i

A 可逆等温膨胀到

f

A 所吸收热量；

(2) 可逆绝热膨胀引起的温度变化。

7. 设在弹性限度内弹簧的恢复力与伸长量成正比，比例系数k 是温度的已知函数。今把处

于大气中的弹簧拉长x ，最终达到平衡态。求弹簧的自由能、熵和内能的变化（设大气温度不变）。

8. 试证明遵从居里定律T aH m /=的顺磁介质的等磁化强度热容量及内能仅是温度的函 数。

9. 已知超导体的磁感应强度0

)(0=+=m H B μ。

求证：（1）m

C 与m 无关，只是T 的函数；

(2) ?+-=02

02/U m dT C U m μ

(3)

?+=

S

dT T C

S m

)/(。

10. 对电介质建立热力学方程，并证明：

p T E

T E V p P ,,??? ????-=?

??? ????，E E S T P C T E T ??? ????-=???

?

??? 式中E C V E p P 、、、、和S 分别为电介质的电矩、压强、电场强度、体积、恒定电场中的热容量和熵，并说明二等式的意义。 11. 容积为

1

V ，具有理想反射壁空腔的平衡辐射，突然扩大到容积

2

V （包括原有的容积

1

V ）

的空腔。这是一个不可逆绝热过程。试证明：

(1)

?????

?????

-???

?

??=-=?14

1

21

V V T T T T i i f ；

(2)

?????????

?

-???

?

??=-=?1344

1

1213

V V V aT S S

S i i f

。

§2.3热力学第三定律

1. 根据德拜定律，低温时晶体的热容量V

C 与热力学温度的3次方成正比：

3

aT

C V =。

试证明晶体的定压热容与定容之差

V

P C C -在K T 0→时与温度的7次方成正比。

2. 试根椐热力学第三定律证明，顺磁介质的居里定律)/(T aH m =在足够低的温度下不能 成立。

第三章 相平衡和化学平衡

§3.1多元均匀开系的热力学基本方程 1. 试证明：

(1) V T V S T ,,?

??

????-=??? ????νμν；

V

T T p V ,,?

??

????-=??? ????νμν。

(2)

j

i p T i p i S T ννν

μ,,,?

??? ?

???-=???

????；j

i p T i T i V p ννν

μ,,,?

???

?

???=????

????。

2. 已知),,(U V S S ν=，试证明V

U U V S V S V U S U S ,,,?

?? ????+??? ????+??? ????=νννν

3.

克拉玛斯函数的定义是T J q /-=。试证明q

全微分

为 ，

?

??

??++??? ??-=T d dV T p T Ud dq μν1 并由此证明

V T V T T

V U T T ,,,

1??? ???????? ????=???

????νμννμ，利用此结论再证明例3的（4）式。

§3.2热力学系统的平衡条件

1. 在只有膨胀功的情况下，试证明：

(1) F 与V 不变时，平衡态的T 最小；（2）U 与S 不变时，平衡态的V 最小； (3) p 与H 不变时，平衡态的S 最大；（4）T 与G 不变时，平衡态的p 最大。 2. 由0>-v p s T δδδδ出发，试证明

(1) 0

>v c ，0

????T v p ； （2）0>p c ，0

(3)

0>p

c ，

02

??? ????P

T p T v p v

T c 。

以上各广延量都是1摩尔的量。

§3.3相平衡

1. 1摩尔物质作如图所示的卡诺循环，两条等温线的温线的温度分别为1T 和

2

T ，已知

K T 3001=，K T 1502=，l V A 5.0=，l V B 0.1=，l V C 718.2=，在1T 时潜热为1

836-?m o l J ，设物质的气态可视为理想气体。

(1) 说明、B、C、D、E、F

A .各是什么状态；

(2) 在T ～S 图中画出相应的图形； (3) 计算一循环中物质所作的功。

题1图 题5图

2. 固态氨的蒸气压方程为T Inp /37540

3.23-=，液态氨的蒸气压方程为

T

Inp /306349.19-=

其中压强的单位为Pa

。假设气相可视为理想气体，凝聚相的比容相对于气相可以忽略不计。

试求：

(1) 三相点的温度；

(2) 三相点处三个潜热的数值。

3. 对用克拉珀龙方和描述的相变过程，试证明：

(1) 物质摩尔内能的变化为：????

??-=-p d T d L u u ln ln 112；

(2) 若一相是气相，可视为理想气体，另一相是凝聚相，则上式简化为：

)

1(12L

RT L u u -

=-。

4. 试证明：在分界面是曲面的情形下，相变潜热仍为α

β

α

β

h h s s T L -=-=)(。 5. 在v p -图上范德瓦耳斯气体等温线的极大点与极小点连成一条曲线ACB ，如右图所 示。试证明这条曲线的方程为)2(3

b v a pv -=，并说明这条曲线分割出的区域I 、II 、III

的意义。

§3.4化学平衡

1. 绝热容器中有隔板隔开，一边装有1

ν摩尔的理想气体，温度为T ，压强为

1

p ；另一边装

有2

ν摩尔的理想气体，温度亦为T ，但压强为2p 。今将隔板抽去

(1) 试求气体混合后的压强；

(2) 若两种气体是不同的，试计算混合后的熵； (3) 若两种气体是全同的，试计算混合后的熵。

2. 求化学反应0222=-+HI I H 的分解度与平衡恒量之间的关系。

3. 甲醇脱氢的反应方程为（气体）

OH

CH 3→2H HCHO +。已知在K 800时，平衡恒

量

68

.2=p

K

，求当甲醇的投料量为1摩尔时，氢的最大产量是多少?

