第六章 不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a －b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试] 1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1 b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 解析：选D 由性质知选D. 2. 1 2－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 解析： 1 2－1 ＝2＋1＜3＋1. 答案：< 1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1 b ； (2)a <0 b ； (3)a >b >0,0 d ； (4)0 a . 2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质： b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练] b ＋ c 的大小关系为________． 答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c 的大小 1.已知a 121212，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M D ．不确定 解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1 ＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N . 2．若实数a ≠1，比较a ＋2与3 1－a 的大小． 解：a ＋2－3 1－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1 ∴当a >1时，a ＋2>3 1－a ； 当a <1时，a ＋2<3 1－a . [类题通法] 比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． 注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 不等式的性质 [典例] >b 且c >d ”的A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分必要条件 D ．必要不充分条件 (2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b － d ；④ a ·(d －c )＞ b (d － c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] (1)由“a ＋c >b ＋d ”不能得知“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得知“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D. (2)法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误． ∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0， 故②正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ， ∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确． ∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值． [答案] (1)D (2)C [类题通法] 判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考： (1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0； (2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练] 若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1 b B ．|a |>|b | C ．a ＋b <2ab D.????12a 解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1 b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴????12a [典例] ，2≤f (1)≤4.求 [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b . 则????? m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得????? m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10. 即f (－2)的取值范围为[5,10]． 若本例中条件变为：已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1 解：由本例知f (－2)＝f (1)＋3f (－1)． 又∵1 故f (－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法] 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． [针对训练] 若α，β满足? ???? －1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围． 解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β. 则????? x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得? ???? x ＝－1， y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]． [课堂练通考点] 1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件． 2．(2013·昆明质检)若a 1b B ．a 2 D ．a n >b n 解析：选C 取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立． 3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1 b 成立的 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选C 1a <1 b 成立，即b －a ab <0成立，逐个验证可得，①②④满足题意． 4．设a ，b 是非零实数，若a a 2b D.b a 解析：选C 当a <0时，a 20，ab 符号不确定， 所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错． 因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1 a 2 b ，故C 正确． D 项中b a 与a b 的大小不能确定． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c . 其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③ 6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1 b 的大小关系是________． 解析：a b 2＋b a 2－????1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·????1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1 b [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜n D ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0?m ＜－n ?n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 2．(2014·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y | 解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z z <0.所以由? ???? x >0，y >z ，可得xy >xz . 3．(2013·西安模拟)设α∈????0，π2，β∈????0，π2，那么2α－β 3的取值范围是( ) A.????0，5π 6 B.????－π6，5π 6 C ．(0，π) D.??? ?－π 6，π 解析：选D 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π 6， ∴－π6≤－β 3≤0， ∴－π6<2α－β3 <π. 4．若1a <1 b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2 B ．ab C ．a ＋b <0 D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D ∵1a <1 b <0，∴0>a >b . ∴a 2 5．(2014·上海十三校联考)已知1a <1 b <0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a ④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C 由1a <1 b <0可得b b ，②不正确；a ＋b <0， ab >0，则a ＋b 6．(2014·扬州期末)若a 10， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1 7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3) 8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0，b 2>1>b ， 即? ???? b 2 >1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1 即????? b 2 <1，b >1 无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1) 9．若a >b >0，c 证明：∵c 1(a －c )2<1 (b －d )2 . 