第 晶体的结构及其对称性
1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A 和点B 的格点在晶格结构中所处的地位不同，并
不完全等价，平移A →B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中，若矢量k l j l i l R l
321++=，错误！未找到引用源。i ，
j ，k
为单位向量。错误！未找到引用源。为整数。问下列情况属于什么点阵？
（a ）当i l
为全奇或全偶时； （b ）当i l
之和为偶数时。
解： 112233123l R l a l a l a l i l j l k
=++=++ 错误！未找到引用源。 ()...2,1,0,,321±±=l l l
当l 为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当321l l l ++错误！未找到引用源。之和为偶数时是面心立方结构
1.3 在上题中若=++321l l l 错误！未找到引用源。奇数位上有负离子，
=++321l l l 错误！未找到引用源。偶数位上有正离子，问这一离子晶体属于什么结构？
解：是离子晶体，属于氯化钠结构。
1.4 （a ）分别证明，面心立方（fcc ）和体心立方（bcc ）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc 为错误！未找到引用源。，对bcc 为错误！未找到引用源。
（b ）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角θ均为
'
1c o s
109273a r c ??-= ???
'1c o s
10927
3a r c ??-= ???
解:（1）对于面心立方
()12a a j k =+ 错误！未找到引用源。 ()22a a i k =+ ()
32
a a i j =+
1322
2a a a a ===
()
1212121
602
a a COS a a a a ??===
()
2323231
602
a a COS a a a a ??===
()
1360COS a a ?=
（2）对于体心立方
()12a a i j k =-++ ()22a a i j k =-+ ()
32
a a i j k =+-
1233
2
a a a a ===
()
12'12121129273
a a COS a a a a ??==-=
()'1313131
129273
a a COS a a a a ??==-=
()
'2312927COS a a ?=
（3）对于金刚石晶胞
()134a i j k η=++
()
234
a i j k η=--
()
2
212
122122
31
4934a COS a ηηηηηη-??===-
错误！未找到引用源。
1.5 证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l ）的晶面族间距为
错误！未找到引用源。
2
1222
2234-??
????+???? ??++=c l a k hk h d
证明: a b a ==
元胞基矢的体积
a ai =
错误！未找到引用源。
cos60cos301322b a i j
ai aj
=-+=-+
错误！未找到引用源。 c ck =
20
3302220
0a a a a c c
Ω=-
= 倒格子基矢 )
33(2][2j i a c b a
+=Ω?=
*ππ j
a
a c b
334][2ππ=Ω?=
* k
c b a c
ππ2][2=Ω?=* 倒格矢：
***hkl G ha kb lc =++
晶面间距
***
222
c
l b k a h G
d hkl
hkl ++=
=
π
π
()()()
2222222
222ha kb lc h a k b l c hk a b kl b c hl a c
*********
***++=+++?+?+? 22423a a π*??= ??? 22423b a π*??= ??? 2
22c c π*??= ?
??
错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。2
223a b a π**???= ???
0b c **?= 0
a c **
?= 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到
引用源。
12222
2
2221
2
2
2
2
2
242424242333343hkl
d h k l hk a a a a h k kl l a c ππππ-
-??????????=+++?? ? ? ? ?????????????????++=+?? ??
???
1.6 证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体 底心正交点阵的惯用晶胞如图：
1a ax = 错误！未找到引用源。 222
a b a x y =+
3a cz = 2450,,
,,3333
m ππππ
θ== 初级晶胞体积: 2
c abc
V =错误！未找到引用源。
倒易点阵的基矢：1232112c b a a x y V a b ππ??
=?=- ??? 错误！未找到引用
源。
23124y c b a a V c ππ=?=
错误！
未找到引用源。 31222c b a a Z V c
ππ=?=
错误！未找到引用源。
这组基矢确定的面是正交底心点阵
1.7 证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明：倒易点阵初级元胞的体积:c V 是初基元胞的体积
()
123c V b b b =??
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 1232c b a a V π=? 2312c b a a V π=?
错误！未找到引用源。 3122c
b a a V π=?
