），共指导教师检查、不存档。
1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测 从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。 鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。 (1) 模型的选择 经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下： 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为) 0(X 的原始非负数据序列 )0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)() 0(n x ] （1.1） 则) 0(X 的一阶累加生成序列 )1(X =[)1() 1(x ,)2()1(x …)()1(n x ] （1.2） 式中 ) ()(1 )0() 1(i x k x k i ∑== k=1,2…n ② 对) 0(X 进行准光滑检验和对进行准指数规律检验
第六章 灰色系统预测 练习题 一、单项选择题 1灰色系统的内部特征是()。 A.完全已知的 B 完全未知的 C 一部分信息已知，一部分信息未知 D.以上都可以 2.黑色系统的内部特征是〔〕。 A 完全己知的 B.完全未知的 C.一部分信息己知，一部分信息未知 D.以上都可以 3.白色系统的内部特征是()。 A.完全已知的 B.完全未知的 C 一部分信息已知，一部分信息未知 D.以上都可以 4.用观察到的反映预测对象待征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间的方法属于〔〕 A 灰色时间序列预测 B 畸变预测 C 系统预测 D 拓扑预测 5.对地震时间的预测属于（） A 灰色时间序列预测 B 畸变预测 C 系统预测 D 拓扑预测 6.市场中代用产品、相互关联产品销售挺互报制约的预测属于（） A 灰色时间序列预测 B 畸变预测 C 系统预测 D 拓扑预测 7.将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定位发生的所有时点.并以该定值为框架钩成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点的预测方法属于()。 A 灰色时间序列预测 B 畸变预测 C 系统预测 D 拓扑预测 8.在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理是为了（） A.弱化原始时间序列的随机性 B 弱化原始时间序列的趋势性 C 弱化原始时间序列的季节性 D.弱化原始时间序列的周期性 9已知序列)30,5.23,20,4.18,6.11,10()0(=X ,此序列的一次累加生成列记为)1(X 。则以下说法不正确的是（） A 10)1()1(=X B 6.21)2()1(=X
灰色预测模型matlab程序 %下面程序是灰色模型GM(1,1)程序二次拟合和等维新陈代谢改进预测程序,mat lab6.5 ,使用本程序请注明，程序存储为gm1.m %x = [5999,5903,5848,5700,7884];gm1(x); 测试数据 %二次拟合预测GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) sizexd2 = size(x,2); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=size(z1,2); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN; au = au0'; %B,au0,au
ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '('; rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,r ightbra,'+',leftbra,num2str(ua),rightbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1 = size(ze1,2); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1; au2 = au20'; %z4,X1,G,au20
数学模型与数学实验数 课程报告 题目：灰色预测模型介绍专业： 班级： 姓名： 学号： 二0一一年六月
1. 模型功能介绍 预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。 灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚 龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个 变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。 现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点： 为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 关联度]1[
灰色预测模型原理 综合预测模型（ 灰色预测模型 (1,1)GM ） 为了是更准确的反映市场实际需求情况，我们建立综合预测模型，利用灰色模型 (1,1)GM 对平均销量做确定性增长趋势进行预测。 我们将时间序列2001—2005的实际销量值 (0)t X 累加处理生成新序列(1)t X ，则GM （1，1）模型相应的微分方程为： (1)(1)t t dX X dt αμ+= (20012005t =年 其中 α 为发展灰数 μ 为内生控制灰数 同时通过α?待估参数向量，?ααμ ??= ??? ，利用最小二乘法求解。解得： ()1?T T B B B Y α-= 矩阵B 为 (1)t X 取累加平均值所得 矩阵Y 为 (0)t X 转置矩阵 求解微分方程，即可得预测模型： ()()1011?t t X X e αμμαα-+??=-+???? ，(20012005)t =年 灰色模型算法描述： Step1. 累加处理生成新序列(1)t X Step2. 迭代计算出矩阵B 迭代计算 (1)(1)12t t t X X V ++= (20012004)t =年
得到 11,2111t t V B V --????=?????? Step3. 生成矩阵Y (0)1t t V X += ( 20012004t =年 T t t Y V = Step4. 计算系数矩阵α ? ()1 ?T T B B B Y α-= 解得,αμ Step5. 由得到的灰数,αμ 解微分方程 ()()1011?t t X X e αμμαα-+??=-+??? ? 即 预测出2006年的书号的平均销售量 Step6. 灰色模型残差检验
数学建模之灰色预测模 型 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足 [](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=<
则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?? ???? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为 (0)(1)(1)???(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=- ⑥精度检验和预测 残差 (0)(0)?()()(),1,2,,,k x k x k k n ε=-=
灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程 邓聚龙，jq ，佚名 摘要：从灰色系统的预备知识、灰色系统预测模型GM(1,1)的计算、灰色系统预测模型的检验、GM(1,1)预测应用举例以及GM(1,1)模型的特点等五个方面阐述了灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程，这对于地理科学本科生学会运用该方法解决实际的地理预测问题，改进思维方式，提高实践能力具有一定的意义。 关键词：预测；灰色系统；模型检验；模型特点 1 预备知识 1.1 灰色系统 白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。 1.2 灰色预测 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。 2 灰色系统预测模型GM(1,1) 2.1 GM(1,1)的一般形式 设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列： X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n} 其中 X (1) (k )＝ ∑ =k i 1 X (0)(i) ＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：
%x=[1019,1088,1324,1408,1601];gm1(x); 测试数据%二次拟合预测GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) if nargin==0 x=[1019,1088,1324,1408,1601] end format long g sizex=length(x); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=length(z1); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN; au = au0'; %B,au0,au afor = au(1); ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '(';
rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,rightbra,'+ ',leftbra,num2str(ua),rightbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1=length(ze1); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1; au2 = au20'; %z4,X1,G,au20 Aval = au2(1); Bval = au2(2); %Aval,Bval %输出预测的 A,B的值 strcat(x1t1,'=',num2str(Aval),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,rightbra,'+',lef tbra,num2str(Bval),rightbra) %输出时间响应方程 nfinal = sizex-1 + 1;（其中+1可改为+5等其他数字，即可预测更多的数字） %决定预测的步骤数5 这个步骤可以通过函数传入 %nfinal = sizexd2 - 1 + 1; %预测的步骤数 1 for k3=1:nfinal x3fcast(k3) = constant1*exp(afor1*k3)+ua; end %x3fcast %一次拟合累加值 for k31=nfinal:-1:0 if k31>1 x31fcast(k31+1) = x3fcast(k31)-x3fcast(k31-1); else if k31>0
灰色预测模型的Matlab程序及检验程序%灰色预测模型程序 clear syms a b; c=[a b]'; A=[46.232.626.723.020.018.917.516.3];%原始序列B=cumsum(A);%累加 n=length(A); for i=1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; end %计算待定参数 D=A; D(1)=[]; D=D'; E=[-C;ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c'; a=c(1); b=c(2); %预测往后预测5个数据 F=[];F(1)=A(1); for i=2:(n+5) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end G=[];G(1)=A(1); for i=2:(n+5) G(i)=F(i)-F(i-1); end t1=2002:2009; t2=2002:2014; G plot(t1,A,'o',t2,G) %灰色预测模型检验程序 function[q,c,p]=checkgm(x0,x1) %GM检验函数 %x0原始序列 %x1预测序列 %·返回值
%q–-相对误差 %c--·方差比 %p--小误差概率 e0=x0-x1; q=e0/x0; s1=var(x0); %qpa=mean(e0); s2=var(e0); c=s2/s1; len=length(e0); p=0; for i=1:len if(abs(e0(i))<0.6745*s1) p=p+1; end end p=p/len; end 等级相对误差q方差比C小误差概论P I级<0.01<0.35>0.95 II级<0.05<0.50<0.80 III级<0.10<0.65<0.70 IV级>0.20>0.80<0.60
灰色预测模型matlab程序 灰色模型预测是在数据不呈现一定规律下可以采取的一种建模和预测方法，其预测数据与原始数据存在一定的规律相似性 %下面程序是灰色模型GM(1,1)程序二次拟合和等维新陈代谢改进预测程序,mat lab6.5 ,使用本程序请注明，程序存储为gm1.m %x = [5999,5903,5848,5700,7884];gm1(x); 测试数据 %二次拟合预测GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) sizexd2 = size(x,2); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=size(z1,2); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN;
%B,au0,au afor = au(1); ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '('; rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,r ightbra,'+',leftbra,num2str(ua),rightbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1 = size(ze1,2); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1;
灰色理论预测模型及GM(1,1)matlab程序灰色预测方法简介 灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类： a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。累加前数列为原始数列，累加后为生成数列。 b、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。累减生成可将累加生成还原成非生成数列。 c、映射生成：累加、累减以外的生成方式。 建模步骤 a、建模机理 b、把原始数据加工成生成数； c、对残差（模型计算值与实际值之差）修订后，建立差分微分方程模型； d、基于关联度收敛的分析； e、gm模型所得数据须经过逆生成还原后才能用。 f、采用“五步建模（系统定性分析、因素分析、初步量化、动态量化、优化）”法，建立一种差分微分方程模型gm(1,1）预测模型。 GM(1,1)程序： % 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。 % 应用的数学模型是GM(1,1)。 % 原始数据的处理方法是一次累加法。 clear;clc; % load ('data.txt');
% y=data'; y=[3 4 5 4 7 7]; n=length(y); yy=ones(n,1); yy(1)=y(1); for i=2:n yy(i)=yy(i-1)+y(i); end B=ones(n-1,2); for i=1:(n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; B(i,2)=1; end BT=B'; for j=1:n-1 YN(j)=y(j+1); end YN=YN'; A=inv(BT*B)*BT*YN; a=A(1); u=A(2); t=u/a; t_test=input('请输入需要预测个数：'); i=1:t_test+n; yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; yys(1)=y(1); for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1); end x=1:n; xs=2:n+t_test; yn=ys(2:n+t_test); plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b'); det=0; for i=2:n det=det+abs(yn(i)-y(i)); end det=det/(n-1); disp(['百分绝对误差为：',num2str(det),'%']); disp(['预测值为：',num2str(ys(n+1:n+t_test))]);
管理预测与决策的课程设计报告 灰色系统理论的研究 专业：计算机信息管理 姓名：XXX 班级：xxx 学号：XX 指导老师：XXX 日期2012年11月01 日
摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型， 另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给 出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。 关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论
目录 1、引言 (1) 1.1、研究背景 (1) 1.1.1、国内研究现状 (1) 1.1.2、国外研究现状 (1) 1.2、研究意义 (1) 2、灰色系统及灰色预测的概念 (2) 2.1、灰色系统理论发展概况 (2) 2.1.1、灰色系统理论的提出 (2) 2.1.2、灰色系统理论的研究对象 (2) 2.1.3、灰色系统理论的应用范围 (2) 2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 (3) 2.2、灰色系统的特点 (3) 2.3、常见灰色系统模型 (4) 2.4、灰色预测 (4) 3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测 (5) 3.1、GM(1,1)预测模型的基本原理 (5) 4、小结 (8) 参考文献： (8)
§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规 律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）