第三章 弹性波的相互作用
3-3 已知两种材质的弹性杆A 和B 的弹性模量、密度和屈服极限分别为：
E A ＝60GPa ， ρA =2.4g/cm 3，Y A =120MPa ，E 1A =E A /5； E B ＝180GPa ，ρB =7.2g/cm 3，Y B =240MPa ，E 1B =E B /5。 试对Ⅵ－10所示四种情况分别画出X －t 及σ—v 图，并确定撞击结束时间、两杆脱开时间以及分离之后各自的整体飞行速度。
解：两种材料的参数计算如下：
s m E C A
A
A /500010104.210606
39
0=???=
=
-ρ
s m C C A A /10005/01==，s m C v A yA yA
/105000
10004.210120)(6
00-=???-=-=ρσ
s m E C B
B
B /500010102.7101806
39
0=???=
=
-ρ
s m C C B B /10005/01==，s m C v B yB yB
/667.65000
10002.710240)(6
00-=???-=-=ρσ
A C )(00ρ＝2.4×10-3×106×5000＝12×106kg/（sm ）
B
C )(00ρ＝7.2×10-3×106×5000＝36×106kg/（sm ）
（1）：
A B v
.
撞击结束时间：0.02μs 。
两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.02μs 。 短杆整体飞行速度：－4 m/s （3区）。 长杆整体飞行速度：2m/s （5区速度）。
（2）
撞击结束时间：0.04μs。
两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.04μs。
短杆整体飞行速度：2 m/s（7区）。
长杆整体飞行速度：9m/s（6，10区）。
（3）
v
撞击结束时间：A点：0.02μs；B点：0.04μs。
左短杆整体飞行速度：3区速度，－4 m/s。
右短杆整体飞行速度：7区速度，6 m/s。
中长杆整体飞行速度：6，10区速度：1m/s。
(4)
V3=8m/s V2=01
撞击结束应在A 点。 撞击结束时间：0.07μs 。
左短杆整体飞行速度：12区速度：－2 m/s 。
右两杆整体飞行速度：10区速度：6 m/s ，应力为0。
3－4 两根材质相同的弹性杆用环氧树脂轴向粘接如图Ⅳ－11所示。假定环氧树脂层的厚度远小于杆中应力脉冲长度和杆长，而其声抗为杆材声抗的1/2，树脂的粘性暂时忽略不计（即按弹性材料考虑）。当强度σ0的应力波由A 杆传人时，试说明透射到B 杆中的透射波呈台阶状波形，并求其第三个台阶上应力值和第n 个台阶上的应力值。
图Ⅳ－11 用环氧树脂粘接的两根材质相同的弹性杆
解：
2
环氧树脂
由图中可看到，传入B 杆的应力分别为3，5，7区，各区应力数值不同，说明投射到B 杆透射波呈台阶状波形，波形长度为2倍环氧树脂长度，波应力为3，5，7，…区应力。其值为： 计算反射与投射系数：1代表A ，B 杆（2杆一样）。2代表环氧树脂。
计算系数：
321212=+=
n T ，34/11212=+=n T ，3
1/11/1112=+-=n n F 。 3区应力：02112σσT T =Ⅰ；
5，3区应力之差：02
122112σσσF T T =-ⅠⅡ
同理：04
12
2112σσσF T T =-ⅡⅢ
所以：
0330420
41221221127297289
19313113432)1(σσσσσ＝－＝）（＝Ⅲ++?++=F F T T 对于n 个台阶有：
0n 9
19σσn －Ⅲ
=
3－5 设如图Ⅳ－12所示，入射弹性压杆与透射弹性压杆之间没有贴紧，存在0.1mm 的空气间隙。若两压杆长度均为600mm ，杆中弹性波速为5km/s ，打击杆长度为200mm ，打击速度为10m/s 。 （1） 分别画出应变片1，2的弹性波波形； （2） 讨论空气间隙对波形传播的影响；
（3） 提出减少空气间隙对波传播影响的简便办法。
图Ⅳ－12 入射弹性压杆与透射弹性压杆之间存在间隙
解：杆相互撞击图解如下：
(6)σ－v 图
（1）t －x 图（3）应变片2波形图 σ－t 图
（2）应变片1波形图 σ－t 图
σ
σ
(5)t 2时刻透射杆波σ－x 图(4)t 1时刻入射杆波σ－x 图
σ
X
X
σ
10m/s
（1） 应变片1，2处的弹性波形如图（1），（2）。
应变片1，见图（2）。
入射杆波形，波形最大应力为σ，2区见v -σ图（6）。 波形宽度为2倍打击杆长，即2×200＝400mm ，见图（4）。
在2区，波应行走的时间为：
s s mm mm
μμ80)
10/(50000004006=
在6区, 波最大应力为σ，见v -σ图（6）。
波应行走的时间为波在3区末，入射杆走完空闲的时间：
s s mm mm
μμ10)
10(100001.036
==区入射杆速度空隙间距 应变片2，见图（3）。
透射杆波形，波形最大应力为σ，4区见v -σ图（6）。 波形宽度为2倍打击杆长－入射杆走完空隙时间×波速。 即2×200mm －10μs ×106×5000m/s ＝350mm ，见图（4）。 在2区，波应行走的时间为：
s s mm mm
μμ70)
10/(50000003506
= （2） 由图看出，空气间隙越大，入射杆行走空隙时间越长，在透射杆中，波宽损失越大。当空隙间隙
为0.8mm 时，波形损失到0。
当间隙>0.8mm 时，入射杆前进0.8mm 时，由打击杆反射的波已到入射杆端，即入射杆全部处于5区状态，波速，应力全部为0，杆停止前进。 所以，当间隙≥0.8mm 时，透射杆中没有波。
（3） 最简便的方法就是用材料将间隙塞紧，如象3－4题所示，用环氧树脂将空隙塞紧。
3－6假定图Ⅳ－13中的杆A 、B 均为线性硬化材料，并已知其材料常数分别为：
E A ＝60GPa ， ρA =2.4g/cm 3，Y A =100MPa ，E 1A =E A /25； E A ＝180GPa ，ρB =7.2g/cm 3，Y B =240MPa ，E 1B =E B /25。 对于图Ⅳ－13所示杆2（有关量以下标2表示），撞击杆1（有关量以下标1表示）的4中情况，试确定： （1） 为使图中被撞击杆1屈服，撞击杆2的最低打击速度2v 为多大？
（2） 在图（a ）和（b ）两种情况下，为使撞击界面处产生撞击应力MPa 300-=σ，需要打击速度2v 为多大？
解：两种材料的参数计算如下：
s m E C A
A
A /500010
/104.210606
39
0=??=
=
--ρ s m C C A A /10005/01==，s m C v A yA yA
/33.85000
10004.210100)(6
00-=???-=-=ρσ
s m E C B
B
B /500010
102.7101806
39
0=???=
=
ρ s m C C B B /10005/01==，s m C v B yB yB
/667.65000
10002.710240)(6
00-=???-=-=ρσ
A C )(00ρ＝2.4×10-3×106×5000＝12×106kg/（sm ）
B
C )(00ρ＝7.2×10-3×106×5000＝36×106kg/（sm ）
