立体几何专题
【热点深度剖析】
1.江苏立体几何大题主要考查平行或垂直证明.从近几年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，难度为中等偏低；主要考查线面平行的判定，考查线∥线?线∥面?面∥面的转化思想，而线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质也是高考的热点，难度中等偏高，着重考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．
2. 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；线面平行的证明思考途径：线线平行?线面平行?面面平行.
线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；
线面垂直的证明思考途径：线线垂直?线面垂直?面面垂直.
3. 解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行平行或垂直之间的转化.
4.预计15年高考仍将以线面平行与垂直为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．【最新考纲解读】
内容[来源:学科网]要求[来源:学_科_
网Z_X_X_K]
备注[来源:Z,xx,https://www.doczj.com/doc/dd11993781.html,] A B C
空间几何体柱、锥、台、球及其简
单组合体
√
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表
中分别用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的
简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性
的问题.
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的
或较为困难的问题.
柱、锥、台、球的表面
积与体积
√
点、线、面之间的位置关系平面及其基本性质
√
直线与平面平行、垂直
的判定及性质
√
两平面平行、垂直的判
定及性质
√
【重点知识整合】
一、柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
（1）旋转体的侧面积和表面积 =2,=,=(')S rl S rl S r r l πππ+柱侧锥侧台侧. 22222=22,=,=(')(')=4S rl r S rl r S r r l r r S r πππππππ+++++柱全锥全台全球表，.
几何体的体积公式
'3114=sh,=,='=333
V V sh V ss r π柱锥台球（s++s ）h,V . 二、1.直线与平面平行
（1）判断定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行?线面平行）即：,a b αα??，且a b ?a α .
其它判断方法：,a a αβαβ??
（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行?线线平行）即：,,a a l a l αβαβ?=?
2.平面与平面平行
（1）判断定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行?面面平行）.即：,,,,a b a b M a b ββαααβ??=? .
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行?线线平行）.即：,,a b a b αβγαγβ==?
3.直线与平面垂直：
（1）定义：若直线l 与平面α内的任一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直.
（2）判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直）.即：,,,,a b l a l b a b P l ααα??⊥⊥=?⊥
（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：,a b a b αα⊥⊥?
4.平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
（2）判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即：,a a αβαβ?⊥?⊥
（3）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直.即：,,,a b a b a αβααββ
⊥?=⊥?⊥ 【应试技巧点拨】
一、1．转化与化归思想——平行问题中的转化关系
2．判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理；
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．
二、1．转化与化归思想——垂直关系
2．判定线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质．
3．判定线线垂直的方法：
(1)平面几何中证明线线垂直的方法；
(2)线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ；
(3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b .
4．判断面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β.
三、1．求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，
①正方体的外接球，则2R ＝3a ；
②正方体的内切球，则2R ＝a ；
③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
3．旋转体侧面积问题中的转化思想 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．
【考场经验分享】
1.目标要求：立体几何题目多为中低档题，涉及到数形结合的思想，着重考查学生空间想象能力和推理论证的能力.
2.注意问题：(1) 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
(2) 面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．（3）混淆“无数条直线”与“任意条直线”．
3.经验分享：(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系．
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
例1 【2012江苏高考】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，
D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ）
，且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；
（2）直线1//A F 平面A D E ．
例2 【2013江苏高考】（本题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥， AS AB =. 过点A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别为棱SA ，SC 的中点.
求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；
（2）BC SA ⊥.
例3 【2014江苏高考】（满分14分）如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===，
求证（1）直线//PA 平面DEF ；
（2）平面BDE ⊥平面ABC .
【名题精选练兵篇】
1. 【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P- ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．
(1)若AB ⊥ BC ，CP ⊥ PB ，求证：CP ⊥ PA ：
(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．
2. 【泰州2015一模】（本题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点．
（1）求证：直线//OG 平面EFCD ；
（2）求证：直线AC ⊥平面ODE ． G O
F
C A B D
E
3. 【扬州2015一模】在三棱锥P －ABC 中，D 为AB 的中点。
（1）与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置并说明理由如下：
（2）若PA ＝PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC 。
4. 【南京盐城2015一模】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点.
（1）求证：//OE 平面11BCC B ；
（2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .
B A
C
D B 1 A 1
C 1
D 1
E 第16题图 O
P
A
B
C D
如图，在三棱锥ABC D -中，已知BCD ?是正三角形，⊥AB 平面BCD ，a BC AB ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且FC AF 3=.
（1）求三棱锥ABC D -的体积；
（2）求证：⊥AC 平面DEF ；
（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且CA CN 8
3=,求证：//MN 平面DEF
.
6. 【苏州2015一模】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是1,AD DD 中点. 求证：（1）EF ∥平面1C BD ；
（2）1
AC ⊥平面1C BD .
A
B C D
A 1
B 1
C 1
D 1
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证：
（1）OM ∥平面PAD ；
（2）OM ⊥平面PCD ．
8. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.
（1）求证：//BF 平面1A EC ；
（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A
.
M
O
A
D
B C P
（第16题）
9．【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AD DD 的中点，2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为
403
. （1）求证：EF //平面11A BC ；
（2）求1A A 的长；
（3）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.
10. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯
形，//,90AD BC BAD ?∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为
PB PC ,的中点．
（1）求证：DM PB ⊥；
（2）求点B 到平面PAC 的距离．
A 1 D
D 1
C 1 A
C B E
F
11. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点．
(1)求证：PA //平面BEF ；
(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．
12. 【苏州市2014届高三调研测试】如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：
（1）P A ∥平面MDB ；
（2）PD ⊥BC ．
P
M
D
C B
A
P A
B C
F
E
（第16题图）
13. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .
(1)求证：;1AA BD ⊥
(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .
1A E
C
D
B
A 1D
1B
1C
第16题
【名师原创测试篇】
1.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，M 、E 分别是AB 和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.
(1)求证：BB 1∥平面EFM ；
(2)求四面体BEF M -的体积．
2.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面
ABCD , AC BD ⊥于O .
(Ⅰ)证明:平面PBD ⊥平面PAC ;
(Ⅱ)设E 为线段PC 上一点,若AC BE ⊥,求证://PA 平面BED ．
A
B
C C 1 A 1 B 1
F
E D 3.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC , 点D 为BC 中点,点E 为BD 中点,点
F 在AC 1上,且AC 1=4AF .
(1)求证:平面ADF ⊥平面BCC 1B 1;
(2)求证:EF //平面ABB 1A 1.
4.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等.
(1)求证:AB //平面PCD ; (2)求证:平面PAC ⊥平面ABCD
.
5.如图,AB ,CD 均为圆O 的直径,CE ⊥圆 O 所在的平面,BF CE .求证:
⑴平面BCEF ⊥平面ACE ;
⑵直线DF 平面ACE .
6.如图,在四棱锥P ABCD -中,
平面PAB ⊥平面ABCD ,BC //平面PAD ,PBC ∠90= , 90PBA ∠≠ .求证:
(1)//AD 平面PBC ; (2)平面PBC ⊥平面PAB .
A B
C P
D
A
B C D O E
F