错误！未找到引用源。
()123c V a a a =??
而
()()
(
)()
{}
2233112
2
31213112
22c c b b a a a a V a a a a a a a a V ππ???=??? ???
??????=??-?? ???????
错误！未找到引用源。
()()()()A B C D A B D C A B C D ???=??-??????????
由于()0113
=??a a a ()2
1231212c b b a a a a V π???=???? ?????
而()312c V a a a =?
()2
2312c
b b a V π∴?=错误！
未找到引用源。错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
()
()()()
()2
1231
13
1232
3
222c
c c
b b b a b V a a a V V πππ?=?=
?=
或:
()
()()
3
1231232b b b a a a π?=?
现在证明：
()
b b b b b a 3
2
1
1
2
1
2???=π
()
b b b b b a
3
2
1
1
3
2
2???=π ()
b b b b b a
3
2
1
2
1
3
2???=π 错误！未找到引用源。又()22312c
b b a V π?=
令
(
)
(
)()(
)
211123
2
1123
2212c b b c b b b a V b b b πππ?=????=????????
又：()
()3
1232c
b b b V π??= 错误！未找到引用源。代入
()()3
111322c c V c a a V ππ??==??????
错误！未找到引用源。同理 错误！未找到引用源。 (
)
(
)
23211322a b b b b b c
=???=π
(
)
(
)
33
212132a b b b b b c
=???=π错误！未找到引用源。
1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解： ''
2cos AB a ma θ== cos 12
m θ=≤
30,,22m ππθ== 2451,,,,3333
m ππππ
θ==
错误！未找到引用源。 2,,2m θππ==
1.9 试解释为什么：
（a ）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。 （b ）立方晶系中没有底心立方点阵。 （c ）六角晶中只有简单六角点阵。 解：（a ）因为四方晶系加底心，会失去4次轴。
（b ）因为立方晶系加底心，将失去错误！未找到引用源。3次轴。 （c ） 六角晶系加底心会失去6次轴。
1.10 证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l ）的衍射强度为
22,,A B hkl A B f f I f f ?+?
?
-??
??
当（h,k,l ）为偶数时当（h,k,l ）为奇数时0，其它情况错误！未找到引用源。 其中A f 错误！未找到引用源。B f 错误！未找到引用源。分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明KCL 晶体中h,k,l 均为奇数的衍射消失？
证明：Nacl 初基原胞中有Na +错误！未找到引用源。和Cl -错误！未找到引用源。两种离子。
()111r :0,0,0,,222i A B ??
???
A 、
B 分别代表错误！未找到引用源。和错误！未
找到引用源。。
因此几何结构因子：
()()
()11223312321232
2
123123,,,,i i i i h x h x h x i i
h h h A B A
B A B F h h h f e f f e
f f h h h f f h h h ππ-++-++==++++?=?-++?∑为偶为奇
射强度：错误！未找到引用源。()2
123I F h h h ∝,对于错误！未找到引用源。
123h h h ++为奇数的衍射面A B f f =错误！未找到引用源。则会消光。 1.11 试讨论金刚石结构晶体的消光法则。
解：金刚石结构中，金刚石单胞有8个碳原子，坐标为：
()1111111113333313131330,0,0,,,0,,0,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,222222444444444444444????????????????
? ? ? ? ? ? ? ?????????????????
几何结构因子 ()
112233
2j j j i n h x h x h x hkl j F f e
π-++=∑ 错误！未找到引用源。
()()(){}
()()()()1exp exp exp 1exp 2exp 2exp exp 12hkl F f i n h k i n k l i n l k f i n h k l i n h k i n k l i l h πππππππ=+-++-++-+??????????????
??+-++?
???????
?????
-?++-++-++????????????????
()()()(){}1exp sin 1cos cos 22hkl n n F f i h k l i h k l n h k n k l ππππ???
?=+-++-++++++???????
?hkl I ∝()()2
2
21cos sin 22hkl
f hkl
hkl
n n F I h k l h k l ππ??????=++++++??????????
