绝密★启用前
山东省聊城市“四县六校”2012-2013学年下学期高二期末联考
理科数学试题
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
2．等差数列{}n a 的前n
项和为n S ，若22S =
，410S =，则6S 等于（
） Ａ．12 Ｂ．18
Ｃ．24 Ｄ．42
3．如图，要测出山上石油钻井的井架
BC 的高，从山脚A 测得60AC =m ， 塔顶B 的仰角45α?=，塔底C 的仰角15?，则井架的高BC 为（ ）
A ．．．．
4．若x ，y 满足约束条件03003x y x y x +??-+???
≥≥≤≤，则2z x y =-的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．8
D ．9
5．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453
n n A n B n +=+，则使
得n n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 6．已知直线1:10l ax y -+=与2:10l x ay ++=,给出如下结论：
①不论a 为何值时,1l 与2l 都互相垂直;
②当a 变化时, 1l 与2l 分别经过定点A(0,1)和B(-1,0);
③不论a 为何值时, 1l 与2l 都关于直线0x y +=对称;
④当a 变化时, 1l 与2l 的交点轨迹是以AB 为直径的圆(除去原点).
其中正确的结论有（ ）.
A ．①③
B ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④
7．奇函数()()0, f x +∞在上为增函数,且()10f =,则不等式
()()0f x f x x
-->的解集为( ).
A ()().1,01, -?+∞
B.()() ,10,1-∞-?
C ()() ,11,-∞-?+∞
D ()().1,00,1-? 8．如图,Rt AEF 是正方形ABCD 的内接三角形,若23
tan EAF ∠=
,则点C 分线段BE 所成的比为( ).
A.
32 B.23
- C.53- D.32- 9．对于函数sin (sin cos )()cos (cos sin )x x x f x x x x ≤?=?>?
,下列说法正确的是( ). A.()f x 的值域是[]1,1-
B.当且仅当()()21x k k Z π=+∈时,()f x 取得最小值-1
C.()f x 的最小正周期是π
D.当且仅当()22 2k x k k Z π
ππ<<+∈时,()0f x >
10．已知角α的终边上一点的坐标为(
12，－2)，则角α的正弦值为( )
A ．－2 B.2
C ．－12 D.12 11．00tan1051tan1051
-+的值为( )
B D 12．为了得到函数y ＝2sin2x 的图象，可将函数y ＝4sin 6x π??+
???·cos 6x π??+ ???
的图象( ) A ．向右平移
3π个单位 B ．向左平移3
π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位
第II 卷（非选择题）
二、填空题 13．下列命题：
①ABC ?中，若A B <,则cos2cos2A B <；
②若A ，B ，C 为ABC ?的三个内角，则
③已知16sin 62sin 6
n n a n ππ=++()n N *∈，则数列{}n a 中的最小项为193
； ④若函数2()log (1)f x x =+，且0a b c <<<，则
()()()f a f b f c a b c <<；
⑤函数()f x
其中所有正确命题的序号是
14．已知44cos(),cos()55αβαβ+=-=-且3(),22παβπ??+∈ ???，
(),2παβπ??-∈ ???
，则sin 2α= 15．数列{}n a 的首项为1a ,前n 项和为n S ,若,,1n n S a 成等差数列,则n a =
16．若θ角的终边与
85π的终边相同，则在[0,2π]内终边与4θ角的终边相同的角是_____．
三、解答题
17．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知a 、b 、c 成等比数列，
且3cos 4
B =
. （Ⅰ）求11tan tan A C
+的值； （Ⅱ）设32BA BC ?=,求a 、c 的值. 18．已知定点()0,0O ，()3,0A ，动点P 到定点O 距离与到定点A
.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当4λ=时，记动点P 的轨迹为曲线D .
①若M 是圆()()22:2464E x y -+-=上任意一点，过M 作曲线D 的切线，切点是N ，求MN 的取值范围；
②已知F ，G 是曲线D 上不同的两点，对于定点(3,0)Q -，有4Q F Q G ?=.试问无论
F ，
G 两点的位置怎样，
直线FG 能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.
19．数列{}n a 满足*1221 (),2n n n a a n N n -=+-∈≥,且325a =.
（1）求12,a a
（2）是否存在实数t,使得()*()12
n n n b a t n N =+∈,且{n b }为等差数列?若存在,求出t 的值;若不存在，说明理由.
20．已知某海滨浴场的海浪高达y(米)是时间t(0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作
(1)根据以上数据，求出函数y ＝Acos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
21．设函数f(x)2
ωx ＋sin ωxcos ωx ＋a(其中ω>0，a ∈R)，且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为
6π. (1)求ω的值；
(2)如果f(x)在区间5,36ππ??-????
a 的值． 22．设定义在R 上的函数()f x ,满足当0x >时,()1f x > ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=,()12f =
（1）解不等式()
234f x x -> （2）解方程()()()213212
f x f x f ++=+????