又∵e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2 . 10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人． (1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y ＝2 000＋60x 800＋ax (a ∈N *,1≤x ≤10)． 假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x ＞3， 解得x ＞40 3 ＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元． (2)设1≤x 1＜x 2≤10， 则f (x 2)－f (x 1)＝ 2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1) (800＋ax 2)(800＋ax 1) ＞0， 所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24. 所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 第Ⅱ组：重点选做题 1．(2014·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( ) A ．n >m >p B ．m >p >n C ．m >n >p D ．p >m >n 解析：选B 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n . 2．(2014·北京西城区期末)已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b － 1；③ a － b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 解析：选A 由a >b >0可得a 2>b 2，①正确；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴2a >2b － 1，②正确；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，∴a －b >a －b ，③正确；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④错误． 第二节一元二次不等式及其解法 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式． 2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是?. [试一试] 1．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(?R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 解析：选C T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ?R S ＝{x |x ≤－2}，所以(?R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C. 2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是????－12，1 3，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14 D ．－14 解析：选D 由题意知－12、1 3是ax 2＋bx ＋2＝0的两根． 则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.故选D. 3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞) 1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论 (1)不等式ax 2 ＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立?? ???? a ＝b ＝0，c >0，或????? a >0， Δ<0. (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立?? ???? a ＝b ＝0，c <0，或???? ? a <0，Δ<0. 2．分类讨论思想 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． [练一练] 若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知 ? ???? m >0，Δ＝4m 2 －4m <0. 得0 一元二次不等式的解法[典例] (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [解] (1)原不等式等价于 ????? x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4?? ???? x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ?????? (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0?????? x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a . 综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a . [类题通法] 1．解一元二次不等式的一般步骤： (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． [针对训练] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43 ， 所以原不等式的解集为? ??? ?? x ? ? －2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ????x －1 a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1 a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为?； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1 a . 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为? ??? ?? x ? ? 1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为?； 当a ＞1时，不等式的解集为???? ?? x ?? 1a ＜x ＜1. 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有： (1)形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围. 角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围. 1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________． 解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2 α)≤0，即－12≤sin α≤1 2 .因为0≤α≤π，故α∈????0，π6∪????5π6，π. 答案：????0，π6∪??? ?5π 6，π 角度二 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围 2．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围. 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a 2. ①当4－a 2 <－1，即a >6时， f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0， 解得a <3，故有a ∈?； ②当－1≤4－a 2 ≤1，即2≤a ≤6时， 只要f ?? ??4－a 2＝??? ?4－a 22 ＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0， 即a 2<0，故有a ∈?； ③当4－a 2>1，即a <2时， 只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0， 即a <1，故有a <1. 综上可知，当a <1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围 3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 由题意知在[－1,1]上，g (a )的值恒大于零， ∴? ???? g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2 －4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2 －4x ＋4>0， 解得x <1或x >3. 故当x <1或x >3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [类题通法] 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 一元二次不等式的应用 [典例] 件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件． (1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式； (2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%? [解] (1)设该商品价格下降后为x 元/件， 则由题意可知年销量增加到??? ?k x －4＋a 件， 故经销商的年收益y ＝??? ?k x －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5. (2)当k ＝2a 时，依题意有??? ?2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)， 化简得x 2－11x ＋30x －4≥0， 解得x ≥6或4 又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5， 即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%. [类题通法] 构建不等式模型解决实际问题 不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解． [针对训练] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加8 5 x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100????1－x 10·100????1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100??? ?1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤13 4 . 