狄拉克符号（Dirac ） 1狄拉克符号 量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。 问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。 1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间 任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有 ∑=n n n u a ψ （1） n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵） ????? ?? ? ??= n a a a 21ψ () ,,,,* *2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间 注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u 表象 1.1.2 态空间中内积（标积）的定义 设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为 () ∑=????? ?? ? ??=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3） 注意：A B B A ψψψψ+ +≠ 1.1.3狄拉克符号的引入 态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间
876 量子力学考试大纲 一、考试性质与范围 本《量子力学》考试大纲用于北京科技大学物理学相关各专业硕士研究生的入学考试。本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定性关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利不相容原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试基本要求 （一）波函数和薛定谔方程 1．了解波粒二象性的物理意义及其主要实验事实。 2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的概率解释。 3．理解态叠加原理及其物理意义。 4．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相互关系。了解连续性方程的推导及其物理意义。 （二）一维势场中的粒子 1．熟练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论，掌握一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法。 2．熟练掌握势垒贯穿的求解方法及隧道效应的解释。掌握一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法。 3．熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用。 4．了解 --函数势的处理方法。 （三）力学量的算符表示 1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。 2．熟练掌握厄米算符的基本性质及相关的定理。 3．熟练掌握坐标算符、动量算符以及角动量算符，包括定义式、相关的对易关系及本征值和本征函数。 4．熟练掌握力学量取值的概率及平均值的计算方法，理解两个力学量同时具有确定值的条件和共同本征函数。 5．熟练掌握不确定性关系的形式、物理意义及其一些简单的应用。 6．理解力学量平均值随时间变化的规律。掌握如何根据哈密顿算符来判断该体系的守
简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词：量子力学；力学量；电子；函数 作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的
近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介 姓名： 学号： 学院： 2016年12月27
量子力学发展脉络 量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。 通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。 旧量子理论 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。 在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收