A Y C )(00ρ＝2.4×10-3×106×1000＝2.4×106kg/（sm ）
B Y
C )(00ρ＝7.2×10-3×106×1000＝7.2×106kg/（sm ）
(1) 图解如下：
L2
L2
L2
L2
（a ）（b ）
（a ） 3区刚到屈服，需要的屈服速度为6.67m/s ，所以左杆最小打击速度为2区速度，
即6.67×2＝3.33m/s 。
（b ） 杆2即A 杆刚好屈服的速度为8.33m/s ，2区为杆1的最小打击速度，即 s m C C B A /11.113/33.833.8)/()(33.80000=+=+ρρ
（c ） 3区刚到屈服，需要的屈服速度为8.33m/s ，所以左杆最小打击速度为2区速度，
即8.33×2＝16.67m/s 。
（d ） B 杆刚屈服时，打击杆A 肯定屈服，A 经历了从弹性，刚屈服到在屈服中发展的过程。2区为
A 杆刚屈服区，3区为
B 杆刚屈服区。所以由其v -σ图得，A 的最小打击速度为：
s m Y Y Y Y Y B A B A B /37.73)3240
100
152401401(67.667.6367.6)15(
67.6=?+?+?=??+??-+ (2) 图解如下：
撞出300MPa 的应力，两杆都屈服。 (a) ：s m Y Y v B
B
/30)25.11(333.13)53001(67.622=+?=?-+
??= （b ）：s m Y Y Y Y Y Y v A B A B A A /67.106)8.01101(33.8)3
1
3530053001(33.82=+++?=?+?-+?-+?=
L1
（a ）
2
L1
3－7 已知某种材料的30/8cm g =ρ，GPa E 200=，MPa
Y 240=。试对图Ⅳ－14所示两种不同截面杆共轴撞击的两种情况分别画出X －t 图及σ－v 图，并计算撞击结束时间、分离后各杆的整体飞行速度。 解：材料的参数计算如下：
s m E
C /500010/10810200639
00=??==
--ρ s m C v y y /65000)10/10(810240636
00-=???-=-=--ρσ
00C ρ＝8×(10-3/10-6)×5000＝40×106kg/（sm 2）
弹性波行走50cm 所需时间：
s s μ1001015000
105042
=?=?-- (a) 图解如下：
A 0
（a ）
2
撞击结束在A 点。结束时间为200μs ，分离后左杆以－2m/s 后退，3区速度。右杆以4m/s （6区速度）整体右行。
（b ） 图解如下：
（b ）
A 0
2A 0
50cm
v1=0
v2=6m/s
撞击结束在A 点。结束时间为400μs ，分离后左杆静止不动（7区，应力、速度皆为0）； 右杆以5.33m/s （6、10、13区速度）整体右行。
3－8 已知杆材的30/8cm g =ρ，GPa E 200=，MPa Y 240=。试对图Ⅳ－15中所示两种情况的X －t 图及σ－v 图，并确定其撞击结束时间、分离时间及分离后两杆的整体飞行速度。 解：材料的参数计算同上题。 （a ）图解如下：
v2=6m/s 50cm
v1=0
A 0
2A 0
4
撞击结束时间A 点，所用时间200μs 。
分离后左杆以4区速度，－2m/s 左行，右杆以2.667m/s （3、7、10区速度）整体右行。 （b ）图解如下：
2A0
A0
v2=6m/s
（b）
撞击结束时间A点，所用时间400μs。
分离后左杆以
8区速度，－1.111m/s左行，右杆以4.741m/s（7、11、14区速度）整体右行。
3－9设以短杆撞击一弹性长杆，如果要求在长杆中产生一个给定的
阶梯形压力脉冲，如图Ⅳ－16所示，试设计短杆的几何尺寸及其材
料的选择。设定长杆的密度
ρ、弹性波速
C和截面积
A均为已知。
解：设计撞击短杆及碰撞后图解如下图：
，速度为负，所以在A点，左杆退回，因此，端部为自由端，应力为0（6区），右杆端部也成为自由端，应力为0（6’区）。这样右杆应力只有2，3区，其σ－t如上图。有P－V图可知：
设杆A左端（细端）的广义波阻抗为：A
C
ρ，则粗端和右杆的
广义波阻抗为：A
C
n
ρ，二者之比为n，反映在P－V图上特征线
的斜率之比为1：n。
所以有：1
2
1
0=
-v
v
A
σ
，n
v
A
=
2σ
，n
v
A
=
1
σ
2σ0
σ
A
σ
σ0/3
σ0
解之得，2/01v v =，3=n ，00
0034
2σρC v =
所以，设计的打击杆长为l 0，分其为粗，细段长各为为l 0/2，粗段截面积与右杆同，细段截面积为右杆的1/3，两杆材料相同。
3－10 为在截面积为A 的直杆中产生如图Ⅳ－17所示的阶梯形波，可采用如图Ⅳ－18所示的阶梯形打击杆，试确定打击杆各端面的截面积。 解：图解如下：
A
A 2
分析：6区速度为正，9区应力正（拉），速度为负，所以在A 点，左杆退回(12速度)，因此，端部为自由端，应力为0（12区），右杆端部也成为自由端，应力为0（12’区）。这样右杆应力只有2，3，6区，其P －t 如上图。
有P －V 图可知：
设打击杆各段截面积之比为A 1：A 2：A=k 3：k 2：k ，反映在P －V 图上特征线的斜率之比为k 3：k 2：k 。 令：A C k 00ρ= 由图知： ∵
00v k A ?=σ；302/v k A ?=σ；603/v k A ?=σ
∴ 2/03v v =； 3/06v v = 又：2300)2(2/k v v A -=σ
∴ 2/2/2/3)2/2(0020200kv A k v k v v ===-σ
∴ 3/12k k = （1） 又：246324624300)2()()()3
2(
k v v v k v v k v v A
A -+=-+-=-σσ
∴
)26
5(316640
00v v k k v A
-==σ
解之得：6
4v v =
又由图：2430340)(2/)2(k v v A k v v --=-σ ∴
k v k v k v k v 0003018
7
)31(622611=-= ∴ k k 33
7
3=
（2） 由（1）、（2）得：33:11:71:3
1
:337::23==
k k k 。 因为斜率比即为各杆截面积比。 ∴ 33:11:71:3
1
:337::23==
A A A 所以，设计的打击杆长为3l 0/2，分其为粗、中细、细段长各为为l 0/2，粗段截面积为A ，中A/3，细段截面积为右杆的7A/33，两杆材料相同。 按各杆截面积的比例绘出的图解如下：
6正，A
v
A
3－11 长1m 的石膏杆，其密度为
30/2cm g =ρ，动态断裂遵循瞬时断裂准则，动态抗拉强度
MPa b 10=σ；设其左端通过爆炸施加一突加载荷，随后又按指数形式衰减，即t m e ?-=ασσ，式中MPa m 50=σ，ms /31=α。假定爆炸在石膏杆中以弹性波传播，波速s km C /10=，试确定各裂片的
厚度及其飞行速度。
解：第一片厚度δ1，计反射开始时刻t ＝0。所以第一片层裂时刻为t1。
有：)1(12t m b e ?--=ασσ，解得：2ασσ/)/1ln(1m b t --=，得：t1＝0.0036ms ＝3.6μs 。
层裂片厚度：mm C t 6.31000000106.30161=??=?=-δ 层裂片速度：dt e v C t m f ?
