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无穷级数知识点

无穷级数

1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞

→∞

==∑存在，称级数收敛。

2.若任意项级数1

n n u ∞=∑收敛，1

n n u ∞=∑发散，则称1

n n u ∞=∑条件收敛，若1

n n u ∞=∑收敛，则称级数1

n u ∞

=∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞

3.若有两个级数1

n n u ∞=∑和1

n n v ∞=∑，11

,n n n n u s v σ∞∞

====∑∑

则 ①1()n n n u v s σ∞

=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==????

?=? ? ?????

∑∑。

②1

n n u ∞=∑收敛，1

n n v ∞=∑发散，则1

()n n n u v ∞

=+∑发散。

③若二者都发散，则1

()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1

1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1

110k ∞

=-=∑收敛。

4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：

a) 等比级数：0111n

n a

r ar r ∞

∑,收敛，r 发散，

b) P 级数： 11p

n n ∞

=>?=?≤?∑

收敛，p 1

发散，p 1

c) 对数级数： 21

ln p

n n n ∞

=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1

5.三个重要结论①11

()n n n a a ∞

-=-∑收敛lim n n a →∞

?存在②正项（不变号）级数n a ∑收2

n a ?∑收，

反之不成立，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n n a b n

∑

或收

6．常用收敛快慢

正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→ 由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→ 由慢到快

7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧

1. 达朗贝尔比值法 11,lim

1,lim 0)1,n n n n n

n l u l l u l μμ+→∞→+∞

=>≠??=??收

发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）

2. 柯西根值法 1,lim 1,1,n n n n l u l l n l μ→∞

=>??=?

收发（当为某次方时）单独讨论

3. 比阶法 ① 代数式 1

n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞

====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散

② 极限式 lim n

n n

u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞

=∑都是正项级数。

? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞∞∞∞

====∞∞

==∞

∞

=====→→

是的同阶无穷小和敛散性相同。

是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。

()322

11111222

ln ln ln 1~~1111n n n n u n n n n n n n n n ∞

=++?

??==+ ?----??

∑

，

1113220

001

210113n n n

n n x x dx u dx xdx x x n ∞

=?≤=≤=?++∑?

??，也可选用基准级数31

21n n ∞

=∑就可知原级

8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧

● 莱布尼茨判交错级数（任意项级数的特例） ①lim 0n n u →∞

= ②1n n u u +≥?0

(1)n n n u ∞

=-∑收敛。这是一个必要条件，如果①不满足，则0

(1)n

n n u ∞

=-∑必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还

是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。

● 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。

● 任意项级数判敛的两个重要技巧：

()a 微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。

()b k 阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，

9.幂级数 00

()n n n a x x ∞

=-∑

1．阿贝尔（Abel ）定理

如果级数0n

n n a x ∞

=∑当20001 0, =00n n x x x x a x ∞

=??

=≠?= ???

∑因为显然收敛点收敛，则级数在圆

域0x x <内绝对收敛；如果级数0

n n n a x ∞=∑当1 x x =点发散，则级数在圆域1x x >外发散。由阿

贝尔（Abel ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除()00 0x x x =≠外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如

推论：如果0n n n a x ∞

=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确

定的正数R 存在，使得：

n n n x R x R x R x R R a x ∞

=<>==-∑当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；

当与时，幂级数可能收敛，也可能发散，我们称为的收敛半径。

10．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知00()n n n a x x ∞

=-∑，若1

lim

lim n n n n n n

a a a ρρ+→∞

→∞==或；则根据比值判敛法有：

1000+1

lim

1=lim n n n n n n a a x x x x x x R a a ρρ+→∞

→∞-=-

●收敛半径R ：11lim , 000, n

n n a a R R R x ρρρρ→∞+?=≠???

==+∞???=?==+∞???