量子力学原理及其应用 师燕光电8班2012059080029 量子力学是近代自然科学的最重要的成就之一.在量子力学的世界里，一个 量子微观体系的状态是由一个波函数来描述的,而非由粒子的位置和动量描述， 这就是它与经典力学最根本的区别。这是被爱因斯坦和玻尔用“上帝跟宇宙玩掷骰子”来形容的学科，也是研究“极度微观领域物质”的物理学分支，它带来了许许多多令人震惊不已的结论——例如科学家们发现，电子的行为同时带有波和粒子的双重特征（波粒二象性），但仅仅是加入了人类的观察活动，就足以立刻改变它们的特性；此外还有相隔千里的粒子可以瞬间联系（量子纠缠）：不确定的光子可以同时去向两个方向（海森堡测不准原理）；更别提那只理论假设的猫既死了又活着（薛定谔的猫）?? 诸如以上，这些研究结果往往是颠覆性的，因为它们基本与人们习惯的逻辑思维相违背。以至于爱因斯坦不得不感叹道：“量子力学越是取得成功，它自身就越显得荒诞。” 直到现在，与一个世纪之前人类刚刚涉足量子领域的时候相比，爱因斯坦的观点似乎得到了更为广泛的共鸣。量子力学越是在数理上不断得到完美评分，就越显得我们的本能直觉竟是如此粗陋不堪。人们不得不承认，虽然它依然看起来奇异而陌生，但量子力学在过去的一百年里，已经为人类带来了太多革命性的发明创造。正像詹姆斯·卡卡廖斯在《量子力学的奇妙故事》一书引言中的所述：“量子力学在哪？你不正沉浸于其中吗。” 一、量子计算机 量子力学的海森堡测不准原理决定了粒子的位置和动量是不能同时确定的( )。当计算机芯片的密度很大时（即很小）将导致很大, 电子不再被束缚, 产生 量子干涉效应，而这种干涉效应会完全破坏芯片的功能。为了克服量子力学对计算机发展的限制,计算机的发展方向必然和量子力学相结合，这样不仅可以越过 量子力学的障碍,而且可以开辟新的方向。量子计算机就是以量子力学原理直接 进行计算的计算机.保罗·贝尼奥夫在1981 年第一次提出了制造量子计算机的理论。量子计算机的存储和读写头都以量子态存在的，这意味着存储符号可以是0、1 以及它们的叠加。 近年来的种种试验表明，量子计算机的计算和分析能力都超越了经典计算机。它具有如此优越的性质正在于它的存储读取方式量子化。对量子计算机的原理分析可知，以下两个个特性是令量子计算机优越性的根源所在：存储量大，速度高；可以实现量子平行态。 随着现代科学技术的发展，量子计算机也会逐渐走向现实研制和现实运用。量子计算机不但于未来的计算机产业的发展紧密相关,更重要的是它与国家的保密、电子银行、军事和通讯等重要领域密切相关。实现量子计算机是21 世纪科学技术的最重要的目标之一。 二、晶体管 美国《探索》杂志在线版给出的真实世界中量子力学的一大应用，就是人们早已不陌生的晶体管。1945 年的秋天，美国军方成功地制造出世界上第一台真空管计算机ENIAC。据当时的记载，这台庞然大物总重量超过30 吨，占地面积接近一个小型住宅，总花费高达100 万美元。如此巨额的投入，注定了真空管这种
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1103、在电子衍射实验中，│ ψ│2 对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数 ψ 1 ， ψ 2 ， ψ 3 ，…。正交性的数学表达式为 ， 归一性的表达式为 。 1106、│ ψ (x 1 ， y 1 ， z 1 ， x 2 ， y 2 ， z 2 )│2 代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211 (x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系 的能量为2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2243ma h 的简并度是_____，E '=2 2 827ma h 的简并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 12 1m m m m +的一维谐振子，其势能为
量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。
量子力学第一性原理：仅需五个物理基本常数——电子质量、电子电量、普郎克常数、光速和玻耳兹曼常数，通过求薛定谔方程得到材料的电子结构，而不依赖于任何经验常数即可以预测微观体系的状态和性质，预测材料的组分、结构、性能之间的关系，进一步设计具有特定性能的新材料。 作为评价事物的依据，第一性原理和经验参数是两个极端。第一性原理是某些硬性规定或推演得出的结论，而经验参数则是通过大量实例得出的规律性的数据，这些数据可以来自第一性原理(称为理论统计数据)，也可以来自实验(称为实验统计数据)。如果某些原理或数据来源于第一性原理，但推演过程中加入了一些假设(这些假设当然是很有说服力的)，那么这些原理或数据就称为“半经验的”。 量子化学的第一性原理是指多电子体系的Schr?dinger方程，但是光有这个方程是无法解决任何问题的，量子力学能够准确的解决的问题很少很少，绝大多数都是有各种各样的近似，为此计算量子力学提出一个称为“从头计算”的原理作为第一性原理，除了Schr?dinger 方程外还允许使用下列参数和原理： (1) 物理常数，包括光速c、Planck常数h、电子电量e、电子质量me以及原子的各种同位素的质量，尽管这些常数也是通过实验获得的。(在国际单位值中，光速是定义值，Planck 常数是测量值，在原子单位制中则相反。) (2) 各种数学和物理的近似，最基本的近似是“非相对论近似”(Schr?dinger方程本来就是非相对论的原理)、“绝热近似”(由于原子核质量比电子大得多，而把原子核当成静止的点处理)和“轨道近似”(用一个独立函数来描述一个独立电子的运动)。 量子化学的从头计算方法就是在各种近似上作的研究。如果只考虑一个电子，而把其他电子对它的作用近似的处理成某种形式的势场，这样就可以把多电子问题简化成单电子问题，这种近似称为单电子近似，也称为平均场近似，例如最基本的从头计算方法哈特里－富克（Hartree-Fock）方法，是平均场近似的一种，它把所有讨论的电子视为在离子势场和其他电子的平均势场中的运动。但是哈特里－富克近似程度过大，忽略了电子之间的交换和相关效应，使得计算的精度受到一定的限制，为了解决这一问题，P Hohenberg和W Kohn于1964年提出密度泛函理论（density functional theory, DFT），这一理论将电子之间的交换相关势表示为密度泛函，然后使薛定谔方程在考虑了电子之间的复杂相互作用后利用建立在自洽场近似的方法求解，DFT认为：粒子的哈密顿量取决于电子密度的局域值，由此可以得出局域密度近似（local density approximation）方法。 