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B ；
若俯视图为D ，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是D
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C ；
故选D
考点：三视图
点评：简单题，三视图问题，关键是理解三视图的画法规则，应用“长对正，高平齐，宽相等”，确定数据。
2．C
【解析】
试题分析：因为，在等差数列中，24264,,S S S S S --成等差数列。22S =，410S =， 所以，由422642()S S S S S -=+-，解得，6S =24，故选C 。
考点：等差数列的求和公式
点评：简单题，在等差数列中，24264,,S S S S S --成等差数列。多掌握些“小结论”，有助于灵活解题。
3．B
【解析】
试题分析：依题意，在三角形ABC 中，60AC =，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°，
所以由正弦定理得，0
0sin 30sin 45
AC BC ==B 。
考点：正弦定理的应用
点评：简单题，利用三角形内角关系，确定角创造了应用正弦定理的条件。
4．D
【解析】
试题分析：画出可行域及直线20x y -=，平移直线20x y -=，当直线经过点A （3，－3）时，直线的纵截距最小，所以，2z x y =-取得最大值9，选D 。
考点：简单线性规划问题
点评：简单题，简单线性规划问题，解答步骤是“画，移，解，答”。本题中y 的系数为负数，应特别注意平移的方向。
5．D
【解析】
试题分析：在等差数列中，若,m n p q +=+则m n p q a a a a +=+。
因为，两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453
n n A n B n +=+， 所以，n n a b 12121121
21()
27(21)452()2(21)32
n n n n n n n a a a A n n b b b B n ----+-+====+-+=71912711n n n +=+++， 为使n n
a b 为整数，须n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D 。 考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。
点评：中档题，在等差数列中，若,m n p q +=+则m n p q a a a a +=+。本题较为典型。
6．B
【解析】
试题分析：1l 与2l 互相垂直的条件是，a ×1+1×(-a)=0，所以，①正确；
由直线系方程，知，②当a 变化时, 1l 与2l 分别经过定点A(0,1)和B(-1,0)，正确； 当0a ≠时，由1:10l ax y -+=，2:10l x ay ++=两方程消去a ，
并整理得，220x y x y ++-=，即221
11()()222
x y ++-=，表示以AB 为直径的圆(除去原点)，结合选项可知选B 。
考点：直线系方程，圆的方程。
点评：中档题，本题综合性较强，较全面考查了两直线的位置关系，直线系的概念以及圆的方程。
7．C
【解析】
试题分析：因为，奇函数()()0, f x +∞在上为增函数,(1)0f -=
所以当()()()()10,0;f x f x x f x f x x
-->>->时， 01,x <<时()()()()0,0f x f x f x f x x
----<<； 故选C 。
考点：函数的奇偶性、单调性
点评：简单题，此类问题往往借助于函数图像分析。奇函数的图象关于原点成中心对称。
8．B
【解析】
试题分析：设11AB BE x CE x ===-，，，
则2,3AE EF AE ==CF == ABE ECF ,
AB CE BE CF =,11x x CF
-=, 解得13x =，所以2,3BC CE =- 故选B 。
考点：平面向量的应用
点评：简单题，平面向量在平面几何中的应用，一般借助于图形，发现向量之间的关系，利用向量的线性运算，加以解答。
9．D
【解析】
试题分析：本题给出的函数可以描述为cos sin x x 和中取较小的值。
可以先大致画出题目中的函数图象，
如图：图中的细线分别是cos ,sin x x 的图象，
粗线为()f x 的图像。
从图象中可以判断D 正确。
下边说明各个选项：A 中1包含于值域之内，则在()1cos sin f x x x =时，和至少有一个为1，并且是较小的那个。令()cos 1,2,sin 0;f x x x k x π====则这与其取法矛盾，A 错误。
B 中,sin 1x =-时，
32,,()12
x k k Z f x ππ=+∈=-这与题面“当且仅当()21,x k k Z π=+∈”冲突。B 错误。 C 中，若题面正确，则有()(),f x f x π=+
而{}(0)min sin ,cos 0,f x
x =={}()min sin ,cos 1f x x π==-,
所以题面错误。
D 中，()0,sin 0,cos 0f x x x >>>则，此时x 在第一象限，选D 。
考点：三角函数的图象和性质
点评：中档题，正确理解函数的意义，画出cos ,sin x
x 的图象，是解题的关键。
10．A
【解析】
试题分析：因为，角α的终边上一点的坐标为(12，
－2)，所以，1=， sin y r α==A 。 考点：三角函数的定义 点评：简单题，角α终边上一点
P 的坐标（x ，y ），则sin y r α=
. 11．C
【解析】
试题分析：00tan1051tan1051-+=00
00000tan105tan 45tan(10545)tan 60tan 45tan1051
-=-==+C 。
考点：两角和差的正切公式
点评：简单题，通过“1”的代换，创造应用公式的条件，是常见变形技巧。
12．C
【解析】
试题分析：因为，y ＝4sin 6x π?