全平面收敛, =0只有一个收敛点。

●收敛区间()00, x R x R -+：级数在()000, x x R x x R x R -

间是非空点集，对00

()n

n n a x x ∞=-∑至少在0x x =处收敛，对0

n n n a x ∞

=∑至少在0x =处收敛。由阿贝尔

定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。

●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R 上）收敛性待定，故收敛域是

()00, x R x R -+、[)00, x R x R -+、(]00, x R x R -+或[]00, x R x R -+四种情况之一。

3．在收敛区域内的性质 (1)

n n a x

∞

=∑的和函数()f x 连续并有任意阶导数；

(2)

0n ∞

=∑

可逐项微分 10

'()()n

n n n n n f x a x na x ∞

∞

-=='==∑∑

(3)

n ∞

=∑

可逐项积分

()()1x

n n n n n a f x dx a x dx x n ∞

∞

+====+∑∑

? (4)

n n a x

∞

=∑绝对收敛。

11．利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数－泰勒级数

展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。

①011n n u u ∞

==-∑ (1,1)u ∈- ②0

1(1)1n n n u u ∞

==-+∑ (1,1)u ∈- ③0!

n u e n ∞

==∑ (,)

u ∈-∞+∞ ④21

sin (1)(21)!n n

n u u n +∞

==-+∑ (,)u ∈-∞+∞

⑤21

cos (1)(2)!n n

n u u n +∞

==-∑ (,)u ∈-∞+∞

⑥1

(1)ln(1)(1)

ln 2n n n n n u u n n -∞

∞

-==-+=-?=∑∑ (1,1]u ∈-

⑦0

(1)(1)

(1)!

n n n n u u C u n α

αααα∞

∞

==-???-++==∑

∑ (1,1)u ∈- ⑧21301

tan 21

3n n u u u u n +∞

===+++∑…

⑨2130

(1)1

arctan 213n n n u u u u n +∞

=-==-++∑… [1,1

]u ∈- ⑩

()

()()()()

()2

111010

1 1 ln(1)

11111 1 1!1!!1!n

n n n n n n n n x

x nx

x x n

x e e n n n n ∞

∞

==∞

∞

+-=====

<=---===-=-++∑∑∑

∑∑∑，

5. 幂级数求和方法 ● 函数项级数求和方法

一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 ● 数项级数求和方法

构造辅助幂级数法。

付立叶级数

1．周期函数展开成付里叶级数

?()f x 为在[], l l -上周期为2l 的周期函数，则

011()cos ()(cos sin ), 12()sin l n l n n l n n l n a f x xdx a n n l l

f x a x b x n l l b f x xdx l l ππππ∞-=-?

=??=++??=??

?∑?其中

?特别地，当l π=时

1()c o s ()(c o s s i n ) 12()s i n n n n n n a f x nxdx a f x a

nx b nx b f x nxdx πππ

πππ∞

-=-?=??=++??=??

?∑?其中

? 当()f x 是偶函数

001

12()cos ()cos 212()cos ()cos 2l n n n n n n n x n x f x a a a f x dx

l l l l f x a a nx a f x nxdx

ππππ∞

=∞

==+==?=+=∑?∑? ? 当()f x 是奇函数

2()sin

()sin 2()sin ()sin l n n n n n n n x n x

f x b b f x dx

l l l l f x b nx b f x nxdx π

ππππ

∞

=∞

====?==∑?∑?

2．非周期函数展开成付里叶级数方法

如果非周期函数()f x 只是定义在区间[][]0, 0, l π 或，两种区间可以令t x l

=相互转换，为了利用付里叶级数展开，必须将()f x 拓展，其方式有两种，即：

（1）偶拓展令 () 0()()0

f x x l

F x f x l x ≤≤?=?--≤

0x l ≤≤上的函数值即为()f x 的付里叶展开。

（2）奇拓展令 () 0()()0f x x l

F x f x l x ≤≤?=?---≤

取0x l ≤≤上的函数值即为()f x 的付里叶展开。 3．狄利克雷收敛定理

设函数()f x 在[], l l -上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则()f x 的付里叶级数收敛。并且：

()()()()()()

01, 00(cos sin ) 2200 2

n n n f x x f x f x a S x a nx b nx x f l f l x l ∞=?

-++?=++=??

?-++=±?