衍射强度不为零：（1）nh nk nl 都为基数。
（2）nh nk nl 都为偶数（包括零）,且
()1
2
nh nk nl ++错误！未找到引用源。也为偶数。
如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3，2，1）或（2，2，1）的一级衍射斑，也不可能有（4，4，2）这样的二级衍射斑点。
1.12 证明：在倒易空间中，当错误！未找到引用源。落于一倒格矢错误！未找到引用源。垂直平分面上时，发生布拉格反射。
证明：当波矢满足2
2h k k k += 错误！未找到引用源。时有错误！未找到引用源。
02h h k k k ???+= ? ???
∴令错误！未找到引用源。 'h k k k =+
∴'
K 错误！未找到引用源。刚好是错误！未找到引用源。中垂直
面的反射波。
又∵12h d k π= ,由图知：2sin sin 2h
k k π
θθλ== 错误！
未找到引用源。 2sin d m θλ∴= (其中'h h k mk = 错误！未找到引用源。) D E ε=
1.13 试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量： 0αβαβεεδ=
证明： 由D E ε=
错误！未找到引用源。
各物理量在新旧坐标中：'''D E ε= '
p AD = 'E AE =
1D A AE A AE εε-+
== (由于对称操作''D E ε= 错误！未找到引用源。)
'1A A A A εεε-+∴==
x A 错误！未找到引用源。是绕X(a)轴转动90 错误！未找到引用源。
是一个对称的操作100001010x A ??
??=??
??-??
y A 错误！未找到引用源。是绕Y(b)轴转动错误！未找到引用源。
90 也是一个对称操作001010100y A -??
??=??
????
将错误！未找到引用源。代入'A A εε+= 11222323
330
00
0εεεεεε??
?= ? ?-?
?
再将错误！未找到引用源。代入'A A εε+= 1111110
00000εεεε?? ?
= ? ???
1.14 若错误！未找到引用源。的立方结构如图所示，设错误！未找到引用源。
原子的散射因子为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。原子的散射因子为错误！未找到引用源。，
（a ）求其几何结构因子?hkl F =
（b ）找出（h,k,l ）晶面族的X 光衍射强度分别在什么情况下有
2
2
3A
B hkl A B
F f I F f ?+?∞?-?? (c)设 A B f f =，问衍射面指数中哪些反射消失？试举出五种最简单的。
解：错误！未找到引用源。结构中，单胞中含有3个B 原子，1个A 原子。 ()
123
2j j j i hx kx lx hkl j F f e
π-++=∑错误！未找到引用源。
取错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
()1111110,0,0,,0,0,0,,222222A B ??????
???????????
错误！未找到引用源。 错误！未找到引用
源。
∴()()()()
i h k i k l i h l
hkl A B F f f e e e πππ-+-+-+=+++错误！未找到引用源。
当h+k 与h+l ，k+l 均为偶数时 3hkl A B F f f =+错误！未找到引用源。 当h+k ，h+l ，k+l 其中两个为奇数，一个为偶数时 hkl A B F f f =-
当A B f f =错误！未找到引用源。时有 （0，0，1） （0，1，0） （1，0，0） （0，1，1）
（1，1，0）（1，0，1） 衍射面指数的消光。
1.15 在某立方晶系的铜错误！未找到引用源。射线粉末相中，观察到的衍射角错误！未找到引用源。有下列关系：
128
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2222222222223:4:8:11:12:16:19:20sin :sin ...sin 111200220113
222400331420θθθ==+++++++++++++++++++++++
（a ）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数； （b ）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？ 解：2
2
2
hkl a d h k l
=
++错误！未找到引用源。 又 错误！未找到引用源。
2sin hkl d n θλ=
()()()222sin 2a
nh nk nl θ
λ
∴
=
??
++??
sin θ∴∝
()()()
222
nh nk nl ++
128
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222222222222
3:4:8:11:12:16:19:20sin :sin ...sin 111200220113
222400331420θθθ==+++++++++++++++++++++++错误！未找到引用
源。
∴ h k l = (1,1,1) (2,0,0) (2,2,0)…… ∴该立方晶体是面心立方.