?-=
01
20
1
01
δασδρ
因为量刚：ρδ＝ (g/cm -3)(mm)=10-3kg/(10-6m 3)(10-3m)=1kg/m 2。
0/C δ＝mm/km/s=10-6/s.
s m t dt e v e t f /8.44)2.0(31
2.710503110/312.71050)(2.710503
0072
.00
3
60072.00316==-???-=-??-=?=--?
第n 层裂片厚度δn 。第一片层裂时刻为t n 。 引起n 层裂的峰值应力为：1
2-?-=n t m m n e ασσ，有：)(2221n n n
t t m t m m n b e e e
ααασσσσ--?--=-=-，
解得：ασσα/)/ln((5.01
2m b t n n e t --=--。 层裂厚度：011C t ?=δ，10--?=n n n C t δδ。
层裂片速度：
s m e e t dt e v n n n
n n n t t n
t t n t t t n fn e /)(451
.8063110/3121050)(2105011
16262223
622316--------?=
-???-=??=?δδδ
第三章 常用传感器 一、知识要点及要求 (1)掌握常用传感器的分类方法； (2)掌握常用传感器的变换原理； (3)了解常用传感器的主要特点及应用。 二、重点内容及难点 (一)传感器的定义、作用与分类 1、定义：工程上通常把直接作用于被测量，能按一定规律将其转换成同种或别种量值输出的器件，称为传感器。 2、作用：传感器的作用就是将被测量转换为与之相对应的、容易检测、传输或处理的信号。 3、分类：传感器的分类方法很多，主要的分类方法有以下几种： (1)按被测量分类，可分为位移传感器、力传感器、温度传感器等； (2)按传感器的工作原理分类，可分为机械式、电气式、光学式、流体式等； (3)按信号变换特征分类，可概括分为物性型和结构型； (4)根据敏感元件与被测对象之间的能量关系，可分为能量转换型与能量控制型； (5)按输出信号分类，可分为模拟型和数字型。 (二)电阻式传感器 1、分类：变阻式传感器和电阻应变式传感器。而电阻应变式传感器可分为金属电阻应变片式与半导体应变片两类。 2、金属电阻应变片式的工作原理：基于应变片发生机械变形时，其电阻值发生变化。金属电阻应变片式的的灵敏度v S g 21+=。 3、半导体电阻应变片式的工作原理：基于半导体材料的电阻率的变化引起的电阻的变化。半导体电阻应变片式的的灵敏度E S g λ=。 (三)电感式传感器 1、分类：按照变换原理的不同电感式传感器可分为自感型与互感型。其中自感型主要包括可变磁阻式和涡电流式。 2、涡电流式传感器的工作原理：是利用金属体在交变磁场中的涡电流效应。 (四)电容式传感器 1、分类：电容式传感器根据电容器变化的参数，可分为极距变化型、面积变化型、介质变化型三类。 2、极距变化型：灵敏度为201δ εεδA d dC S -==，可以看出，灵敏度S 与极距平方成反比，极距越小灵敏度越高。显然，由于灵敏度随极距而变化，这将引起非线性误差。 3、面积变化型：灵敏度为常数，其输出与输入成线性关系。但与极距变化型相比，灵敏度较低，适用于较大直线位移及角速度的测量。 4、介质变化型：可用来测量电介质的液位或某些材料的厚度、湿度和温度等；也可用于测量空气的湿度。 (五)压电式传感器 1、压电传感器的工作原理是压电效应。
固体中的应力波 李清 中国矿业大学（北京）
参考书： 1 王礼立. 《应力波基础》第2版(2005年8月1日)，国防工业出版社 2 李玉龙. 《应力波基础简明教程》第1版 (2007年4月1日)，西北工业大学 3 丁启财(美国). 《固体中的非线性波》，中国友谊出版公司 4 宋守志. 《固体中的应力波》，煤炭工业出版社 5 杨善元. 《岩石爆破动力学基础》，煤炭工业出版社 6 莱茵哈特(杨善元译). 《固体中的应力瞬变》，煤炭工业出版社 7 徐小荷. 《冲击凿岩的理论基础与电算方法》，东工出版社 8 郭自强. 《固体中的波》，地震出版社
目录 第0章绪论 (1) 1 波动现象 (1) 2 应力波的概念 (1) 3 应力波分类 (3) 4 应力波理论与其它力学理论的关系 (3) 5 应力波理论的发展 (3) 6 应力波理论在岩土工程中的应用 (3) 第1章一维应力波基础 (4) §1.1波动方程及其解 (4) 1.1.1 一维纵波的波动方程 (4) 1.1.2 波的传播速度 (4) 1.1.3 波动方程的解 (5) 1.1.4 解的物理意义 (6) §1.2 应力波的几个基本参量 (7) §1.3 应力波的能量 (7) §1.4 波的衰减 (8) 1.4.1 原因 (8) 1.4.2 度量 (8) 1.4.3 衰减率α的测定 (9) §1.5 考虑杆的横向效应的波动方程 (10) §1.6 杆中的扭转波与弯曲波 (12) 1.6.1 扭转波 (12) 1.6.2 弯曲波 (13) 第2章二维和三维弹性波理论基础 (14) §2.1 弹性体的运动微分方程 (14) §2.2 弹性体的无旋波与等容波 (15) 2.2.1 无旋波(纵波、P波) (15) 2.2.2 等容波(横波、S波) (16) §2.3 平面波的传播 (17) 2.3.1 平面纵波(V//c) (17) 2.3.2 平面横波(V⊥c) (18) §2.4 薄板中的应力波 (19) 2.4.1 控制方程 (19) 2.4.2 纵波 (20) 2.4.3 横波 (21) 2.4.4 各种波速关系 (21) §2.5 球面波 (22) 2.5.1 波动方程及其解 (22) §2.6 柱面波 (23) 第3章应力波的相互作用 (24) §3.1 一维应力波在界面的反射和透射 (24) 3.1.1 应力波在不同介质界面的反射和透射 (25) 3.1.2应力波在变截面杆中的反射和透射 (26)
第三章 弹性波的相互作用 3-3 已知两种材质的弹性杆A 和B 的弹性模量、密度和屈服极限分别为： E A ＝60GPa ， ρA =2.4g/cm 3，Y A =120MPa ，E 1A =E A /5； E B ＝180GPa ，ρB =7.2g/cm 3，Y B =240MPa ，E 1B =E B /5。 试对Ⅵ－10所示四种情况分别画出X －t 及σ—v 图，并确定撞击结束时间、两杆脱开时间以及分离之后各自的整体飞行速度。 解：两种材料的参数计算如下： s m E C A A A /500010104.210606 39 0=???= = -ρ s m C C A A /10005/01==，s m C v A yA yA /105000 10004.210120)(6 00-=???-=-=ρσ s m E C B B B /500010102.7101806 39 0=???= = -ρ s m C C B B /10005/01==，s m C v B yB yB /667.65000 10002.710240)(6 00-=???-=-=ρσ A C )(00ρ＝2.4×10-3×106×5000＝12×106kg/（sm ） B C )(00ρ＝7.2×10-3×106×5000＝36×106kg/（sm ） （1）： A B v . 由上图可知：当左杆波从自由端反射至接触面时，速度，为－4m/s ，应力为0，撞击结束。 撞击结束时间：0.02μs 。
两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.02μs。 短杆整体飞行速度：－4 m/s（3区）。 长杆整体飞行速度：2m/s（5区速度）。 （2） 撞击结束应在A点。 撞击结束时间：0.04μs。 两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.04μs。 短杆整体飞行速度：2 m/s（7区）。 长杆整体飞行速度：9m/s（6，10区）。 （3） v
