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直线与圆】圆与圆知识点总结、经典例题及解析

直线与圆】圆与圆知识点总结、经典例题及解析
直线与圆】圆与圆知识点总结、经典例题及解析

直线与圆、圆与圆位置关系

【考纲说明】

1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【知识梳理】

一、直线与圆的位置关系

1、 直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法

(1)代数法:把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去x 或y 整理成一元二次方程后,计算判别式

24b ac ?=-

0?>?直线l 与圆C 相交?直线l 与圆C 有两交点

0?=?直线l 与圆C 相切?直线l 与圆C 有一交点

0?

(2)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系:

r d

r d >?直线l 与圆C 相离?直线l 与圆C 无交点

2、圆的切线方程

若圆的方程为2

2

2

x y r +=,点P 00(,)x y 在圆上,则过P 点且与圆2

2

2

x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=. 经过圆2

2

2

()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22

o o

x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交

直线与圆相交时,若l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有2

2

2

4

l r d =+,即l =长求其他量的值时,一般用此公式。 二、圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系可分为五种:外离、外切、相交、内切、内含。

2、判断圆与圆的位置关系常用方法

(1)几何法:设两圆圆心分别为12,O O ,半径为1212,()r r r r ≠,则

1212OO r r >+?圆1O

与圆2O 相离?有4条公切线

1212OO r r =+?圆1O 与圆2O 外切?有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+?圆1O 与圆2O 相交?有2条公切线 1212||OO r r =-?圆1O 与圆2O 内切?有1条公切线 1212||OO r r <-?圆1O

与圆2O 内含?有0条公切线. (2)代数法:

方程组2211122

22200

x y D x E y F x y D x E y F ?++++=?++++=? 有两组不同的实数解?两圆相交; 有两组相同的实数解?两圆相切; 无实数解?两圆外离或内含。

【经典例题】

【例1】(2012广东文)在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点,则弦AB 的长

等于( ) A

.B

.C

D .1

【答案】B

【解析】

圆心到直线的距离为1d =,所以弦AB

的长等于=

【例2】(2012重庆理)对任意的实数k , 直线1y kx =+与圆22

2

=+y x 的位置关系一定是 ( ) A .相离

B .相切

C .相交但直线不过圆心

D .相交且直线过圆心

【答案】C

【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=

的距离为1

1

d r =

<<=,且圆心(0,0)C 不在该直线上. 法二:直线10kx y -+=恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,故选C.

【例3】(2012 福建)

直线20x -=与圆2

2

4x y +=相交于,A B 两点,则弦AB 的长度等于( ) A

. B

. C

D .1 【答案】B

【解析】求弦长有两种方法,一、代数法:联立方程组??

?=+=-+4

0232

2

y x y x ,解得A 、B 两点的坐标为)3,1()0,2(-、,

所以弦长32)30()12(||22=-++=

AB ;二、几何法:根据直线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为

1)3(122

2=+,又知圆的半径为2

,所以弦长||AB ==.

【例4】(2012安徽)若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点,则实数a 取值范围是( )

A .[3,1]--]

B .[1,3]-

C .[3,1]-

D .(,3][1,)-∞-+∞

【答案】C

【解析】圆22()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d , 则

1231d r a a =

?

?+?-≤≤≤≤.

【例5】(2012 山东)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( ) A .内切 B .相交 C .外切 D .相离 【答案】B

【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-,)1,2(,

半径分别为2=r ,3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--,则r R r R +<<-17,所以两圆相交,选B.

【例6】(2012 江西)

过直线0x y +-=上点P 作圆22

1x y +=的 两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是__________. 【答案】)2,2(

【解析】如图:由题意可知0

60=∠APB , 由切线性质可知0

30=∠OPB , 在直角三角形OBP 中,||2||2OP OB ==

.设点()P x x ,

则||2OP =

=,即4)22(22=-+x x ,

整理得02222

=+-x x ,即0)2(2=-x , 所以2=

x ,即点P 的坐标为)2,2(.