第二章 晶体的结合
2.1 导出NaCl 型离子晶体中排斥势指数的下列关系式：
4
00
2
4181kR n e πεα?=+ (SI 单位)
其中k 为体变模量，设已知NaC 晶体的10202.410/,0.281k N m R nm =?=，求NaCl 的n=?
解：NaCl 晶体排斥势指数的关系，设晶体有N 个元胞。
则晶体的内能：][)6(2n n r
B
r A N r b r e N U +-=+-=α 其中：2e A α=，26b B =对于NaCl 结构32Nr r =，（32r 为元胞的体积） ∴ dr Nr dr 26=
0222
100001066r n du du dr du N A nB dV
dr dv Nr dr Nr r r +??
=
==-= ???
∴ 在0r 为平衡位置处：
1
01--=n r n
A B 由 ()4
022
202
21811810
r e n dr u
d Nr dr
u
d r k r r α-==
=
∴ 118240+=e kr n α （如取SI ） 11842
4
00+?=e
k
kr n απε 对于NaCl 、CsCl 、ZnS 结构
a =1.747、1.762、1.638
210/104.2m N k ?= nm r 281.00=
∴可求n
2.2 带±e 电荷的两种离子相间排成一维晶格，设N 为元胞数，B/错误！未找
到引用源。为排斥势，错误！未找到引用源。为正负离子间最短的平衡值。证明，当N 有很大时有：
（a ）马德隆常数2ln 2α= 错误！未找到引用源。；
（b ）结合能()2002ln 2114Ne U R R n πε??=- ???
错误！未找到引用源。;
（c ）当压缩晶格时，错误！未找到引用源。),且错误！未找到引用源。，
则需做功错误！未找到引用源。,其中 ()2
00
21ln 24n N C e R πε-=
错误！未
找到引用源。 解：（a ）一维原子链，正负离子的距离为a ，相距为错误！未找到引用源。的两个离子间的相互作用势能：
n ij ij ij r b
r q r u +=π4)(2 R a r j ij = (R 为邻近间距总离子间的相互作用势
能)
???
?
???
?-???? ??±-
==∑∑∑''
02,1142
)(2j j n j n
j j i ij a b R a R q N r u N U πε
∑±
='
1
j j
a u 为离子晶格的马德隆常数 ???
???+-+-=???
? ??±=∑...4131211121j a u
...4
32)1ln(4
32+-+-=+x x x x x 令 1=x (4)
1
312112ln +-+-= ∴ 2ln 2=u
(b) 利用平衡条件 00
=R dR du
∴ n R Nq b n 1
022ln -=
∴ )1(2ln 2)(1
02
n
n nR R R Nq R u ---= )1
1(2ln 2)(020n
R Nq R u --= (c) ()()()()0
22
1000212R R du d u u R u R R R R R dR dR
R ==+
-+-+
由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项
()()()202
2
00
21R R R dR u
d R u R u w -=-=
将()δ-=10R R 代入：()δδ?-?=022]12[ln 2
1
NR q n w
晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项：
()δδδc R q n NR w 21
2ln 12122
020=???
?????-= 设e δδ=时外力为错误！未找到引用源。，外力与晶体(格)的形变成正比. ()δα02NR F =，()e e NR F δα02=，错误！未找到引用源。为比例函数.
()()
02000
2
2002211
222e
e
NR e e e W Fdx NR NR d NR NR F δδαδδ
αδδα
=
===?
?
此即为离子链被压缩02e NR δ错误！未找到引用源。的过程中外力做功。 ()e e e NR c
W δδ022
=
错误！未找到引用源。所以压缩2N 错误！未找到引用源。时外力()[]2
212ln R n q C F e
e e δδ-== 2.3 量子固体
在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态错误！
未找到引用源。的一个粗略一维模型，即每个氦原子局限在一段长为L
的线段上，每段内的基态波函数取为半波长为L 的自由粒子波函数。 （a ） 试求每个粒子的零点振动能；
（b ）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式；
（c ）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡，
非常粗略的给出最近邻间的范德瓦尔斯能为错误！未找到引用源。，其中L 以cm 表示，求L 的平衡值。
解：(a)根据量子力学，限制在L 线段内的自由错误！未找到引用源。原子的波函数有ikx Ae =ψ形式 λ
π
2=
k 又2
λ
=
L 的波函数为基态波函数L
L k ππ==
220，所以基态波函数 x L
i Ae
π
ψ=0 错误！未找到引用源。每个原子的零点动能也
就是基态平均动能.