第五章 刚性卸载近似 5－2 有弹性――线性硬化材料的两有限长杆（长度为L ），其弹性波速C 0相等，塑性波速C 1分别为C 0/3和C 0/5。它们均以5倍的屈服速度分别撞击刚性靶，如图Ⅳ－34所示。试分别画出x －t 图和v －σ图，并确定这两根杆脱离靶板的时间。 解：图解如下： （1），塑性波速C 1为C 0/3。 σ y 由图中看出，v －σ图上的17点已为拉应力，故应脱靶。由x －t 图可得其脱靶时间为3.5L/C 0。 （2）、 塑性波速C 1为C 0/5。 y X 图Ⅳ－34 长为v
由图中看出，v －σ图上的17已为拉应力，故应脱靶。由x －t 图可得其脱靶时间为38L/（9C 0）。 5－5半无限长杆的材料为弹性－线性硬化材料，其弹性波速C 0和塑性波速C 1均已知，且C 1＝C 0/10。若在杆端作用一如图Ⅳ－35所示的应力载荷)(t σ，试采用刚性卸载近似来确定杆中残余应变段的长度。 解：如图所示。 ∵ ??? ? ??? -==-C d dv d dv x m m t m u m 000ρσρσσ ∴ 0)(0=-+u m m dt d C X σσσ 又： )(m l t C X στ-= ∴ 0)()] ([0=-+-u m m m l dt d t σσσστ 在本题中，残余应变段的长度尽头的应力应等于Y 。 由公式（5－27）： )]([)(00 11 max t t t t t t t t m --- = σσ 在本题中：01max 2,4t t Y ==σ Y t t t t Y t m =--= )](2[4)(00 σ 解得：002)237(4 1 t t t >+= ∴ 应采用公式（5－28）： )()(1020 max t t t t t t m --= σσ 在本题中：01max 2,4t t Y ==σ Y t t t t Y t m =--= )2(4)(2 020σ 解得：08 33t t = 代入公式（5－26）得： 1021)(t t t C t X -==? 的应力载荷 O O 图Ⅳ－35 作用于杆端
透波 1、一种壁厚渐变蜂窝宽带透波结构 采用介电常数渐变结构是一种有效实现宽带透波的方法。通过一种壁厚渐变六边形蜂窝结构实现，方法：根据蜂窝等效介电常数的近似计算公式和介质介电常数变化分布，计算出该渐变结构的几何参数。结果表明该结构在垂直入射和大入射角情况下，具有良好的宽带透波特性。介电常数渐变材料广泛应用于宽带透波、吸波材料设计领域。仿真结果表明该结构在垂直入射和大角度入射条件下较实心结构具有良好的宽带特性，同时通过仿真验证了该结构周期参数对透波性能的影响。结果表明，要使等效介电常数满足设计要求，该结构周期要远小于工作波长。然而由于加工工艺限制，周期无法无限变小。因此最好根据实际频率上限需要选择合适的周期。另外，由于该结构蜂窝孔暴露在外界环境可能在实际应用中带来不便，可以考虑通过对蜂窝孔填充低介电常数泡沫材料来避免。 2、对防电磁脉冲屏蔽室与隔震地板关系的看法 一些重要的指挥、通信房间既要防电磁脉冲又要隔震，关于计算机屏蔽室与隔震地板就在屏蔽室内部的争论。结论：：屏蔽室应在隔震地板上安装制作。 3、空气冲击波作用于柔性防爆墙的透射和绕射效应分析_年鑫哲 为研究爆炸空气冲击波作用于柔性防爆墙后发生的透射和绕射现象及规律，采用数值模拟方法计算，分析了墙后发生的透射和绕射现象，比较了压力波形的变化特点，得到了墙后压力场变化分布规律。计算结果表明，柔性墙背后的压力存在两个主要峰值，分别为透射压力峰值和绕射压力峰值。
消波 1、双层介质抗暴炸震塌结构的性能研究 采用碎石土回填层与钢筋混凝土结构作为抗爆炸震塌结构，若选用低阻抗混凝土做回填层，具有较好的消波吸能性能。 2、沙墙吸能作用对爆炸冲击波影响的数值分析 数值模拟，沙墙的消波吸能作用。 3、泡沫混凝土回填层在坑道中的耗能作用 数值模拟计算了无耗能层和增设泡沫混凝土耗能层两种情况下坑道结构的动力响应，结果表明泡沫混凝土耗能层可以明显减小结构动力响应，可以用来构筑较理想的消波吸能结构。该弹塑性耗能材料刚度较小，能吸收更多能量，从而提高承载力， 4、双向水平地震作用下串联隔震结构的减震控制_林治丹 橡胶隔震器与地下室悬臂柱串联的结构可以隔震，该团队加入了减震控制器，本文从双向水平地震作用的角度出发,对串联隔震体系进行了一系列的研究。在串联隔震结构的隔震层中加入减震控制器,形成一种新型的隔震结构振动控制体系。隔绝地震波传播的路径或减小地震波输入结构的能量是隔震有效手段。 5、沈阳置地广场_南区_人防工程消波系统计算浅析 人防工程
第五章壳单元的应用 用壳单元可模拟的是具有某一方向尺度(厚度方向)远小于其它方向的尺度，且沿厚度方向的应力可忽略的特征的结构。例如，压力容器的壁厚小于整体结构尺寸的1/10，一般可以用壳单元进行模拟分析，以下的尺寸可以作为典型整体结构尺寸： ?支撑点之间的距离 ?加强构件之间的距离或截面厚度尺寸有很大变化处之间的距离 ?曲率半径 ?所关注的最高振动模态的波长 基于以上的特点，平面假定成立，即ABAQUS壳单元假定垂直于壳面的横截面在变形过程中保持为平面。另外不要误解为上述厚度必须小于单元尺寸的1/10。精细网格可包含厚度尺寸大于壳平面内的尺寸的壳单元，尽管一般不推荐这样做，在这种情况下实体单元可能更合适。 5.1 单元几何尺寸 壳单元的节点位置定义了单元的平面尺寸、壳面的法向、壳面的初始曲率，但没有定义壳的厚度。 5.1.1 壳体厚度和截面计算点 壳体厚度描述了壳体的横截面，必须对它定义。除了应定义壳体厚度，还应当在分析过程中或分析开始时，计算出横截面的刚度。若选择在分析过程中计算刚度，则ABAQUS采用数值积分法分别计算厚度方向每一个截面点（积分点）的应力和应变值，并允许非线性材料行为。例如，一种弹塑性材料的壳在内部截面点还是弹性时，其外部截面点已经达到了屈服。S4R单元(4节点减缩积分)中积分点的位置和沿壳厚度方向截面的的位置如图5－1所示： 图5－1 壳的数值积分点位置
在进行数值积分时，可指定壳厚度方向的截面点数目为任意奇数。默认的情况下，ABAQUS在厚度方向上取5个截面点，对各项同性壳来说，处理大多数非线性问题已经是足够了。但是，对于一些复杂的模型必须取更多的截面点，尤其是处理交变的塑性弯曲问题(在这种情况下一般采用9个点)。对于线性材料，3个截面点已经提供了沿厚度方向的精确积分。当然，对于线弹性材料壳来说，选择在分析开始时计算材料刚度更为有效。 在选择分析前就计算横截面刚度时，材料必须是线弹性的。此时所有的计算都根据横截面上的合力和合力矩来进行。如果需要，ABAQUS将按默认设置提供壳底面、中面和顶面的应力和应变。 5.1.2 壳面和壳面法线 壳单元的相互连接需定义它们的正法线方向，如图5－2所示。 图5－2 壳的正法线方向 对于轴对称壳单元来说，其正法线方向的定义是从1节点到2节点经逆时针旋转90 形成的方向。对于三维壳单元，其正法线方向是绕着单元的节点序号按右手法则移动给出的方向。 壳体顶面是指在正法线方向的面，称为SPOS面；而壳体底面是指在正法线负方向的面，称为SNEG面，它们是为了处理接触问题而定义的。相邻壳单元的法线必须是一致的。 正法线方向约定了单元压力载荷方向和随壳厚度变化的输出量方向。壳体单元上压力的正方向即壳体的正法线方向(壳体单元上压力的正方向与实体上压力正方向刚好相反；而壳面压力约定与实体面上的压力是一致的，至于单元上分布载荷与面上分布载荷的差别的更多信息可参考ABAQUS/Standard用户手册的第19.4.2节)。
固体中的应力波
李清
中国矿业大学（北京）
参考书：
1 王礼立. 《应力波基础》第 2 版(2005 年 8 月 1 日)，国防工业出版社 2 李玉龙. 《应力波基础简明教程》第 1 版 (2007 年 4 月 1 日)，西北工业大学 3 丁启财(美国). 《固体中的非线性波》，中国友谊出版公司 4 宋守志. 《固体中的应力波》，煤炭工业出版社 5 杨善元. 《岩石爆破动力学基础》，煤炭工业出版社 6 莱茵哈特(杨善元译). 《固体中的应力瞬变》，煤炭工业出版社 7 徐小荷. 《冲击凿岩的理论基础与电算方法》，东工出版社 8 郭自强. 《固体中的波》，地震出版社
目录
