量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析专业：光信息科学与技术学号：20080810090205
学生姓名：胡丽红指导老师：熊狂炜
摘要
Jaynes—Cummings(J-C)模型是由单个二能级原子（或分子）与一个单模量子化光场组成的相互作用系统，反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用的两能级量子力学模型。它基于偶极近似和旋转波近似，着重处理电磁场与原子的近共振作用。J-C模型形式简单，是个精确可解的量子系统，并蕴含了丰富的物理内涵，能广泛的应用到许多领域中去，是量子光学、激光物理、核磁共振等问题中常用的一种模型。
本文主要通过两种不同的方法：待定系数法和矩阵法对Jaynes—Cummings 模型的态演化进行理论计算。主要考虑在共振情况下，我们求得态函数系数的变化图。在光场初始态处于真空态或相干态等不同情况下，系统会呈现出不同的量子特征如：真空拉比震荡、崩塌与复原现象。为了进一步完善光场与原子相互作用的量子理论，本文还介绍了几种推广的Jaynes—Cummings模型。
关键词：Jaynes—Cummings模型；态演化；共振
The state evolution analysis of Jaynes-Cummings model in
quantum mechanics
Abstract
Jaynes-Cummings (J-C) model is up to the individual two-level atoms (or molecular) and a single-mode optical field of quantization interaction system.It reflects a two-level quantum mechanical model of the interaction between a single atom and the Single-mode radiation field. It is based on dipole approximation and the rotating wave approximation, mainly deal with the near resonance effect between the electromagnetic field and the atomic. J-C model is simple in form and it is a quantum systems that can be solved precisely.It contains rich connotation of physical, which can widely used to many fields.It’s a model commonly used in the study of quantum optics, laser physics, nuclear magnetic resonance (NMR) and many other problems. This paper mainly uses two different methods: the method of undetermined coefficients and matrix method to perform the theoretical calculation of the state evolution of the Jaynes-Cummings mode. Mainly considering in the condition of resonance, We can obtain the variation diagrams of the coefficients to the corresponding normal function. In the different initial states of light field like in vacuum state or coherent states and so on the different cases, the system will be present different quantum characteristics such as vacuum rabbi shocks, collapse and restoration phenomenon. In order to further perfect the quantum theory of the interaction between the light field and the atoms , this paper introduces several kinds of promotion Jaynes-Cummings models.
Keywords: Jaynes-Cummings model; State evolution; resonanc
目录
引言 (1)
第一章JAYNES-CUMMINGS模型 (2)
1.1J-C模型的相关介绍 (2)
1.1.1 标准J-C模型的物理内涵，重要性和局限性 (2)
1.1.2 标准J-C模型的线性与非线性推广 (3)
1.2J-C模型的基本原理 (4)
第二章用待定系数法计算J-C模型的态函数随时间演化规律 (8)
第三章用矩阵法计算J-C模型的态函数随时间演化规律 (17)
3.1光与原子的相互作用-缀饰原子态 (17)
3.1.1 光场中原子的波函数 (17)
3.1.2 互作用哈密顿量的对角化 (19)
3.1.3 缀饰原子态 (22)
3.2光与原子的相互作用J-C模型 (25)
3.2.1 量子拉比振荡 (25)
3.2.2 单模自发发射 (28)
3.2.3崩塌和复原 (29)
第四章几种推广的J-C模型 (33)
4.1双光子J-C模型 (33)
4.2 型三能级原子与光场R AMAN相互作用 (33)
第五章总结 (34)
致谢 (35)
参考文献 (36)
附录 (37)
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引言
Jaynes-Cummings(J-C)模型是由E．T．Jaynes和F．W．Cummings于1963年提出来的，是由单个二能级原子（或分子）与一个单模量子化光场组成的相互作用系统，反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用的两能级量子力学模型。它基于偶极近似和旋转波近似，着重处理电磁场与原子的近共振作用。J-C模型形式简单，是个精确可解的量子系统，并蕴含了丰富的物理内涵，能广泛的应用到许多领域中去，是量子光学、激光物理、核磁共振等问题中常用的一种模型。所以一直备受人们的青睐，得到物理学界相关领域科研工作者的广泛注重，而且J-C模型也是人们了解比较深入的为数不多物理模型之一。
根据(多模)辐射场和原子相互作用的经典理论，将经典的辐射场和原子相互作用的哈密顿量量子化以致所有的物理变量都被著作算符以后，再忽略会导致双光子跃迁的相互作用项，进一步将辐射场量子化(称作二次量子化)并在偶极近似和旋转波近似的情况下得到狄克(Dicke)模型。Jaynes—Cummings(J-C)模型实际上就是狄克(Dicke)模型的一种特殊情形。它是在将辐射场和原子均量子化的基础上得到的关于辐射场和原子相互作用的最简单量子理论模型。
本文主要通过两种不同的方法：待定系数法和矩阵法对Jaynes-Cummings 模型的态演化进行理论计算。主要考虑在共振情况下，我们求得态函数系数平方的变化图。通过在光场初始态处于真空态或相干态不同情况下时，系统会呈现出来不同的量子特征如：真空拉比震荡、崩塌与复原现象。为了进一步完善光场与原子相互作用的量子理论，本文还介绍了几种推广的Jaynes-Cummings 模型，如：双光子Jaynes-Cummings模型、 型三能级原子与光场Raman相互作用、V型三能级原子与光场Raman相互作用等等。
胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析
第一章Jaynes-Cummings模型
1.1 J-C模型的相关介绍
众所周知，光的量子学说最初是由A．Einstein于1905年在研究光电效应现象时提出来的，爱因斯坦本人则是因为研究外光电效应现象并从理论上对其做出了正确的量子解释而获得了诺贝尔物理学奖；这是量子光学发展史上的第一个重大转折性历史事件，同时也是量子光学发展史上的第一个诺贝尔物理学奖。光量子学说的提出最终导致了量子光学的建立，并在接下来的时间里迅猛发展，但有关光的量子理论的研究最明显的特征就是还未形成完整的理论体系。真正将量子光学的理论研究工作引上正轨并推向深入的，是E．T．Jaynes和F．W．Cummings两人。1963年，E.T.Jaynes 和F.W.Cummings两人提出了表征单模光场与单个理想二能级原子单光子相互作用的Jaynes-Cummings模型(以下简称标准J-C模型)，这标志着量子光学的正式诞生。此后，人们围绕着标准J-C模型及其各种推广形式做了大量的而且是富有成效的理论与实验研究工作。
1.1.1 标准J-C模型的物理内涵，重要性和局限性
其物理内涵为：这个模型的建立，标志着量子光学的正式诞生。
其重要性体现于它的科学价值和技术价值：第一，标准J-C模型的建立，既标志着量子光学领域的理论研究工作步入正轨，使得人们关于场-原子之间相互作用的理论研究工作一下子深入到了物质结构的深层次，同时又促进量子光学领域的理论研究向纵深发展。虽然，在当今量子光学领域中标准J-C模型只是一个很简单的模型，但它在整个量子光学的建立与发展过程中所起到的历史性转折作用却是毋须置疑的。这就是标准J-C模型的科学价值。第二，随着微波激射技术的发展，随着单原子微波激射器的研制成，人们目前已经能够在微波腔中产生并制备各种非经典光场态，并利用单原子微波激射器来研究场-原子相互作用过程中场及原子的各种动力学特性、各种线性和非线性效应的物理机制，以及各种经典和非经典效应的物理本质等。尤为重要的是，利用单原子微波激射器还可以在微波腔内再现标准J-C模型的各种物理属性等。因此，从这个意义上讲，单原子微波激射器实质上就是标准J-C模型的物化和技术再现。可见，标准J-C模型不只体现在理论上，而且还体现在实物原型上，它是科学
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与技术的完美结合体。这就是标准J-C模型的技术价值。
然而标准J-C模型也具有一定的局限性：由于标准J-C模型过于简单，故不足以描述整个量子光学领域中场-物质(原子、分子或离子)之间的各种相互作用问题。其局限性主要表现在以下5个方面：①标准J-C模型只考虑了单模光场情形，而对于双模及多模光场未进行任何探讨；②标准J-C模型只考虑了单个理想二能级原子情形，而对于两个及多个二能级原子以及两个及多个多能级原子的情形未进行任何探讨；③标准J-C模型只考虑了场—原子之间的单光子相互作用，而对于简并双光子和简并多光子相互作用的情形未进行任何探讨；
④标准J-C模型是一个线性相互作用模型，而对于场—原子之间以及原子—原子之间的各种非线性交叉耦合相互作用未进行任何探讨；⑤标准J-C模型是在旋转波近似下获得的，而对于未作旋转波近似时虚光场(即在系统的Hamiltonian 中违背能量守恒定律的项)的影响等未进行任何探讨。这就是标准J-C模型的理论缺限和不足之处。
1.1.2 标准J-C模型的线性与非线性推广
非旋转波近似下的J-C模型，其特点在于在原标准J-C模型的基础上，进一步考虑单模虚光场(即Hamiltonian中违背能量守恒定律的项)的影响，于是便得到了非旋转波近似下的J-C模型。这一工作主要是由M.D.Crisp于1991年完成的。简并双光子与简并多光子J-C模型，这主要是针对单模光场与单个理想二能级原子之间的简并双光子与简并多光子相互作用而言的。由于忽略了光场强度对场—原子之间相互作用的影响因而在旋转波近似下，人们便得到了表征单模光场与单个理想二能级原子相互作用的所谓简并双光子J-C模型和简并多光子J-C模型。缀饰多光子J-C模型：其基本思想是采用规范缀饰变换技术，通过对上述的简并多光子J-C模型施行规范缀饰变换操作，即可获得表征单模光场与单个理想二能级原子缀饰相互作用的简并多光子J-C模型。这一模型的重要性在于，人们利用它可进一步研究场—原子作为强耦合关联体的各种量子统计性质以及各种动力学特性等。单、双模光场—单个三能级及多能级原子系统的J-C模型由于以上J-C模型中将原子作为理想二能级原子考虑，故不足以描述场—原子相互作用过程中的所有物理属性，于是人们便进行了各种各样的推广与扩展。人们曾经提出过单模光场与单个三能级原子相互作用的各种J-C
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模型，甚至提出了单模光场与单个多能级原子相互作用的J-C 模型，并且将其
推广和扩展到了双模光场及多光子的情形，这对量子光学领域的理论研究工作
无疑具有重要的推动作用。但上述所有这些研究，只是讨论了场—原子相互作
用与光强无关的情形，而对于光强相关耦合作用的影响未进行任何探讨。事实
上，进一步研究光强相关耦合作用所引起的各种非线性复杂性效应不仅具有重
要的学术价值，而且还具有更为广泛的实际意义。因此，有必要对标准J-C 模
型进行非线性推广。标准J-C 模型的非线性推广有如任意依赖强度耦合的J-C
模型,Kerr 介质中的J-C 模型等等，因本论文篇幅有限，具体内容在此就不详
细讲解，读者可参阅其它有关量子光学J-C 模型的书籍及文献。
1.2 J-C 模型的基本原理
根据经典理论，一个原子(如氢原子)处在电磁场(即辐射场)中时，那么在
描述该原子与电磁场相互作用对整个体系的哈密顿量可以写成： l R A R 2H H H )()],([21+++++-=H r V t r A e P m
H （1-1） 其中P 是质量为m ，电荷为e 的电子的动量，r 是坐标矢量。)(r V 是原子体
系的势能，),(t r A 是电磁场的矢势。根据（1-1）式，可以看出哈密顿量H 分解成三部分：①原子的哈密顿量)(2H 2A
r V m P +=；②自由辐射场的哈密顿量??+?=dV B H E D )(21H R （其中D 是电位移矢量，E 是电场强度，B 是磁感应强
度，H 是磁场强度）；③原子与辐射场的相互作用哈密顿量 2)],([21]),(),([2t r A e m
P t r A t r A P m e H l +?+?-= （1-2） 以上为经典理论的形式。在将经典理论过渡到量子理论时，根据量力学的
基本原理，物理学量都要被看成算符，例如经典动量P 换成动量算符p
?,在坐标表象中p
?即为?- i (其中?是梯度算符)。 由于J-C 模型是一种将辐射场也量子化的理论。所以我们还要进一步将辐
射场量子化，也就是将失势),(t r A 量子化。（失势),(t r A 的量子化过程可以参
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阅一些其他相关文献）再将失势),(t r A 量子化后我们得到
)]exp()exp(?[t),r (r k i a r k i a A i i i
i k k k k ?-+?=∑χ （1-3） 其中i k χ是常数 i i i
k k k e V 21)2(ωπχ= （1-4） （i k ω是对应的辐射场模的圆频率，i k e 是对应的辐射场波矢方向的单位）量子
化后的在相互作用哈密顿量（1-2）式，因（1-2）中的第二项含有2e 该项与前
一项相比非常小，它表征场的不同模之间通过电子与场的耦合而发生的相互作
用，这种相互作用导致双光子跃迁过程，在线性光学中我们一般省去这一项，
由此得 ]),(),([2P t r A t r A P m