220
*
00
0222*0
82m L d dx dx d m T L L
=???? ??-=????τψψψψ (b) 因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为L 的线段结构，必须增加力
32
2248mL
mL dL d dL T d p =???? ??-=><-= 有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量()U T U L =<>+ U （L ）是范德瓦尔斯能：6601.610U L erg --=??
(c) 平衡时：0
26037
0060 1.6104L dU dL mL L -??
==-?? ??? 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 480
4010
813.5cm L -?=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。的平衡值 A L 91.40=
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质
3.1 在同类原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，
其力常数如下图所示相间变化，且错误！未找到引用源。12ββ>.试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为
()1
22112122
124sin 211ka M ββββωββ???????? ?????+????=±-??+????
????
????
错误！未找到引用源。 解：用错误！未找到引用源。s V 和s r 错误！未找到引用源。分别表示第S 个初
基原胞中两个原子相对平衡位置的位移.
错误！未找到引用源。()()()()121121s s s s s s s s s s Mu u V u V MV V u V u ββββ-+?=----???
??=----???
? 错误！未找到引用源。
令错误！未找到引用源。 ()t ska i s ue u ω-= 错误！未找到引用源。
(
)
i ska t s V Ve ω-=
∴ ()()212122
121200ika ika M u e V e u M c c V ωββββββω--??
????-+++=????????????++-+=????????错误！未找到引用源。 ()()
212122
12120ika
ika M e e M ωββββββωββ---++∴=+-+ ()()2
2
21212ika
M e ωββββ-??-+=+??
错误！未找到引用源。 ()22212
12121
2212122
1212cos 4sin 211ka
M
M
ka M ββωββββββββββ+=
±
++????????+??=±-????+??
???
?????
错误！未找到引用源。
3.2 具有两维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为M ，晶格常数为a ，最近
邻原子间相互作用的恢复力常数为c ，假定原子垂直于点阵平面作横振动，
试证明：此二维系统的格波色散关系为()222cos cos x y M c k a k a ω=-- 解：只考虑最近邻作用第（l ，m ）个原子受四个原子的作用.
()()m l m l u u c m l ,,1:,1-++ 错误！未找到引用源。 ()()m l m l u u c m l ,1,:,1---错
误！未找到引用源。
()()m l m l u u c m l ,1,:1,-++错误！未找到引用源。 ()()1,,:1,---m l m l u u c m l 错
误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 运动方程：
()()[]m l m l m l m l m l m l lm u u u u u u c dt u d m ,1,1,,,1,12
222-++-+=-+-+错误！未找到引用源。
设 ()0exp lm x y u u i lk a mk a t ω??=+-??错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 (
)()
24
22cos cos y y x
x
ik a
ik a
ik a ik a x y c e e e
e
c k a k a ω--=-+++-=--错误！未找
到引用源。
3.3 求：
（a ）一维单原子点阵振动的声子谱密度错误！未找到引用源。()ρω，并
作图；
（b ）一维双原子点阵振动的声子谱密度()ρω错误！未找到引用源。，并作图.
解：一维单原子链： 12
sin 2qa M β
ω??= ???
错误！未找到引用源。
()()
2//2s
L
d q dq ρωωπ
∴=
∑
13S n = （有个3n 色散关系）
一维单原子链 1S =
()1
221
12
cos 22
L
11cos 2
L a qa M M
a qa
ρωπ
ββ
π
∴=?=
错误！未找到引用源。
一维双原子链: 错误！未找到引用源。
()1
2222
4111sin 2m M mM qa mM m M ωβ±????+??=±-????+????