由于诸多近似方法的使用，“从头计算”方法并不是真正意义上的第一性原理，但是其近似方法的运用使得量子计算得以实现。从头计算的结果具有相当的可靠程度，某些精确的从头计算产生的误差甚至比实验误差还小。 话说第一性原理的基本感念是指不采用经验参数……（此后省略若干千字） 不采用经验参数，但也得有近似才能计算。在处理原子的时候就采用了波恩-奥本海默近似（既绝热近似）这个近似的主要内容就是电子运动速度远远大于原子核，于是近似原子核不动，只考虑电子运动。于是，这个近似带来的效果就是体系在绝对零度时候的性质。 @@@什么是第一性原理呢？其实就是指从最基本的原理出发，不掺杂任何经验参数，而得出所有的现象。其实这个是很难的。但是能验证规律的正确性。而本文所提到的第一性原理，
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
Dirac 符号系统与表象 一、Dirac 符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量 （1）. 右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如： =n n a n ψ∑ （2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开： |ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 12 n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ?? ? <ψ| 按 Q 的左基矢 和 <φ| 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ= =∑。 这样，本征态的归一化条件可以写为：
量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。
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第一章量子力学基础 一、教案目的： 通过本章学习，掌握微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设，并初步学习运用薛定谔方程去分析和计算势箱中粒子运动的有关问题:b5E2RGbCAP 二、教案内容： 1、微观粒子的运动特征 黑体辐射和能量量子化；光电效应和光子学说；实物粒子的波粒二相性；不确定关系； 2、量子力学基本假设 波函数和微观粒子的状态；物理量和算符；本征态、本征值和薛定谔方程；态叠加原理；泡利原理； 3、箱中粒子的薛定谔方程及其解 三、教案重点 微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设 四、教案难点： 量子力学的基本假设 五、教案方法及手段 课堂教案 六、课时分配： 微观粒子的运动特征 2学时 量子力学基本假设 4学时
箱中粒子的薛定谔方程及其解 2学时 七、课外作业 课本p20～21 八、自学内容 1-1微观粒子的运动特征 1900年以前，物理学的发展处于经典物理学阶段<由Newton的经典力学，Maxwell的的电磁场理论，Gibbs的热力学和Boltzmann的统计物理学），这些理论构成一个相当完善的体系，对当时常见的物理现象都可以从中得到说明。p1EanqFDPw 在经典物理学取得上述成就的同时，通过实验又发现了一些新现象，它们是经典物理学无法解释的。如黑体辐射、光电效应、电子波性等实验现象，说明微观粒子具有其不同于宏观物体的运动特征。DXDiTa9E3d 电子、原子、分子和光子等微观粒子，它们表现的行为在一些场合显示粒性，在另一些场合又显示波性，即具有波粒二象性的运动特征。人们对这种波粒二象性的认识是和本世纪物理学的发展密切联系的，是二十世纪初期二十多年自然科学发展的集中体现。RTCrpUDGiT 1.1.1黑体辐射和能量量子化——普朗克< planck）的量子假 说：量子说的起源 黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能在同样条件下发射最大量各种波长光的物体。 带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。5PCzVD7HxA
量子力学的基本内容和发展简史 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其波函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期待值由一个包含该算符的积分方程计算。 波函数的模平方代表作为其变数的物理量出现的几率密度。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。关于量子力学的解释涉及许多哲学问题，其核心是因果性和物理实在问题。按动力学意义上的因果律说，量子力学的运动方程也是因果律方程，当体系的某一时刻的状态被知道时，可以根据运动方程预言它的未来和过去任意时刻的状态。 但量子力学的预言和经典物理学运动方程(质点运动方程和波动方程)的预言在性质上是不同的。在经典物理学理论中，对一个体系的测量不会改变它的状态，它只有一种变化，并按运动方程演进。因此，运动方程对决定体系状态的力学量可以作出确定的预言。 但在量子力学中，体系的状态有两种变化，一种是体系的状态按运动方程演进，这是可逆的变化；另一种是测量改变体系状态的不可逆变化。因此，量子力学对决定状态的物理量不能给出确定的预言，只能给出物理量取值的几率。在这个意义上，经典物理学因果律在微观领域失效了。 