e H l ?+?-≈ （1-5） 由于算符),(t r A 中含有坐标算符r ，所以0]?),,(?[≠P
t r A 但是对于原子范围来 r 近似为玻尔半径值11103.5-?米，又可见光的波长约为610-米，从而波矢
61022?≈=πλ
πk /米，故1105.34<
]??[),(?)0(?++==∑i i k k a a
t r A A i i
χ （1-6） 由于此时)0(?A
已经不是坐标变量的函数，所以 0]?),0(?[=P A （1-7）
这种处理方法相当于在考虑原子和场相互作用时，省去原子的线度。通常称这
种近似为偶极近似。从而相互作用哈密顿量可写为 P A m
e H l ?)0(???-= （1-8） 进一步引入广义的原子算符（n 为原子体系的能量本征态） m n S nm
=? （1-9）
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又因为任何描述原子行为的算符G
?般地表示为 nm
n
S m G n G ???∑= （1-10） 所以对于二能级原子，核外电子的动量算符可写为 _
?P ?-P ??S S P +++=∧
+ （1-11）其中-+=+S ?；+=-?-
S 分别表示原子的上升和下降算符。在注意到海森堡表象中 m P H r i dt r d A ?]?,[1== （1-12） 故得 -+-+-=-+-+r e e
im r E E im P 0)(?ω （1-13）同理 +=+-r e e
im P -?0ω （1-14） （其中0ω =--+E E 表示二能级原子体系的上下两个能级差）。显然-+r e 为
原子的偶极矩阵元，一般而言，它是复矢量。令M i r e =-+,其中M 是实矢量，
则由(1-11),(1-13),(1-14)式知 )??(?-0S S M e
m P +=+ ω （1-15） 于是一个二能级原子与辐射场相互作用哈密顿量可写成
)??()??(?-++++=∑S S a a H i
i i k k k l ε （1-16） 其中耦合常数i k ε为 i i l
k k k e M V ?=021)2(ωωπε （1-17） 进一步结合(1-1),(1-6),(1-9)式，可得量子化后的A H ?和R
H ? z A S H ??0ω = , i i i
i k k k k R a a H ???+∑=ω （1-18） 综上所述，可知二能级原子与(多模)辐射场总哈密顿量为
)??)(??(????0-++++++?+=∑∑S S a a a a S H k k k
k k k k k z εωω
（1-19）
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为方便起见，我们已用k 代替了在i k 。上式中我们略去不保持能量守恒的两项
-
??S a k 及 ++S a k ??(这种近似称为旋转波近似)，从而得到 )????(????-0S a S a a a S H k k k
k k k k k z +++++?+=∑∑εωω
（1-20） 此即为狄克摸式。由于J-C 模型反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用，
故只需要令上式中的k=1便可得到该模型哈密顿量的具体形式
)????(????-0S a S a a a S H z ++
++++=εωω （1-21） 上式中+S a ??反映的是原子从低能态跃迁到高能态，同时释放出一个光子，而-
??S a +项则表示相反的过程。
以上我们已经简要地回顾了J-C 模型哈密顿量的推导过程。
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第二章 用待定系数法计算J-C 模型的态函数随时间演
化规律
Jaynes-Cummings 模型的哈密顿量为（设1= ） )(2
10+-+++++=aS S a g a a S H z ωω （2-1） 其中+a 和a 分别为腔模的产生和湮灭算符，-+S S ,以及z S 分别为原子的上升，
下降以及反转算符，0ω为原子在激发态a 和基态b 之间的跃迁频率，ω为腔
膜频率，g 为原子与腔模之间的耦合常数。（2-1）式前面两项分别表示原子与
腔模的自由哈密顿量，第三项为它们的相互作用部分。
)(2
1-++++++=S a a S g S a Va H z ω 前面两项之和为0H ，后面那一项为相互作用的量1H
转入相互作用绘景 )????(-
100δδit it t
iH t
iH e a S e a S g e H e V -++-+== 哈密顿量（2-1）所满足的Schr?dinger 方程为(取1= ) )()(t H dt
t d i ψψ= （2-2） 取相互作用情况
)()
(t V dt t d i ψψ= 若光场初始处于福克态n ，原子初始处于激发态a ，则（2-2）的解可设为 ∑++=+n
n b an n b t C n a t C t ]1,)(,)([)()1(ψ （2-3）
将所设的?)(|t ψ以及V 代入相互作用情况下的薛定谔方程，过程为： ∑∑+++=+++-+-++n n b an it it n
n b an n b t C n a t C e a S ae S g n b t C n a t C i 1,)(,)([)(]
1,)(,)([)1()1(δδ
取1= ，并且等式两边同除以i ，得：
华东交通大学毕业设计（论文） ∑∑+++=+++-+-++n n b an it it n
n b an n b t C n a t C e a S ae S ig n b t C dt d n a t C dt d ]
1,)(,)([)(-1,)(,)([)1()1(δδ （2-4） 对该式的左右两边同乘以n a ,的共轭n a ,，得到
∑∑+++=+++-+-++n n b an it it n n b an n b t C n a t C n a e a S ae S ig n b t C dt
d n a t C
dt d n a ]
1,)(,)([,)(-]1,)(,)([,)1()1(δδ 1
,,)(1,,)(,,,,)([)()1()1(+++++-=?-++-++-+-+∑∑n b S a n a t C e n b a S n a t C e n
a S a n a e n a a S n a t C e ig t C dt d n
b it n b it n it an it n an δδδδ
其中
0,,=+n a a S n a
0,,=-+n a S a n a
11,,+=++n n b a S n a
01,,=+-+n b S a n a
前面两个式子等于0是因为算符不能作用于同一个状态（或能级），第四个式子等于0是因为没有意义。
所以经过简化，等式左右两边可化为： )(1)()1(t C e n ig dt
t dC n b it an ++-=δ （2-5）同样的方法，对式（2-4）两边同乘以1,+n b 的共轭1,+n b ，得到
∑∑++++=++++-+-++n n b an it it n n b an n b t C n a t C n e
a S ae S ig n
b t C dt d n a t C dt
d n b ]1,)(,)([1,)(-]1,)(,)([1,)1()1(δδ ]1,1,)(1,1,)(,1,,1,)([)()1()1()1(+++++++++-=?-++-++-+-++∑∑n b S a n t C
e n b a S n t C e n
a S a n
b e n a a S n b t C e ig t C dt d n b it n b it n it an it n
n b δδδδ
其中
胡丽红 量子力学中的Jaynes-Cummings 模型态演化分析 0,1,=++n a a S n b
1,1,+=+-+n n a S a n b