第六章 统计物理学的基本概念

§6.1粒子运动状态的描写

1. 何谓经典粒子、量子粒子、全同粒子、定域子、非定域子？

2. 何谓μ空间、相格、相格数？

3. 试举例说明量子描述向经典描述过渡的条件。

4. 一光子的能量ε与动量p 的关系为cp =ε，其中c 为光速。若光子在容器V 中自由运动，试求其能量在εεεd +~之间的量子态数（对应每一个动量p 有两个偏振方向）。

5. 已知二维谐振子的能量为)

(2

1)(212

22

2

y x k p p m

y x ++

+=

ε，试求其态密度。

§6.2系统运动状态的描述

1. 何谓系统的微观状态、宏观状态？二者关系如何？

2. 何谓非简并性条件？非简并性条件成立时，费米子系统、玻色子系统与定域子系统与定域子系统三者的微观状态数有何关系？

§6.3 统计物理学的基本假设 1. 何谓等概率原理？其意义如何？

2. 何谓时间平均值？何谓统计平均值？二者有何关系？

第七章 最概然统计法

§7.1最概然统计法的理论基础

1. 何谓B M -分布、D F -分布？何谓最概然分布？

2. 在什么条件下量子系统可用经典方法计算？什么条件下D F -分布和E B -分布都过渡到B M -分布？

3. W k S ln =的物理意义是什么？

4. 判定下列情况服从经典统计还是量子统计： (1) 锗中的自由电子，其数密度为3

14

10-cm ； (2) 银中的自由电子，其数密度为3

2210

-cm

。

5. 试计算氢和氧的简并温度，设其粒子数密度与标准条件下的粒子数密度

（3

2510687.2--?m ）相同。

6. 试问晶体中自由电子数密度为何值时，其电子气的简并温度等于C

0？

7. 一个线性谐振子，其能谱为0

,)2

1(=+

=n h n n νε，

,1，且系统温度足够kT h >>ν(）。

(1) 试求振子处于第一激发态与基态的概率之比； (2) 若振子仅占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。

8. 由单原子组成的顺磁气体，每单位体积中有

N 个原子，当温度不太高时可看成每个原子

都处于基态，其固有磁矩μ在外磁场H 中只能取平行于H 和反行于H 两种取向，气体服从

B M -分布。试计算：

(1) 一个原子处于μ与H 平行状态的几率； (2) 一个原子处于μ与H 逆平行状态的几率； (3) 一个原子的平均磁矩μ；

(4) 写出气体的磁化强度，并讨论μH kT <<和μH kT >>两种极限情况。

9. 考虑两个晶格格点组成的系统，每个格点上固定一个原子（自旋为1），其自旋可以取三个方向，原子能量分别为1，0，-1，且能级无简并，两原子之间无相互作用。试求该系统的E 和2

E 。

10.试证明，对于理想的B M -、D F -、E B -气体，熵可分别代表为

∑-=-?

?

?f f k S B M ln ∑--+-=-?

????)]

1ln()1(ln [f f f f k S D F ∑++--=-?

????)]

1ln()1(ln [f f f f k S E B 。其中

?

f 是能级

?

ε的量子态上的平均粒子数，

∑

s

是对粒子的所有量子态取和。

11.一粒子数N 很大的定域子系，处在外磁场H 中，每个粒子的自旋为1/2。求系统的微观态数与总自旋Z 分量

Z

M

的函数关系，并确定系统的微观态数最大时的

Z

M

的值。

12. 如图所示，一个一维的链由1>>N 个节组成，当节和链平行时，节的长度为a ，当节和链垂直时，节的长度为零。每个节只有这两个非简并的状态，平均链长是x

N 。

(1) 用x 表示出链的熵； (2) 求温度T 、张力F 和长度

x

N 之间的关系，设铰点可以自由活动；

(3) 什么情况下结论给出胡克定律？

13. 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的位置构成新的一层，晶体将出现缺位。晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷，如图所示。以N 表示晶体中的原子数，n 表示晶体

中的缺位数。如果忽略晶体体积的变化，试由自由能取极小值的条件证明，当温度为T 时，

kT

w Ne

n /-≈(n N <<) 其中W 为原子在表面位置与下常位置的能量差。

14*. 考虑由N 个没有相互作用的粒子组成的系统，每个粒子固定于某个位置并具有磁矩μ。整个系统处于外磁场B 中，所以每个粒子总处于能量为01=ε或B μεε22==的两个

态中之一上。把这些粒子看成是互相可以区别的。 (1) 试写出

n

S 的表达式，并求出使

n

S 为极大的n 值。

(2) 将系统的内能U 视为连续值，试证明该系统可以处于负温度状态。 §7.2.麦克斯韦—玻耳兹曼分布的应用

1. 某遵从B M -统计分布的由N 个粒子组成的理想气体系统，其粒子的能量动量关系为cp =ε，在不考虑其内部结构的条件下，试求其热力学函数U 、H 、V C 和p C 。

2. 某满足B M -统计的理想气体处在重力场中。设想一个很高的圆柱筒垂直地放在地面上，筒内粒子数为N 。假设筒内的理想气体处于同一温度，试求该系统的内能和定容热容量。

3. 被吸附在表面上的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作二维的理想气体，试计算其摩尔热容，设表面的大小不变。

*4. 今有单原子分子组成的理想气体，遵从B M -分布律。若两分子的相对速度为

12

νν-=u 。试计算u u =的平均值u ，并将结果用2

/18?

?

?

??=m kT πν表出。

5. 从一容器的狭缝中射出一分子束，试求该分子束中分子的最概然速率p

v 和最概然能量

p

ε

。求得的

p

v 和

p

ε

与容器内的

p

v 和

p

ε

是否相同？为什么？

* 6. 今有N 个理想气体分子，盛在截截积为A 、高度为h 的容器内，处于重力场的作用下。试求：

(1) 分子数密度按高度的分布；

(2) 若在容器的顶部开一面积为A ?的小孔，凌晨位时间内从小孔飞出的分子数是多少？

*7. 某遵从B M -分布的系统，其粒子的能量为4

2

21bq

p

m

+=

ε，其中m 、b 为常数。

试求粒子的平均能量。

8. 假设双原子的振动是非简谐的，振动能量的经典表达式为

4

3

22

2

21cq

bq

q a p v

+-+

=

μ

ε

式中后两项是非简谐的修正项，其数值远小于前面两项，2

μω=a ，b 、c 均为常数。试证

明：振动的内能和定容热容量分别为 δ2

2

T Nk NkT U

v

+= δ

υ

T Nk Nk C V

2

2+=

其中

2

3

23215a c a

b -

=

δ。

*9. N 个刚性双原子分子（例如2O ）组成的理想气体，该分子有永久磁矩μ，放在感应强度为B 的磁场中，分子的能量为：

θμθεφθcos sin 121)(2122

22

2

2

B p p I p p p m

x y x -???