法二:如图:由题意可知0

60=∠APB ,由切线性质可知0

30=∠OPB ,在直角三角形OBP 中,||2||2OP OB ==,圆心到直线的距离为22

22=-=

d ,所以OP 垂直于直线022=-+y x , 由???==-+x

y y x 0

22

,解得

????

?==2

2

y x ,即点P 的坐标为)2,2(。 【例7】(2009四川)若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是 . 【答案】4

【解析】由题知12(0,0),(,0)O O m

m <12O A AO ⊥

,所以有

222255,24m m AB =+=?=±∴==. 【例8】(2011福建)已知直线l :,y x m m R =+∈.

(I )若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点P ,且点P 在y 轴上,求该圆的方程; (II )若直线l 关于x 轴对称的直线为l ',问直线l '与抛物线C :24x y =是否相切?说明理由。 【答案】22(2)8x y -+=;当m =1时,直线l '与抛物线C 相切,当m ≠1时,直线l '与抛物线C 不相切. 【解析】(I )由题意知P (0, m ),∵以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点P ,

∴PM k =

002

m --=1-,解得m =2,∴圆M

的半径r =

∴所求圆M 的方程为22(2)8x y -+=;

(II )∵直线l 关于x 轴对称的直线为l ',l :y x m =+,m ∈R , ∴l ':y x m =--,代入24x y =得2

440x x m ++=,

?=2444m -??=1616m -,

当m <1时,?>0,直线l '与抛物线C 相交; 当m =1时,?=0,直线l '与抛物线C 相切; 当m >1时,?<0,直线l '与抛物线C 相离.

综上所述,当m =1时,直线l '与抛物线C 相切,当m ≠1时,直线l '与抛物线C 不相切.

【例9】已知圆2

2

2

1:2450C x y mx y m +-++-=,圆2

2

2

2:2230C x y x my m ++-+-=,m 为何值时,

(1)圆1C 与圆2C 相外切;(2)圆1C 与圆2C 内含.

【答案】52m m =-=当或圆1C 与圆2C 外切;当21m -<<-时,圆1C 与圆2C 内含.

【解析】对于圆1C 与圆2C 的方程,配方得:221:()(2)9C x m y -++=;.

(1)如果圆1C 与圆2C 32,=+

22(1)(2)25,m m ++=23100,52m m m m +-==-=即解得或.

(2)如果圆1C 与圆2C 32,<+

222(1)(2)1,320m m m m ++<++<,解得21m -<<-,

52m m ∴=-=当或时,圆1C 与圆2C 外切;

当21m -<<-时,圆1C 与圆2C 内含.

【例10】(2011广东)设圆C 与两圆22(4x y +=,22(4x y +=中的一个内切,另一个外切.

(1)求C 的圆心轨迹L 的方程;

(2)已知点M (

5,5

),F 0),且P 为L 上动点.求||MP |-|FP ||的最大值及此时点P 的坐标.

【答案】2214x y -=;

【解析】(1)两圆的圆心分别为A (0),B 0),半径为2,设圆C 的半径为r .由题意得|CA |=r -2,|CB |

=r +2或|CA |=r +2,|CB |=r -2,

两式相减得|CA |-|CB |=-4或|CA |-|CB |=4,即||CA |-|CB ||=4.

则C 的轨迹为双曲线,其中2a =4,c b 2=1

∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为2

214

x y -=. (2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点,如图,

连MF 并延长交双曲线于一点P ,此时|PM |-|PF |=|MF |为||PM |-|FP ||的最大值.

又MF =

MF 的方程为2(y x =-即2y x =代入x 2-4y 2=4并整理得215840x -+=,

解得x 或x

y==显然x P的横坐标,点P的纵坐标为

p

即||MP|-|FP||的最大值为2,此时点P的坐标为).

圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2E D C ,半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时,方程不表示任何图形.