01,,=++n b a S n
01,1,=++-+n b S a n b
经过简化，等式左右两边可化为： )(1)
()1(t C e n ig dt t dC an it n b δ-++-=
（2-6） 所以我们得到了一个方程组 )(1)()1(t C e n ig dt
t dC n b it an ++-=δ )(1)
()1(t C e n ig dt t dC an it n b δ-++-= （2-7）
我们所取的初始状态是假设原子都处于激发态，而基态的原子数为零，由此可以提取出的上面那个方程组的初始条件是：
1)0(=an C 0)0()1(=+n b C
方程组中ωωδ-0=，取2
)(210δωω=-=?，接着就来解上面的方程组，为了数学上计算书写方便，我们可将方程组（2-7）写成以下形式：
z Me dt dy it δ= y Me dt
dz it δ-= （2-8） y 和z 分别是代表关于t 的函数)(t C an 和)()1(t C n b +，系数1+-=n ig M ，而方程组的初始条件则表示为：
1)0(=y 0)0(=z
由（2-8）的第一个方程得：
z dt
dy e M it =-δ1 将其代入第二个方程得： y Me dt
dy e M dt d it it δδ--=)1(
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? y Me dt
y d
e M dt dy e M i it it it δδδδ---=+-2211 ? 02=-'-''y M y i y δ
它的特征方程为：
022=--M ir r
δ
其解为： 2424)(2222δδδδ-±=+±=M i M i i r 由于1+-=n ig M ，所以上式根号里的数字总体是负的，提出一个复数符号，我们可以把解写成
2
422M i i r -±=δδ 其中1+-=n ig M ，n R n g M =++=-)1(442222δδ则函数t r t r e C e C y 2121+=可表示为：
t R i t R i n
n
e C e C y 2221-++=δδ （2-9）
式中的1C 和2C 为设定的系数，式我们需要求解的量。为计算方便，上式表示为：
)
(22212222221t R i t R i t i t R i t i t R i t i n n n n e C e C e e e C e e
C y --+=?+?=δ
δδ （2-10） 根据欧拉根式，可以得到以下的变换：
t R i t R e
n n t R i n 2sin 2cos 2+= t R i t R e n n t R i n 2
s i n 2c o s 2-=- 将这两个式子代入到（2-10）式中，由： ]2sin )(2cos )[()]2
sin 2(cos )2sin 2(cos
[)
(2121221222212t R C C i t R C C e t R i t R C t R i t R C e e C e C e y n n t i n n n n t i t R i t R i t i n n -++=-++=+=-δδδ （2-11） 根据式（2-9），取0=t 的情况，代入初始条件1)0(=y 中，很容易可以得到：
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121=+C C （2-12）
函数y 和z 存在关系z it Me dt dy δ=，将y 的函数式t R i t R i n
n e C e C y 2221-++=δδ代
入， )0()2
()2(2221z Me e R i C e R i C dt dy it t R i n t R i n n
n δδδδδ=-++=-
+等式两边取0=t ，并且将0)0(=z 代入，得到
0)2()2(21=-++n
n
R i C R i C δδ
因为121=+C C ，所以上式可以化为： 0)2()2)(1(22=-++-n
n R C R C δ
δ ? n n R C R 22=+δ
所以，得到1C 和2C 的值分别为：
n
n
R R C 22+=δ
（2-13） n
n
R R C 211+-=δ
（2-14） 所以，
n
n n n n R R R R R C C δ
δδ-=+-+-=-22121
（2-15） 将式（2-12），（2-15）代入式(2-11)，我们就可以求出函数y 的表达式：
]2
sin 2[cos 2t R R i t R e y n n n
t i δ
δ
-=
（
2-16） 函数z 的表达式，就可以简单地直接通过y 来求，
t
R
R R e t R i t R R t R R t R i e t R
R R i t R R e t R R i t R e i dt dy n
n n t i n n n n n n
t i n n n n n t i n n n t i 2sin )2
2(]
2
cos 22sin 22sin 22cos 2[)
2
cos 22sin 2()2sin 2(cos 222222-=--?+=?--+-=δδδ
δ
δδδδδ
δ
δδ
将（2-16）式代入关系z Me dt dy
it δ=中，（1+-=n ig M ）有：
z e n ig t R
R
R e it n
n n t i δδ
δ12sin )22(2
2+-=-
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其中)1(422++=n g R n δ，代入n
n n n R n g R n g R R )1(22)]1(4[2222222+-=++-=-δδδ 于是
t R e R n ig t R e R n g n ig t R R R e n ig z n t i n n t i n n n n t i 2
sin 122sin )1(2112sin )22(1122222δδδδ---+=+-?+=
-+=
即
]2s i n 2[c o s )(2
t R R i t R e t C n n n t i an δδ-= （2-17） t R e R n ig t C n t i n n b 2sin 12)(2)1(δ
-++= （2-18） 此时，原子处于激发态及基态的几率分别为 )]1)(cos()1[(21)()(22222
n n n an an R t R R t C t P δδ-++== （2-19） )1)](cos(1[21)()(222)1()1(n
n n b n b R t R t C t P δ
--==++ （2-20） 反转数为 )1)(cos()()()(2222)1(n
n n n b an n R t R R t P t P t W δδ-+=-=+ （2-21） 公式（2-19），（2-20），（2-21）的关系我们都取共振情况，于是0=δ；单光子情况下1=n ；取常数1=g ；根据公式)1(422++=n g R n δ于是有22=n R ；取了这些条件后用软件matlab 画图我们可以得到以下的图像：
胡丽红量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析
图2-1激发态下概率—时间关系
图2-2基态下概率—时间关系
华东交通大学毕业设计（论文）
图2-3反转数概率—时间关系
由于我们设定了原子初始状态是处于激发态，所以在0=t 的情况下，图2-1的纵坐标（处于改状态下的概率）为1，图2-2的纵坐标为0。受到光子的作用，原子逐渐从激发态下降至基态，根据初始设定的数据，图中显示大约是在1=t 处，原子处于基态，所以图2-1中此处的纵坐标为0，图2-2中此处纵坐标为1。受到光子的激发，原子又向激发态跃迁，形成往复循环。
n W 随时间做周期性的振荡，亦即原子与光场周期性地变换能量，当n=0 时，即光场初始时为真空态，系统呈现出真空Rabi 振荡这一纯量子特征。