??++

++=

试证明：

(1) 分子的配分函数为：

?

?????-=

-y e e kTI h h

mkT V Z y

y 2

23

2

/341)

2(ππ

其中I 是分子的转动惯量；kT B y /μ=。 (2) 磁化强度（单位体积内的总磁矩之和）为

???

???-+-==--y e e e e N y L N m y

y y y 1)(μμ

其中)(y L 称为朗之万函数。

(3) 讨论高温)(B kT μ>>和低温)(B kT μ<<时的情况。

§7.3费米——锹拉克分布和玻色——爱因斯坦分布的应用

1. 在室温)025.0(eV kT =时，电子占据费米能级、比费米能级高eV 1.0、比费米能级低eV .01的态的概率分别为多大？

2. 若某能极高于费米能级eV 1.0，温度从10K 3

变到K 300，问电子占有该能极的概率改

变多少？

3. 试计算K T 0=时自由电子气体中一个电子能量的相对涨落。

4. 设金属中的传导电子可以近似地看成理想费米气体。再设金属宏观静止，其费米能级为

F ε。试在绝对零度下

(1) 计算

x

v 和

2

x

v （

x

v 为电子速度的x 分量）；

(2) 证明总能量的平均值E 是广延量。当总体积V 固定时，E 与总粒子数N 并不成线性关系，为什么？

5. 相对率性电子气体，其能量动量关系为4

2222

c m p c +=ε

（其中c 为光速，m 为电子质

量），试在K T 0=时计算电子数密度，，用费米能级F ε表示。

6. 某种样品中的电子服从D F -分布，其态密度有如下特征：0<ε时，0)(=εg ；0≥ε时，

)(g g =ε。设电子的总数为N 。

(1) 试求K T 0=时的化学势0μ和总能量0E

；

(2) 试证明系统的非简并条件为

k

g N T 0/>>； (3) 试证明当系统强烈简并（T 很低）时

T

c v ∞。

7. 考虑由N 个无相互作用的电子组成的电子气体，假定电子是非相对论性的。试求出K T 0=时，与下列情形相应的费米能量：

(1) 粒子只能沿长度为L 的线段运动；

(2) 粒子只能在一个面积为A 的二维平面上运动。

8. 试导出二维空间黑体辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。 9. 宇宙中充满着K T 3=的黑体辐射光子，这可以看作是大爆炸的痕迹。 (1) 试求出光子数密度依赖于温度T 的解析表达式，可保留一个数值因子。 (2) 试近似计算K T 3=时光子的数密度。

10. 如果声子服从D F -统计而非E B -统计，则固体热容量的德拜理论发生什么变化？在这样的假设下，试求远低于德拜温度和远高于德拜温度时热容与温度的关系（常数系数不必算出）。

11. 试证明：对玻色气体，0<-NkT pV ；对费米气体0>-NkT pV 。

第八章 系综统计法

§8.1基本概念

1. 何为Γ空间？Γ空间与μ空间有什么区别和联系？

2. 何谓统计系综？引入统计系综的意义何在？

3. 请读者举出自已所熟悉的例子，说明系综平均值等于时间平均值。

§8.2微正则系综

1. 试证明：当N 很大时，系统的能量在E E E ?+~之间的状态数近似等于系统的能量小于、等于E 状态数。

2. 考虑N 个自旋为1/2，磁矩为μ的定域粒子，粒子间相互作用很弱，将此系统置于磁场

H 中。

(1) 求系统总能量为E 时的微观态数)(E Ω； (2) 求E 与温度T 的关系； (3) 在什么情况下出现负温度？

(4) 求系统的总磁矩M 与E 关系（用H 和T 将M 表出）。 3. 处于室温下的任一宏观系统，当其能量增加eV 3

10

-时，系统所有可能的微观态数增加

的百分数是多少？若系统吸收一个可见光（波长为5

105-?cm ）的光子，系统的状态数增加

多少？

§8.3正则系综

1. 由N 个单原分子组成的理想气体系统处于温度为T 的平衡态，试求系统能量的最可几值。结果说明什么？

2. 对正则系统，试证明：

(1)

kT dE

E d 1)

(ln =Ω；

(2) 当粒子数N 很大时)

(ln ln E k T

U Z k s Ω=+

=，其中U E =。

3. 由两个相互独立的粒子组成的系统，每个粒子可处于能量分别为ε,0和ε2的任一状态中，系统与大热源平衡。试就下列诸情况写出系统的配分函数。 (1) 服从B M -统计，粒子可分辨； (2) 服从B M -统计，粒子不可分辨； (3) 服从D F -统计； (4) 服从E B -统计。

4. 一固体包含有N 个自旋为1的非相互作用的核，每个核均可处在由量子数0=m ，1±的三个态中的任一个态。由于固体内电荷与内部场的相互作用，一个核在1=m 态或1-=m 态具有相同的能量)0(>εε，而在0=m 态时其能量为零。试求系统的熵及1/<

5. 一高为h 、底面积为A 的柱形容器中，装有N 个质量为m 的单原子分子组成的理想气体，并处于重力场中，试由正则分布求系统的热容量。

6. 今有2CO 和NO 两种分子组成的混合理想气体处于平衡态，试用正则系综证明道尔顿分压定律 kT N N pV )(21+=

其中p 为混合理想气体的压强，1N 和2N

分别为两种分子的数目。

7. 设粒子的能量关系为3

ap =ε。系统由N 个这样的无相互作用的粒子组成，试求系统的体积、压强和能量之间的关系。

8. 有某种气体，其两个分子之间的相互作用为 ()(∞=r u 当a r <）； 0

)(u r u -= （当

b r a ≤≤）；0)(=r u （当b r >）。试计算第二维里系数。

9. 很多脂肪酸分子分布于水面上，性质很象二维气体。试证明其状态方程可表为

]

