§2.1.1平面 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1．掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理；2．会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系； 【重点】 1.与平面有关的三个公理； 【难点】 2.三个公理的理解和应用； 一、自主学习 （一）复习回顾 阅读课本P40的“思考？”内容； （二）导学提纲 阅读课本P40-43，并完成下列问题： 1.生活里的“平面”和几何里的“平面”的概念一样吗？ 2.平面怎么画？怎么表示？ 3.公理1： 公理2： 公理3： 4.你能举出生活中应用三个公理的例子吗？ 二、基础过关 例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
变式1：用符号表示下列语句 （1） 点A 在平面α内，点B 在平面α外 （2）直线l 经过平面α外的一点M 例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？ 变式2：判断正误 1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（ ） 2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（ ） 方法、规律总结： 三、拓展研究 例3. 画出同时满足下列条件的图形： l =βα ，α?AB ，β?CD ，AB ∥l ，CD ∥l 变式训练： 如右图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线:
（1） AB 没有被平面α遮挡； （2） 画出AB 被平面α遮挡； 方法、规律总结 四、课堂小结 1. 知识 2. 数学思想、方法 3. 能力 五、课后巩固 （一）完成课本P51第3题： （二）完成以下试题 1．空间中ABCDE 五点中，ABCD 在同一平面内，BCDE 在同一平面内，那么这五点（ ） A 共面 B 不一定共面 C 不共面 D 以上都不对 2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线 3. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 4．直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ） Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 5．给出下列命题： 和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内；
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则
????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 （人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+ 单元检测卷汇总 课后提升作业一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (45分钟70分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.下列说法中正确的是( ) A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错. 2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( ) A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点 【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点. 3.下列说法错误的是( ) A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误. 4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( ) A.棱柱 B.棱台 C.由一个棱柱与一个棱锥构成 D.不能确定 【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱. 5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断. 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 【选题明细表】 1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B ) (A)a∈α,A?a?A?α (B)a?α,A∈a?A∈α (C)a∈α,A∈a?A?α (D)a∈α,A∈a?A∈α 解析:直线在平面内用“?”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B. 2.给出下列说法:(设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点) ①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l?α; ②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB; ③若l?α,A∈l,则A?α,则正确的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:③中点A可以是直线与平面的交点,所以错误.①,②正确.故选B. 3.下列图形中不一定是平面图形的是( D ) (A)三角形(B)平行四边形 (C)梯形 (D)四边相等的四边形 解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形, 故选D. 4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C ) (A)5部分(B)6部分(C)7部分(D)8部分 解析:如图所示,三个平面α,β,γ两两相交, 交线分别是a,b,c且a∥b∥c, 观察图形, 得α,β,γ把空间分成7部分. 故选C. 5.(2018·昆明一中高一测试)如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D ) (A)点A (B)点B (C)点C但不过点D (D)点C和点D 解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ, 所以γ与β的交线必过点C和D. 6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. (1)A?α,a?α; (2)α∩β=a,P?α且P?β; (3)a?α,a∩α=A ; (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面. 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B 7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ． 【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全 册）同步练习汇总 第1章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 A级基础巩固 1．下列图中属于棱柱的有() A．2个B．3个 C．4个D．5个 解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱． 答案：C 2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线() A．20条B．15条 C．12条D．10条 解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)． 答案：D 3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为() 解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．答案：A 4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)． ①所有的棱都相等； ②至少有两个面的形状完全相同； ③相邻两个面的交线叫作侧棱． 解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱． 答案：② 5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对． 解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对． 答案：4 1 6．下列说法正确的是________(填序号)． ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥； ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； ④正四面体是正三棱锥． 解析：根据定义判定． 答案：④ 7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个． 解析：从长方体中寻找四棱锥模型． 答案：4 8．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各 课时作业44直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题 1．已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为(D) A．平行B．相交 C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内 解析:依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内． 