所以x 的取值范围是????12，2. [课堂练通考点] 1．(2013·广东高考)不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－2,0)∪(0,2) 解析：选D 由|x 2－2|<2得－2 D ．3∶2∶1 解析：选B ∵－c . ∵不等式的解集为{x |－2 ∴??? －b ＋c a ＝－2， c －b a ＝1， ∴??? b ＝a 2，c ＝3 2a ， ∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2 ＝2∶1∶3. 3．(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D. 152 解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝5 2 . 4．(2014·皖南八校联考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D ．[－2,5] 解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 5．(2013·温州调研)若函数f (x )＝? ???? x 2 ＋1，x >0， －x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________． 解析：不等式f (x )<4等价于????? x >0，x 2＋1<4，或? ??? ? x ≤0，－x <4， 即0 答案：(－4，3) 6．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________. 解析：因为|x ＋2|<3，即－5 答案：－1 1 [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．(2014·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4) D ．(－∞，2]∪(4，＋∞) 解析：选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2. 2．(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为? ?? ? ??x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的 解集为( ) A ．{x |x <－1或x >lg 2} B ．{x |－1 C ．{x |x >－lg 2} D ．{x |x <－lg 2} 解析：选D 因为一元二次不等式f (x )<0的解集为? ?? ? ??x |x <－1或x >12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·????x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)·????10x －12<0，即10x <12 ，x <－lg 2. 3．(2014·湖北八校联考)“00的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，????? a >0，Δ＝4a 2 －4a <0. 故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“00的解集是实数集R ”的充分而不必要条件． 4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5] 5．(2013·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.????－23 5，＋∞ B.????－23 5，1 C ．(1，＋∞) D.? ???－∞，－235 解析：选B 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根． 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－23 5，且a ≤1， 故a 的取值范围为??? ?－23 5，1. 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________． 解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0 7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________． 解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12 2 . 答案：??? ?－12，3 2 8．不等式x 2－2x ＋ 3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是?，则实数a 的取值范围是________． 解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为?， ∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3) 9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0； 若m ≠0，则? ???? m <0， Δ＝m 2 ＋4m <0?－4 (2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ????x －122＋3 4m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 法一：令g (x )＝m ????x －122＋3 4m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)?7m －6<0， 所以m <67，则0 7； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)?m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是???? ?? m ?? m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝????x －122＋3 4>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6 x 2－x ＋1 . 因为函数y ＝6 x 2－x ＋1＝ 6?? ??x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <6 7即可． 所以，m 的取值范围是? ????? m ?? m <67 . 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1 a ，比较f (x )与m 的大小． 解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0. 那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1 a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m . 第Ⅱ组：重点选做题 1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A ．[1,19] B ．(1,19) C ．[1,19) D ．(1,19] 解析：选C 函数图像恒在x 轴上方，即不等式 (a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立． (1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意． (2)当a 2＋4a －5≠0时，应有 ? ???? a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2 ＋4a －5)<0. 解得1 综上可知，a 的取值范围是1≤a <19. 2．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝???? ? x 2 －4x ，x >0，0，x ＝0， －x 2－4x ，x <0. 由f (x )>x ，可得???? ? x 2 －4x >x ，x >0或? ???? －x 2－4x >x ，x <0， 解得x >5或－5 所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明 一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分) 1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察 2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为 __________________. 3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ?平面α，直线a ?平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可). (1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误 4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= . 5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2 )1(1-+=成立.类比上述 性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________. (1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设?????≥-<=-2 ),1(log 22)(2 21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥?+++= x a x a x x x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且 c a m c b b a -≥ -+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1 )(1(b b a a ++ 的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数” 或“负数). 13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________. 14、下面使用类比推理正确的序号是__________. (1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +?=?+?”； (2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”； (3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 全品高考复习方案数学(理科) RJA 第六单元不等式、推理与证明 1.编写意图 (1)重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度,以基本的选题和细致全面的讲解进行组织,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的应用打下良好的基础. (2)二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题,是高考重点考查的两个知识点,我们不把探究点设置为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划),含有参数的平面区域以及生活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题. (3)对于合情推理,主要在于训练学生的归纳能力,重点在一些常见知识点上展开. 2.教学建议 (1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用,教师引导学生独立思考完成这些探究点,并给予适度的指导和点评. (2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程. (3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要拔高. (4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识. 3.课时安排 本单元共7讲,一个小题必刷卷(九),建议每讲1个课时完成,小题必刷卷1个课时完成,本单元建议用8个课时完成复习任务. 第33讲不等关系与不等式 考试说明了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 考点考查方向考例考查热度 不等式的性 比较数、式的大小2017全国卷Ⅰ11 ★☆☆质 不等式性质 求参数的值、范围★☆☆的应用 真题再现 ■[2017-2013]课标全国真题再现 [2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则() 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.doczj.com/doc/d713073830.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.doczj.com/doc/d713073830.html,) 原文地址： https://www.doczj.com/doc/d713073830.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 课时跟踪训练(三十八) [基础巩固] 一、选择题 1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( ) A.2390 B.9923 C.815 D.730 [解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730. 选D. [答案] D 2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规 律，则a 99＋a 100的值为( ) A.3724 B.76 C.1115 D.715 [解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列 到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78， 69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A. [答案] A 3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 [解析]∵55＝3125,56＝15625,57＝78125， 58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625. [答案] B 4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形 如以下形式的等式具有“穿墙术”：22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15， 55 24＝5 5 24，…，则按照以上规律，若9 9 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝ () A．25 B．48 C．63 D．80 [解析]由22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15，5 5 24＝5 5 24，…， 可得若99 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝9 2－1＝80，故选D. [答案] D 5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是() A．甲丙B．乙丁 C．丙丁D．乙丙 [解析]如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D. [答案] D 6．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i(i＝1,2,3,4)， 此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a1 1＝ a2 2＝ a3 3＝ a4 4＝k， 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 第六章不等式推理与证明 (时间120分钟，满分150分) 、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 .不等式(x + 1) x — 1> 0的解集是 A . {x|x > 1} 解析：■/ x — 1> 0, /? x > 1. 同时 x + 1> 0,即卩 x > — 1.二 x > 1. 答案：B 2 .下列命题中的真命题是 答案: x w 0 x 2> 1，从而得 x > 1 或 x W — 1. 答案：D 2x + 1 4 .若集合 A = {x||2x — 1|v 3}, B = {x| v 0}，贝V A Q B 是 3 — x 1 A . {x|— 1 v x v — 2或 2v x v 3} B . {x|2v x v 3} 1 1 C . {x|—v x v 2} D . {x|— 1v x v — ^} 解析：T I2X — 1|v 3, ??? — 3v 2x — 1v 3.A — 1v x v 2. 2x + 1 又v 0, (2x + 1)(x — 3) > 0, 3 — x … 1 1 …x > 3 或 x v — 2* - - A Q B = {x| — 1 v x v — 2). {x|x > 1} C . {x|x > 1 或 x =— 1} {x|x >— 1 或 x = 1} A 门. .右 C .若 a > b , c > d ,贝U ac > bd a > b ,贝U a 2 > b 2 解析: 由 a >|b|,可得 a >|b|>0? 2 2 B .若 |a|> b ,则 a > b D .若 a > |b|,贝U a 2> b 2 a 2> b 2. x 2, x w 0 3 .已知函数 f(x) = 2x — 1, x >0 若f(x)> 1，则x 的取值范围是 A . ( — m,— 1] B . [1 ,+m ) C . ( — m, 0] U [1,+m ) ( — m, — 1] U [1 ,+m ) 解析：将原不等式转化为: x > 0 检测 用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12 112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学） 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> ，n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1+???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N * ∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < （二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111 12112123 123n ++++ 课时达标 第36讲-不等式、推理与证明 一、选择题 1．用反证法证明命题：“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数 B ．自然数a ，b ，c 都是偶数 C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．自然数a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 D 解析 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数”．故选D. 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0 B ．a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0 D ．(a －b )(a －c )<0 C 解析 b 2－a c ＜3a ?b 2－ac ＜3a 2?