/1[A B NkT pA +=，其中

?--

=-rdr

e

N B kT

r u π2)1(2

/)(，A 为液面的面积，)(r u 为两

分子间的相互作用势能。 §8.4巨正则系综

1. 对于理想费米气体和玻色气体，试证明巨正则分布kT

E N J S N S e

/)(,-+=μρ中的巨热力学势

可以表为

]

1ln[/)(kT

s

s e

kT J εμ-±=∑

式中上行对应于费米子，下行对应于玻色子。i

ε和μ分别为粒子的能量和化学势，

∑

s

为

对所有态求和。

2. 试从巨正则分布出发，证明理想费米气体的熵可以表为

)]

1ln()1(ln [i i i i

i n n n n k s --+-=∑

式中

i

n 是量子态i 中的平均粒子数。

3. 设有一单原子理想气体与一固体吸附面接触而达到平衡。被吸附的分子能够在吸附面上

自由地作二维运动，其能量为0

2

2ε-m

p

，其中p 为二维动量，0ε为束缚能（0

0>ε为常数）。

假定经典极限条件成立，试求吸附面上单位面积被吸附分子的平均数与气体压强的关系。

第九章 涨落理论

§9.1围绕平均值的涨落

1. 计算围绕平均值的涨落问题时，大致要经过哪几个步骤？如何选取独立变数？

2. 试用理想气体证明，强度量的均方涨落（如2)(T ?和2

)

(p ?）与粒子数N 成反比，而广延量的均方涨落（如2

)(E ?和2

)(S ?）与粒子数N 成正比，但二者的相对涨落均与

N 成

反比。

*3. 试证明：

p p p p p S N

C T

kS V T V C T S T V C VST V p kT G 2

22

22

2

22

2)

(+

???

????

?-??? ????-???

??????? ????=?。

*4 试从)(ln )(x W k x S =出发导出高斯分布

)

2exp()

2()(2

22

/12

dx x

x

x dx x W -

=-π

§9.2布朗运动理论

1. 试说明如何分别由(9.

2.6)式和(9.2.20)式测得玻耳兹曼常数k 和阿伏伽德罗常数A N 。 2. 试说明如何由(9.2.19)式测得电子电荷e . §*9.3 涨落的相关性

1. 什么叫空间相关函数、时间相关函数? 其各自的性质如何?

2. 试求粒子数密度的空间相关函数和布朗粒子速度的时间相关函数。 4. 试说明什么叫涨落耗散定理。

热力学与统计物理第二章知识总结

§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)

从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2） H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3） F（T，V）

同（3）式相比 （9） （4） G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用 证明 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1） 熵函数S(T,V)的全微分为( 2)

热力学与统计物理题

《热力学与统计物理》练习题 一 简答题 1．单元复相系的平衡条件； 2．熵增原理 3．能量均分定理 4．热力学第一定律； 5．节流过程 6．热力学第二定律的克氏表述 计算题 1. 1 mol 理想气体，在C 0 27的恒温下体积发生膨胀，由20大气压准静态地变到1大气压。求气体所作的功和所吸的热。 2．求证 （a ）0??? ????U V S 3．试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 (1)p dT u L T dp ?=- 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。 4. 1 mol 范氏气体，在准静态等温过程中体积由1V 膨胀至2V ，求气体在过程中所作的功。 5．试证明，在相同的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的 温度降落。 6．蒸汽与液相达到平衡。设蒸汽可看作理想气体，液相的比容比气相的比容小得多，可以略而不计。以 dv dT 表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为

111dv L v dT T RT ???? =- ? ????? 7. 在C 0 25下，压力在0至1000atm 之间，测得水的体积为： 3623118.0660.715100.04610V p p cm mol ---=-?+??, 如果保持温度不变，将1 mol 的水从1 atm 加压至1000 atm ，求外界所作的功。 8．试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。 9．在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 3754 ln 18.70p T =- 液态的蒸汽压方程为 3063 ln 15.16p T =- 试求三相点的温度和压力，氨的气化热和升华热，在三相点的熔解热 10. 在C 0 0和1atm 下，空气的密度为300129.0-?cm g 。空气的定压比热 11238.0--??=K g cal C p ，41.1=γ。今有327cm 的空气， (i)若维持体积不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 (ii)若维持压力不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 11．满足C pV n =的过程称为多方过程，其中常数n 为多方指数。试证，理想气体在多方过程中的热容量n C 为 V n C n n C 1 --= γ 其中/p V C C γ= 12．写出以i T,V,n 为自变量的热力学基本等式，并证明：

热力学统计物理 课后习题 答案

第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β与等温压缩系数κT 。 解:已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数T pV nR T V V p 1 1== ??? ????= α, 压强系数T pV nR T P P V 1 1== ??? ????= β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1 )(112=-?? ? ??=???? ????- =κ 1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P 的物质,其物态方程可由实验测量的体胀系数与等温压缩系数,根据下述积分求得()? -=dp dT V T καln ,如果P T T 1 ,1 = =κα,试求物态方程。 解: 体胀系数 p T V V ??? ????= 1α 等温压缩系数 T T p V V ???? ????-=1κ 以T,P 为自变量,物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T T p κα-=? ??? ????+??? ????= dp dT V dV T κα-= 这就是以T,P 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,得 ()?-=dp dT V T καln 根据题设 , 若 p T T 1,1== κα ????? ? ?-=dp p dT T V 11ln 则有 C p T V +=ln ln , PV=CT 要确定常数C,需要进一步的实验数据。 1.4描述金属丝的几何参量就是长度L,力学参量就是张力￡,物态方程就是(￡,L,T)=0,实验通常

