流体力学数值方法
第六讲
扩散问题的有限体积法
◆稳态纯扩散
()0
=+ΓφφS grad div 0
)(=+Γ∫∫CV
CV
dV S dV grad div φφ0)(=+Γ?∫
∫
CV
A
dV S dA grad n φφr
▼控制容积的取法
方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）
方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划分控制容积）
◆方程离散的步骤
首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体
积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面
上的参数的近似而得到最终的离散方程。
对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心
◆方程的求解（举例）
在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线
φ
性方程组。求解该方程组即可得每个节点的值。
高分辨熔解曲线(high-resolution melt，HRM)分析技术是近几年来在国外兴起的一种用于突变扫描和基因分型的最新遗传学分析方法。它是一种高效稳健的PCR 技术，不受突变碱基位点与类型局限，无需序列特异性探针，在PCR 结束后直接运行高分辨熔解，即可完成对样品突变、单核苷酸多态性-SNP 、甲基化、配型等的分析。因操作简便快速，使用成本低，结果准确，实现了真正的闭管操作，HRM技术受到普遍关注。 HRM 原理 HRM 的主要原理是根据DNA 序列的长度，GC 含量以及碱基互补性差异，应用高分辨率的熔解曲线对样品进行分析，其极高的温度均一性和温度分辨率使分辨精度可以达到对单个碱基差异的区分。同许多荧光 PCR 技术一样，HRM 是利用了特定的染料可以插入DNA 双链中的特性，通过实时监测升温过程中双链DNA 荧光染料与PCR 扩增产物的结合情况记录高分辨率熔解曲线，从而对样品进行检测。如在SNP 的检测中，SNP 位点由于不匹配双链DNA 在升温过程中会先解开，荧光染料从局部解链的DNA 分子上释放，从荧光强度与时间曲线上就可以判断是否存在SNP，而且不同SNP 位点、杂合子与否等都会影响熔解曲线的峰形，因此HRM 分析能够有效区分不同SNP 位点与不同基因型。随着高精度PCR 仪（LightCycler 480 和Rotor-Gene 6000）和饱和性染料（LC Green 、Eva Green 等）的出现为HRM 这一技术的普及使用成为可能。 HRM 特点 由于HRM 完全是基于核酸的物理性质进行分析，因而无需序列特异性探针。基于这种检测原理，HRM 检测不受突变碱基位点和种类的局限，既可以对未知突变进行筛查、扫描，又可以对已知突变进行分析，亦可用于短片段重复序列的分析，所需要的只是在常规 PCR 基础上增加一个饱和染料。所以，相比传统的SNP 或突变分析法和定量探针法，简化了操作时间和步骤，大大降低了使用成本，并且实现了闭管操作，使其用于临床常规化检测成为可能。高分辨率熔解曲线分析可以鉴别出PCR 产物中杂合的单碱基突变 这种方法比起普通的技术来说有更好的灵敏性和特异性。采用这种方法进行的突变的检测不依赖于突变在片段中所在的位置。当片段的大小在400 bp 或者更小时，灵敏性最高。除了能鉴定出未知的杂合突变，高分辨率熔解曲线还可以被用来鉴定特定位点的突变，在这种情况下，扫描未知突变和进行基因分型可以结合在一起，使得分析更为简单。对于目前绝大多数的突变分析方法来说，都很难鉴定出纯合子序列突变。在一些不同种类的小的扩增片段中，高分辨率熔解曲线则显示出了鉴定纯合子序列突变的能力，这种方法能鉴定出大多数的纯合突变。HRM 技术在遗传学研究方面也带来很大便利，只需在PCR 反应体系中加入双链DNA 饱和荧光染料，在PCR 反应之后再花15 分钟，就可以完成96 或384 个样品的DNA 变异扫描。HRM 在这些方面的优势使其具有极强的可操作性，成为近年来国外新兴的遗传学、方法学研究和应用热点。 HRM 技术优势
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介 1.有限差分方法 有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 2.有限元方法 有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 在数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的