(a ＋c )2－ac ＜3a 2?a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0 ?－2a 2＋ac ＋c 2＜0?2a 2－ac －c 2＞0?(a －c )(2a ＋c )＞0?(a －c )(a －b )＞0. 3．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)＞0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab ＞2b 2 D.a b ＜a ＋1b ＋1 B 解析 在B 项中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负 A 解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0. 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 第1讲 不等关系与不等式 1．(2016·安徽省淮北一模)设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 2，则( ) A ．c 30＝1，b ＝log 32， 因为1<2<3，所以00，所以ab >b 2，B 错误；因为ab －a 2＝a (b －a )<0，所以－ab >－a 2，C 错误；a |b |，D 错误，故选A. 3．(2016·江西省重点中学盟校联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.由a b >1??????a>1，b>0或?????0 课时达标 第34讲-不等式、推理与证明 一、选择题 1．已知f (x )＝x ＋1 x －2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4 C 解析 因为x ＜0，所以f (x )＝－??????(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 2．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a ＋b 2≥ab (a ＞0，b ＞0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0) C.2ab a ＋b ≤ab (a ＞0，b ＞0) D.a ＋b 2 ≤ a 2＋ b 2 2 (a ＞0，b ＞0) D 解析 由AC ＝a ，BC ＝b 可得圆O 的半径r ＝a ＋b 2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝ a － b 2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 .故选D. 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D ．2 2 C 解析 因为a ≥0，b ≥0，所以a ＋2b ≥0，又因为a (a ＋2b )＝4，所以4＝a (a ＋ 一、基本知识点讲解 1、实数a、b大小的比较： a b a b -?>；0 比较两个数的大小可以用相减法、相除法、平方法、开方法、倒数法等。 2、不等式的性质： ①对称性 a b b a >?< ②传递性 ,a b b c a c >>?> ③加法单调性 a b a c b c >?+>+ ④乘法单调性 ,0a b c ac bc >>?>；,0a b c ac bc >>?+>+ 异向不等式相减 d b c a d c b a ->-?<> , ⑥同向不等式相乘 0,0a b c d ac bd >>>>?> 异向不等式相除 d b c a c d b a >? >>>> 0,0 ⑦倒数关系b a b a b a b a 1 10;110>?<<> ⑧平方法则 )1,(0≥∈>?>>n N n b a b a n n ⑨开方法则 )0,1a b n n >>∈N > 3、一元二次不等式及其解法： （1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。 （2）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系 判别式24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函 数 2y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根 有两个相异实数 根 1,22b x a -±= ()12x x < 有两个相等实数 根122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20 ax bx c ++> ()0a > {}12x x x x x <>或 2b x x a ??≠-??? ? R 20 ax bx c ++< ()0a > {}12x x x x << ? ? 不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： 高三数学不等式、推理与证明训练试题_题型归纳 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．下列符合三段论推理形式的为() A．如果pq，p真，则q真 B．如果bc，ab，则ac C．如果a∥b，b∥c，则a∥c D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc 解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论. 答案：B 2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是() ①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A．①B．②C．①②③D．③ 解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的. 答案：C 3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是() A．假设2是有理数B．假设3是有理数 C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数 解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数. 答案：D 4．已知ai，biR(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为() A．1 B．2 C．n2 D．2n 解析：此结论为“a，b，c，dR，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bda2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbna12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1. 答案：A 5．在下列函数中，最小值是2的是() A．y＝x2＋2x B．y＝x＋2x＋1(x＞0) C．y＝sinx＋1sinx，x(0，2) D．y＝7x＋7－x 解析：A中x的取值未限制，故无最小值． D中，∥y＝7x＋7－x＝7x＋17x2，等号成立的条件是x＝0. B、C选项均找不到等号成立的条件. 答案：D 6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜13}，则ab的值为() A．－6 B．6 C．－5 D．5 解析：∥ax2＋bx＋1＞0的解集是{x|－1＜x＜13}， －1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根， －1＋13＝－ba－113＝1ab＝－2，a＝－3，ab＝－3(－2)＝6. 答案：B 7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是() 2021年高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练40不等 式与不等关系理 1．(xx·北京大兴期末)若a<5，则一定有( ) A ．aln 23<5ln 2 3 B ．|a|ln 23<5ln 23 C ．|aln 23|<|5ln 23| D ．a|ln 23|<5|ln 2 3 | 答案 D 2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2 B.b a <1 C ．lg(a －b)>0 D ．(13)a <(13)b 答案 D 解析 方法一：利用性质判断． 方法二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，则a 21，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D. 3．设a∈R ，则a>1是1 a <1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a>1或a<0.即a>1?1a <1，而1 a <1错误!a>1， 故选A. 4．若a ，b 为实数，则1a ＜1 b 成立的一个充分而不必要的条件是( ) A ．b ＜a ＜0 B ．a ＜b C ．b(a －b)＞0 D ．a ＞b 答案 A 解析 由a>b ?1a ＜1b 成立的条件是ab ＞0，即a ，b 同号时，若a ＞b ，则1a ＜1 b ；a ，b 异 号时，若a>b ，则1a ＞1 b . 5．(xx·广东东莞一模)设a ，b ∈R ，若a ＋|b|<0，则下列不等式成立的是( ) A ．a －b>0 B ．a 3 ＋b 3 >0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b<0 答案 D 6．设a ，b 为实数，则“02019届高考数学考前30天基础知识专练8(不等式推理与证明)
不等式证明的常用基本方法
听课答案-第六单元-不等式、推理与证明
高等数学中不等式的证明方法
2019届高三数学文一轮复习：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练38含解析
证明不等式的种方法
第六章质量检测不等式推理与证明
用放缩法证明不等式的方法与技巧
第6章 第36讲-不等式、推理与证明
证明不等式的几种常用方法
不等式的证明方法习题精选精讲
【精选】高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式知能训练轻松闯关理北师大版
第6章 第34讲-不等式、推理与证明
不等式推理与证明知识点
不等式证明的基本方法
高三数学不等式、推理与证明训练试题_题型归纳
2021-2022年高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练40不等式与不等关系理
相关主题
文本预览