?+ ???·cos 6x π?
?+ ???=2sin 22sin(2)63x x ππ
?
?+=+ ???，所以，为了得到函数y ＝2sin2x 的图象，
只需将y ＝4sin 6x π?
?+ ???·cos 6x π?
?+ ???=2sin 22sin(2)63
x x ππ?
?+=+ ???向右平移6π个单位，故选C 。
考点：二倍角的正弦，三角函数图象的变换。
点评：小综合题，为研究三角函数的图象和性质，往往利用三角公式首先化简。函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”。
13．②③
【解析】
s i n b B =
1
4
1
4
1()1=()αββαβαβπ
++=+?+ =1
419(5)(5αβπβαππ
++≥+= ， =
⑤因为，()3)
f x =问题转化成点P （x ，0）到A （1，2），B （2，3）距离之和的最小值。原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A 关于x 轴的对称点D （1，-2）．
则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值为|PD|==所以，⑤错误．故答案为：②③．
考点：正弦定理的应用，均值定理的应用，对号函数的性质，对数函数的图象和性质。 点评：难题，本题综合性较强，难度较大。灵活的对问题实施转化，是解题的关键。 14．2425
【解析】 试题分析：因为，()33(,2),sin 25παβπαβ+∈+=-，()3,,sin 25παβπαβ??-∈-= ???， 343424sin 2sin()555525
a a αββ??=-++=-?-+?= ???， 故答案为2425
考点：和与差的三角函数，三角函数的同角公式。
点评：中档题，应用两角和与差的三角函数公式时，变角是常用技巧。如2a a αββ=-++等。
15．12n -
【解析】
试题分析：分别以,1,1n n -代入原式，可以得到数列的一个递推关系式，进而得到通项公式的结果。1121,21,n n n n a S a S --=+=+所以()1112,2n n n n n n a a S S a an a ----=-==，所以这是一个以2为公比的等比数列。把1代入，得，11121,1a a a =+=，得到通项公式为n a =12n -.
考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式。
点评：中档题，当给定数列的,n n a S 关系时，通过“赋值”，进一步确定数列的特征，是常用的手段之一
16．25π，910π，75π，1910
π.
考点：终边相同的角
点评：简单题，与角α终边相同的角的集合为{|2,}k k z ββπα=+∈。对指定范围的角，只需指定k 的值。
17．
（Ⅱ）1,2a c ==或2,1a c ==. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）
a 、
b 、
c 成等比数列,2b ac ∴=，2sin sin sin B A C ∴= 2分
∴11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin A C A C A C A C A C A C
++=+= sin()sin 1sin sin sin sin sin A C B A C A C B
+=
== 6分 （Ⅱ）32
BA BC ?=,即3cos 2ac B =,而3cos 4B =， 所以2ac =①，22b = 8分
由余弦定理，
2=222cos a c ac B +-,225a c ∴+=，② 10分
由①②解得1,2a c ==或2,1a c == 12分
考点：等比中项，平面向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用。 点评：中档题，本题综合性较强，综合考查等比中项，平面向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用。思路比较明确，难度不大。 18．（Ⅰ）2
2231x y λ??++= ?-??????， 方程表示的曲线是以3,01λ??- ?-??
. （Ⅱ）当4λ=时，曲线D 的方程是22230x y x ++-=，曲线D 表示圆，圆心是()1,0D -，
MN
②动直线FG 与定圆22(3)1x y ++=相切.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，
PA =，得2222
()(3)x y x y λ+=-+，
整理得: ()()2211690x y x λλ-+-+-=.
0λ>，
∴当1λ=时，则方程可化为：230x -=，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线； 当1λ≠时，则方程可化为
2
2231x y λ??++= ?-??????， 即方程表示的曲线是以3,01λ??- ?-??
. 5分 （Ⅱ）当4λ=时，曲线D 的方程是22230x y x ++-=，
故曲线D 表示圆，圆心是()1,0D -，半径是2. ①由
5DE ==，及5<82-有： 两圆内含，且圆D 在圆E 内部.如图所示，由222MN MD DN =-有: 224MN MD =-,
故求MN 的取值范围就是求MD 的取值范围.而D 是定点，M 是圆上的动点，故过D 作圆
E 的直径，得853min MD =-=，8513max MD =+=，故2
516
5MN ≤≤
，
MN 分
②设点Q 到直线FG 的距离为d ，FQG θ∠=，
则由面积相等得到sin QF QG d FG θ?=，且圆的半径2r =.