在大气压下进行,其体积变化可以忽略。线胀系数定义为F T L L ??? ????= 1α ,等温杨氏模量定义为T L F A L Y ??? ????= ,其中A 就是金属丝的截面。一般来说,α与Y 就是T 的函数,对￡ 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大,可以瞧作常数。假设金属丝两端固定。试证明,当温度由T1降至T2时,其张力的增加为)T -(T -Y A ￡12α=?。 解: f (￡,L,T)=0 ,￡=F￡(L,T) dT T dL L dT T d L T L ??? ????-??? ????+??? ????=￡￡￡￡ (dL=0) 1￡￡-=??? ??????? ??????? ????T F L L L T T αα YA L AY L L T L T T F L -=-=??? ??????? ????-=??? ????￡￡ dT YA d α-=￡ 所以 )T -(T -Y A ￡12α=? 1.6 1mol 理想气体,在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体所做 的功与所吸收的热量。 解:将气体的膨胀过程近似瞧做准静态过程。 根据? -=VB VA pdV W , 在准静态等温过程中气体体积由V A 膨胀到VB,外界对气体所做的功为 A B A B VB VA VB VA P P RT V V RT V dV RT pdV W ln ln -=-=-=-=? ? 气体所做的功就是上式的负值, - W =A B P P RT ln -= 8、31?300?ln20J= 7、47?10-3J 在等温过程中理想气体的内能不变,即?U=0 根据热力学第一定律?U=W+Q, 气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= - W = 7、47?10-3J 1、7 在25o C 下,压强在0至1000pn 之间,测得水的体积为 V=18、066-0、715?10-3P+0、046?10-6P 2cm 3?mol -1 如果保持温度不变,将1mol 的水从1pn 加压至1000pn,求外界所作的功。 解:将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2 由此得到 dV=(B+2CP)dP 保持温度不变,将1mol 的水从1Pn 加压至1000Pn,在这个准静态过程中,外界所作的功为

热力学统计物理课后习题答案33799

第三章 单元系的相变 求证 （1）V T n V n S T ,,??? ????-=??? ????μ （2）P T n T n V P ,,??? ????=??? ????μ 证明：（1）由自由能的全微分方程dF=-SdT-PdV+dn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到V T n V n S T ,,??? ????-=??? ????μ 这是开系的一个麦氏关系。 （2）由吉布斯函数的全微分方程dG=-SdT+VdP+dn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到P T n T n V P ,,??? ????=??? ????μ 这是开系的一个麦氏关系。 求证μ-??? ????V T n U ,n V T T ,??? ????-=μ 解：自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数，有 V T V T V T n S T n U n F ,,,??? ????-??? ????=??? ???? （1） 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ=--= 可得V T n F ,??? ????=μ， V T n S T ,??? ????=-n V T ,??? ????μ （2） 代入（1），即有V T n U ,??? ????-μ=-T n V T ,??? ????μ 两相共存时，两相系统的定压热容量C P =p T S T ??? ????，体胀系数 P T V V ??? ????=1α和等温压缩系数T P V V k T ??? ????- =1均趋于无穷。试加以说明。 解： 我们知道，两相平衡共存时，两相的温度，压强和化学式必须相等。如果在平衡压强

热力学与统计物理复习总结级相关试题 电子科大

《热力学与统计物理》考试大纲 第一章热力学的基本定律 基本概念：平衡态、热力学参量、热平衡定律 温度，三个实验系数（α，β，T κ）转换关系，物态方程、功及其计算，热力学第一定律（数学表述式）热容量（C ，C V ，C p 的概念及定义），理想气体的内能，焦耳定律，绝热过程及特性，热力学第二定律（文字表述、数学表述），可逆过程克劳修斯不等式，热力学基本微分方程表述式，理想气体的熵、熵增加原理及应用。 综合计算：利用实验系数的任意二个求物态方程，熵增（ΔS ）的计算。 第二章均匀物质的热力学性质 基本概念：焓（H ），自由能F ，吉布斯函数G 的定义，全微公式，麦克斯韦关系（四个）及应用、能态公式、焓态公式，节流过程的物理性质，焦汤系数定义及热容量（Cp ）的关系，绝热膨胀过程及性质，特性函数F 、G ，空窖辐射场的物态方程，内能、熵，吉布函数的性质。 综合运用：重要热力学关系式的证明，由特性函数F 、G 求其它热力学函数（如S 、U 、物态方程） 第三章、第四章单元及多元系的相变理论 该两章主要是掌握物理基本概念： 热动平衡判据（S 、F 、G 判据），单元复相系的平衡条件，多元复相系的平衡条件，多元系的热力学函数及热力学方程，一级相变的特点，吉布斯相律，单相化学反应的化学平衡条件，热力学第三定律标准表述，绝对熵的概念。 统计物理部分 第六章近独立粒子的最概然分布 基本概念：能级的简并度，μ空间，运动状态，代表点，三维自由粒子的μ空间， 德布罗意关系（k P =，＝ωε），相格，量子态数。 等概率原理，对应于某种分布的玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数的 计算公式，最概然分布，玻尔兹曼分布律（l l l e a βεαω--=）配分函数 （∑∑-==-s l l s l e e Z βεβε ω1），用配分函数表示的玻尔兹曼分布（l l l e Z N a βεω-=1）， f s ，P l ，P s 的概念，经典配分函数（ ??-= du e h Z l r βε 0 11）麦态斯韦速度分布律。 综合运用： 能计算在体积V 内，在动量范围P →P+dP 内，或能量范围ε→ε+d ε内，粒子的量子态数；了解运用最可几方法推导三种分布。 第七章玻尔兹曼统计 基本概念：熟悉U 、广义力、物态方程、熵S 的统计公式，乘子α、β的意义，玻尔兹曼关系（S ＝Kln Ω），最可几率V m ，平均速度V ，方均根速度s V ，能量均分定理。 综合运用： 能运用玻尔兹曼经典分布计算理想气体的配分函数内能、物态方程和熵；能运用玻 尔兹曼分布计算谐振子系统（已知能量ε＝（n+21 ）ω ）的配分函数内能和热容量。

热力学与统计物理习题

第六章作业 由提示知，在晶体中形出现n 个Schottky 缺陷时，在n N +正常位置中出现n 个缺位，这样由于缺位位置的不同，可能得微观状态数为 !!)!(N n n N += Ω 所以其熵S 为 !!)! (ln ln N n n N k k S +=Ω= 假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T 时平衡态的自由能为极小要求 0F n ?=? 由自由能F 及熵S 的公式，可得 !!)! (ln N n n N kT nW TS nW F +-=-=