注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交???时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当0=?时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当0r r d ; ② 条公切线外切321??+=r r d ; ③ 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; ④ 条公切线内切121??-=r r d ; ⑤ 无公切线内含??-<<210r r d ;

圆的知识点总结

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;(3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1. 已知:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB=,ON=1,求MN的长; ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。 解:①∵AB=,半径OM⊥AB,∴AN=BN= ∵ON=1,由勾股定理得OA=2 ∴MN=OM-ON=OA-ON=1 ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60°

圆的知识点总结史上最全的

A 图4 图5 圆的总结 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r 外切(图2) 有一个交点 d=R+r 相交(图3) 有两个交点 R-r

(完整版)直线与圆知识归纳

直线与圆 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0 范围:直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率:)2 (tan π α≠ =a k ,R k ∈ 斜率公式:经过两点),(111y x P ,),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ,则 c c f b b f a a f ) (,)(,)(的大小关系

例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ,试求2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为: 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ;当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交,交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角: ①若θ为1l 到2l 的角,12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ②若θ为1l 和2l 的夹角,则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o 直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α:) 2 (π θθα≤ =

《圆》知识点归纳及相关题型整理

第五章中心对称图形(二) ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆: 把线段OP的一个端点O固定,使线段OP绕着点O在平面内旋转1周,另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中,定点O叫做圆心,线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦:连接圆上任意两点的线段。 5.直径:经过圆心的弦。 6.弧:圆上任意两点间的部分。 优弧:大于半圆的弧。 劣弧:小于半圆的弧。 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。(圆心不同) 9.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。(在大小不等的两个圆中,不存在等弧。 10.圆心角:顶点在圆心的角。 11.圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角。 12.圆的切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形: ①定义:各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性:都是轴对称图形;有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥: ①:母线:连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②:高:连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆:三角形三个顶点确定一个圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

16.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为:一条直线,如果它具有两个性质:(1)经过圆心;(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质:(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧。 推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径(或半圆)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个.这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

圆的知识点总结

圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征:圆是由一条曲线围成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法:(1)把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离;(2)把有针尖的一只脚固定在一点上;(3)把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周,就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称:圆心用O表示;半径通常用字母r表示;直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径,无数条半径;同(或等)圆内的直径都相等,半径都相等。 5. 圆心和半径的作用:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴,圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系:在同一圆内,直径的长度是半径的2倍,可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长:圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率:圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式:如果用C表示圆的周长,那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用: (1)已知圆的半径,求圆的周长:C=2πr。 (2)已知圆的直径,求圆的周长:C=πd。 (3)已知圆的周长,求圆的半径:r=C π 2. (4)已知圆的周长,求圆的直径:d=C π。 12. 圆的面积的含义:圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式:如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是:S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用: (1)已知圆的半径,求圆的面积:S= 。 (2)已知圆的直径,求圆的面积:r= ,S= 或。 (3)已知圆的周长,求圆的面积:r=C 2 π,S= 或。 【经典例题】

圆的知识点总结与典型例题

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推 出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④ 平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90 °的圆周角所对的弦是直径;推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; 2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; 3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1.已知:如图1,在。O中,半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1,求MN的长; ②若半径0M = R,/ AOB = 120。,求MN的长。 解:①??? AB =,半径0M 丄AB,二AN = BN =

初中数学圆的知识点总结

圆 知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧。 例 P 为⊙O 内一点,OP =3cm ,⊙O 半径为5cm ,则经过P 点的最短弦长为________;? 最长弦长为_______. 解题思路:圆内最长的弦是直径,最短的弦是和OP 垂直的弦,答案:10 cm ,8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内 。 当点在圆外时,d >r ;反过来,当d >r 时,点在圆外。 当点在圆上时,d =r ;反过来,当d =r 时,点在圆上。 当点在圆内时,d <r ;反过来,当d <r 时,点在圆内。 例 如图,在Rt ABC △中,直角边3AB =,4BC =,点E ,F 分别是BC ,AC 的中点,以点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则点E 在圆A 的_________,点F 在圆A 的_________. 解题思路:利用点与圆的位置关系,答案:外部,内部 % 练习:在直角坐标平面内,圆O 的半径为5,圆心O 的坐标为(14)--,.试判断点(31)P -,与圆O 的位置关系. 答案:点P 在圆O 上. 知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.