?∑当为连续点，当为第一类间断点，当为区端点

级数知识点总结

级数知识点总结 Prepared on 22 November 2020

第十二章无穷级数一、常数项级数 1、常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1l 时，级数∞=1 n n u 发散；1=l 时，级数∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散. 2、交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑ ∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。条件收敛： ∑ ∞=1 n n u 收敛，而∑∞ =1 n n u 发散；绝对收敛：∑∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则 ∑∞ =1 n n u 收敛。其他级数：二、函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ）

级数知识点总结

第十二章无穷级数一、常数项级数 1、常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质：改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛；若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界；比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。其他级数：；二、函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.(R 不变,收敛域可能变化).

电功率知识点归纳

电功率知识点归纳Last revision on 21 December 2020

《电功率》知识点归纳一、电功（电能） 1．定义：电流通过某段电路所做的功叫电功。用 W 表示 2．实质：电流做功的过程，实际就是电能转化为其他形式的能（消耗电能）的过程；电流做多少功，就有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。电流做功的形式：电流通过各种用电器使其转动、发热、发光、发声等都是电流做功的表现。 3．规定：电流在某段电路上所做的功，等于这段电路两端的电压，电路中的电流和通电时间的乘积。 4．计算公式：W=UIt=Pt （适用于所有电路）对于纯电阻电路可推导出：t R U Rt I W 2 2 ①串联电路中常用公式：W=I 2 Rt ②并联电路中常用公式：t R U W 2 ③无论用电器串联或并联。计算在一定时间所做的总功常用公式W=W 1+W 2+…W n W=U 总I 总t=P 总t 5．单位：国际单位是焦耳（J ）常用单位：kw ·h （度）1千瓦时=1度=1kw ·h= ×106J 6．测量电功： ⑴电能表：是测量用户用电器在某一段时间内所做电功（某一段时间内消耗电能）的仪器。 ⑵电能表上“220V ”“5（10）A ”“3000R/kwh ”等字样，分别表示：电能表应接在220V

的电压下使用；电能表的额定电流是5A ；额定最大电流为10A ；每消耗一度电电能表转盘转3000转。 ⑶读数：A 、测量较大电功时用刻度盘读数。 ①最后一位有红色标记的数字表示小数点后一位。 ②电能表前后两次读数之差，就是这段时间内用电的度数。如：这个月用电________度合___________ J 。 B 、测量较小电功时，用表盘转数读数。如：某用电器单独工作电能表（3000R/kwh ）在 10分钟内转36转则10分钟内电器消耗的电能是___________J 。 7、电池充电把能转化为能，放电时把能转化为能，电动机把能转化为能，灯泡工作把能转化为能和能。二、电功率 1．定义：电流在单位时间（1s ）内所做的功或电流在1s 内所消耗的电能。 2．物理意义：表示电流做功快慢的物理量或表示用电器消耗电能快慢的物理量。灯泡的亮度取决于灯泡的实际功率大小。 3．电功率计算公式：P=UI=W/t （适用于所有电路）对于纯电阻电路可推导出：P=I 2R=U 2/R ①串联电路中常用公式：P=I 2R ②并联电路中常用公式：P=U 2/R ③无论用电器串联或并联。计算总功率常用公式P=P 1+P 2+…P n 月底读数是

无穷级数知识点介绍

专转本专题知识点----------无穷级数数项级数定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式 ......321+++++n u u u u （11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为 ∑∞ =1 n n u ,即 ∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和 ∑==++++=n k k n n u u u u u S 1 321... 称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取1，2，3，...时，部分和 ...,..,,,321n S S S S 构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列定义2 若级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 有极限S S S n n =∞ →lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称S 是级数 ∑∞ =1 n n u 的和，即 (3211) +++++== ∑∞ =n n n u u u u u S 如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞ =1 n n u 发散数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 也收敛，且其和为±S σ

（2）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数 ∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为kS （3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（4）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数 ...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和（5）（级数收敛的必要条件）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u 数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一．正项级数正项级数：若级数∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此级数为正项级数定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界定理2 （比较判别法）若级数∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ，那么：（1）若级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 也收敛（2）若级数 ∑∞=1 n n u 发散时，级数 ∑∞=1 n n v 也发散