0ln =+-=??n n N kT W n F 或表示为 kT W e n N n -=+ 当N n <<时，上式可以近似为 kT W Ne n -≈ 以任意速度在单位时间内打到小孔处单位面积上的总分子数 为1 4nv （见课本136页），而在小孔处速率为v v dv ?? →+的分子数为d Γ，由（6.85）式，单位时间内碰到法线方向沿Z 轴的单位面积器壁上，速度在z y x dv dv dv 范围内的分子数为 z y x dv dv fdv d =Γ 在球坐标上式可表示为： ???θd dvd v vcon f d sin 2??=Γ

对?d 和?d 积分，?从0到2 π ，?从0到π2，则有 π????π π =??2 20 sin d d con 单位时间内碰到法线方向沿Z 轴的单位面积器壁上，速率介 于v v dv ?? →+之间的分子数为 dv v e kT m n v d v kT m 322 3 2 2)(- ?? ? ??=Γππ 所以，一个分子以速率v v dv ?? →+由小孔中射出的概率为（利用（6，82）式）： 22 321()1 24 mv kT d m e v dv kT nv -Γ= 故射出的分子速中，分子的平均速率 224 20 19()2mv kT m v e v dv kT -∞ == ? 同理，

热力学与统计物理学的形成

热力学与统计物理学的形成 人们最初接触热的概念是和火分不开的。自亚里士多德以后，在西方火被看作构成宇宙万物的四大元素之一。直到16、17世纪这种观点才被三要素学说取代。这三要素指可溶性、挥发性、可燃性的相应实体。可燃性要素从物体中逃逸出来，这就是燃烧。我国古代有五行说，有隧人氏"钻木取火"的传说。"钻木取火"说明我国人民在那时已经知道了摩擦生热的现象。但是，在古代社会生产力水平很低，人们在生产和生活中对热的利用，只限于煮熟食物、照明和取暖，最多也不过利用热来冶炼和加工一些简单的金属工具。由于生产和生活没有对热提出进一步的要求，所以也就没有人对热现象进行深入的研究。 18世纪初，正是资本主义发展的初期，社会生产已有很大的发展。生产需要大量的动力，许多人开始尝试利用热获得机械功，这样一来，就开始了对热现象所进行的广泛的研究。 对热现象的定量研究，首先必须解决如何客观地表示物体的冷热程度，温度计就应运而生。虽然伽利略早在16世纪就利用气体热胀冷缩规律做成气体温度计，但这种温度计使用起来不方便，而且随外界气压变化所测得的值也不同，误差较大。1709年华伦海特制造成了第一支用酒精做测温质的实用温度计，后来这种温度计又改用水银作测温质。经改进，把水的冰点定为32度，水的沸点定为212度，就成了如今的华氏温度计。华氏温标由单位用℉表示。1742年摄尔萨斯把一标准大气压下，冰水混合物的温度定为100度，水沸点定为0度，制成另一种温标的温度计。后来根据同事施勒默尔的建议，摄尔萨斯把这个标度倒了过来，就成了现代的摄氏温标。 实用温度计诞生之后，热学的研究走上了实验科学的道路。随着研究的深入，人们开始考虑热的本质问题。 关于热的本质，在古希腊时代就有两种学说。一种认为热是一种元素，另一种学说认为热是物质运动的一种表现。热科学的实验发展以后，不少学者倾向于热是一种元素的说法，后来热的元素学说，发展成热质说。热质说认为热是一种特殊的物质，它是看不见又没有质量的热质，热质可以透入到一切物体的里面，一个物体含的热质越多，就越热；冷热不同的两个物体接触时，热质便从较热的物体流入较冷的物体；热质不能凭空地产生，也不会被消灭。热质说能够成功地解?quot;混合量热法"的规律：两个温度不同的物体，混合后达到同一温度时，如果没有热量散失，那么，温度较高的物体失去的热质，等于温度较低的物体吸收的热质。热量单位"卡"，也是根据热质说的思想产生的．"卡"这个单位现在已废弃不用了。 与热质说相对立的学说认为热是物质运动的一种表现。培根很早就根据摩擦生热的事实提出了这种学说，罗蒙诺索夫在他的论文《论热和冷的原因》里批判了当时流行的热质说，认为热是分子运动的表现。但在热质说十分流行的时代。这些观点未被人们重视。 1798年，伦福特伯爵发现制造枪管时，被切削下来的碎屑有很高的温度，而且在连续不断的工作之下，这种高温碎屑不断产生。被加工的材料和车刀温度都不高，他们包含的热质应该是极有限的，工件和碎屑温度这么高，这些热质从何而来呢？1799年戴维做了一个实验，他用钟表机件作动力，在真空中使两块冰相互摩擦，整个设备都处于－2℃的温度下，结果冰熔化了，得到2℃的水。这些事实都没有办法用热质说来说明。但在当时由于能量转换的观点没有建立起来；还无法彻底推翻热质说。 1842年，德国医生买厄发表一篇论文，提出能量守恒的学说，他认为热是一种能量，能够跟机械能互相转化。他还从空气的定压与定容比热之差，算出了热和机械功的比值。与此同时，焦耳进行了许多实验，用各种各样的方法来测定热功当量，发现结果都一致。在这一发现的基础上焦耳提出了：自然界的能量是不能毁灭的，那里消耗了机械能，总能得到相当的热，热只是能的一种形式。可惜焦耳提出这个定律时，未被大多数科学家重视。直到19世纪中叶，许多科学家先后都宣布了和焦耳相同的结论，此时，焦耳所做的