1.1 概念 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 1.2 差分格式 （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 1.3 构造差分的方法 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 2. FEM 2.1 概述 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 2.2 原理 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。 （1）从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法； （2）从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格； （3）从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。 不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
北京泰格瑞分子检验有限公司 高分辨率熔解曲线 高分辨率熔解（High-resolution melting，简称HRM）分析的主要原理是由于DNA序列的片段长短，GC含量、分布以及碱基互补性差异等的不同，在DNA 分子热变性时会使溶解曲线的形状和位置有所不同。同许多荧光PCR技术一样，HRM 利用特定的染料可以插入DNA 双链中的特性，通过实时监测温度变化过程中双链DNA 荧光染料与PCR扩增产物的结合情况记录高分辨率熔解曲线，从而对样品进行检测, 可以迅速的检测出核酸片段中 GC 含量和单碱基的突变。高精度PCR 仪及饱和性染料（LC Green 、Eva Green 等）的出现使HRM得到广泛的普及和应用。 项目： 已知SNP位点检测；外显子突变位点筛查；物种鉴定、品种鉴定；甲基化研究；法医学鉴定、亲子鉴定。 样本要求： 新鲜或异硫氰酸胍保存的细胞(﹥5×106)、组织(﹥50mg)、血液(﹥300μl)等样本原材料，或纯化好的DNA(OD260/OD280在 1.7-1.9之间)、总RNA(OD260/OD280在1.9-2.1之间，完整性好)，或反转录好的cDNA不少于30μl(纯度在1.9-2.1之间，及反转录好的cRNA完整性好)。 技术优势： 高通量：1 次可同时检测多个样本。 高敏度：HRM 检测灵敏度达1%-0.1% ，是传统“PCR+ 测序”方法25-250 倍。特异性好：PCR 产物无需后续处理，特异性强。 重复性好：样品经PCR 扩增后直接进行HRM，直接在同一个PCR 管内进行分析，实现闭管操作，避免交叉污染。 操作简便：只需设计PCR 引物，进行PCR 反应，无需序列特异性探针，无需测序，也不受突变碱基位点与类型的局限。 成本低：相比传统的SNP/突变分析法和定量探针法，简化了操作步骤，缩短了实验时间，大大降低了使用成本。
第4章 有限体积法 1.1 积分方程 守恒方程的形式为积分方程。 ???+?=?Ω S S Ωq S ΓS d d grad d φφρφn n v （ 4-1 ） 4.1 控制体积 求解区域用网格分割有限个控制体积（Control V olumes, CVs ）。同有限差分不同的是，网格为控制体积的边界，而不是计算节点。为了保证守恒，CVs 必须是不重叠的，且表面同相邻CVs 是同一个。 i. 节点为中心 CVs 的节点在控制体积的中心。先定义网格，任何找出中心点。优点：节点值代表CVs 的平均值，可达二阶精度。 ii. 界面为中心 CVs 的边界线在节点间中心线上。先定义节点，再划分网格。优点：CV 表面上的CDS 差分精度比上面方法高。 两个方法基本一样，但在积分时要考虑到位置。但第一个方法用得比较多。 节点为中心 界面为中心
∑?? =k S S k fdS fdS （ 4-2 ） - 对流：n v ?=ρφf 在垂直于界面的方向 - 扩散：n ?=φgrad Γf 在垂直于界面的方向 如果速度也是未知的，则要结合其它方程一起求解。 考虑界面e ，通过表面的总通量为： 1. 基于界面中心值 中间点定理：(midpoint rule) 表面积分为格子表面上的中心点的值和表面积的乘积。 e e e S e e S f S f fdS F e ≈==? （ 4-3 ） 此近似为2阶精度。 由于f 在格子界面没有定义值，它必须通过插值来得到。为了保证原有的2阶精度，插值方法也须采用2阶精度的方法。 2. 基于界面顶角值 当已定义角上的值时，2阶精度的方法还有： ()?+= =e S se ne e e f f S fdS F 2 （ 4-4 ） 3. 高阶精度近似 ()?++= =e S se e ne e e f f f S fdS F 46 （ 4-5 ） 4阶精度Simpson 法。 4.3 体积积分近似 ??≈?==Ω P P Ωq Ωq qd ΩQ （ 4-6 ） q p 为CV 中心节点值。高阶精度要求为节点的插值或形状函数来表示。如 ),(),(y x f y x q =。然后对体积积分。
有限差分和有限体积的有限元等 有限元法、有限差分法和有限体积法的区别 标签：函数有限元插值差分格式 有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法。从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函