直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1( x 1,y 1) P 2( x 2,y 2 ) 当 x 1 = x 2 时, =900 , 不存在。当 0 时, =arctank , <0 时, = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系:(1)共点直线系方程: p 0(x 0,y 0)为定值, k 为参数 y-y 0=k (x-x 0) 特别: y=kx+b ,表示过( 0、 b )的直线系(不含 y 轴) ( 2)平行直线系:① y=kx+b ,k 为定值, b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 ( 3)过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入( A 2X+B 2Y+C 2)=0(不含 L2) 6、三点共线的判定:① AB BC AC ,②K AB =K BC , ③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距(略)曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴: y=0 ② y 轴: x=0 ③平行于 x 轴: y=b ④平行于 y 轴: x=a ⑤过原点: y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角: 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜

圆知识点总结及归纳

第一讲圆的方程 (一)圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 (1)将圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0通过配方后得到的方程为:

(x +D 2)2+(y +E 2 )2= D 2+ E 2-4F 4 ①当D 2 +E 2 -4F >0时,该方程表示以(-D 2,-E 2)为圆心, 1 2 D 2+ E 2-4 F 为半径的圆; ②当D 2 +E 2 -4F =0时,方程只有实数解x =-D 2,y =-E 2,即只表示一个点(-D 2,-E 2);③当D 2+E 2-4F <0时,方程没有实数解, 因而它不表示任何图形. 2、圆的一般方程的特征是:x 2和y 2项的系数 都为 1 ,没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. 2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2

方法一: 方法二: (四)圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 (五)圆的参数方程 (六)温馨提示 1、方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是: (1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0.

(完整版)高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆 一.直线 1.斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (1)[0,)2π θ∈时,0k ≥; (2)2πθ=时,k 不存在;(3)(,)2πθπ∈时,0k < (4)当倾斜角从0?增加到90?时,斜率从0增加到+∞; 当倾斜角从90?增加到180? 时,斜率从-∞增加到0 2.直线方程 (1)点斜式:)(00x x k y y -=- (2)斜截式:y kx b =+ (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (4)截距式:1x y a b += (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式 (1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP = (2)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离:d = (3)平行线间的距离:10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离:d = 4.位置关系 (1)截距式:y kx b =+形式 重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠ 平行:1212 k k b b =≠ 垂直:121k k ?=- (2)一般式:0Ax By C ++=形式 重合:1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行:1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ 5.直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=+()表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程(不含2l ) 二.圆 1.圆的方程 (1)标准形式:222 ()()x a y b R -+-=(0R >) (2)一般式:220x y Dx Ey F ++++=(2240D E F +->) (3)参数方程:00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? (θ是参数) 【注】题目中出现动点求量时,通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. (4)以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是:()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系 (1)点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 当22200()()x a y b R -+-<时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 (2)直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时,直线和圆相交(有两个交点); 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点); 当d R <时,直线和圆相离(无交点);

圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题

《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂 线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点; 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交 ?d r

四、圆与圆的位置关系 外离(图1)?无交点 ?d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ?d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ?R r d R r -<<+;内切(图4)? 有一个交点 ?d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ?d R r <-; 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2

九年级数学圆的知识点总结大全

r B 一、知识回顾 第四章:《圆》 圆的周长 : C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 : S=πr 2 圆环面积计算方法: S=πR2- πr 2或 S=π( R2-r 2) (R 是大圆半径, r 是小圆半径) 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念: 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2 、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3 、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是: 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内; A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上; O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外; C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点; 2、直线与圆相切 d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点; r d d=r r d

C D 四、圆与圆的位置关系 外离(图 1) 无交点 d R r ; 外切(图 2) 有一个交点 d R r ; 相交(图 3) 有两个交点 R r d R r ; 内切(图 4) 有一个交点 d R r ; 内含(图 5) 无交点 d R r ; d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论,即: ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角,叫圆心角。 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定

圆的知识点归纳总结大全

圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ,OP=d 。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三 个点的距离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; 直线与圆没有交点,直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中,A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 (1)d=r 时,直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r (r > d ) 直线与圆相交。 d > r (r d ) 点P 在⊙O 内 d > r (r