无穷级数知识点

无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论

6．常用收敛快慢正整数由慢到快连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→

新人教版九年级物理第章电功率知识点全面总结

18 电功率第1节电能电功一、电能 1、我们使用的电能是有其他形式的能转化而来的，电源是提供电能的装置。 2、用电器时消耗电能的装置，用电器消耗电能的过程，就是把电能转化为其他形式的能的过程，消耗了多少电能就得到了多少其他形式的能。 3、电能的单位（1）国际单位：焦耳，简称焦，用符号J表示。（2）常用单位：千瓦时，用符号kW·h表示，俗称度。（3）换算关系：1kW·h=1×103W×3600s=3.6×106J。二、电能的计量 1、电能的计量工具——电能表，也叫电度表，是计量用电器在一段时间内消耗电能多少的仪表。 2、电能表的读数电能表计数器上显示着数字，计数器前后两次示数之差就是这段时间内用电的度数（消耗电能的多少），单位是kW·h（度）。注意电能表计数器中最后一位数字是小数（十分位）。 3、电能表上所标参数的含义（1）“220V”——这个电能表应该在220V的电路中使用。（2）“10（20）A”——这个电能表的标定电流为10A，额定最大电流为20A。电能表工作时的电流不能超过额定最大电流。（3）“50Hz”——这个电能表在频率为50Hz的交流电路中使用。（4）“3000revs/（kW·h）”——接在这个电能表上的用电器，每消耗1kW·h的电能，电能表上的转盘转过3000转。 4、1kW·h的作用：洗衣机工作约2.7h；电脑工作约5h；电车行驶0.85km；灌溉农田330m2。三、电功 1、电功概念（1）定义：当电能转化为其他形式的能时，我们说电流做了功，简称电功。电功用“W”表示。（2）实质：电流做功的过程就是电能转化为其他形式能的过程。所以说用电器消耗了多少电能和电流做了多少功，两种说法是一样的。电流做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。 2、电流做功多少的影响因素：跟电压的高低、电流的大小、通电时间的长短都有关。

(完整版)高等数学(下)知识点总结

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

电功率复习知识点总结-

电功率知识梳理： 1.电能(1)用电器消耗电能的过程就是电能转化为其他形式的能的过程；有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。 (2)电能的单位：国际单位是焦耳(J)；常用单位：度(kWh)；1 kWh=3．6×106J。 (3)测量电能的仪表：电能表。 2.电功率 (1)定义：用电器在1秒内消耗的电能． (2)物理意义：表示用电器消耗电能快慢的物理量。灯泡的亮度取决于灯泡的实际功率的大小。 (3)计算公式：P=UI=W/t(适用于所有电路) 对于纯电阻电路可推导出：P=I2R=U2/R ①串联电路中常用公式：P=I2R P1：P2：P3：…P n=R1：R2：R3：…：R n ②并联电路中常用公式：P=U2/R P1：P2=R2：R1 ③无论用电器串联或并联，计算总功率常用公式P=P1+P2+…P n (4)单位：国际单位瓦特(W)；常用单位：千瓦(kW) (5)额定功率和实际功率 ①额定电压：用电器正常工作时的电压. 额定功率：用电器在额定电压下的功率。P额==U额I额=U额2/R ②当U实=U额时，P实=P额(灯正常发光) 当U实U额时，P实>P额长期使用影响用电器寿命(灯发光强烈,有时会损坏用电器) 当U实>U额时，P实=0用电器烧坏(灯丝烧断) (6)测量 ①伏安法测灯泡的额定功率：原理：P=UI；电路图：略；选择和连接实物时须注意：电源：其电压高于灯泡的额定电压.滑动变阻器：接入电路时要“变阻”，且调到最大值。根据能否调到灯泡的额定电压选择滑动变阻器。电压表：并联在灯泡的两端，电流从“+”接线柱流入，“—”接线柱流出。根据额定电压选择电压表量程。电流表：串联在电路里，电流从“+”接线柱流人，“—”接线柱流出。根据I额=P额/U额或I额=U额/R选择量程。 ②测量家用电器的电功率：器材：电能表、秒表。原理：P=W/t。

级数知识点总结教学内容

第 1 页共 2 页第十二章无穷级数一、常数项级数 1、常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数：ΛΛ+++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑=Λ3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ? 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( Λ=≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. ? 2、交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。其他级数：；二、函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.( R 不变,收敛域可能变化).