2．已知α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(D) A．垂直B．相交 C．异面D．平行 解析:对于选项A,当m⊥α时,因为n?α,所以m⊥n,可能； 对于选项B,当A∈n时,m∩n＝A,可能； 对于选项C,若A?n,由异面直线的定义知m,n异面,可能； 对于选项D,若m∥n,因为m?α,n?α,所以m∥α,这与m∩α＝A矛盾,不可能平行,故选D. 3．(四川乐山四校联考)平面α∥平面β的一个充分条件是(D) A．存在一条直线a,a∥α,a∥β B．存在一条直线a,a?α,a∥β C．存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β D．存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:存在一条直线a,a∥α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故A错；存在一条直线a,a?α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故B错；存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故C错；存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,据此可得平面α∥平面β,该条件是平面α∥平面β的一个充分条件．故选D. 高三数学《平面解析几何》 单元练习七 （考试时间120分 分值160分） 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 3．已知双曲线x 24－y 2 12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则 p 的值为________． 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值为______． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________． 6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________． 7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 8．已知点A 、B 是双曲线 x 2－ y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________． 9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 2 3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0) 相切，则r ＝________. 10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2 b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ?＝________. 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AF FB =，,AF FB BA BC =?＝48，则抛物线的方程为______________． 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD '几何特 征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影） 4 空间几何体的三视图 一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= 二、空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 3 34R V π= 三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ?α，b ?α，且a ∥b ?a ∥α。 (1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行． (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想． (3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理. 【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心． 求证：PQ ∥平面BCC 1B 1. 证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE 1 2 A 1 B 1.同理QF 1 2 AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF . ∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF . 又PQ ?平面BCC 1B 1，EF ?平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1. 2 22r rl S ππ+= 新人教A版高中数学必修二同步精品练习 内容提示： 第一部分立体几何初步 (2) 第一章点、线、平面的位置关系 (2) 第二章直线、平面平行的判定及其性质 (8) 第三章直线、平面垂直的判定及其性质 (16) 第四章空间几何体专家套卷 (27) 第五章点、直线、平面之间的位置关系专家套卷 (40) 第六章点、直线、平面之间的位置关系专家套卷 (57) 第二部分解析几何初步 (71) 第一章直线与方程 (71) 第二章直线的方程 (78) 第三章直线的交点坐标与距离公式 (86) 第一部分立体几何初步 第一章点、线、平面的位置关系 一、选择题【共10道小题】 1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( ) ①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面 A.1 B.2 C.3 D.4 参考答案与解析:思路解析:逐个对各选项分析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,①对;两条平行直线是可以确定一个平面的,三条平行直线有可能确定三个平面,②错;三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上,③错;设这四条直线分别为l1、l2、l3、l4,取其中两条相交直线l1和l2,则它们可确定一个平面α,取l3,设其与l1、l2的交点分别为A、B,则由题意知这两点不同,且A∈l1,B∈l2,所以有A、B∈α,从而l3∈α;同理可证明l4∈α.所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面,④对. 答案:B 主要考察知识点:空间直线和平面 2、如图2-1-17,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 图2-1-17 参考答案与解析:思路解析:求EF与SA所成的角,可把SA平移,使其角的顶点在EF上,为此 课时分层作业(七)平面 (建议用时：45分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是() ①A∈a，a?α?Aα；②A∈a，a∈α?A∈α；③A a，a?α?Aα；④A∈a，a?α?A?α. A．0 B．1C．2D．3 A[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a?α，但A∈α；④不正确，“A?α”表述错误．] 2．下列命题中正确命题的个数是() ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形； ③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形． A．1个B．2个 C．3个D．4个 B[根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.] 3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面() A．相交B．重合 C．相交或重合D．以上都不对 C[若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．] 4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是() A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．A，B，C，D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行 B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为() A．0 B．1 C．0或1 D．1或3 D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.] 二、填空题 6．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l. ∈[因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条. 5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．] 8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条． 1或2或3[当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．] 三、解答题 9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示． 