流体计算理论基础 1 三大基本方程 连续性方程 连续性方程也称质量守恒方程，任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律可表示为：单位时间内流体微元中质量的增加等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量，其形式如下： ()()()0u v w t x y z ρρρρ????+++=???? 可以写成： ()0div u t ρ ρ?+=? 其中ρ密度，t 为时间，u 为速度矢量，u ，v 和w 为速度矢量在x ，y 和z 方向上的分量。 若流体不可压缩，密度为常数，于是： 0u v w x y z ???++=??? 若流体处于稳态，则密度不随时间变化，可得出： ()()() 0u v w x y z ρρρ???++=??? 动量守恒定律 该定律可以表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和，该定律实际是牛顿第二定律，按照这一定律，可导出x ，y 和z 三个方向上的动量守恒方程： ()()() ()()()yx xx zx x xy yy zy y yz xz zz z u p div uu F t x x y z u p div uv F t y x y z u p div uw F t z x y z τττρρτττρρτττρρ??????+=-++++? ?????????????+=-++++??????? ??????+=-++++???????? 式中，p 为微元体上的压力，xx τ，xy τ和xz τ等是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表
面上的粘性应力τ的分量。x F ，y F 和z F 是微元体上的体力，若体力只有重力，且z 轴竖直向上，则：0,0x y F F ==，z F g ρ=-。 对于牛顿流体，粘性应力τ与流体的变形率成比率，有： x yy x 2();==()2();==()2();==()xx xy y xz z zz yz zy u u v div u x y x v u w div u x z x w v w div u x z y τμλττμτμλττμτμλττμ???? =++????? ???? =++????? ???? =++????? 其中，μ为动力粘度，λ为第二粘度，一般可取2 3 λ=- ，将上式代入前式中为： ()()()() ()()()()()u v w u p div uu div gradu S t x v p div uv div gradv S t y w p div uw div gradw S t z ρρμρρμρρμ???+=-+???? ???+=-+? ??????+=-+? ??? 其中： ()()/()/()/grad x y z =??+??+?? μ为动力粘度(dynamic viscosity)，λ为第二粘度(second viscosity),一般可取： 2 3 λ=-(参考文献：,Boundary Layer Theory,8th ed,McGraw Hill, New York,1979)。u S ,v S 和w S 为动量守恒方程中的广义源项，u x x S F S =+，v y y S F S =+，w z z S F S =+，而其中 x S ，y S 和z S 表达式为： ()()()(())()()()(())()()()(()) x y z u v w S div u x x y x x x x u v w S div u x x y y x y y u v w S div u x z y z x z z μμμλμμμλμμμλ????????=+++????????????????? =+++????????????????? =+++????????? 一般来讲，x F ，y F 和z F 是体积力在x ，y ，z 方向上的分量。x S ，y S 和z S 是小量，对于粘性为常数的不可压缩流体，0x y z S S S ===，动量守恒，简称动量方程，也称N-S 方程。 关于牛顿体与非牛顿体的定义如下：
有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法。从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 有限体积法(Finite V olume Method)又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。
有限元法与有限差分法的主要区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Ｔaylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式．考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成．在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等.根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Gaｌeｒkiｎ）法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的Ｎ个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为０．