第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．
思路点拨
1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．
2．求△ABC的面积，一般用割补法．
3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．
满分解答
（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．
将点A(2, 4)代入
k
y
x
=，得k＝8．
（2）将点B(n, 2)，代入
8
y
x
=，得n＝4．
所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4, 2)，得b ＝－2． 所以点C 的坐标为(0,－2)．
由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以AB ＝BC ＝ABC ＝90°． 图2
所以S △ABC ＝
12BA BC ?＝1
2
?＝8．
（3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD ＝AC ＝． 由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ． 所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：
①如图3，当
CE AD
CA AC
=
时，CE ＝AD ＝ 此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．
②如图4，当
CE AC
CA AD ==
CE ＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10, 8)．
图3 图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图5，作△ABC 的外接矩形HCNM ，MN //y 轴．
由S 矩形HCNM ＝24，S △AHC ＝6，S △AMB ＝2，S △BCN ＝8，得S △ABC ＝8．
图5
例2 2014年武汉市中考第24题
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在
△ABC的中位线EF上．
思路点拨
1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．
3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．
满分解答
（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：
①如果BP BA
BQ BC
=，那么
510
848
t
t
=
-
．解得t＝1．
②如果BP BC
BQ BA
=，那么
58
8410
t
t
=
-
．解得
32
41
t=．
图3 图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D．
在Rt△BPD中，BP＝5t，cos B＝4
5
，所以BD＝BP cos B＝4t，PD＝3t．
当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．
所以AC CD
QC PD
=，即
684
43
t
t t
-
=．解得
7
8
t=．
图5 图6
（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．
又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．
因此F是BC的中点，E是AB的中点．
所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．
考点伸展
本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．
如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是BP BC
BQ BA
=，
32
41
t=．
如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是BP BA
BQ BC
=，t＝1．
如图9，当⊙H与AC相切时，直径PQ
半径等于FC＝48．
解得
128
73
t=，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．
图7 图8 图9 图10 例3 2012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线211(1)444
b
y x b x =
-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,
4
b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．
所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115
2428
b x b x bx ??+??=＝2b ．
解得165x =
．所以点P 的坐标为(1616,55
)．
图2 图3 （3）由2111
(1)(1)()4444
b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．
①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA
=，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14
b
b =-
．解得8b =±Q 为
(1,2．
②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。 因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA =时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此
BO QA
CO OA =
，即1
4
b QA =．解得4QA =．此时Q (1,4)．
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．
如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？
如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．
例4 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：
1
(2)()
y x x m
m
=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与
y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C 在x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与BF 保持平行，但是∠BFC 在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF 保持45°，存在∠BFC ＝∠BCE 的时刻．
思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∠CBF ＝∠EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程．
满分解答
（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-
+-，得1
24(2)m m =-?-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111
(2)(4)2442
y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．
所以S △BCE ＝11
62622
BC OE ?=??=．
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．
设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO
CP CO
=
． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2
．
（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．
由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC
CB BF
=
，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1
(2)()22x x m m x m
+-=+．
解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．
由'CO BF CE BF =
4m BF +=
．所以BF =． 由2
BC CE BF =?
，得2(2)m +=
整理，得0＝16．此方程无解．
图2 图3 图4 ②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以BE BC
BC BF
=，即2
BC BE BF
=?时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1
(2)()2
x x m x
m
+-=+．
解得x＝2m．所以F′(2,0)
m．所以BF′＝2m＋2，2)
BF m
=+．
由2
BC BE BF
=?，得2
(2)2)
m m
+=+．解得2
m=±
综合①、②，符合题意的m为2+
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
例5 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．
思路点拨
1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，1
8
-）
． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62
x x S x x -+-?3
=
=+-，由此得到
1223s x x +=+．由于213y y -=，所以222122111111
38484y y x x x x -=--+=．整理，得
21211
1()()38
4x x x x ??-+-=????．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得12
6,
8.x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x
轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．
在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．
由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t
PQD QP t
∠==-，所以345t t =-．解得207t =．
图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例6 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△P AM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△P AM 与△OAC 相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．
满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为
)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2
1
-=a ．所以抛物线的解析式为
22
5
21)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．
（2）设点P 的坐标为))4)(1(2
1
,(---x x x ．
①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2
1
---
=x x PM ，x AM -=4． 如果
2==CO AO
PM AM ，那么24)
4)(1(21
=----x x x ．解得5=x 不合题意．
如果
21==CO
AO
PM AM ，那么2
14)
4)(1(21
=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2
1
--=
x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)
4)(1(21
=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得2=x 不合题意．
③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2
1
--=x x PM ，x AM -=4．
解方程24)
4)(1(21
=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为22
1
-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(< 5 21,(2-+- m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22 12 +-=． 因此4)22 1(212 ?+-= ?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）． 图5 图6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积． 设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(< 42)4(21 )2(214)22(21++-=--+-?+= n m m n n m n S ． 由于22 5212-+-=m m n ，所以m m S 42 +-=． 1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2015年重庆市中考第25题 如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF． （1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB、BD的长； （2）如图1，求证：HF＝EF． （3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△F AE与△FDH 保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状． 思路点拨 1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边． 2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了． 满分解答 （1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝AB＝ 在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH DH＝1，AD＝2． 在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝BD＝ （2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°， ∠DAH＝30°． 在Rt△ADE中，AE＝1 2 AD．在Rt△ADH中，DH＝ 1 2 AD．所以AE＝DH． 因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以F A＝FD，∠F AD＝∠FDA．所以∠F AE＝∠FDH．所以△F AE≌△FDH．所以EF＝HF． 图3 图4 图5 （3）如图5，作FM ⊥AB 于M ，联结CM ． 由FM //DA ，F 是DB 的中点，得M 是AB 的中点． 因此FM ＝ 1 2AD ，△ACM 是等边三角形． 又因为AE ＝1 2 AD ，所以FM ＝EA ． 又因为CM ＝CA ，∠CMF ＝∠CAE ＝30°，所以△CMF ≌△CAE ． 所以∠MCF ＝∠ACE ，CF ＝CE ． 所以∠ECF ＝∠ACM ＝60°．所以△CEF 是等边三角形． 考点伸展 我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉． 如图6，如图7，当点F 落在BC 边上时，点H 与点C 重合． 图6 图7 如图8，图9，点E 落在BC 边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC ． 图8 图9 图10 图11 例2 2014年长沙市中考第26题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0) 和 1 ) 16 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值； （2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交； （3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在三种情况． 思路点拨 1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值． 2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的． 满分解答 （1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0． 将 1 ) 16 代入y＝ax2，得2 1 16 a =．解得 1 4 a=（舍去了负值）． 2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G． （1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值； （2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由； （3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长． 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 一、选择题 1．（2017四川省内江市，第12题，3分）如图，过点A （2，0）作直线l ：3 3 y x 的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ） A ．20153( ) B ．20163()2 C ．20173 ()2 D ．20183() 【答案】B ． 【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA n =3()2n OA =2×3 ()2 n ”，依此规律即可解决问题． 点睛：本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OA n =3)2n OA =2×3 2 n 是解题的关键． 考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题． 2．（2017四川省绵阳市，第12题，3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律 摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3 ，…，以此类推，则 19 3211111a a a a ++++ 的值为（ ） A ． 2120 B ．84 61 C ．840589 D ．760421 【答案】C ． 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【解析】a 1=3=1×3，a 2=8=2×4，a 3=15=3×5，a 4=24=4×6，…，a n =n （n +2）； ∴ 193211111a a a a ++++ =11111 (132435461921) +++++????? = 1111111111(1...)232435461921-+-+-+-++-=1111(1)222021+--= 840 589 ，故选C ． 点睛：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 考点：规律型：图形的变化类；综合题． 3．（2017四川省达州市，第9题，3分）如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ） A ．2017π B ．2034π C ．3024π D ．3026π 【答案】D ． 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【解析】∵AB =4，BC =3，∴AC =BD =5，转动一次A 的路线长是： 904 180 π? =2π，转动第二次的路线长是：905180π? =52π，转动第三次的路线长是：903180π? =3 2 π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四 目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题 例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题 中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值． 中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 一、选择题 1．（2017江苏省南通市，第9题，3分）已知∠AOB，作图． 步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q； 步骤2：过点M作PQ的垂线交PQ于点C； 步骤3：画射线OC． 则下列判断：①PC CQ =；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（） A．1B．2C．3D．4 【答案】C． 【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质 可得出∠P AO=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=1 2 ∠POQ=∠BOQ，进而可得出PC CQ =，OC平 分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论． 点睛：本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 考点：作图—复杂作图；圆周角定理． 2．（2017河北，第16题，2分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六 边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（） A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5 点睛：本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度． 考点：正多边形和圆；旋转的性质；操作型；综合题． 3．（2017湖北省武汉市，第10题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（） 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 中考数学压轴题汇总（一） 17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标； （2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2＝BP·BE ，能否推出AP ⊥BE ？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由. [解] （1） C （5，-4）； （2）能。连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°. 在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即AB BE BP AB , 又 ∠ABE=∠PBA, ∴△ABE ∽△PBA . ∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP ⊥BE . （3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ； ②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt △EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ ⊥EB 之垂足； ③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR ⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： ① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意； ② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90° 一、选择题 1．（2017滨州，第12题，3分）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧）， 并分别与直线y=x和双曲线 1 y x =相交于点A、B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（） A．23+3或23﹣3B．2 +1或2﹣1C．23﹣3D．2﹣1【答案】A． 【分析】根据题意表示出AC，BC的长，进而得出等式求出m的值，进而得出答案． 点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确表示出各线段长是解题关键． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 2．（2017广西桂林市，第11题，3分）一次函数y=﹣x+1（0≤x≤10）与反比例函数 1 y x =（﹣10≤x＜0） 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x1，y1），（x2，y2）是图象上两个不同的点，若y1=y2，则x1+x2的取值范围是（） A ．﹣8910≤x ≤1 B ．﹣8910≤x ≤899 C ．﹣899≤x ≤8910 D ．1≤x ≤8910 【答案】B ． 【分析】由x 的取值范围结合y 1=y 2可求出y 的取值范围，根据y 关于x 的关系式可得出x 关于y 的关系式，利用做差法求出x =1﹣y +1y 再﹣9≤y ≤﹣110 中的单调性，依此单调性即可求出x 1+x 2的取值范围． 【解析】当x =﹣10时，1y x ==﹣110 ； 当x =10时，y =﹣x +1=﹣9，∴﹣9≤y 1=y 2≤﹣ 110． 设x 1＜x 2，则y 2=﹣x 2+1、y 1=11x ，∴x 2=1﹣y 2，x 1=11y ，∴x 1+x 2=1﹣y 2+1 1y ． 设x =1﹣y +1y （﹣9≤y ≤﹣110），﹣9≤y m ＜y n ≤﹣110 ，则x n ﹣x m =y m ﹣y n +11n m y y -=（y m ﹣y n ）（1+1m n y y ）＜0，∴x =1﹣y + 1y 中x 值随y 值的增大而减小，∴1﹣（﹣110）﹣10=﹣8910≤x ≤1﹣（﹣9）﹣19 =899 ． 故选B ． 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，找出x =1﹣y +1y 在﹣9≤y ≤﹣110 中的单调性是解题的关键． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．学科#网 3．（2017新疆乌鲁木齐市，第10题，4分）如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线3y x = 上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ） 第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1因动点产生的相似三角形问题 例1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例2 2014 年益阳市中考第 21 题 例3 2015 年湘西州中考第 26 题 例4 2015 年张家界市中考第 25 题 例5 2016 年常德市中考第 26 题 例6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题 例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1．2因动点产生的等腰三角形问题 例9 2014 年长沙市中考第 26 题 例10 2014 年张家界市第 25 题 例11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例12 2014 年娄底市中考第 27 题 例13 2015 年怀化市中考第 22 题 例14 2015 年长沙市中考第 26 题 例15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题 §1．3因动点产生的直角三角形问题 例19 2015 年益阳市中考第 21 题 例20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例21 2016 年郴州市中考第 26 题 例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4因动点产生的平行四边形问题 例24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例25 2014 年益阳市中考第 20 题 例26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例27 2015 年郴州市中考第 25 题 例28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5因动点产生的面积问题 例32 2014 年常德市中考第 25 题 例33 2014 年永州市中考第 25 题 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图① 2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y= 1 100 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需 支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150 1 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 2 x 元 的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额－成本－附加费）． （1）当x=1000时，y =元/件，w 内=元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线 2(0) yaxbxca 的顶点坐标是 2 b4acb (,) 2a4a ． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y=x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段A B 、CD 交于点M 、N. ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； 21 8 ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分 成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. y ADP O －1 1 x N M BC 图15 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则A H=，AC=，△ABC 的面积S △ABC=； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ， 设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD=0） 中考数学压轴题解题技巧及训练完整版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学压轴题解题技巧 （完整版） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠. (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：200622．(10分)如图10-1 ⊙M 交 x 轴于 A B 、两点，交y 轴于 C D 、两点，且C A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分 ) 如图10-2，过点 D 作⊙M 的切线，交x 轴于点的圆周上运动时， PF OF 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB OD OB =，BD 交OC 于点E ． （1）求BEC ∠的度数． （2）求点E 的坐标． （3）求过B O D ，， 5== ② 1== ；③ ==等运算都是分母有理化） 200723．如图7x 相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1大面积是多少？ （3）如图8，线段AB M ，分别求出 图6 OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM += 是否成立． （4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明：222 111 a +=． 2+bx 点， 3 1 ． F ，使以点A 、 C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 200922．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 200923．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 201022．（本题9分）如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） 图7 图8 图9 中考数学压轴题解题技 巧超详细 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 2012年中考数学压轴题解题技巧解说 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出 发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG 最长 ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值. 解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解得a=-1 2 ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=-1 2 x2+4x …………………3分 （2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE AP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 ∴PE=1 2 AP= 1 2 t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+1 2 t，8-t）. 2015年中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题． 1. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30， D ， E ， F 分别是AC ，AB ， B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C -CA 于 点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值． 2. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 3. （的B 备用图 F E D C B A2020年中考数学挑战压轴题(含答案)
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