据此，一些物理学家和哲学家断言量子力学摈弃因果性，而另一些物理学家和哲学家则认为量子力学因果律反映的是一种新型的因果性——几率因果性。量子力学中代表量子态的波函数是在整个空间定义的，态的任何变化是同时在整个空间实现的。 20世纪70年代以来，关于远隔粒子关联的实验表明，类空分离的事件存在着量子力学预言的关联。这种关联是同狭义相对论关于客体之间只能以不大于光速的速度传递物理相互作用的观点相矛盾的。于是，有些物理学家和哲学家为了解释这种关联的存在，提出在量子世界存在一种全局因果性或整体因果性，这种不同于建立在狭义相对论基础上的局域因果性，可以从整体上同时决定相关体系的行为。 量子力学用量子态的概念表征微观体系状态，深化了人们对物理实在的理解。微观体系的性质总是在它们与其他体系，特别是观察仪器的相互作用中表现出来。人们对观察结果用经典物理学语言描述时，发现微观体系在不同的条件下，或主要表现为波动图象，或主要表现为粒子行为。而量子态的概念所表达出来的，则是微观体系与仪器相互作用而产生的表现为波或粒子的可能性。 量子力学表明，微观物理实在既不是波也不是粒子，真正的实在是量子态。真实状态分解为隐态和显态，是由于测量所造成的，在这里只有显态才符合经典物理学实在的含义。微观体系的实在性还表现在它的不可分离性上。量子力学把研究对象及其所处的环境看作一个整体，它不允许把世界看成由彼此分离的、独立的部分组成的。关于远隔粒子关联实验的结论，也定量地支持了量子态不可分离。 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的。旧量子论包括普朗克的量子假说、爱因斯坦的光量子理论和玻尔的原子理论。 1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。1905年，爱因斯坦引进光量子(光
量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.doczj.com/doc/de11703286.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）
第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 一、填空题（共10题，每题2分，共20分） 1. 若某种光的波长为λ，则其光子的能量为 ，动量大小为 。 2. 戴维逊—革末实验主要表现出电子具有 。 3. 若(),x t ψ 是归一化的波函数，则()2,x t dx ψ 表示 4. 设力学量算符?F 与?G 不对易，且其对易子为???,F G ik ??=?? ，则它们的不确定性关系为 。 5. 厄米算符在自身表象是 矩阵。 6. 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动， 而是电子云的图像，电子云是 ； 7. 设氢原子处于态()211021112,,()(,)()(,)33 r R r Y R r Y ψθ?θ?θ?-= -，求氢原子的角动量z 分量的平均值 8. 证明电子具有自旋的实验是 。 9. 两个角动量121 1, 2 j j ==耦合的总角动量J = 10. 共振跃迁意思是 。 共振跃迁意思是 当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即 mn ωω≠±时，跃迁概率不大；当mn ωω=±时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概 率随时间而增大，称为共振跃迁。 二、判断题（共10题，每题1分，共10分） 1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。 2. 若12,,,,n ψψψ 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 1122 n n C C C ψψψψ=++++ （其中12,,,,n C C C 为复常数）也是体系的一个可能状态。 3. 不同定态的线性叠加还是定态。 4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。 5. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。 6. 粒子在中心力场中运动，若角动量L z 是守恒量，那么L x 就不是守恒量。 7. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，则粒子的波函数一定具有确定的宇称。 8. 费米子体系的哈密顿算符H ?必须是交换反对称的，波色子体系的哈密顿算符H ?必须是交换对称的。 第1章、 量子力学基础 1.1 量子力学和量子光学发展简史 1900，Planck （普朗克），黑体辐射，能量量子化： h εν= 1905，Einstein （爱因斯坦）, 光电效应，光量子–光子： E h ν=， h p λ= （h h E p c c νλ===） 1913，Bohr （玻尔）, 原子光谱和原子结构，定态、量子跃迁及跃迁频率： ()/mn m n E E h ν=- 1923， de Broglie （德布罗意）, 物质粒子的波动性，物质波： E h ν=，h p λ= 1925， Heisenberg （海森堡）， 矩阵力学 1926, Schr?dinger （薛定谔）, 波函数(),r t ψ ，波动方程- Schr?dinger 方程，波动力学: ()(),,i r t H r t t ψψ?=? 1926， Born （波恩）, 波函数的统计诠释：()2 ,r t ψ 为概率密度， ()2,1dr r t ψ=? 