当光场初始时不处于福克态，而是处于与经典场最为接近的相干态α，则系统呈现更为复杂的量子效应，相干态按Fock 态展开为 n C n n ∑∞==
0α 其中 !2n e C n
n αα-=
胡丽红 量子力学中的Jaynes-Cummings 模型态演化分析
若原子初始时处于激发态a ，则反转数为 )()(02t W C t W n n n ∑∞
==
这时反转数的振荡是由一系列不同频率的Rabi 振荡以不同的权重叠加而成的。结果将导致量子崩坍与复原现象。
在Jaynes-Cummings 模型的态演化过程中，除了原子的反转数外，光场的力学量也呈现出非经典效应。定义以下的参量 a a a a a
a a a Q ++++--=22)(
对于相干态的光场，Q=0，光场的光子数呈现出泊淞分布。当Q<0时，光子数呈亚泊淞分布（反群聚效应）这一非经典特性。再定义以下的正交相位分量 )(21++=a a X , )(21+-=a a i
Y 对于相干态的光场，41)()(22=?=?Y X 。当22)()(Y X ??或小于4
1时，光场的某一正交相位分量呈现出压缩这一非经典特征。在Jaynes-Cummings 模型中，即使光场初始处于最接近经典的相干态，在演化过程中，光场也可能呈现亚泊淞分布及正交相位分量压缩等量子效应。
量子力学复习题量子力学常用积分公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7 ) ( ) (8) (a<0) ( 正偶数) (9) =
( 正奇数) ( ) (10) ( ) (11)) ( ) (12) (13) (14) (15) (16) ( )
( ) 一、简答题 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在立体角 中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳 中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为 ，写出粒子位于 间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱 中粒子的能级和波函数。 8. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 9. 何谓几率流密度？写出几率流密度
的表达式。 10. 写出在 表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12. 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋 的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系： 15. 、 分别为电子的自旋和轨道角动量， 为电子的总角动量。证明： ，[ ]=0，其中 。 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ， 准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。 17. 二电子体系中，总自旋 ，写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 19. 给出一维谐振子升、降算符 的对易关系式；粒子数算符 与 的关系；哈密顿量 用 或 表示的式子； （亦即 ）的归一化本征态。 20. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态 可用一组力学量完全集的共同本征态 展开： ， 写出展开式系数 的表达式。 24. 一维运动中，哈密顿量
引言：黑体辐射等实验的研究以及光谱实验的诞生，促使了人们对微观世界的不断认识。经典力学的局限性也日益显著，所面临的一些棘手的问题也越来越多。因此迫使我们不得不抛弃经典力学，而重新建立一个全新的力学体系——量子力学。该力学体系描绘了微观世界中，微观粒子的运动行为及其力学特性。 题目：量子力学的概率解释 内容摘要：在经典力学中，我们知道物体的运动可由牛顿第二定律描述： 22(((),(),()))d r F m r x t y t z t dt ==r u r r ；方程的解即为物体的动力学方程。由此方程的解： ((),(),())r x t y t z t =r ；在给定的初始条件下我们即可以知道任意时刻物体在空间所处的位 置。而在微观领域中，微观粒子的运动并不适用于上述的方程所描述。实验证明他们在某一 时刻出现在空间的哪一点上是不确定的。应该用方程μH E ψ=ψ来描述。比如电子的衍射现象，海森堡的不确定性关系，还有薛定谔为批评哥本哈根学派对量子论的观点而提出的一 个思维实验（薛定谔猫）。本文利用概率与统计的相关概念对量子力学做出一些相关的阐明，并对一些相关的问题（衍射，薛定谔猫等）进行说明。对单电子体系薛定谔方程作出较为详细的讨论，并加以例题进行进一步说明。 关键词：量子力学、概率与统计、电子衍射现象、薛定谔猫、薛定谔方程 概率统计理论的简单介绍： 随机变量X ：X 是定义在样本空间Ω上的实值函数；对面门一样本点ω，()X ω是一个实数。X 离散取值时，为离散随机变量。X 连续取值时，为连续型随机变量。本文只介绍连续型随机变量。 概率密度函数：当X 为连续型随机变量时，例如一条直线AB 如图：A 0 1 B 假设现在有一个点落到了AB 上，我们是否能问该点恰好落在0.5x =处的概率是多少？显然这是毫无意义的问题，因为该点恰好落在任意一点上的概率均为零。（基本事件的个数为无穷） 我们只能问该店落在某一区间[,]a b 上的概率是多少？例如[,][0,0.5]a b =；此时概率 10.5/12 p == 。 因此设X 是一随机变量，如果存在非负函数()f x 使得对任意满足a b -∞≤≤+∞的,a b 有 ()()b a p a X b f x dx ≤≤=?；就称()f x 是随机变量X 的概率密度函数。 显然()f x 应该具有如下性质： （1） ()1f x dx +∞ -∞ =? ；(量子力学中波函数的归一化性质) （2）()0.p X a ==于是()()()p a X b p a X b p a X b ≤≤==≤p p p ； （3）对于数集,()()A A p X A f x dx ∈= ?；
量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统
量子力学的数学准备(暑期读物) 写在前面的话 06光信、电科的同学们： 暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。 有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！ 刘骥 谨此 I. 一个积分的计算 计算积分?+∞ ∞ --≡ dx e I x 2 ??+-+∞ ∞ --+∞ ∞--=≡ e dy e dx e I x y x (2 22 2 θπ = +∞-? ? 020 2 r dr rd e π=∴I 由此我们可以得到积分公式： πn x n n dx e x 2 ! )!12(2 2-=?+∞ ∞ -- 02 21221222! )!12(2)32)(12(212212212 22 I n I n n I n dx e x n de x dx e x I n n n x n x n x n n -==--=-= -=-=≡ --∞ ∞ ---∞ ∞---+∞ ∞ --???Λ 问题：对于积分?--≡1 1 2 dx e J x 可以仿照上述方法计算吗？为什么？如果不能，该如何计算其近似值？
量子力学总结 第一部分 量子力学基础（概念） 量子概念 所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象：微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?