电功率知识点总结经典

电功率知识点总结经典一、电功率选择题 1．具有防雾除露、化霜功能的汽车智能后视镜能保障行车安全，车主可通过旋钮开关实现功能切换。图是模拟加热原理图，其中测试电源的电压为10V，四段电热丝电阻均为10Ω，防雾、除露、化霜所需加热功率依次增大。下列说法正确的是（） A. 开关旋至“1”档，开启化霜功能 B. 开启防雾功能，电路总电阻为5Ω C. 化霜与防雾电路的总功率之差为15W D. 从防雾到除露，电路总电流变化1A 【答案】 C 【解析】【解答】由图知道，当开关旋至“1”档时，两条电阻丝串联接入电路，此时电路总电阻最大为2R=2×10Ω=20Ω，由知道，此时电功率最小，开启防雾功能，AB不符合题意；此时电路中的电流是： =0.5A；此时电路的总功率是：P1=UI1=10V×0.5A=5W；当开关旋至“2”档时，一条电阻丝单独接入电路，电阻较大（大于并联时的总电阻），电路消耗的功率较小，此时为除露功能；此时电路中的电流是： =1A；从防雾到除露，电路总电流变化量是：I2-I1=1A-0.5A=0.5A，D不符合题意；当开关旋至“3”档时，两条电阻丝并联接入电路，总电阻最小，总功率最大，此时为化霜功能，电路的总电阻是：，电路的总电流是： =2A；此时总功率是：P3=UI3=10V×2A=20W，化霜与防雾电路的总功率之差是：P3-P1=20W-5W=15W，C符合题意。故答案为：C 【分析】结合电路图，理清开关处于不同状态时元件的连接方式，由知道对应的状态，再逐项进行计算即可. 2．如图所示的电路，电源电压为3V且保持不变，定值电阻R1=1Ω，滑动变阻器R2阻值范围为0～4Ω．闭合开关S，在滑片从左向右移动的过程中，下列说法正确的是（）

高数第七章无穷级数知识点

高数第七章无穷级数知识点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散；级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足条件l U U n n n =+∞→1 lim ：当1l 时，级数发散（或+∞=l ）；当1=l 时，无法判断。 5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞ =1n n U ，满足条件λ =∞→n n n U lim ：当1<λ时，级数收敛；当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；当1=λ时，无法判断。注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散性的级数) 若+∞<

级数知识点总结

级数知识点总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

《功和功率》知识点总结练习

功和功率（一）功的认识：一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动一段距离，我们说这个力对物体做了功。（二）做功的两个必要因素：一是，二是注意：不做功的三种情况：○1物体受到力的作用，但不运动（劳而无功）○2物体没有受到力，但由于惯性运动了一段距离○3物体受到力的作用，但力的方向与物体运动方向垂直，该力对物体运动没有贡献。（三）功的定义：物理学中，把力与在力F 的方向移动的距离S 的乘积,叫做功。 F W F S =该力方向上距离 = = 功的单位是，也可以用表示。（四）功率（1）功率的物理意义：表示物体做功的物理量（2）功率的定义：单位时间内所做的功 F w t F P F V == （3）功率的单位： , 1W= （五）机械效率 1、功的原理：W W ≥ 使用机械不用机械直接用手（使用任何机械都不能） 2、机械效率：W W η=有用总（机械效率只反映有用功W 有用在总功W 总所占的比例，因为W W <总有用，所以1η<）

（六）机械能 1、“能”的含义：物理学认为，一个物体能够做功，就说这个物体具有，即“能量”就是物体的“做功本领”，可以用物体是否具有做功的本领来判断物体是否具有能量。注意：○1“能量”就是物体的“做功本领”，故功和能的单位一样，都是“焦耳” ○2“能量”就是物体的“做功本领”，故“功是能的量度”，可以用“做功的多少”来衡量能的大小。 2、机械能：动能和势能统称为。（1）、动能：a、定义：。 b、决定物体动能大小的因素：1 2 理解：1物体质量一定时，速度越大物体动能。速度越小物体动能。 2物体速度一定时，质量越大物体动能。质量越小物体动能。 ○2物体高度一定时，质量越大物体重力势能越大。质量越小物体重力势能越小。（3）弹性势能：a、定义：物体由于弹性形变而具有的能量。 b、物体弹性形变的程度决定弹性势能大小。 3、动能和势能的转化：在一定条件下，势能和动能之间可以相互转化，如果在转化过程中无其他形式的能量产生（即只有动能和势能相互转化），机械能的总和不变，即机械能是守恒的。

大数的认识知识点总结

大数的认识知识点总结姓名（）、大数的组成： 1、计数单位：（1）作用：计量数的大小。（2）学过的计数单位有（按从小到大的顺序）：个（一），十，百，千，万，十万，百万，千万，亿，十亿，百亿，千亿。（3）10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万， 10 个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿, 10 个一亿是十亿，10个十亿是一百亿，10个一百亿是一千亿。（4）相邻的两个计数单位之间的进率是10。 2、数位：（1）数中的每一个数字所占的位置叫做数位。（2）数位顺序表：（3）记住重要的数位：从右起，第五位是万位，第九位是亿位。（4）数级：从个位起，每4个数位为一级，依次为：个级（个位，十位，百位，千位），表示多少个一；万级（万位，十万位，百万位，千万位），表示多少个万; 亿级（亿位，十亿位，百亿位，千亿位），表示多少个亿。 3、计数单位，数位，数级它们之间的联系： 4、位数：一个整数中有几个数字就是几位数。 5、计数单位，数位，数级，位数不能混淆，不能说它们之间有相等的关系。如：计数单位就是数位，数位也是位数等。（1）计数单位和数位有什么区别？一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、兆、，都是计数单位。

数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。但是，它们之间的关系又是非常密切的。这是因为“个位”上的计数单位是“一（个），“十位” 上的计数单位是“十”，“百位”上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”，等等。例如：8475, “8”在千位上，它表示8个千，“4”在百位上，它表示4个百，“ 7”在十位上，它表示7个十，“ 5 ”在个位上，它表示5个一。（2）区分“数位”与“位数”。数位”与“位数”是两个意义不同的概念，“数位”是指一个数的每个数字所占的位置。数位顺序表从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。同一个数字，由于所在的数位不同，它所表示的数值也就不同。例如，在用阿拉伯数字表示数时，同一个‘ 6'放在十位上表示6个十，放在百位上表示6个百，放在亿位上表示6个亿等等。 “位数”是指一个自然数中含有数位的个数。像458这个数有三个数字组成，每个数字占了一个数位，我们就把它叫做三位数。198023456由9个数字组成，那它就是一个九位数。“数位”与“位数”不能混淆。一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿，都是计数单位。 “个位”上的计数单位是“一（个），“十位”上的计数单位是“十”，“百位”上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”等等。所以在读数时先读数字再读计数单位。例如：9063200读作九百零六万三千二百，万、千百就是计数单位。二、大数的读法： 1、读法一：把数中的数字放在数位表中（右对齐），先读亿级数（按个级数的读法读），读完后加一个“亿”字；再读万级数，（按个级数的读法读），读完后加一个“万”字；最后读个级数。 2、读法二：（常用方法）（1）先四位分级。（2）从高位读起，最先读亿级数，再读万级数，最后读个级数。（3）亿级数，万级数的读法与个级数的读法相同，读完后分别加上一个“亿”、“万”字。（4）0的读法：每级末尾的0,不论有几个都不读，其他数位上的一个0或连续几个0,都只读一个0。注：读数要用语文字，不能用数学字。三、大数的写法： 1、写法一：根据数位表来写，先写亿级数，再写万级数，最后写个级数；哪一数位上一个单位也没有，就在那一位上写0占位。 2、写法二：（常用方法）（1）先找出“亿”字和“万”字。（2）先写亿级数（“亿”字左边的数），再写万级数（“亿”字和“万”字之间的数），最后写

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无穷级数知识点

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