1926， Dirac （狄拉克），狄拉克符号、态矢量ψ、量子力学的表象理论 1927， Dirac ，电磁场的量子化 1928， Dirac ，相对论性波动方程 至此，量子力学的基本架构已建立，起初主要用其处理原子、分子、固体等实物粒子问题。尽管量子力学在处理实际问题中获得了巨大成功，但是关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论，最著名的有： 1935， Schr?dinger 猫态 1935， EPR 佯谬 1960 前后，量子理论用于电磁场：量子光学 1956， Hanbury Brown 和Twiss ，强度关联实验 1963， Glauber （2005年诺奖得主），光的量子相干性 1963， Jaynes & Cummings, J-C 模型：量子单模电磁场与二能级原子的相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax 三个主要学派） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光、超荧光、超辐射 1980’s ，光学双稳态 1990’s ，光场的非经典性质（反群聚效应、亚泊松分布、压缩态）、 用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由狄拉克首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为狄拉克符号。狄拉克符号能够简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。本文用狄拉克符号全面阐述量子力学的表象理论，以及量子态、内积、算符、薛定谔方程等的变换，使读者对表象理论及表象变换有一个全面的认识。 一、Dirac 符号 量子力学的理论描述常采用Dirac 符号。它具有两个优点，即不依赖于具体表象和运算简捷。 由量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert 空间。在这个空间中，态用右矢>|表示，一般写为>ψ|，定义在复数域上。也可以在右矢内填上相应的量子 数或本征值来表示相应的态，如>>>n E p x |'|'|、、 分别表示坐标、动量和动能算符的本征态，而>lm |则表示角动量算符 )?,?(2z L L 的共同本征态。 左矢< |表示共轭空间中与| >相应的一个抽象态矢。如|'|x <<、 ψ等则是上述右矢的共轭态矢。 二、内积 定义两个态矢ψ和?标积的形式为><ψ?|，又称内积。且满足下列关系 >=<>=<ψ?，则称>ψ|与>?|正交；若满足1|>=<ψψ，则称>ψ|与>?|是归一的。若力学量完全集F 的本征态（分立）记为>k |，则其正交归一性可写为 kj j k δ>=<| 课程设计：量子力学基本原理分析理解 目的：加深对量子力学基本原理理解和应用 指导教师：张晓霞教授 学号：2905402036 姓名：胡淼 一、说明量子力学中粒子的状态是由波函数描写 实物粒子的波粒二象性 量子理论的发展过程是人们对微观世界的认识逐步深化的过程。在Planck-Einstein 的光量子 论（光子具有波粒二象性）的启发下，面对Bohr 的原子的量子理论取得的成功和碰到的困难， de Broglie （1923）提出了实物粒子（静质量m ≠0的粒子，例如电子）也具有波粒二象性的假 说：一个能量为E 动量为p 的质点，同时具有粒子性和波动性，其波长λ由p 确定，频率ν由 能量E 确定。自由粒子满足的徳布罗意关系： E=h νω ≠ ⑴ ⑵ 至此，人们清楚地认识到微观粒子不是经典粒子，也不是经典波，不能用经典的牛顿定律来描 述其运动状态，必须引进一种新的函数来描述其波粒二象性------波函数。 波函数的统计解释 把微观粒子的粒子性和波动性统一起来的是M.Born （1926）提出的几率波。他认为，粒子的干 涉和衍射实验中所揭示的波动性质，既可以看成大量粒子在同一实验中的统计结果，也可看成 单个粒子在许多次相同实验中的统计结果。在分析电子的双缝干涉实验时可以发现在底片r 点 附近干涉花样的强度电子出现在r 附近的几率。干涉图样如图（1） 图（1） 设干涉波用来描述，干涉花样在空间的分布则用描述，这里的意义与经典波 不同，是刻画粒子在空间出现几率大小的量。既然几率波决定粒子在空间出现的几率，那么，在t时刻，几率波应该是空间位置（x,y,z）的函数，我们把该函数写为或, 称为波函数。所以，量子力学中波函数所描述的不是实在的物理量，而是粒子在空间分布的几率。 其实比较我们经典力学中对波动性的解释：波动性是指某种物理在空间分布呈周期性变化，并且由于波的相干性，而出现干涉衍射等现象。在的Born统计解释中，他保留了波最重要的特性----相干叠加，不过他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。量更确切的说， 表示在r点附近体积元内找到粒子的几率，这就是Born对波函数的统计解释，是量子 力学基本原理之一。按照Born对波函数的统计解释在非相对论的情况下很自然要求该粒子在空间各点的概率之和为1，即要求波函数满足下列条件： ⑶ 而且在某一时刻在空间某点出现的几率是单值的，因此，除孤立奇点外，波函数还应 满足是r的单值、有界、连续的函数。 二、用态叠加原理分析双缝干涉实验 量子力学中态叠加原理：对于一般情况，如果和是体系的可能态，那么他们的线性叠加华中师范大学量子力学
-第1章-量子力学基础详细讲解
用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换
量子力学基本原理分析理解
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