○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率16 102.4~~?a v c ω， 即每秒绕轨道转1016圈 （电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设： 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）
“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 （1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ
量子力学诠释问题（一） 作者：孙昌璞( 中国工程物理研究院研究生院北京北京计算科学研究中心) 1 引言：量子力学的二元结构和其发展的二元状态上世纪二十年代创立的量子力学奠定了 人类认识微观世界的科学基础，成功地解释和预言了各种相关物理效应。然而，关于波函数的意义，自爱因斯坦和玻尔旷世之争以来众说纷纭，并无共识。直到今天，量子力学发展还是处在这样一种二元状态。对此有人以玻尔的“互补性”或严肃或诙谐地调侃之，以“shut up and calculate”的工具主义观点处之以举重若轻。这样一个二元状态主要是由于附加在玻恩几率解释之上的“哥本哈根诠释”之独有的部分：外部经典世界存在是诠释量子力学所必需的，是它产生了不服从薛定谔方程幺正演化的波包塌缩，使得量子力学二元化了。今天，虽然波包塌缩概念广被争议，它导致的后选择“技术”却被广泛地应用于量子信息技术的各个方面，如线性光学量子计算和量子离物传态的某些实验演示。早年，薛定谔曾经写信严厉批评了当时的物理学家们，他在给玻恩的信中写到：“我确实需要给你彻底洗脑……你轻率地常常宣称哥本哈根解释实际上已经被普遍接受，毫无保留地这样宣称，甚至是在一群外行人面前——他们完全在你的掌握之中。这已经是道德底线了……你真的如此确信人类很快就
会屈从于你的愚蠢吗？”1979 年，Weinberg在《爱因斯坦的错误》一文中批评了玻尔对测量过程的不当处理：“量子经典诠释的玻尔版本有很大的瑕疵，其原因并非爱因斯坦所想象的。哥本哈根诠释试图描述观测(量子系统)所发生的状况，却经典地处理观察者与测量的过程。这种处理方法肯定不对：观察者与他们的仪器也得遵守同样的量子力学规则，正如宇宙的每一个量子系统都必须遵守量子力学规则。”“哥本哈根诠释可以解释量子系统的量子行为，但它并没有达成解释的任务，那就是应用波函数演化方程于观察者和他们的仪器。”最近温伯格又进一步强调了他对“标准”量子力学的种种不满。在量子信息领域，不少人不加甄别地使用哥本哈根诠释导致的“后选择”方案，其可靠性令人怀疑！其实，在量子力学幺正演化的框架内，多世界诠释不引入任何附加的假设，成功地描述了测量问题。由于隐变量理论在理论体系上超越了量子力学框架，本质上是比量子力学更基本的理论，所以本文对Bell 不等式不作系统讨论。自上世纪八十年代初，人们先后提出了各种形式迥异的量子力学新诠释，如退相干、自洽历史、粗粒化退相干历史和量子达尔文主义，但实际上都是多世界诠释的拓展和推广。2 哥本哈根诠释及其推论哥本哈根诠释的核心内容是“诠释量子世界，外部的经典世界必不可少”。波函数描述微观系统的状态，遵循态叠加原理，即：如果|?1>
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
量子力学的隐变量解释1935 年 5 月, 在 Physical Review 上 Einstein 和他的两位同事 B. Podolsky和 N. Rosen 共同发表了一篇名为「Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?」 (量子力学对物理世界的描述是完备的吗?) 三个人异口同声地回答:「不!」.在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看法：一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(object reality) 以及这个理论运作的观点．客观实体应独立于理论而存在．在判断一个理论是否成功时，我们会问自己两个问题：(1) 这个理论是否正确? (2) 理论的描述是否完备?只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满意的．理论的正确性当由实验来决定．而关于量子力学的描述是否完备则是这篇文章探讨的主题．在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完备性．作者们提出了一项判别完备性的条件：每一个物理实体的要素必须在理论中有一对应物(every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory)因此我们决定了什么是「物理实体的要素」，那么第二个问题就容易回答了．那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢? 作者们以为: 「如果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素与这个物理量对应．」他们认为，只要不把这个准则视为一必要条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古典物理以及量子力学中对实在的概念．举例来说，在一维系统中，一个以波函数φ(x) = exp(ip0x/2πh) (其中 p0是一常数，i 表纯虚数，h 为Planck常数)描述的粒子．其动量的算符为 h d ,p = ------ ---- ,2(Pi)i dx,因此： pFI(x) = p0FI(x),所以动量有一确定的值 p0. 因此在这种情形下动量是一物理实体．反之，对位 置算符 q 而言，qFI = xFI ≠ aFI ,因此粒子的位置并没有一确定的值．它是不可预测的，仅能以实验测定之．然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被测后的粒子将再也不具动量 p0了．对于此情况，我们说当一粒子的动量确定时，它的位置并非一物理 实体．一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识．至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面： (1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的． (2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的(即具有确定的值)．因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值．但事实上并非如此，
量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ， 其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?； 而 'nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条 件是 本征值， 。
量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系
目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)