第 0 章 绪论..................................................................................................................错误!未定义书签。 1 波动现象..............................................................................................................错误!未定义书签。 2 应力波的概念......................................................................................................错误!未定义书签。 3 应力波分类..........................................................................................................错误!未定义书签。 4 应力波理论与其它力学理论的关系..................................................................错误!未定义书签。 5 应力波理论的发展..............................................................................................错误!未定义书签。 6 应力波理论在岩土工程中的应用......................................................................错误!未定义书签。
第 1 章 一维应力波基础..............................................................................................错误!未定义书签。 §波动方程及其解 .................................................................................................... 错误!未定义书签。 一维纵波的波动方程 .................................................................................... 错误!未定义书签。 波的传播速度 ................................................................................................ 错误!未定义书签。 波动方程的解 ................................................................................................ 错误!未定义书签。 解的物理意义 ................................................................................................ 错误!未定义书签。 § 应力波的几个基本参量......................................................................................错误!未定义书签。 § 应力波的能量......................................................................................................错误!未定义书签。 § 波的衰减..............................................................................................................错误!未定义书签。 原因 ................................................................................................................ 错误!未定义书签。 度量 ................................................................................................................ 错误!未定义书签。 衰减率α的测定 ............................................................................................ 错误!未定义书签。 § 考虑杆的横向效应的波动方程..........................................................................错误!未定义书签。 § 杆中的扭转波与弯曲波......................................................................................错误!未定义书签。 扭转波 ............................................................................................................ 错误!未定义书签。 弯曲波 ............................................................................................................ 错误!未定义书签。
第 2 章 二维和三维弹性波理论基础..........................................................................错误!未定义书签。 § 弹性体的运动微分方程....................................................................................错误!未定义书签。 § 弹性体的无旋波与等容波..................................................................................错误!未定义书签。 无旋波(纵波、P 波) ......................................................................................错误!未定义书签。 等容波(横波、S 波).......................................................................................错误!未定义书签。 § 平面波的传播....................................................................................................错误!未定义书签。
平面纵波(V 错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指
定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定
书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书
签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。
错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错
误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!