直线与圆知识点总结

直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角:(1 )定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 X 轴相交的直线l , 如果把X 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I 重合时所转的最小正角记为,那么 就叫 做直线的倾斜角。当直线I 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0;(2)倾斜角的范围 0, < 2 一 过点P ( J3,1),Q (0,m )的直线的倾斜角的范围 [―,——],那么m 值的范围是 3 3 (答:m 2 或 m 4) 2、直线的斜率:(1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k ,即k = tan ( 丰90° );倾斜角为90°的直线没有斜率;(2)斜率公式:经过 两点R (x 1,yJ 、卩2&2』2)的直线的斜率为 k a (1,k ),直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的一 X 1 X 2 ; ( 3)直线的方向向量 x 1 x 2 (4)应用:证明三点共线: k AB k BC 。 _________ 条件(答:既不充分也不必要); (2)实数x, y 满足3x 2y 5 0 ( 1 x 3),则上的最大值、最小值分别为 ___________ (答: x (1)点斜式:已知直线过点 (x 0,y 0)斜率为k ,则直线方程为kx b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。(3)两点式:已知直 线经过R (X 1,yJ 、卩:化皿)两点,则直线方程为 —―丄 —―生,它不包括垂直于坐 y 2 y 1 X 2 X 1 标轴的直线。(4)截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b ,则直线方程为— 1 , a b 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。(5) 一般式:任何直线均可写成 Ax By C 0(A,B 不同时为0)的形式。如(1)经过点(2,1)且方向向量为v =( — 1, . 3 ) 的直线的点斜式方程是 _____________________ (答:y 1 V3(x 2) ) ; ( 2 )直线 (m 2)x (2 m 1)y (3m 4) 0 ,不管 m 怎样变化恒过点 _______ (答:(1, 2) ); (3) 若曲线y a | x |与y x a (a 0)有两个公共点,则a 的取值范围是 ____________ (答: a 1) 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线, 还 有截距式呢?); (2)直线在坐标轴上的截距可正、 可负、也可为0.直线两截距相等 直线 的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点;直线 两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点。 如过点A (1,4),且纵横截距的绝对 值相等的直线共有―条(答:3) 4. 设直线方程的一些常用技巧 :(1)知直线纵截距b ,常设其方 程为y kx b ; (2) 知直线横截距X 0,常设其方程为x my x °(它不适用于斜率为 0的直线);(3)知直线过 点 (x °,y °),当斜率k 存在时,常设其方程为 y k (x x 。) y 。,当斜率k 不存在时,则其 方程 如(1)直线xcos .. 3y 2 0的倾斜角的范围是 5 (答:[。,評它,));(2) 1) 3、直线的方程 y y 。 k (x x 0),它不包括垂直于 x 轴的直线。(2)斜截式:已知直线在y 轴上的截距为 b 和斜率k ,则直线方程为y

初三数学圆的知识点总结及例题详解

初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆的基本性质 1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧. 9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5.垂直于半径的直线必为圆的切线. 6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7.垂直于半径的直线是圆的切线. 8.圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5.相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°. 2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形. 4.正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质 1.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2.已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3.已知:如图,⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4.已知:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5.半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6.已知:如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7.已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1.已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3.已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O

直线与圆知识点总结

直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角:(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0;(2)倾斜角的范围[)π,0。如(1)直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____(答:5[0][)66 ,,π ππ );(2)过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ (答:42≥-≤m m 或) 2、直线的斜率:(1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率;(2)斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=;(3)直线的方向向量(1,)a k = , 直线的方向向量与直线的斜率有何关系?(4)应用:证明三点共线: AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件(答:既不充分也不必要);(2)实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x ),则 x y 的最大值、最小值分别为______(答:2,13 -) 3、直线的方程:(1)点斜式:已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 (2)斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。(3)两点式:已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线。(4)截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。(5)一般式:任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如(1)经过点(2,1)且方向向量为v =(-1,3) 的直线的点斜式方程是___________(答:1(2)y x -=-);(2)直线(2)(21)(34)m x m y m +----=,不管m 怎样变化恒过点______(答:(1,2)--);(3)若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点,则a 的取值范围是_______(答:1a >) 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?);(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条(答:3) 4.设直线方程的一些常用技巧:(1)知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+;(2)知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线);(3)知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =;(4)与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=;(5)与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。

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