????
()112
2
22
4111sin 2m M
mM qa mM m M ωβ
+?
??
?????+??∴=+-??????+????????
?
???
错
()1
422
4111sin 2m M mM qa mM m M ωβ-????+??∴=--????+????
????
)()()
()
3
24
22
3
24
2
L 21/1/21414111{1/{{1[1sin ]2sin cos }422221414111/{1[1sin ]2sin cos }42222d d dq dq L
mM mM mM qa a qa qa m M m M m M mM mM a qa qa qa m M m M ωωρωπβπ
+
---??∴=?+????
-=+-??+++-+--??++错误！未找到引用源。3.4 设某三维晶体光频声子的色散关系为()20q Aq ωω=-错误！未找到引用源。
，试证明，其声子谱密度为 错误！未找到引用源。 ()()1
20min 03220min ,40,0,V
A ωωωωωπρωωωωω?-<
??
=>??
式中22
3
min 06N V πωω??
=- ???
A, N 为晶体的原胞数.
解：()()
3
2c
s q s
V ds
α
ρωωπ=
?∑?
第支α错误！未找到引用源。格波的模式密度
32c
s q V ds α
πω
??
错误！未找到
引用源。其中s α错误！未找到引用源。为第错误！未找到引用源。支格波的等频面.
又因为在q=0附近 ()20q Aq ωω=- 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 等频面是一个球面. 又22q A q Aq ω?=-=错
误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
()1
2
23/22
31
4242c c
s q V V q ds Aq A α
ωωππ
πω
-=
?=??
错误！未找到引用源。
3.5 使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容为
（a ）在一维系统中v C T ∝； （b ）在二维系统中2v C T ∝；
解：对于一维简单格子，按德拜模型：qv ω=错误！未找到引用源。 d 错误！未找到引用源。范围内包含22dqL dqL Ld dL V ω
πππ===错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 ()0
L
D d N a
ωωω==
?（N 为原子数目） 错误！未找到引用源。0V a
π
ω∴=
比热容：
()()()
()
2
/20
/2
/2
/22/2
1121B B B B D K T V B K T B K T
B K T
B x T
B x e D d
C k K T e L e k d V
K T e
Tk e x dx
V
e ωωωωωωωωωωωππΘ??= ???-??
??=
? ?????-=
-??
?
错误！未找到引用源。
B
D k
ω=
Θ B x K T
ω=
在高温时：()
2
2
011x x
e x x e
→∴
≈-错误！未找到引
用源。 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 V B B L
C k Nk a
=
= 低温时
∞→ΘT D / 错误！未找到引用源。 ()
()2
2
222
111x x x nx n x
e x x e e x ne e
-∞
-==-=-∑
错误！未找到引用源。
()
2
2
2
210
123
1x nx
n x
e xdx
ne
x dx n e
π∞
∞
-====-∑∑?
?错误！未找到引用源。 错误！
未找到引用源。2
23B V TK C V
π=
对于二维简单格子：()()
2
2s
q s s
dl q
ω
ρωωπ=
?∑?
错误！未找到引用源。
vq ω=错误！未找到引用源。 ，所以格波等频（能）线为圆. 错误！未找到引用源。()()
()222
2222S
dl S q s V V
V ωπω
ρωπππ=
?==?
二维介质有两支格波,一支声学波,一支光学波. 错误！未找到引用源。 ()()2p s D V ωωρωπ==
222
211p L V V V τ=+
错误！未找到引用源。 ()()
2
2
/0
/2
1
1m
m
B B K T
K T
p
d S E d e
V e
ωωωωρωωω
ωωπ==--?
?
错误！未找到引用源。 ()20
2m
m
p
S V d N d ωωωπρωωω==??
12
4m p N V S ωπ?
?∴= ??
?
错误！未找到引用源。
()
()
2
/2
2
/2
3
/2
20
11B m
B D k T V B k T p B x T
B x p s
e d C k V k T e k T s e x dx
V e ωωωωωωππΘ??=
???-??
= ???
-?
?