插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lａgranｇe)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Ｈｅrmite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有Ｌa g ｒange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等．对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(１）建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。(2）区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3）确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函
有限体积法 1 有限体积法基本原理 上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。 在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程： ?d q ds ds S S ? ??Ω Ω+??Γ=?φφρφn n v (1) 计算域用数值网格划分成若干小控制体。和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定 义了控制体的边界，而不是计算节点。有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。 积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。 2 面积分的近似 采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。 控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和： ∑?? =k S S k fds fdS (2) 上式中，f 可以表示n u ρφ或n ??Γ φ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。 整个近似过程分成两步 第一步：用边界上几个点的近似积分公式 第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分： e e e e S e S f S fds F e ≈==? (3) 上式中e f 为边界中点出的函数值。近似为方格中心点的值乘以方格的面积。 三阶精度积分： e se ne S e S f f fds F e 2 +≈ =? (4) 四阶精度积分： e se e ne S e S f f f fds F e 6 4++≈ =? (5) 应该注意的是，采用不同精度的积分公式，在相应的边界点的插值时也应采用相应精度的插值函数。积分公式的精度越高，近似公式就越复杂。 3 体积分的近似 和面积分相似，体积分也有不同精度的近似公式 二阶精度积分公式 ?Ω≈==?P e S q S q qds Q e (6) 采用双二次样条函数 228272652423210),(y x a xy a y x a xy a y a x a y a x a a y x q ++++++++= (7)
有限差分，有限元，有限体积等离散方法的区别介绍 1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。 对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高
https://www.doczj.com/doc/d813799650.html,/s/blog_501a61220100f9rs.html 有限差分，有限元，有限体积等离散方法的区别介绍 (2009-10-25 22:07:18) 转载 以下介绍是本人从网络上搜集的，供计算数学虫子参考。也许小木虫论坛有，我没搜索到。欢迎大家补充内容。 转自https://www.doczj.com/doc/d813799650.html,/bbs/viewthread.php?tid=1618917&pid=16196206&page=1#pid16196206 1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分