未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未
指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指
定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定
书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书
第一章 绪论 1、概念理解：应力波（波阵面、波速）； 横波/纵波（柱面波、球面波、平面波）； 高应变率下的材料行为（与应变率相关的材料本构、应力应变曲线为绝热曲线）； 应变率效应与惯性效应 2、固体动力学区别于静力学： 载荷与介质的耦合、应力波与材料动态力学性能之间的密切关系。 第二章 一维杆应力波初等理论 1、坐标系建立： 拉格朗日坐标：给定质点上的物理量随时间变化 物质导数（随体导数）X 欧拉坐标：给定空间点上不同时刻到达该点的不同质点的各物理量随时间变化（空间微商） x 物质波速C 、空间波速c ： c (1)v C ε=+ 物质导数 空间导数 (X,t) d c (1)C x x x x x X dt t X t v ε=???=+????=++取导：即： 物质坐标系/ 空间坐标系下的随波微商 2、物质坐标下的杆中纵波控制方程 初始条件下的空间坐标即为物质坐标； 前提：忽略横向收缩或膨胀；应变率无关理论
三类波动表达式： 22022222: : u : v v C t X v v C C t X u u C t X εεσσρ??=????==????=??未知量、未知量、未知量位移上述波动方程解法：偏微分化常微分 特征线和特征线上的相容关系： dX Cdt dv Cd d Cdv εσρ=±=±=±特征线 特征线两类相容关系 特征线物理意义：代表扰动（波阵面）的传播轨迹 相容关系：质点速度、应力、应变之间的关系，与波速有关 波阻抗：ρ0C 3、单调加载无卸载、正向传播无反射波 3.1 线弹性波：冲击载荷不大，弹性变形 0= E C C σε=则 特征线法：
机械制造工艺学第三版王先逵第 五章习题解答 机械制造工艺学习题解答 第五章：机械加工表面质量及其控制(第3版P267) 5-1机械加工表面质量包括哪些具体内容？ 答：(P229)机械加工表面质量，其含义包括两个方面的内容： A.加工表面层的几何形貌，主要由以下几部分组成：⑴表面粗糙度； ⑵波纹度；⑶纹理方向；⑷表面缺陷。 B.表面层材料的力学物理性能和化学性能，主要反映在以下三个方面：⑴表面层金属冷作硬化；⑵表面层金属的金相组织变化；⑶表面层金属的残余应力。 5-2为什么机器零件一般总是从表面层开始破坏的？加工表面质量对机器使用性能有哪些影响?
答: ( P231) (1)由于表面是零件材料的边界，常常承受工作负荷所引起的最大应力和外界介质的侵蚀，表面上有着引起应力集中而导致破坏的微小缺陷，所以这些表面直接与机器零件的使用性能有关。 (2)加工表面质量对机器的耐磨性、耐疲劳性、耐蚀性、零件配合质量都有影响。 5-3车削一铸铁零件的外圆表面，若进给量f=0.40mm/r ,车刀刀尖圆弧半径re=3mm试估算车削后的表面粗糙度。
5-4高速精镯呆谓工件的内孔时，采用主値角K ,=75%副偏角输一1即前锋利尖刀，当加工表面粗糙度 要求R 尸3」—.3 Um.时.问： ⑴衽不考虑工祥材料塑性变形对表而粗糙度影哨的杀件下「进骼量f 应选择多大了 (2)分析室际加工表面粗糙度与计算值是否相同，为什么？ ⑶ 进给量f 越小’表面祖糙度值是胥越小？ 备 ⑴根据教材P2阳公式,H = -------- ---- 可以导出：/ = H(cctK r +cotKj cot + COtk r 耽 H=23.2nm.则 匸0,QQ32 (1 tan75+l.tanl53 =0,013mm (2)分析实际加工表面粗粒度与计算渲不同'其頰因是材料有塑性变形，还有弹性恢复锌匚 ⑶在主谍甬因健角前定的皤况下，建给量子越丿卜表面粗穗愛值就越小， 5-6为什么提高砂轮速度能减小磨削表面的粗糙度数值， 而提高工件 速度却得到相反的结果？ 答：(P224)砂轮速度越高，单位时间内通过被磨表面的磨粒数就越 多，工件材料来不及变形，因而工件表面粗糙度值越小。而工件速度 增大，单位时间内通过被磨表面的磨粒数减少， 塑性变形增加，表面 粗糙度值将增大。 5-7为什么在切削加工中一般都会产生冷作硬化现象？ 答：(P240)机械加工过程中产生的塑性变形，使晶格扭曲、畸变， 晶粒间产生滑移，晶粒被拉长，进一步变形受到阻碍，这些都会使表 面层金属的硬度增加，统称为冷作硬化(或称为强化)。 0.00667mm =听&jjm H 0.4:
第一章绪论 物体在爆炸/冲击载荷下的力学响应往往与静载荷下的有显著不同。例如，飞石打击在窗玻璃上时往往首先在玻璃的背面造成碎裂崩落。碎甲弹对坦克装甲的破坏正类似于此。又如，对一金属杆端部施加轴向静载荷时，变形基本上是沿杆均匀分布的，但当施加轴向冲击载荷时(如打钎，打桩……)，则变形分布极不均匀，残余变形集中于杆瑞。子弹着靶时，变形呈蘑菇状也正类似于此。固体力学的动力学理论的发展正是与解决这类力学问题的需要分不开的。 为什么在爆炸/冲击载荷下会发生诸如此类的特有现象呢？为什么这些现象不能用静力学理论来给以说明呢？固体力学的动力学理论与静力学理论的主要区别是什么呢？ 首先，固体力学的静力学理论研究处于静力平衡状态下的固体介质，以忽略介质微元体的惯性作用为前提。这只是在载荷强度随时间不发生显著变化的时候，才是允许和正确。而爆炸/冲击裁荷以载荷作用的短历时为其特征，在以毫秒（ms）、微秒（μs）甚至毫微秒纳秒（ns）计的短暂时间尺度上发生了运动参量的显著变化。例如核爆炸中心压力可以在几μs 内突然升高到107 ～108 大气压（103～104GPa）量级；炸药在固体表面接触爆炸时的压力也可在几微秒内突然升高到105大气压（10 GPa）量级；子弹以102～103 m/s的速度射击到靶板上时，载荷总历时约几十μs，接触面上压力可高达104～105大气压（1～10 GPa）量级。在这样的动载荷条件，介质的微元体处于随时间迅速变化着的动态过程中，这是一个动力学问题。对此必须计及介质微元体的惯性，从而就导致了对应力波传播的研究。 