错误！未找到引用源。 B
m
D k ω =Θ错误！未找到引用源。 当温度较高时：1x e x ≈+错
错误！未找到引用源。 ()
2
3/2
20
2
22
122D x T
B B V x p B B D
p B
sk k T e x dx
C V e sk k T V T Nk ππΘ??= ?
??
-Θ??= ?
??=?
当温度较低时：()
()3
3
2
3
1
11
6631x nx
x n n e x ne
x dx n
e ?∞
∞
∞
∞
-====-∑∑
?
?错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 2V C AT =错误！未找到引用源。 错误！未找到引
用源。 ()3
22
63B
p SK A V ?π=
3.6 设某特殊二维系统声子频率()32
K Aq ω=错误！未找到引用源。 ,试证明，此系统的
（a ）平均振动能量正比于73
T 错误！未找到引用源。； （b ）声子比热容及熵正比于4
3T .
解：3.7题中 μ
/d V CT
C = U ∝1
+μ
d
T
对于二维系统2=d 2
3=
μ 错误！未找到引用源。 V C ∝3
4T 同理熵：S ∝3
4T
错误！未找到引用源。 U ∝1
2713/2
3
d
T
T
T μ
++==
3.7 设d 维简单晶格中，频率错误！未找到引用源。与q μ成正比，试证明
（a ）简正模（声子谱）密度()1
d
B μ
ρωω
-=错误！未找到引用源。；
（b ）比热容μ
d
v CT C =错误！未找到引用源。.B 、C 为常数. 解：错误！未找到引用源。 μωkq = 错误！未找到引用源。
-1q d dq
μω
∝ d q k ω= 1'1d d d Kdq c q ω--==
错误！未找到引用源。 ()/d
d
S dS d dq
ρωω∝?
d S 错误！未找到引用源。为
d 维空间等频球面.
错误！未找到引用源。 ()1
1d d q q q
μμρω---∝∝错误！未找到引用源。 1
q μω∝
错误！未找到引用源。 ()1
d
μ
ρωω
-∝错误！未找到引用源。
()()
1
/01
''0
2
2
/0
1
1
1B D B B d
V k T d
d B B B
d K T d
B K T B dE d d
C dT dt e d d c K T K T K T
dT e d K K T e μ
ωμ
μωωμ
μωωωωωωωωω
-∞
+∞
=
=-????
? ??????=-??= ?
??-??
?
ωωd g dq cq q dz d )()(1==- 1')(-=d c g ωω '1/0
'10
1
()1
D
B D B d k T
d
d B B B d
k T
U c d e d k T k T
c k T e
ωωωω
ωωωωω-+=-???? ? ?????
=-?
? 令x T k B =ω
?-=D x x d d B e dx x T k c U 0'1)( 当0→T 时 1d U T +∝ d v C T ∝
这时 1
''()d
g c μ
ωω
-=
()1
''
/0
1''
/0
1
1D
B D B d k T d
d
B B B d k T U c d e d c k T k T k T e ωμ
?μ
μωωμ
ω
ω
ω
ωω-+=-???? ? ?????=-??
故在低温时1
d
U T
μ
+∝ /d V V
U C T T μ
???=∝ ????