第一章量子力学基础和原子结构 §1-1量子力学建立的实验和理论背景 1. 黑体辐射问题和普朗克的量子假说 黑体辐射问题：黑体可以吸收全部外来辐射。黑体受热会辐射能量。若以Eν表示黑体辐射的能量，Eνdν表示频率在ν到v+d(范围内、单位时间、单位表面积上辐射的能量。以E(对(作图，得到能量分布曲线。从经典物理推出的公式无法解释黑体辐射的能量分布曲线：1)从粒子角度，由经典热力学得到维恩公式，只适用于高频范围；2)从波动角度，由经典电动力学和统计物理理论得到瑞利-金斯公式，只适用于低频范围。 普朗克的量子假说：普朗克首先提出一个经验公式，和实验结果一致。在寻求理论上的解释时，发现经典物理学是无法解决这个问题。要使新的公式成立，必须假设能量在发射和吸收的时候，不是连续不断，而是分成一份一份的。而经典物理认为一切自然的过程都是连续不断的。 = 1 \* GB3 ①假设黑体内的分子、原子以不同的频率做简谐振动，这种做简谐振动的分子、原子称为谐振子。 = 2 \* GB3 ②对于振动频率为(0的谐振子，能量具有最小单位(0，该谐振子的能量E只能是(0的整数倍，而不能是其它值，即 E=nε0n=1,2,3…(1-1-1) ③能量的最小单位ε0称为能量子，或量子，它和振动频率ν0有如下关系： ε0=hν0(1-1-2) 其中h为常数，大小为6.626×10-34J?s，称为普朗克常数， ④谐振子吸收或发射能量时，能量的变化为 ?E=|E1-E2|=|n1ε0-n2ε0|=|n1-n2|ε0(1-1-3) 即，能量的吸收和发射不是连续的，必须以量子的整数倍一份一份的进行。这种物理量的不连续变化称为量子化。
量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。
《大学物理》作业 No .8量子力学基础 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个答案正确。） 1. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系： [ C ] (A) v ∝λ (B) v 1 ∝λ (C) 2211c v -∝ λ (D) 22v c -∝λ 解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式 2 201 1c v m mv h p -= == λ 得2 20 1 1c v m h - =λ，即2211c v -∝λ 2. 不确定关系式 ≥???x p x 表示在x 方向上 [ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 [ D ] (A) 增大2 D 倍。 (B) 增大2D 倍。 (C) 增大D 倍。 (D) 不变。 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(23cos 1)(a x a a x a x ≤≤-= πψ 那么粒子在6 5a x =处出现的概率密度为 [ A ] a 21(A ) a 1 (B) a 21(C) a 1(D) 解：概率密度 )23(cos 1)(22 a x a x πψ=
将65a x =代入上式，得 a a a a x 21)6523(cos 1)(22=?=πψ 5. 波长 λ = 5000 ?的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量?λ=103-?，则利用不确定关系h p x x ≥???可得光子的x 坐标的不确定量至少为： [ C ] (A) 25cm （B ）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：由公式p = λh 知： △322105000 -?-=?-=h h p λλ 利用不确定关系h p x x ≥???，可得光子的x 坐标满足 91025?=?≥ ?x p h x ?=250cm 二、填空题 1. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比=αP :p p 1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。 解：由p = λ h 知，动量只与λ有关，所以1:1:αP =p p ； 由非相对论动能公式m p E 22 k =，且αp p p =，所以1:4:αP ==p m m E E α 2. 在B = 1.25×10 2 -T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗 意波长是 0.1 ? 。(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e = 1.6×10-19 C) 解：由牛顿第二定律= evB 2R mv 2得eBR mv p 2==，又由λ h p =得 1.0(m)10998.010 66.11025.1106.121063.62112 21934 ≈?=???????===-----eBR h p h λ? 3. 若令c m h e c = λ (称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普
初等量子力学的四块容 一、薛氏方程 C1：波函数与薛氏方程 1、付氏变换：（动量→坐标为正） /332 1()()(2)i p r r p e d p ψψπ+∞ ?-∞ = ? 2、δ函数的两个重要极限及一个积分公式 1()2i x x e d αδαπ∞ -∞ = ? （相当于物理中的波粒转换） 其推导过程： 000() 0()()()1 ()()2i x x f x f x x x dx f x dx d f x e αδαπ ∞ -∞ ∞ ∞ --∞ -∞ =-= ? ? ?两式比较得出。 2 4()lim i i x x e πααδ-=（试题1.5用到） 2 4 i i e d ξπ ξ∞ -∞ =? （好像与某个积分是一样的，只是有些变换） 3、证明技巧 等式一边含有V ，而一边没有。2 22V m ?-?+肯定是作为一个整体消去的。 4、波函数平方可积的要求 2 3(3/2) ,()s d r A r r r ψψ-+=?→∞? 全 （0s >） 可以在证明某些概率守恒的式子时（体积分→面积分 V S AdV A ds ??=???） ，可以得到一些式子的积分为0。 5、(,0) (,)x x t ψψ→ 先将(,0)x ψ展为能量本征态的线性组合（自由粒子时即可以通过付氏化为()p ψ），再 / (,)()iEt E n x t C x e ψψ-=∑。
C2：一维势场中的粒子 1、各种势类型 方势、δ势、谐振子、半壁无限谐振子（谐振子奇数解）、半壁无限方势、不对称方势阱。 2、() ()((),())n n n n n x C x C x x ψ??ψ=?=∑。*()()n n C x x dx ?ψ=?（注 意积分围） 22 11222 2 222 1122H C E C E H C E C E =+=+ 3、无限深势阱的解 )()0 n n x x a πψ=? 。222 2 2n n E ma π=（能量可通过22222P E m m -?==求得） 4、谐振子的解 22 12 ()(!)()n x n n x n e H x αψ α-=?其中α=。 5、递推关系 12()2()2()0n n n H x xH x nH x ----= 1()2()n n H x nH x -'= ()(1)()n n n x x ψψ-=-（所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足） C5：中心力场 1、径向波函数 ()()R r r r χ= 2 2(1)()[(())]()02l l l l r E V r r r χχμ+''?+--= 0r →时，若有20 lim ()0r r V r →=，则() l l R r r 。 2、无限深球方势阱 ○ 1S 态（0l =），其与无限深方势阱一样。 ○20l ≠时，令kr ρ= 则本征方程
