第六讲 有理数的乘除法
一 知识要点 1、有理数乘法法则
法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 例如：()()()()6232363232=?=-?--=?-=?-， 法则2：任何数同0相乘，都得0。
法则3：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积是正数；负因数的个数是奇数个时，积是负数。
例如：()()(),2443214321-=???-=?-?-?- ()()()(),2443214321=???=-?-?-?- 法则4：几个数相乘，若其中有因数为0，则积为等于0。
知识延伸：(1)法则1针对两个因数相乘，法则3针对多个不是0的因数相乘，法则4针对几个因数中至少有一个是0的因数相乘。乘法法则也是先确定结果的符号，再确定绝对值。
(2)多个有理数相乘，要先根据负因数的个数确定结果的符号，若负因数的个数为偶数个，结果为正；若负因数的个数为奇数个，则结果为负，再把绝对值相乘。
(3)在运算中最好把小数化成分数，带分数化成假分数，便于约分。 2、倒数的概念
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
当0≠a 时，a 与
a 1互为倒数；当0≠m ，0≠n 时，n m 与m n
互为倒数。 例如：2与21，32-与2
3
-互为倒数。
知识延伸：由倒数的概念可知，正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数，0没有倒数。
3、有理数的乘法运算律
(1)乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即
ba ab =。
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即()()bc a c ab =
(3)乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把它们的积相加。即()ac ab c b a +=+
知识延伸：(1)多个不是0的有理数相乘时，适当运用交换律和结合律，使某两个数或某几个数先相乘，能化简运算过程。例如：()5533
13531-=??-=-??；
(2)一个数与几个数的和相乘时，有时利用分配律可以简化运算过程。例如：
11388
1
243124)8131(24=+=?+?=+?；有时逆用分配律也可简化运算过程。例如：
10257117355711735=?=??
?
??+?=?+?
； (3)两个数相乘时，有时把其中一个数看作某两个数的和的形式，也能简化运算过程。
例如：7
249975500571510057110057
6
99=-=?-?=???? ??-=?。 4、有理数的除法法则
法则1：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识延伸：当两个数不能整除时，用法则1比较方便；当两个数能整除时，用法则2比较方便。分数可以理解为分子除以分母，例如：34124
12
-=÷-=-
。 练习：下列计算是否正确？为什么？ (1)5
16542413=??
? ??-?-
(2)201210711265121271216512712-=---=?-?-?-=??
?
??--?-
(3)6
1312126136121613161213161=-=?-?=÷-÷=??? ??-÷
(4)()3136163=-÷-=??
?
??-?÷- (5)()()127
1
272733127=-??-=-????? ??-?-
规律方法小结：(1)两数相乘或相除及多个数相乘或相除和有理数加减一样，也是先确定符号，再确定绝对值。在计算时一定要按这个步骤去做，否则易出错；
(2)除了掌握一般的运算方法外，还要灵活运用运算律，能简算的一定要简算，这样就可以做到既快又准；
(3)除法一般要转化成乘法再去计算；
(4)归纳法：通过本节课的学习，我们应提高自身的观察、总结、归纳的能力。归纳是一种推理的方法，是通过一系列具体的事实概括出一般性的原理，本节的法则及运算律的得出都体现了这一方法。 二 典型例题
例1、求下列各数的倒数。 (1)4-； (2)43-； (3)125.0； (4)3
2
1
例2、计算： (1) －2.5×(－8) (2))1112(2311-?
(3)(－2)×(－7) (4)32)41(?-
(5))411()5.1(154)125(-?-??- (6) ()??
? ??-?-???? ??-?735.25412.1
例3、计算：
(1)(－12)÷(－3) (2))6
1
1(312-÷；
(3)0÷(－9) (4))12
78747(87--÷-；
(5)0.1÷(－0.001)÷(－1) (6))16(9
4
49|81|-÷?÷-.
规律·方法：在进行有理数除法运算时，先将除法转化为有理数的乘法，再根据乘法法则进行运算，体现了转化的思想。转化思想是将不熟悉的知识转化为熟悉的知识来解决的一种思想。 例4、计算：
(1)x x 25-= (2)a a a 8
14121++=
例5、计算 121216131???
?
??--
练一练：(1)??? ??-?-171317 (2)()36726799-? (3)??
?
??--?-16512724
例6、计算 ()67
6
24-÷-
练一练：计算 ??
?
??-?÷??? ??-÷??? ??-53341127
例7、用简便方法计算 ()34.07
5
13317234.03213?--?+?-?-
练一练：用简便方法计算 ()2.3514.357.14.363.2328.6-?+?-?-
例8、今抽查10袋食盐，每袋食盐的标准重量是100克，超出部分记为正，低于部分记为负，统计成下表：
求这10袋食盐一共有多重？
例9、若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2。求()cd m cd b a -++的值。
例10、计算(2×3×4×5)×(5
1
413121+--)
练一练：计算1111111111100999843??????
????---??-- ????? ?????????????
解题方法及技巧小结：(1)0没有倒数；(2)求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化成假分数，再把分子、分母颠倒位置；(3)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；(4)倒数等于它本身的数是1和－1，不包括0；(5)除法可转化为乘法进行计算；(6)两数相除，先确定商的符号，再确定商的绝对值。其商的符号的确定与乘法中积的符号的确定是一样的。
三、作业
1、若四个数的积为0，则( ) A 、四个数都是0；
B 、四个数中有一个为0，其余三个不为0；
C 、四个数中有两个为0；
D 、四个数中至少有一个为0
2、(1)a >0, b <0, ab ______0； (2)a <0, b >0, ab ______0； (3)a >0, b >0, ab ______0； (4)a <0, b <0, ab ______0；
(5)?a _____=a -, ?a _____=a ； (6)?a _____=a 3
1
-, ?a _____=a 2。
3、a 的倒数的相反数叫做a 的负倒数，互为负倒数的两个数的积是_________，2的负倒数是_________。
4、如果abc >0，a ，c 异号，则b ______0
5、若ab <0，则a 与b _____号；若a >0，b <0，a ＋b >0，则|a |______|b |
6、运用运算规律进行简便运算：
(1))4()711(25)87(-?-??- (2)(－8)×)20
1
4(-×1.25×(－O .1)
(3))8(161571-? (4) (－ 3.59) ×)227(-－2.41×)227(-＋6×)22
7(-
(5) －14×43
－0.34×4173+×(－14)＋7
4×(－0. 34)．
(6)()()()()32443256+?-+-?- (7)??
?
??-?+??? ??-?-??? ??-?7459.37467441.2
(8)??? ??-÷???? ??-?-21735.0615.3 (9)()??? ??-???? ?
?
--÷-71232311
(10)()???
??+÷+-?31764647
3
3 (11)??
? ??-÷????????? ??+-+??? ??--10515121231211
7、若b a ,互为相反数,n m ,互为倒数,c 是绝对值最小的数。求()c mn b a 2009-+的值
8、已知3a ＋2b =2，求8－6a －4b 的值。
9、已知x 、y 为有理数，如果规定一种运算※，其意义是x ※y =xy ＋1，试根据这种运算完成下列各题。
(1)求2※4 (2)求(1※4)※(－2)
10、已知199819981998199919991999+?-?-
=a ，1999199919992000
20002000+?-?-=b ，
2000
20002000200120012001-?-?-=c ;求abc 的值。