3.8 求在一维单原子链中，错误！未找到引用源。m ωω>（截止频率）格波的阻尼系数α错误！未找到引用源。与ω错误！未找到引用源。的关系. m
ar ωωαcosh
2=
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为 _______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为 ______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______；体心立方结构原子的配位数为 ______。6．NaCl 结构中存在 _____个不等价原子，因此它是 _______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子，因此它是 _________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成，晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时 关系的 b1,b 2, b 3为基矢，由0，当 i （ i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵，称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵，面心立方的倒点阵是 ________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a，则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
固体物理学题库 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、 填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠? 当时 （，当时关系的123,,b b b 为基矢，由 112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
固体物理学概念和习题 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
一 名词解释 原胞 布喇菲点阵 结点 第一布里渊区 肖脱基缺陷 弗兰克尔缺陷 费米面 费米能量 费米温度 绝热近似 肖特基效应 德哈斯—范阿尔芬效应 马德隆常数 二 简答题 1. 简述Si 的晶体结构的主要特征 2. 证明面心立方的倒格子为体心立方 3. 按对称类型分类，布拉菲格子的点群类型有几种？空间群类型有几种？晶体结构的点群类型有几种？空间群类型有几种？ 4. 晶体的宏观对称性中，独立的对称操作元素有那些？ 5. 劳厄方程 布拉格公式 6. 固体结合的五种基本形式 7. 写出离子晶体结合能的一般表达式，求出平衡态时的离子间距。 8. 点缺陷基本类型 9. 什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 10. 接触电势差产生的原因 11. 请用自由电子气理论解释常温下金属中电子的比热容很小的原因。 12. 简要解释作为能带理论的三个基本近似：绝热近似、单电子近似和周期场近似。 13. 简述布洛赫定理 14. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 15. 为什么有的半导体霍尔系数取正值，有的取负值。 16. 自由电子气模型基本假定 17. 能带理论基本假设 三 计算题 1. 某晶体具有面心立方结构，其晶格常数为a 。 （1）写出原胞基矢。 （2）求倒格子基矢，并指出倒格子是什么类型的布喇菲格子。 2. 简单立方晶格中，每个原胞中含有一个原子，每个原子只有一个价电子，使用紧束缚近 似，只计入近邻相互作用。 1) 求出s 态组成的s 能带的E(k)函数。 2) 给出s 能带带顶和带底的位置和能量值。 3) 求电子在能带底部和顶部的有效质量。 5) 求出电子运动的速度。 3.知Si 中只含施主杂质N = 1015 cm -3 D ，求载流子浓度？ 4.假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点??? ??a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点?? ? ??0,0,a π的三倍。 5. 金属钠是体心立方晶格，晶格常数a =3.5?，假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（?=1.05×10-34J ·s ，m=9.1×10-35W ·s 3/cm 2，1eV=1.6×10-19J ） 6. 平时留过的作业题
1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强 ()() V p 032ξ?=，其中 0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为V 100ξ 解：（1） () 3 2 352225 223101101-==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=??? ? ????=??-=--- （1.1.2） （2） ()() () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 383 52 22 353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=??-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= =ηε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4）
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3
《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3
所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)
2008级电技专业《固体物理学》测验题 一、 （40分）简要回答： 1、 什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。 2、 试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和 结合键的类型。 3、 试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作 用效果并给出其等效对称要素。 4、 什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为 多少？ 5、 试写出自由电子和晶体中电子的波函数。 6、 如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势 能函数有何特点？ 7、 什么是禁带？出现禁带的条件是什么？ 8、 固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？ 二、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a 。试画出 该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111`），（201），（123）和（110）。 三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子 并讨论x 射线衍射时的消光规律。 四、（12分）试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动 的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。 五、（15分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢 为： k c a j a i a a j a i a a =+-=+=321232232 试求 （1） 倒格子基矢； （2） 晶面蔟（210）的面间距； （3） 试画出以21,a a 为基矢的二维晶格的第一、第二 和第三布里渊区。 六、（15）已知一维晶体电子的能带可写为： ) 2cos 81 cos 87()(22 ka ka ma k E +-= 式中a 是晶格常数，试求： （1） 能带的宽度； （2） 电子在波矢k 态时的速度； （3） 能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。 《固体物理学》测验参考答案 一、（40分）请简要回答下列问题： 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？ 答：晶体结构=空间点阵+基元。 2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些？ 答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。 3. 晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式 中吸引力的来源。 答：晶体的典型型方式有如下五种： 离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力； 共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力； 金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力； 分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力 氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间 的库仑引力。 4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模 式的取值数各为多少？ 答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。 5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理 意义。
一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?r r 当时 （，当时 关系的123,,b b b r r r 为基矢，由112233h K hb h b h b =++r r r r 构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 14. 体心立方的倒点阵是________________点阵，面心立方的倒点阵是________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。 16. 若简单立方晶格的晶格常数由a 增大为2a ，则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。