量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ??--= 11 )0(>n (2) ) cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+=? (3) =?axdx e ax cos ) sin cos (22bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) =?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2(sin 22 22-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2 (cos 2cos 3222 -+=?) )ln(2222c ax x a a c c ax x ++++ (0>a ) (8)? = +dx c ax 2 )arcsin( 22 2x c a a c c ax x --+ + (a<0) ? 20 sin π xdx n 2 !!!)!1(π n n - (=n 正偶数) (9) = ? 2 cos π xdx n ! !! )!1(n n - (=n 正奇数) 2π (0>a )
(10)? ∞ =0 sin dx x ax 2π- (0=a n 正整数) (12) a dx e ax π210 2 = ? ∞- (13) 1210 22!)!12(2 ++∞ --= ? n n ax n a n dx e x π (14) 1 122!2 +∞ -+= ?n ax n a n dx e x (15) 2sin 0 22a dx x ax π?∞ = (16) ?∞ -+= 2 22)(2sin b a ab bxdx xe ax (0>a ) ?∞-+-=0 2 22 2 2)(cos b a b a bxdx xe ax (0>a )
1．波粒二象性 ： 一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足νh E =（1分），λh P =（1分），其中E 为能量，ν为 频率，P 为动量，λ为波长（1分）。 2、测不准原理 ： 微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/P x x η≥??，2 /P y y η≥??，2/P z z η≥??（2分），式中η（或h ）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1 分）。 3、定态波函数 ： 在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t ,r (ρψ可写成r ρ函数和t 函数的乘积，称为定态波函数（3分）。 4、算符 使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。 5、隧道效应 在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。 6、宇称 宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值 ＋1和－1 （1分）。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P ＝－1 )（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P ＝＋1) （1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。 7、Pauli 不相容原理 自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n 、l 、ml 、ms ，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。 8、全同性原理： 全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变（4分）。 9、输运过程： 扩散（1分）、热传导（1分）、导电（1分）、粘滞现象（1分）（系统内有宏观相对运动，动量从高速区域向低速区域的传递过程）统称为输运过程，这是一个不可逆过程（1分） 10、选择定则： 偶极跃迁中角量子数与磁量子数（1分）需满足的选择定则为1±=?l （2分）， 1 ,0±=?m （2分） 11、微扰理论 在量子力学中求近似解（1分）的一种方法，核心是先求解薛定谔方程（2分），再引入微小附加项来修正
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
《量子力学》考试大纲 一．绪论（3） 1．了解光的波粒二象性的主要实验事实； 2．掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 二．波函数和薛定谔方程（12） (1)理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念 。 (2)掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性． (3)理解态叠加原理以及任何波函数Ψ(x ，t)按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义． (4)了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系． (5)对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法． (6)关于一维定态问题要求如下： a ．掌握一维无限阱的求解方法及其物理讨论； b ．掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点： c ．了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释． 三．力学量用算符表达（17） (1)掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符． (2)掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式． (3)电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例，学生应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变量法． (4)掌握力学量平均值的计算方法．将体系的状态波函数Ψ(x)按算符F ?的本征函数展开是这些方法中常用的方法之一，学生应掌握这一方法计算力学量的可能值、概率和平均 值．理解在什么状态下力学量F ?具有确定值以及在什么条件下，两个力学量G F ??和同时具有确定值． (5)掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量． (6)掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、角动量、宇称等． 四．态和力学量的表象（10） (1)理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示；厄米算符与厄米矩阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵； (2)掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、本征矢的矩阵方法． (3)理解狄拉克符号及占有数表象 五．微扰理论（16）