热力学与统计物理答案详解第二章的

第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以

()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：

热力学统计物理练习试题和答案

热力学·统计物理练习题 一、填空题. 本大题70个小题，把答案写在横线上。 1.当热力学系统与外界无相互作用时,经过足够长时间,其宏观性质 时间改变，其所处的 为热力学平衡态。 2． 系统，经过足够长时间，其 不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态。 3．均匀物质系统的热力学平衡态可由力学参量、电磁参量、几何参量、化学参量等四类参量描述，但有 是独立的。 4．对于非孤立系统，当其与外界作为一个整体处于热力学平衡态时，此时的系统所处的状态是 。 5．欲描述非平衡系统的状态，需要将系统分成若干个小部分，使每小部分具有 小，但微观上又包含大量粒子，则每小部分都可视为 。 6．描述热力学系统平衡态的独立参量和 之间关系的方程式叫物态方程，其一般表达式为 。 7．均匀物质系统的独立参量有 个，而过程方程独立参量只有 个。 8．定压膨胀系数的意义是在 不变的条件下系统体积随 的相对变化。 9．定容压力系数的意义是在 不变条件下系统的压强随 的相对变化。 10．等温压缩系数的意义是在 不变条件下系统的体积随 的相对变化。 11．循环关系的表达式为 。 12．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界作的功∑-=δi i dy Y W ，其中i y 是 ，i Y 是与i y 相应的 。 13．W Q U U A B +=-，其中W 是 作的功。 14．?=+=0W Q dU ，-W 是 作的功，且-W 等于 。 15．?δ+δ2L 11W Q ?δ+δ2 L 12W Q （1、2均为热力学平衡态,L 1、L 2为准静态过程）。 16．第一类永动机是指 的永动机。 17．能是 函数，能的改变决定于 和 。 18．焓是 函数，在等压过程中，焓的变化等于 的热量。 19．理想气体能 温度有关，而与体积 。

热力学与统计物理学基础

热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物

热力学与统计物理教案

导言 一．热力学与统计物理学所研究的对象与任务相同 对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统。 任务：研究热运动规律及热运动对物质宏观性质的影响。 一．热力学与统计物理学的研究方法不同 1. 热力学方法—热运动的宏观理论 热力学方法是从热力学三个定律出发，通过数学演绎，得到物质的各宏观性质之间的关系、宏观物理过程进行的方向和限度等一系列理论结论。 热力学方法的优点：其结论具有高度的可靠性和普遍性。因为热力学三定律是人们从大量的观测、实验中总结出来的基本规律，并为人们长期的生产实践所证实，非常可靠。而且热力学三定律又不涉及物质的具体微观结构，它适用于一切物质系统，非常普遍。 热力学方法的局限性：由热力学不能导出具体物质的具体特性；也不能解释物质宏观性质的涨落现象；等等。 2. 统计物理学方法—热运动的微观理论 统计物理学方法是从“宏观物质系统是由大量的微观粒子所组成的”这一基本事实出发，认为宏观物理量就是相应微观量的统计平均值。 统计物理学的优点：能把热力学三个相互独立的基本规律归结于一个基本的统计原理，阐明三个定律的统计意义；可以解释涨落现象；而且在对物质的微观结构作了某些假设之后，还可以求得物质的具体特性；等等。 统计物理学的局限性：由统计物理学所得到的理论结论往往只是近似的结果，这是因为对物质的微观结构一般只能采用简化模型所致。 总之，在热现象研究中，热力学和统计物理学两者相辅相成，相互补充。 一．主要参考书 王竹溪：《热力学简程》、《统计物理学导论》 第一章热力学的基本规律 本章主要介绍热力学的基本规律以及常见的基本热力学函数。但本章的大多数内容在普通物理的《热学》课程中已经较详细学习过，在此只作一个归纳。因此，本章的各节将有所改变， 与课本不完全一致。 第一章热力学的基本规律 §热平衡定律和温度 一．热平衡定律 热平衡定律也可称之为热力学第零定律。它是建立温度概念的实验基础。 1. 热力学系统 由大量微观粒子组成的有限的宏观客体称之为热力学系统，简称为系统。热力学所研究的系统有如下三种： ⑴孤立系统：与外界没有任何相互作用的系统。 ⑵封闭系统：与外界有能量交换，但无物质交换的系统。 ⑶开放系统：与外界既有能量交换，又有物质交换的系统。 2. 平衡状态及其描述 当没有外界影响时，只要经过足够长的时间，系统将会自动趋于一个各种宏观性质不随时间变化的状态，这种状态称为平衡状态，简称为平衡态。它是一种热动平衡状态。

热力学与统计物理试题及答案

热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.

一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统

二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K

参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统

热力学与统计物理论文

负温度状态 姓名：王军帅学号：20105052010 化学化工学院应用化学专业 指导老师：胡付欣职称：教授 摘要：通过分析负温度概念的引入，从理论上证明负温的存在，并论证实验上负温度的实现，在进步分析了负温度系统特征的基础上，引入了种新的温度表示法，使之与人们的习惯致。 关键词：负温度;熵;能量;微观粒 Negative Temperature State Abstract：The concept of negative temperature was introduced Its existence was proved theoretically and its realization in experiment also discussed after analysis of the negative temperature system characteristic，one kind of new temperature express is used in order to consistent with the common express. Key words: negative temperature; entropy; energy; microparticle 引言 温度是热学中非常重要的一个物理量，可以说任何热力学量都与温度有关.描述物体冷热程度的物理量—开尔文温度—一般都是大于零的，由热力学第三定律可知“绝对零度是不可能达到的”，也就是说自然界的低温极限是绝对零度，即-273.16℃.以OK作为坐标原点，通常意义上的温度一般就在原点的右半轴上，其范围就是零到 值总为正。那么有没有负温度呢？左半轴是不是可以用负温度来对应呢？它表示的温度是不是更低呢？此时系统的热力学性质又将会怎么样呢？这些问题激起人们对温度的疑惑与兴趣. 1.负温度概念的引入 通常所说的温度与系统微观粒子的运动状态有关，随着温度的升高，粒子的能量也升高，粒子运动就会越激烈，无序度也会增加:在低温时，高能量粒子的数目总是少于低能量粒子的数目，所以随着温度的升高，高能量粒子数目逐渐增

热力学与统计物理课后习题答案第一章

1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数 κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果11 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ???????