求证：直线AD，BD，CD共面． 高中数学-立体几何典型例题一 例1简述下列问题的结论，并画图说明： (1) 直线a 平面 ，直线b a A ，则b 和 的位置关系如何? ，直线b//a ，则直线b 和 的位置关系如何? (1) 由图(1)可知：b 或b A ； (2) 由图(2)可知：b//或b . 典型例题二 例2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 是PA 的中点，求证： PC//平面BDQ . 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以 了. 证明：如图所示，连结 AC ，交BD 于点0 , ???四边形 ABCD 是平行四边形 ??? AO CO ，连结0Q ，则0Q 在平面BDQ 内， APC 的中位线， ? PC // 0Q . ??? PC 在平面BDQ 外, ? PC//平面 BDQ . 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样 找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知 直线和交线平行，那么就能够马上得到结论?这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行. 典型例题三 (2)直线a 分析： 且 OQ 说明: 例3经过两条异面直线a, b之外的一点P，可以作几个平面都与a , b平行？并证明你的结论. 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论. 解：（1）当P点所在位置使得a , P （或b , P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P点再作不出与a , b都平行的平面； （2）当P点所在位置a , P （或b , P）本身确定的平面与b （或a）不平行时，可过点P作a//a , b 〃b.由于a , b异面，则a , b不重合且相交于P .由于a b P , a , b确定的平面，则由线面平行判定定理知：a// , b〃?可作一个平面都与a , b平行. 故应作“ 0个或1个”平面. 说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论?可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论. 典型例题四 例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另 已知：直线a//b, a//平面，b . 求证：b// . 证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面 . 设c, ??? a// ??? a//c. 又??? a//b, ? b//c. ??? b , c , ? b// . 说明：根据判定定理，只要在内找一条直线c//b，根据条件a// ，为了利用直线和平面平行的性 质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化. 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的. 典型例题五 例5已知四面体S ABC的所有棱长均为a .求: （1 ）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长; 2018年新人教A版高中数学必修二 全册同步检测 目录 第1章1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征 第1章1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 第1章1.2.2空间几何体的三视图 第1章1.2.3空间几何体的直观图 第1章1.3-1.3.2球的体积和表面积 第1章1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 第1章章末复习课 第1章评估验收卷(一) 第2章2.1.1平面 第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 第2章2.1.3平面与平面之间的位置关系 第2章2.2.1-2.2.2平面与平面平行的判定 第2章2.2.3直线与平面平行的性质 第2章2.2.4平面与平面平行的性质 第2章2.3.1直线与平面垂直的判定 第2章2.3.2平面与平面垂直的判定 第2章2.3.3平面与平面垂直的性质 第2章章末复习课 第2章评估验收卷(二) 第3章3.1.1倾斜角与斜率 第3章3.1.2两条直线平行与垂直的判定 第3章3.2.1直线的点斜式方程 第3章3.2.2-3.2.3直线的一般式方程 第3章3.3.2第1课时两直线的交点坐标、两点间的距离 第3章3.3.2第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）第3章3.3.3-3.3.4两条平行直线间的距离 第3章章末复习课 第3章评估验收卷(三) 第4章4.1.1圆的标准方程 第4章4.1.2圆的一般方程 第4章4.2.1直线与圆的位置关系 第4章4.2.2-4.4.2.3直线与圆的方程的应用 第4章4.3.1-4.3.2空间两点间的距离公式 第4章章末复习课 第4章评估验收卷(四) 模块综合评价 高中数学:直线、平面平行的判定与性质练习 (时间:30分钟) 1.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( C ) (A)存在一条直线b,a∥b且b?α (B)存在一条直线b,a⊥b且b⊥α (C)存在一个平面β,a?β且α∥β (D)存在一个平面β,a∥β且α∥β 解析:在A,B,D中,均有可能a?α,错误;在C中,两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,故C正确. 2.(全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A ) 解析:如图,O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A. 3.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( C ) (A)a∥b,b?α,则a∥α (B)a,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β (C)a⊥α,b∥α,则a⊥b (D)当a?α,且b?α时,若b∥α,则a∥b 解析:由a∥b,b?α,也可能a?α,A错;B中的直线a,b不一定相交,平面α,β也可能相交,B 错;C正确;D中的直线a,b也可能异面,D错.故选C. 4.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( D ) (A)不存在(B)只能作出1个 (C)能作出无数个(D)以上都有可能 解析:设直线l外两点确定直线AB,①当AB与l相交时,满足题意的平面不存在;②当AB与l 异面时,满足题意的平面只能作一个;③当AB∥l时,满足题意的平面有无数多个. 5.(咸宁模拟)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 中,点D为AC的中点,点D 1 是A 1 C 1 上的一点,若DC 1 ∥平 面AB 1D 1 ,则等于( B ) (A)(B)1 (C)2 (D)3 解析:因为DC 1∥平面AB 1 D 1 ,DC 1 ?平面ACC 1 A 1 ,平面ACC 1 A 1 ∩平面AB 1 D 1 =AD 1 ,所以DC 1 ∥AD 1 ,又AD ∥C 1D 1 ,所以四边形ADC 1 D 1 是平行四边形,所以AD=C 1 D 1 .又D为AC的中点,所以D 1 为A 1 C 1 的中点, 所以=1. 6.(丽江模拟)若正n边形的两条对角线分别与平面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,那么n的取值可能是( A ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 解析:因为正五边形的对角线都相交,所以正五边形所在的平面一定与平面α平行. 7.(益阳模拟)设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若a?α,b?α,a,b是异面直线,那么b∥α; ②若a∥α且b∥α,则a∥b; ③若a?α,b∥α,a,b共面,那么a∥b; ④若α∥β,a?α,则a∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是. 解析:①中的直线b与平面α也可能相交,故不正确;②中的直线a,b可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平行的性质可得④正确. 答案:③④ 平面解析几何（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 212x x y y K AB --= 。 (2) .直线的方程 a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有 且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2200||B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中?? ? ??--22E D ，为圆心F E D 42 122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一 个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是???==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总
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