事实上，当外载荷作用于可变形固体的某部份表面上时，一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部份的介质质点离开了初始平衡位置。由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（变形），当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力），但同时也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置而运动起来。不过，由于介质质点具有惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介质质点的运动。依次类推，外载荷在表面上所引起的扰动就这样地在介质中逐渐由近及远传播出去而形成应力波。扰动区域与未扰动区域的界面称为波阵面，而其传播速度称为波速。常见材料的应力波波速约为102～103 m/s 量级。必须注意区分波速和质点速度。前者是扰动信号在介质中的传播速度，而后者则是介质质点本身的运动速度。如果两者方向一致，称为纵波；如果两者方向垂直，则称为横波。根据披阵面几何形状的不同，则有平面波，柱面波，球面波等之分。地震波，固体中的声波和超声波，以及固体中的冲击被等都是应力波的常见例子。 一切固体材料都具有惯性和可变形性，当受到随时间变化着的外载荷的作用时，它的运动过程总是一个应力波传播、反射和相互作用的过程。 其次，强冲击载荷所具有的在短暂时间尺度上发生载荷显著变化的特点，必定同时意味着高加载率或高应变率。一般常规静态试验中的应变率为10-5～10-1 s-1量级．而在必须计及应力波传播的冲击试验中的应变率则为102～104 s-1，甚至可高达107s-1，即比静态试验中的高得多个量级。大量实验表明，在不同应变率下，材料的力学性能行为往往是不同的。从材料变形机理来说，除了理想弹性变形可看作瞬态响应外，各种类型的非弹性变形和断裂都是以有限速率发展、进行的非瞬态响应(，因而材料的力学性能本质上是与应变率相关的。通常表现为：随着应变率的提高，材料的屈服极限提高，强度极限提高，延伸率降低，以及屈服滞后和断裂滞后等现象变得明显起来等等。因此，除了上述的介质质点的惯性作用外，物体在爆炸/冲击载荷下力学响应之所以不同于静载荷下的另一个重要原因，是材料本身在高应变率下的动态力学性能与静态力学性能的不同，即由于材料本构关系对应变率的相关性。从热力学的角度来说，静态下的应力-应变关系过程接近于等温过程，相应的应力应变曲线可近似视为等温曲线；而高应变率下的动态应力-应变关系过程则接近于绝热过程，因而是
i 第四章 弹塑性波的相互作用 4－4 一线性硬化材料有限长杆，杆长为l ，其中一段固定，另一端受到如图Ⅳ－22所示的两种渐加载荷。试对这两种情况分别画出t X -图、v -σ图和v -φ图。注明相互间的对应关系，并标出恒值区和简单波区。 解： σy y 0.5y y (1) (2) 4-5 有一线性硬化材料有限长杆0≤X ≤l ，其材料常数100,,C C ρ均为已知。杆端X ＝0处作用有一渐加载荷Ⅳ－23所示，另一端粘性边界条件v μσ=0。如果粘性系数μ恰好 等于材料的声阻抗00C ρ，试画出时间t 为：l C C t )252( 1 0+= 之前的t X -图和v -σ图，找出两个图之间的对应关系并标出恒值区和简单波区。 解：由于粘性系数μ恰好等于材料的声阻抗00C ρ，所以在弹性波时，粘性边界不反射。 载荷 加渐的情况两种受一端长杆有限 22Ⅳ－图l 2O O v 2C l v 载荷 加渐的情况两种受一端长杆有限 23Ⅳ－图
4-10 一线性硬化材料的半无限长杆，其100,,C C ρ及Y 均为已知。3/01C C =，杆左端受到刚体的恒速（y v v 2*=）的撞击，并设撞击过程中刚体保持恒速，到02t t =时刻撞击结束。待卸载完毕之后，再以同样的条件进行第二次撞击。 （1） 试画出第二次撞击时05.2t t =之前的t X -图和v -σ图。 （2） 对应画出05.2t t =时刻的最大应变分布图（X -max ε） 解：已知：100,,C C ρ，Y ，3/01C C =，y v v 2*= 得：Y Y Y Y Y y Y v C v v C σσσρσρσσ3 433 )(0 0* 10* =+ =+=-+= 第一次加载：图解如下图： 从图中看出，卸载完毕后，在AA 截面形成应变间断。其左边，弹性限为Y σ，其右边弹性限为3/4Y σ。 y y 第一次加载图解
爆炸中应力波理论分析及数值模拟 摘要：利用质量守恒定理以及动量守恒原理，对爆炸过程进行分析，推导出应力波在爆炸过程中的传播规律：应力波的幅值，波形和传播速度都会随着介质到重要中心的距离的变化而改变，并且呈现衰减趋势。并用ANSYS模拟球形装药的应力波传播，对上述传播规律进行说明。 关键词：爆炸应力波数值模拟 The Theoretical Analysis and Numerical Modeling of Explosive Stress Wave Abstract:Analysis explosion process with the law of the law of conservation of energy and the law of conservation of mass.Propagation rule of stress wave in the explosion process is deduced.The rule suggests amplitude,waveform and wave velocity all change along with the change of media’s distance to the center of the explosion,and show a trend of attenuation. Simulate stress wave of spherical charge by ANSYS and prove the rule mentioned above. Keywords: Explosion , Stress Wave,Numerical modeling 爆炸时炸药会突然在物理和化学性质上发生巨大变化，同时伴随着巨大能量的释放，在爆炸冲击波向外传播是对周围介质进行作用，所以能够认为是应力波在介质中传播的过程。随着介质中质点距离爆炸中心的距离的不同，应力波呈现出不同的特性，在炸药中传播的是