目录 目录 (1) 第8章有限体积法 (2) §8.1有限体积法的基本概念 (2) 8.1.1几个术语 (2) 8.1.2 控制体积的选择 (3) 8.1.3 结构与非结构网格 (5) §8.2 有限体积法构造 (7) 8.9-1 方程离散及基本格式 (7) 8.9-2物理特性要求 (11) 8.9-3 迎风型通量格式 (14) 8.9-3 TVD格式 (18) §8.3 非结构网格上的有限体积法 (23) 8.3.1 基本方程 (23) 8.3.2离散基本思路 (24) 8.3.3 数值通量近似 (25) 第9章在水力学问题中的应用 (29) §9.1渗流问题中的应用 (29) 9.1.1饱和—非饱和地下水运动基本控制方程 (29) 9.1.2方程的离散 (31) 9.1.3算例【陈扬硕士论文】 (33) §9.2二维明渠非恒定流计算 (38) 9.2.1水流基本方程 (38) 9.2.2控制方程的离散 (39) 9.2.3 计算实例 (53) §9.3三维紊动分层流计算 (64) 9.3.1紊动分层流基本方程 (64) 9.3.2 紊流模型及控制方程离散 (65) 9.3.3压力校正法 (66) 9.3.3边界条件 (69) 9.3.4盐度引起的负浮力流动 (71)
第8章有限体积法 有限差分方法是从描述各种物理现象的基本微分方程出发构造离散方程的，前文已经对其作了翔实、周密的论述。该部分将从基础算法入手分析介绍在计算流体力学界广为应用的有限体积法。基于有限体积法的实用算法在计算流体力学、计算传热学等领域得到了飞速发展 [1-3]。在水力学诸多问题，如水流物质输运模拟，水工水力学模拟以及溃坝洪水波演进等水流模拟中也得到了广泛应用。 §8.1有限体积法的基本概念 有限体积法，又称为有限容积法，它正是从物理量守恒这一基本要求出发提出的。这也是其受计算流体力学界广为称道和喜欢之处。其以守恒型的方程为出发点，通过对流体运动的有限子区域的积分离散来构造离散方程。有限体积法有两种导出方式，一是控制容积积分法，另一个是控制容积平衡法。不管采用哪种方式导出的离散化方程，都描述了有限各控制容积物理量的守恒性，所以有限体积法是守恒定律的一种最自然的表现形式。 该方法适用于任意类型的单元网格，便于应用来模拟具有复杂边界形状区域的流体运动；只要单元边上相邻单元估计的通量是一致的，就能保证方法的守恒性；有限体积法各项近似都含有明确的物理意义；同时，它可以吸收有限元分片近似的思想以及有限差分方法的思想来发展高精度算法。由于物理概念清晰，容易编程；有限体积法成为了工程界最流行的数值计算手段。 8.1.1几个术语 在进行数值计算时，要把计算区域划分成一系列互不重叠的离散小区域，然后在该小区域上离散控制方程求解待求物理量。在有限差分法中只涉及到网格节点的概念，而有限体积法因为物理解释需要，形成了以下几个常用几何要素的相关名词。
高分辨熔解曲线突变检测 高分辨熔解曲线（High Resolution Melting）技术是近年来兴起的一种全新的突变扫描和基因分型的遗传分析方法。HRM不受突变碱基位点与类型局限，无需序列特异性探针，在PCR结束后直接运行高分辨熔解，即可完成对样品的分析。该方法与其他遗传分型技术相比具有灵敏度高、特异性好、成本低廉、高通量检测的优点，是进行突变检测的迅速、廉价而有效的方法。 HRM原理 HRM是在PCR基础上通过测定DNA双链熔解曲线变化来检测突变的方法，溶解曲线的变化取决于DNA序列、长度、GC含量，因此，可以通过饱和燃料监控熔解曲线的变化来反映核酸性质的差异，从而对样品进行分析。 在双链体的溶解曲线检测时需要添加合适的染料，饱和染料例如SYBR Green 在双链解链过程中会发生重排，无法真实反映DNA熔解情况。不适用于需低温解链的样品而且不能检测异源双链体。因此不能用于熔解曲线的检测。而LC Green (Idaho)是一种与DNA有更强的结合位点，对PCR抑制作用很小的饱和染料，已成功的用于HRM检测中。 HRM操作简便，在PCR结束后添加合适的染料，通过监测升温过程中荧光染料与PCR扩增产物的结合情况来实现的，在Lightscanner仪器（Idaho）升温过程中，双链解开，荧光染料从解链的分子上释放，同时荧光强度降低，所以通过荧光强度和曲线的变化上就可以判断是否存在突变。
HRM的特点和应用 HRM应用： ?检测人类疾病相关基因中常染色体的显隐性和X-连锁
?鉴定人类肿瘤的体细胞突变，肿瘤样品中筛选体细胞突变 ?基因突变扫描：单碱基的改变、插入或缺失 ?特定突变、多态性位点的筛选 ?外显子和短扩增子基因型扫描 HRM特点： ?灵敏度高：杂合子突变体的检测的灵敏度可以达到100%，原则上数据分析时温度升高后纯合子或半合子的突变时检测不到的，但实际上，许多纯合子突变是可以检测到的。如基因突变正好与x连锁，可以在PCR之前加入已知野生型样本来检测半合子或纯合子的突变。 ?特异性好：HRM的特异性可以达到90-100%。短的扩增子特异性要更高 ?不受碱基位点局限，适用范围广 ?在封闭的试管内进行，可降低污染操作简单 ?成本低廉、时间少、误差小、高通量检测 ?检测的样品范围广：HRM检测片段范围在38-1000bp不同来源的样品都可以用于HRM如血粉、口腔细胞、冷冻的肿瘤样品、也可用于酒精固定、福尔马林固定或石蜡包埋的组织等，在人类遗传性疾病的研究中，通常用周边血液淋巴细胞中提取DNA，用于HRM分析。 HRM：实验设计中需要考虑的问题 ?高效的扩增方案的设计对于HRM的成功至关重要。最大的灵敏度和特异性有助于最佳的PCR结果的产生，同时扩增子的溶解特性对于结果也非常重 要。这取决于引物的设计和引物的位置。 ?在实验结果中有时会出现假阳性，这时可以通过调整引物或者扩增参数避免出现假阴性的结果。 ?样品的质量对特异性有一定的影响，因此，进行HRM分析时要选用高质量的样品。 总结 HRM灵敏度高、特异性好