课时作业(五十一)
一、选择题
1.(2013·北京朝阳期末)“k =1”是“直线x -y +k =0与圆x 2+y 2=1相交”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
解析:因为k =1时,直线为x -y +1=0,则圆心到直线的距离d =1
2<1,即相交;反之,若直线x -y +k =0与圆x 2+y 2=1相交,
则圆心到直线的距离d =
|k |
2
<1,得k ∈(-2,2),故选A. 答案:A
2.(2013·浙江高三摸底测试)若a 2+b 2=2c 2(c ≠0),则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为( )
A.12 B .1 C.22
D. 2
解析:因为圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离d =|c |a 2+b
2=|c |2|c |
=22 因此根据三角形的关系,弦长的一半就等于1-? ??
??222=22,所以弦长为 2.
答案:D
3.已知圆C 1:x 2+y 2-2mx +m 2=4,圆C 2:x 2+y 2+2x -2my =
8-m 2(m >3),则两圆的位置关系是( )
A .相交
B .内切
C .外切
D .相离
解析:将两圆方程分别化为标准式 圆C 1:(x -m )2+y 2=4 圆C 2:(x +1)2+(y -m )2=9, 则|C 1C 2|=(m +1)2+m 2 =2m 2+2m +1> 2×32+2×3+1=5=2+3
∴两圆相离. 答案:D
4.若直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有公共点,则b 的取值范围是( )
A .[-1,1+22]
B .[1-22,1+22]
C .[1-22,3]
D .[1-22,3]
解析:曲线y =3-4x -x 2表示圆(x -2)2+(y -3)2=4的下半圆,如图所示,当直线y =x +b 经过点(0,3)时,b 取最大值3,当直线与半圆相切时,b 取最小值,由|2-3+b |2=2?b =1-22或1+22(舍),
故b min =1-22,b 的取值范围为[1-22,3].
答案:C
5.(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为( )
A .2x +y -3=0
B .2x -y -3=0
C .4x -y -3=0
D .4x +y -3=0
解析:根据平面几何知识,直线AB 一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为1
2,故直线AB 的斜率一定是-2,只有选项A 中直线的斜率为-2.故选A.
答案:A
6.(2013·兰州模拟)若圆x 2+y 2=r 2(r >0)上仅有4个点到直线x -y -2=0的距离为1,则实数r 的取值范围为( )
A .(2+1,+∞)
B .(2-1,2+1)
C .(0,2-1)
D .(0,2+1)
解析:
计算得圆心到直线l 的距离为2
2=2>1,如图.直线l :x -y -2
=0与圆相交,l 1,l 2与l 平行,且与直线l 的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2+1.
答案:A 二、填空题
7.过点A (2,4)向圆x 2+y 2=4所引切线的方程为________.
解析:显然x=2为所求切线之一.另设直线方程为y-4=k(x-
2),即kx-y+4-2k=0,那么|4-2k|
k2+1
=2,k=
3
4,即3x-4y+10=0.
答案:x=2或3x-4y+10=0
8.(2013·内江市高三第二次模拟)若直线y=kx+1与圆O:x2+y2=1交于A、B两点,且∠AOB=60°,则实数k=________.
解析:△AOB为等腰三角形,∠AOB=60°,所以|AB|=1,圆心
到直线的距离d=
3
2即
1
k2+1
=
3
2,解得k=±
3
3.
答案:±
3 3
9.已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为________;公共弦长为________.解析:由两圆的方程x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0.圆心(5,5)
到直线2x+y-5=0的距离为10
5
=25,弦长的一半为50-20=
30,得公共弦长为230.
答案:2x+y-5=0230
三、解答题
10.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且|AB|=22时,求直线l 的方程.
解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.
(1)若直线l与圆C相切,
则有|4+2a |a 2+1
=2.解得a =-34.
(2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,
得????
?
|CD |=|4+2a |a 2+1
,
|CD |2
+|DA |2
=|AC |2
=22
,
|DA |=12|AB |= 2.
解得a =-7或a =-1.
故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0.
11.自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -
4y +7=0相切,求光线l 所在直线的方程.
解:
已知圆(x -2)2+(y -2)2=1关于x 轴的对称圆C ′的方程为(x -2)2+(y +2)2=1,如图所示.可设光线l 所在直线方程为y -3=k (x +3),
∵直线l 与圆C ′相切,
∴圆心C ′(2,-2)到直线l 的距离d =|5k +5|
1+k 2
=1,
解得k =-34或k =-4
3.∴光线l 所在直线的方程为 3x +4y -3=0或4x +3y +3=0.
12.已知圆C :x 2+y 2-2x +4y -4=0,问是否存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦为AB ,以AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
解:依题意,设l 的方程为y =x +b ① x 2+y 2-2x +4y -4=0② 联立①②消去y 得:
2x 2+2(b +1)x +b 2+4b -4=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有
???
x 1+x 2=-(b +1),x 1x 2=b 2+4b -42,
③
∵以AB 为直径的圆过原点, ∴OA →⊥OB →
,即x 1x 2+y 1y 2=0,
而y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2 ∴2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=0,
由③得b 2+4b -4-b (b +1)+b 2=0, 即b 2+3b -4=0,∴b =1或b =-4, ∴满足条件的直线l 存在,其方程为 x -y +1=0或x -y -4=0. [热点预测]
13.(1)已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A ,B 两点,且|O A →
+O B →
|=|OA →-OB →
|(其中O 为坐标原点),则实数a 等于( )
A .2
B .-2
C .2或-2 D.6或- 6 (2)(2013·临沂模拟)已知点P (x ,y )是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点,P A ,PB 是圆C :x 2+y 2-2y =0的两条切线,A ,B 是切点,若四边形P ACB 的最小面积是2,则k 的值为( )
A. 2
B.21
2 C .2 2 D .2
(3)(2013·无锡质检)设m ,n ∈R ,若直线l :mx +ny -1=0与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,且l 与圆x 2+y 2=4相交所得弦长为2,O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为________.
解析:(1)由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|知OA ⊥OB ,所以由题意可得
|a |2=2,所以a =±2.
(2)圆心C (0,1)到l 的距离d =5
k 2+1
,
所以四边形面积的最小值为2×?
??
??
12×1×d 2-1=2,
解得k 2=4,即k =±2. 又k >0,即k =2.
(3)∵直线l :mx +ny -1=0与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,∴A ? ????0,1n ,B ? ??
??1m ,0, 而直线与圆相交所得的弦长为2,
∴圆心到直线的距离d 满足d 2=r 2-12=4-1=3, 即圆心到直线的距离d =|-1|m 2+n 2=3,∴m 2+n 2=13;
∵三角形的面积为S =121m ·1n =1
2|mn |,
又S=1
2|mn|≥1
m2+n2=3,当且仅当|m|=|n|=
6
6时取等号,故最
小值为3.
答案:(1)C(2)D(3)3