即4sin 4sin 1.2sin d FG r θθθ
===于是顶点Q 到动直线FG 的距离为定值， 即动直线FG 与定圆22(3)1x y ++=相切.
考点：圆的方程，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。
点评：难题，本题确定轨迹方程，利用了“直接法”，对于参数λ的讨论，易出现遗漏现象。本题确定点到直线的距离，转化成面积计算，不易想到。
19．（1）17a =，29a =。
（2）1,1t d ==，3n b n =+，()231n
n a n =+-。 【解析】
试题分析：（1）32228125,9a a a =+-==
2112419,7a a a =+-==
（2）设存在t 满足条件，则由n b 为等差，设
()()11111`11
111222
12222221,1
n n n n n n n n n
n n n n n n d t a a d a a a t a t t d
a a t t d --------=-+=-+=-+==++=则而所以 求{}n a 的通项公式.
分析：可以直接使用2的结论简化计算。
解答：
在（2）中，()11114,12
b a d =+==， 3n b n =+，()()1132312
n n n n a n a n +=+?=+-。 考点：数列的递推公式，等差数列的通项公式。
点评：中档题，对于存在性问题，往往需要先假定存在，利用已知条件探求得到假设，从而肯定存在性。本题首先假设出公差d 和t ，通过构造、变换已知等式，又经过对比，得到公差d 和t 。
20．(1) y ＝12cos 6
πt ＋1. (2)在规定时间上午8：00至晚上2：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
【解析】
试题分析：(1)由表中数据，知周期T ＝12，
∵ω＝2T π＝212π＝6
π. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.
由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.
∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为
12， ∴y ＝12cos 6
πt ＋1. (2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放． ∴12cos 6πt ＋1>1，∴cos 6
πt>0. ∴2k π－2π<6πt<2k π＋2
π， 即12k －3 ∵0≤t ≤24，故可令k 分别为0、1、2，得0≤t<3或9 ∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00. 考点：函数模型，三角函数的图象和性质。 点评：中档题，作为一道实际应用问题，首先应“审清题意，明确函数模型，解答数学问题”。余弦形函数的图像和性质，可类比正弦型函数的图象和性质加以研究。本题与不等式解法相结合，注意将数字转化成时刻。 21．(1)ω＝ 12.(2) a . 【解析】 试题分析：(1)f(x)ωx ＋12sin2ωx ＋a ＝sin 23x πω? ?+ ???＋2 ＋a. 依题意得2ω·6π＋3π＝2π，解得ω＝12 . (2)由(1)知，f(x)＝sin 3x π? ? + ???＋2 ＋a. 又当x ∈5,36ππ??-???? 时，x ＋3π∈70,6π??????， 故12-≤sin 3x π??+ ?? ?≤1， 从而f(x)在5,36ππ??-????上取得最小值12- a. 由题设知12-a a 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质。 点评：中档题，本题较为典型，即首先利用和差倍半的三角函数公式，将三角函数式“化一”，进一步研究函数的图像和性质。本题（2）给定了自变量的较小范围，应注意确定x ω?+的范围，进一步确定函数的最值。 22．(1)先证()0f x >,且单调递增，{}2|1x x <<；(2) 0x =. 【解析】 试题分析：(1)先证()0f x >,且单调递增， 因为()()()()00f x f x f x f =+=,0x >时()1f x >, 所以()01f =. 又()2 0222x x x f f f x ??????=+=≥ ? ?????????， 假设存在某个0x R ∈，使()00f x =， 则()()()()0o o o o f x f x x x f x x f x ??=-??=-+=与已知矛盾，故()0f x > 任取12,x x R ∈且12x x <,则210x x ->,()211f x x ->, 所以()()12f x f x -=()()2111f x x x f x ???-?-+ =()()()2111f x x f x f x -- =()()12110f x f x x ???-?->. 所以x R ∈时,()f x 为增函数. 解得:{}2|1x x << (2)()12f =,()22f =,()38f = ,原方程可化为:()()2450f x f x +??-?=?, 解得()1f x =或()5f x =-（舍) 考点：函数的奇偶性、单调性，抽象函数、抽象不等式的解法，“赋值法”。 点评：难题，涉及抽象不等式解法问题，往往利用函数的奇偶性、单调性，将抽象问题转化成具体不等式组求解，要注意函数的定义域。抽象函数问题，往往利用“赋值法”，通过给自变量“赋值”，发现结论，应用于解题。本题较难，构造结构形式，应用已知条件，是解答本题的一大难点。
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