固体中的应力波
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
固体中的应力波 李清 中国矿业大学(北京) ? 参考书：
1 王礼立.《应力波基础》第2版（200５年8月１日),国防工业出版社 2 李玉龙.《应力波基础简明教程》第1版（２00７年4月1日)，西北工业大学 3 丁启财（美国). 《固体中的非线性波》，中国友谊出版公司 4宋守志．《固体中的应力波》，煤炭工业出版社 ５杨善元．《岩石爆破动力学基础》,煤炭工业出版社 6莱茵哈特(杨善元译).《固体中的应力瞬变》,煤炭工业出版社 7 徐小荷.《冲击凿岩的理论基础与电算方法》,东工出版社 8郭自强.《固体中的波》，地震出版社 ?目录 第0章绪论?错误!未定义书签。 1 波动现象....................................................................................................... 错误!未定义书签。 2 应力波的概念............................................................................................... 错误!未定义书签。 3 应力波分类................................................................................................... 错误!未定义书签。 4应力波理论与其它力学理论的关系?错误!未定义书签。 ５应力波理论的发展?错误!未定义书签。 6 应力波理论在岩土工程中的应用?错误!未定义书签。 第１章一维应力波基础?错误!未定义书签。 §1.1波动方程及其解?错误!未定义书签。 1.1.1一维纵波的波动方程?错误!未定义书签。 1．1.2 波的传播速度?错误!未定义书签。 1．1．3波动方程的解 ................................................................. 错误!未定义书签。 1.1．４解的物理意义 .................................................................. 错误!未定义书签。 §1.2 应力波的几个基本参量?错误!未定义书签。 §1.3 应力波的能量.......................................................................................... 错误!未定义书签。 §1.4 波的衰减?错误!未定义书签。 1.4．１原因?错误!未定义书签。 1.4.２度量?错误!未定义书签。 1.4.３衰减率α的测定?错误!未定义书签。 §1．5考虑杆的横向效应的波动方程?错误!未定义书签。 §１．6 杆中的扭转波与弯曲波?错误!未定义书签。 1．6.1 扭转波?错误!未定义书签。 1.6.2 弯曲波?错误!未定义书签。 第2章二维和三维弹性波理论基础........................................................................ 错误!未定义书签。
第五章 拉伸和压缩 一、填空题 1.轴向拉伸或压缩的受力特点是作用于杆件两端的外力 __大小相等 ___和 __方向相反 ___，作用线与 __杆件轴线重合 _。其变形特点是杆件沿 _轴线方向伸长或缩短 __。其构件特点是 _等截面直杆 _。 2.图 5-1 所示各杆件中受拉伸的杆件有 _AB 、 BC 、AD 、 DC_，受压缩的杆件有 _BE 、 BD__。 图 5-1 3.内力是外力作用引起的， 不同的 __外力 __引起不同的内力， 轴向拉、 压变形时的内力称为 _轴力 __。 剪切变形时的内力称为 __剪力 __，扭转变形时的内力称为 __扭矩 __，弯曲变形时的内力称为 __剪力 与弯矩 __。 4.构件在外力作用下， _单位面积上 _的内力称为应力。轴向拉、压时，由于应力与横截面 __垂直 _， 故称为 __正应力 __；计算公式 σ＝F /A_ _N/m 2 ＝ N ；单位是 __N/ ㎡ __或 ___Pa__。 1MPa ＝ __106 _1__N/mm 2。 5.杆件受拉、压时的应力，在截面上是 __均匀 __分布的。 6.正应力的正负号规定与 __轴力 __相同， __拉伸 _时的应力为 __拉应力 __，符号为正。 __压缩 _时的应力 为 __压应力 _，符号位负。 7.为了消除杆件长度的影响，通常以 _绝对变形 _除以原长得到单位长度上的变形量，称为 __相对变 形 _，又称为线应变，用符号 ε表示，其表达式是 ε＝ L/L 。 8.实验证明：在杆件轴力不超过某一限度时，杆的绝对变形与 _轴力 __和 __杆长 __成正比，而与 __横 截面面积 __成反比。 9.胡克定律的两种数学表达式为 σ＝E ε 和 L ＝F Lo/EA N 。E 称为材料的 _弹性模量 __。它是衡 量材料抵抗 _弹性变形 _能力的一个指标。 10. 实验时通常用 __低碳钢 __代表塑性材料，用 __灰铸铁 __代表脆性材料。 11. 应力变化不大，应变显着增大，从而产生明显的 ___塑性变形 ___的现象，称为 __屈服 ___。 12. 衡量材料强度的两个重要指标是 __屈服极限 ___和__抗拉强度 __。 13. 采用 ___退火 ___的热处理方法可以消除冷作硬化现象。 14. 由于铸铁等脆性材料的 ___抗拉强度 __很低，因此，不宜作为承拉零件的材料。 15. 工程上把材料丧失 __工作能力 __时的应力称为危险应力或 __极限应力 ___，以符号 σ°表示。 对 于塑性材料，危险应力为 σs ；对于脆性材料，危险应力为 Rm 。 16.材料的危险应力除以一个大于 1 的系数 n 作为材料的 __许用应力 _，它是构件安全工作时允许承