根据体胀系数α和等温压缩系数 T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1,T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 000 p V pV C T T ==（常量）， 或 .pV CT = （5）

第十八章 热力学与统计物理学概述

第十八章 热力学与统计物理学概述 18-1外界对一个气体系统所作的功可以用式(18-1)表示，即2 1 V V A pdV =-? 由此我们是否可以说，任何没 有体积变化的过程外界都不会对它作功？ 答：错误。外界对气体系统作功可以有许多形式，如电场力作功、磁场力作功等，实际上可以把除了热的形式以外的各种传递能量的形式都归结为作功。而式：2 1 V V A pdV =- ? 只适用于一个均匀的气体系统在没 有外场作用的情况下的准静态过程。如果是非准静态过程，体积没有变化，外界也可能对系统作功。如一装有气体的容器在运动中突然停止，这时容器内气体的体积不变，但此时外界对气体有作功。 18-2能否说系统含有多少热量？为什么？ 答：错误。因为：对于一个处于一定状态的系统，既不吸热，也不放热，无热量可言。而系统吸热或放热的多少都与过程有关，即热量是一个过程量，不是一个状态量，所以不能说系统含有多少热量。 18-3分别在p -V 图、p -T 图和T -V 图上画出下列过程：等体、等压、等温和绝热。 答： 18-4为什么公式pV C γ =只有在准静态过程的条件下才成立？ 答：（1）因为只有在准静态过程中，每一瞬间系统都处于平衡态，才可以使用理想气体物态方程来描述。 绝热过程 P —V 图 P —T 图 T —V 图

（2）在推导公式pV C γ =过程中，用到绝热过程dU pdV =-也只有在准静态过程中才成立。 18-5 将20g 的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：(1)保持体积不变；(2)保持压强不变；(3)不与外界交换热量。 设氦气可看作理想气体，且3 2 V R C ν=。 解：(1)保持体积不变： 外界对系统不作功：0A =； 系统内能的变化为：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=?； 由热力学第一定律，吸收的热量为： 2 6.2310V Q U J =?=? 这表示，在系统体积不变的情况下， 外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。 (2)保持压强不变： 吸收的热量：()3 1.0410p p V Q C T C R T J ν=?=+?=? 系统内能的变化：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=? 外界对系统作功：2 4.1610p A U Q J =?-=-? 这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。 (3)不与外界交换热量，即绝热过程： 吸收的热量：0Q = 系统内能的变化：23 6.23102 V U C T R T J ν?=?= ?=?

热力学与统计物理

《热力学与统计物理》课程教学大纲 课程英文名称：Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：0312043002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介： 《热力学与统计物理》课是物理专业学生的专业基础课，与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化。本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章热力学的基本规律 本章重点：热力学的基本规律，热力学的三个定律，掌握热力学函数内能、焓、熵、自由能、吉布斯函数的物理意义. 难点：熵增加原理的应用及卡诺循环及其效率。 本章学时:16学时 教学形式:讲授 教具:黑板，粉笔 第一节热力学系统的平衡状态及其描述 本节要求：掌握：系统、外界、子系统，系统的分类，热力学平衡态及其描述。 1系统、外界、子系统（①掌握：系统与外界概念。②了解：界面的分类。③了解：系统与子系统的相对性） 2系统的分类（掌握：孤立系、闭系、开系的概念。） 3热力学平衡态及其描述（①掌握：热力学平衡态概念。②掌握：状态参量的描述及引入。）第二节热平衡定律和温度 本节要求：掌握：热接触与热平衡，热平衡定律、温度、热平衡的传递性，存在态函数温度的数学论证，温度的测量(考核概率50%)。 1热接触与热平衡（①掌握：系统间没有热接触时系统状态参量的变化。②掌握：系统间热接触时系统状态参量的变化。） 2热平衡定律、温度、热平衡的传递性（①掌握：热平衡定律。②掌握：温度的数学论证，温标的确定及分类）（重点） 第三节物态方程

热力学统计物理 课后习题 答案

第一章 热力学的基本规律 1．1 试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数T 。 解：已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数T pV nR T V V p 1 1== ??? ????= α， 压强系数T pV nR T P P V 1 1== ??? ????= β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1 )(112=-?? ? ??=???? ????- =κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()? -=dp dT V T καln ，如果P T T 1 ,1 = =κα，试求物态方程。 解： 体胀系数 p T V V ??? ????= 1α 等温压缩系数 T T p V V ???? ????-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T T p κα-=? ??? ????+??? ????= dp dT V dV T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得 ()?-=dp dT V T καln 根据题设 ， 若 p T T 1,1== κα ???? ? ??-=dp p dT T V 11ln 则有 C p T V +=ln ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。

1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力￡，物态方程是(￡,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为F T L L ??? ????= 1α ，等温杨氏模量定义为T L F A L Y ??? ????= ，其中A 是金属丝的截面。一般来说，和Y 是T 的函数，对￡仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为)T -(T -Y A ￡12α=?。 解： f (￡,L,T)=0 ，￡=F ￡(L,T) dT T dL L dT T d L T L ??? ????-??? ????+??? ????=￡￡￡￡ (dL=0) 1￡￡-=??? ??????? ??????? ????T F L L L T T αα YA L AY L L T L T T F L -=-=??? ??????? ????-=??? ????￡￡ dT YA d α-=￡ 所以 )T -(T -Y A ￡12α=? 1．6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ，求气体 所做的功和所吸收的热量。 解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。 根据? -=VB VA pdV W ， 在准静态等温过程中气体体积由VA 膨胀到VB ，外界对气体所做的功为 A B A B VB VA VB VA P P RT V V RT V dV RT pdV W ln ln -=-=-=-=? ? 气体所做的功是上式的负值， W =A B P P RT ln -= 300ln20J= 103J 在等温过程中理想气体的内能不变，即U=0 根据热力学第一定律U=W+Q ， 气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= W = 103J 在25o C 下，压强在0至1000pn 之间，测得水的体积为 V=103P+106P 2cm 3mol 1 如果保持温度不变，将1mol 的水从1pn 加压至1000pn ，求外界所作的功。 解：将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2 由此得到 dV=(B+2CP)dP

热力学统计物理试题

1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT <