节理岩体Hoek-Brown经验强度准则可靠度分析
The reliability analysis of the Hoek Brown empirical
stren gth criterion for rockmass
严春风 徐 健 何翠香
(重庆市建筑科学研究院,重庆,400015) (重庆建筑大学岩土工程研究所,重庆,400045)
文 摘 基于二滩水电站和溪洛渡的工程岩体实例,提出了岩体Hoek Brown经验强度准则的可靠度计算方法,同时讨论了准则可靠度对m,s等强度参数的变异系数的敏感性以及在三维岩体Hoek Brown经验强度准则中第二主应力对可靠度的影响程度。通过分析指出,强度参数的变异性是准则可靠度的决定性因素之一,因此,岩体工程的详细勘察和试验以及对参数的变异性进行统计分析,对于工程设计来说是具有重大意义的。
关键词 节理岩体,强度准则,可靠度,敏感度,参数分析
中图法分类号 TU452
作者简介 严春风,男,1968年生,1998年12月毕业于重庆建筑大学岩土工程专业,获博士学位,现为重庆市建筑科学研究院院长助理。Yan Chunfeng Xu Jian
(Research Institute of Building and Construction,C hongqi ng,400015)
He Cuixiang
(Institute of Geotechnical Engineeri ng,Chongqing Jianzhu University,Chongqing,400045)
Abstract On the basis of the Xiluodu Project and the Ertan Project,the method for calculati ng the reliability of the Hoek Brown empirical strength criterio n and the sensibility of the reliability of the criterion to the variation coefficients of parameters(such as m,s)are presented in this paper.Besides,the influence of the middle principal stress on the reliability for the3-D Hoek Brown empirical strength criterion i s analyzed and discu ssed.Finally,the conclusio n is that the variability of the strength parameters is one of the deci sive factors affecting the reliability of the criteri-on.From this paper,it is known that the detailed survey and the experiment as well as the statistic analysi s are important to the technical design. Key words jointed rock,empirical strength criterion,reliability,stability sensibility,parameter analysis
1 前 言
在岩体工程的设计研究中,目前判断岩体是否破坏常用的方法是,首先计算岩体在一定荷载作用下的应力状态,然后依据强度准则判断岩体是否失效或破坏。由于强度准则是判断岩体破坏与否的标准,因此它在工程设计、施工和研究计算中有着重要的作用。然而,岩体的物理力学参数具有很大的变异性,当岩体含有节理时更是如此。因此人们往往很难根据实验精确确定大体积岩体的强度参数。通常的做法是将实验室测得的岩石块体的强度经一定处理后作为岩体强度参数的计算值。这样,岩体参数不仅具有很大的人为随意性,而且往往不符合工程现场情况,相当多的岩体工程在其岩体参数取值很低时仍会发生破坏。
由以往的工程经验可知,对于岩体参数的取值范围和随机性人们是可以描述的。如果我们考虑到岩体强度参数的变异性,将强度准则概率化,用失效概率作为判定岩体破坏的标准,既可避免人为随意性,又可提高判断岩体稳定性的科学性。岩体工程的可靠度是指在规定的工程条件下和规定的时间内岩体保持稳定的概率,而岩体的稳定通常是由岩体的强度准则来判定的。因此对岩体和工程中常用的强度准则的可靠度分析及各参数随机性的敏感度分析具有十分重要的工程意义。
Hoek曾提出了适合岩体工程问题的Hoek-Br own 经验强度准则[1～3]。该准则由于考虑了低应力区和拉应力区及σ3对强度的影响而得到了广泛应用。由于利用试验方法可估算出岩体的强度参数m,s,σc的统计特征,这使得Hoek-Brown的岩体经验准则的可靠度问题的研究成为可能。本文将从二维及三维两个方面就岩体工程常用的Hoek-Brown经验强度准则进行可靠度和参数敏感度分析,并以实际工程来验证其正确性。
2 可靠度计算方法
假定x i为一组相关且非正态的随机变量,通过线性变换,可得一组和x i相对应的标准正态分布随机变量u i,其变换表达式为
{u i}=[T]{x i}+{B i}(1)式中 [T],{B i}分别为转换矩阵和常系数向量。
到稿日期550
第21卷 第5期岩 土 工 程 学 报Vol.21 No.5 1999年 9月Chinese Journal of Geotechn ical Engineering Sept., 1999
于是相应地有逆变换形式如下:
{u i}=[T]-1{y i}+{B i}(2)变换后的标准正态分布随机变量{u i}和原随机变量{x i}对于极限状态函数有
g(x i)=g(u i)(3) 由一次二阶矩法可靠度计算方法,各随机变量为基本坐标的极限状态面上的所有点均应服从
g(x i)=g(u i)=0(4)则极限状态面上距离原点最近的点(也即验算点{U＊})的迭代格式为
{u i+1}={u i}T{αi}+
G(u i)
‖G(u i)‖
{αi}(5)
式中G(u i)=
G(u i)
u1
G(u i)
u n
(6)
αi为极限状态函数中各随机变量的梯度向量,其表达式为
{α}=-G(u)
‖G(u)‖
(7) 当验算点值{u i}＊确定后,可靠度值β的计算值可以确定为
β=±{u}＊T{u＊}(8)当g(x)>0时,可靠度指标β为正,反之为负。失效概率可由下式计算:
P t=1-Υ(β)(9) 3 二维应力条件下Hoek Brown经验强度准则的可靠度分析
Hoek教授提出的Hoek Brown经验强度准则的二维受力条件下的表达式为[1,3]
σ1=mσ3σc+sσ2c+σ3(10) 假定m,s,σc为随机变量,由m,s,σc,σ3,σ1等随机变量组成的极限状态方程可写为
g(x1,x2,x3)=x1+x2-x3(11)式中x1=σ3(12)
x2=mσ3σc+sσ2c(13)
x3=σ1(14)随机变量x1,x2,x3的均值和方差可近似写为
x1=σ3(15)
Var(x1)=Var(σ3)(16)
(17)
x3=σ1(18)
Var(x3)=Var(σ1)(19) 其可靠度和破坏概率同Mohr Coulomb强度准则的可靠度和失效率计算过程,即:首先将随机变量独立化和标准正态化,然后通过迭代式(5)求解验算点,再利用式(8)和式(9)计算Hoek Brown经验强度准则的可靠度指标和失效概率。
4 三维应力条件下Hoek Brown经验强度准则的可靠度分析
4.1 Hoek Bro wn强度准则的应力空间描述
若将3个主应力按应力数值递降的顺序表示为{σ1,σ2,σ3},则有[4]
{σ1,σ2,σ3}T=2
3
J2
cos(θσ+π
6
)
sinθσ
-cos(θσ-
π
6
)
+1
3
I1
I2
I3
(20)式中 应力第一不变量为
I1=σ1+σ2+σ3(21)应力偏量第二不变量为
J2=
1
6[(σ1-σ2)
2+(σ1-σ3)2+(σ2-σ3)2]
(22)洛德角为
θσ=arctan1
3
(
2σ2-σ1-σ3
σ1-σ3
)
-
π
6
≤θσ≤
π
6
(23)则Heok Brown经验强度准则的空间屈服函数形式可写为
F=-
4J2cos2θσ
σc
+1
3
mI1-sσ0-
m[cosθσ+
1
3
sinθσ]J2=0(24)式中 σ0为平均应力。
由于线性函数均值解析解的计算方法比较麻烦,这里用Talyer展开近似求解均值。其可靠度和破坏概率的计算可首先将随机变量独立化和标准正态化。
当令第一应力不变量I1为一常数时,Hoek Br own 准则在π平面上洛德应力角θσ和第二偏应力不变量的方根J2的关系如图1所示。当令洛德应力角θσ为一常数时,Hoek Brown准则以第一应力不变量I1和第二偏应力不变量的方根为坐标轴的子午面,如图2。
551
第5期严春风等.节理岩体Hoek Brown经验强度准则可靠度分析
图1 Hoek Brown 准则π平面Fig .1 πplane of Hoek Brown
criterion
图2 子午平面上H B 曲线形状Fig .2 Shape of H B curve on meridian plane
4.2 Hoek Bro wn 强度准则的可靠度计算
很明显,屈服函数中,J 2,I 1,m ,s ,θσ和σc 均为随机变量,若令:
x 1=4J 2cos 2θσ/σc (25)x 2=mI 1/3(26)
x 3=m (cos θσ+sin θσ/3)J 2(27)x 4=s σ0
(28)则极限状态方程式可写为g (x 1,x 2,x 3,x 4)=x 4+x 2-x 1-x 3
(29)
将极限状态方程式(29)据Talyer 级数展开,则随
机变量x 1,x 2,x 3和x 4的均值求解经典解析解相当困难,利用近似法可将它们的均值近似写为
x 1=4 J 2cos 2
θσ/σc (30) x 2= m I 1/3
(31) x 3= m (cos σσ+sin θσ/3)J 2(32) x 4= s σ0
(33)
随机变量的方差近似为Var (x 1)=[4cos 2θσσc ]2Var (J 2)+ J 2cos θσsin θσ
σc
·Var (θσ
)+(8 J 2cos 2θσ
)2 σ4
c
Var (σc )(34)
Var (x 2)=19 I 21Var (m )+19 m 2
Var (I 1)
(35)
Var (x 3)= J 2cos θσ+13
sin θσ
)2
Var (m )+ m 2(cos θσ+13
sin θσ)
24 J 2Var (J 2)+
m 2 J 2(13
cos θσ-sin θσ)2
Var (θσ
)(36)Var (x 4)= s 2Var (σ0)+ σ2
0·Var (s )(37)应力第一不变量I 1、应力偏量第二不变量J 2和洛德角θσ的均值和方差分别为
I 1= σ1+ σ2+ σ3
(38) J 2=16[( σ1- σ2)2+( σ1- σ3)2+( σ2- σ3)2
](39)Var (I 1)=Var (σ1)+Var (σ2)+Var (σ3)
(40)
Var (J 2)=19
(2σ1-σ2-σ3)2
Var (σ1)+1
9(2σ2-σ1-σ3)2Var (σ2)+19
(2σ3-σ1-σ2)2
Var (σ3)(41) θσ=arctan 13(2 σ2- σ1- σ3 σ1- σ3)(42)
Var (θσ)=[ θσ σ1|σ1]2Var (σ1)+[ θσ σ2
|σ2]2
×Var (σ2)+[ θσ σ3
|σ3]2
Var (σ3)(43)
5 工程实例
5.1 二滩岩体
已知二滩工程岩体经验强度准则参数和应力条件
的均值如下[5]: m =0.873, s =0.0252,单轴抗压强度 σc =200MPa ,所受荷载 σ1=70MPa ,围压 σ2= σ3=50MPa 。假定某参数应力值的变异系数从零变化至1.0,而其它参数的变异系数为0.15时,可得到准则可靠度和变异系数的关系,如图3所示。中间主应力σ2的均值和变异系数与准则可靠度的关系如图4和图5所示。
图3 准则可靠度参数变异系数关系图
Fig .3 The relation between reliability of the criterion and
variation coefficients of parameters
552
岩 土 工 程 学 报 1999年
图4 可靠度σ2均值敏感度图
Fig .4 Sensibility of the reliability of the criterion
to average middle principal stress σ
2
图5 可靠度σ2变异系数敏感度图
Fig .5 Sensibility of the reliability of the criterion to
variation coefficients of parameter σ2
由图3可看出,按Hoek Brown 经验强度准则的
可靠度对各应力参数的变异系数及强度性质参数的变
异系数敏感性的强弱程度依次为m >σ1>σ3>s >σc 。很明显,强度准则的可靠度随各参数的变异系数的增加而减小。图4和图5为准则可靠度对第二主应力的均值和方差的敏感度。图中可明显看出随着中间主应力变异系数的加大(变化范围在最小主应力和最大主应力之间),可靠度指标逐渐减小。中间主应力的变异系数和可靠度的关系和其他应力值的变异系数相同。5.2 溪洛渡工程
已知溪洛渡工程的岩体参数: m =0.88,Var (m )=0.172, s =0.04,Var (s )=0.0082,单轴抗压强度 σc =200MPa ,其标准差为40MPa ,所受荷载 σ1=80MPa ,标准差为10MPa ,最小主应力 σ3=25MPa ,标准差为2MPa ,求在下列情况下岩体的可靠度:① σ2=52.5MPa ,其变异系数为0.3;② σ2=25MPa ,其变异系数为0.3。 利用文中方法可以求解得到:①当中主应力为52.5MPa 时,可靠指标为1.805;②当中主应力为25MPa 时,可靠指标为2.566。由此可见,中主应力对
可靠度的影响比较大,如图6所示
。
图6 中主应力σ2与β的关系图
Fig .6 The relation bet ween middle principal stress σ2and β
从本文的分析和计算可看出,各强度参数及应力可靠性对参数的均值的敏感规律是一致的,各参数变异系数的敏感度也是一致的。该结论和二滩工程一例
有一定出入,这说明可靠度对第二主应力的敏感度和应力状态及岩体的强度参数有直接联系。而三维Hoek Brown 准则其结果相对比较准确,如果想要精确度高些,可取二阶均值和方差进行计算。
6 结 论
(1)利用FOSM 可靠度计算方法计算岩体Hoek
Br own 经验强度准则的可靠度是可行的。
(2)在三维应力条件下,准则可靠度对应力值和准
则参数的变异系数的敏感度以m 参数最敏感,3个主应力值次之,s 参数紧随其后,而准则可靠度几乎不随单轴抗压强度的变异系数的变化而变化。准则可靠度随参数的变异系数的增大而减小。
(3)准则可靠度对中间主应力的均值的敏感性一定程度上受受力条件的影响。而中主应力的变异系数对准则可靠度的影响程度则表现出较强的规律性。
参 考 文 献
1 Hoek E ,Brown E .Underground excavatio n in rock .Hertford E ng -land :Stephen Austin and Sons Ltd ,1980.15
2 Hoek E ,Brown E .The Hoek Brown failure criterion -A 1988up -date .ISRM ,1994(10):103
3 浙江大学数学系高等数学教研室.概率论与数理统计,北京:高等教育出版社,1979.113～115
4 严春风.岩体强度准则的随机分析及其在岩质边坡可靠度
分析中的应用:[博士学位论文].重庆:重庆建筑大学,19985 Yan Chunfeng ,Zhang Jianhui .T he use of bayes method to infer
distribu tion of rock mechanical Parameters .In :Proceeding of Rock Mechanics and Environment Geotechnology .RMEG ,Chongqing ,P .R .China ,1997.405～410
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第5期严春风等.节理岩体Hoek Brown 经验强度准则可靠度分析
岩体力学复习提纲 一．概念题 1．名词解释： 【（1）岩石；（2）岩体；（3）岩石结构； （4）岩石构造；（5）岩石的密度；（6）块体密度； 【（7）颗粒密度；【（8）容重；【（9）比重； 【（10）孔隙性；【（11）孔隙率；（12）渗透系数；【（13）软化系数；【（14）岩石的膨胀性；（15）岩石的吸水性；（16）扩容；（【17）弹性模量；（18）初始弹性模量；（19）割线弹性模量；（20）切线弹性模量；（21）变形模量； （22）泊松比；（23）脆性度；【（24）尺寸效应； （25）常规三轴试验；（26）真三轴试验；【（27）岩石三轴压缩强度；（28）流变性；【（29）蠕变；（30）松弛； 【（31）弹性后效；【（32）岩石长期强度；（33）强度准则。 【2．岩石颗粒间连接方式有哪几种？ 【3．何谓岩石的水理性？水对岩石力学性质有何影响？ 【4．岩石受载时会产生哪些类型的变形?岩石的塑性和流变性有什么不同?从岩石的破坏特征看，岩石材料可分为哪些类型？ 5．岩石在单轴压缩下典型的应力—应变曲线有哪几种类型，并用图线加以说明。 6．简述循环荷载条件下岩石的变形特征。 7．简述岩石在三轴压缩条件下的变形特征与强度特征。 【8．岩石的弹性模量与变形模量有何区别？ 【9．岩石各种强度指标及其表达式是什么？ 10．岩石抗拉强度有哪几种测定方法？在劈裂法试验中，试件承受对径压缩，为什么在破坏面上出现拉应力破坏？ 11．岩石抗剪强度有哪几种测定方法？如何获得岩石的抗剪强度曲线？ 12．岩石的受力状态不同对其强度大小有什么影响？哪一种状态下的强度较大？ 13．简述影响岩石单轴抗压强度的因素。 14．岩石典型蠕变可划分为几个阶段，图示并说明其变形特征？ 15．岩石流变模型的基本元件有哪几种？各有何特征？
2.1岩石破坏强度准则 岩石的破坏主要与外荷载的作用方式、温度及湿度有关。一般在低温、低围压及高应变率的条件下，岩石表现为脆性破坏，而在高温、高围压、低应变率作用下，岩石则表现为塑性或者塑性流动。对于较完整的岩石来说，其破坏形式可以分为：1)脆性破坏；3)延性破坏。图2-1给出了不同应力状态下岩石破裂前应变值、破坏形态示意图和典型的应力-应变曲线示意图。 图2-1岩石破坏形态示意图 从图2-1中可以看出岩石破裂种类繁多、岩石破坏过程中的应力、变形、裂纹产生和扩展极为复杂，很难用一种模型进行描述，很多学者针对不同岩石破坏特征提出多种不同岩石的强度破坏准则。本节主要对已有的岩石强度破坏准则进行总结，找出它们各自的优缺点。 2.1.1最大正应力强度理论 最大正应力强度理论也称朗肯理论，该理论是1857年提出的。它假定挡土墙背垂直、光滑，其后土体表面水平并无限延伸，这时土体内的任意水平面和墙
的背面均为主平面（在这两个平面上的剪应力为零），作用在该平面上的法向应力即为主应力。朗肯根据墙后主体处于极限平衡状态，应用极限平衡条件，推导出了主动土压力和被动土压力计算公式。 考察挡土墙后主体表面下深度z 处的微小单元体的应力状态变化过程。当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力sz 保持不变，而水平向应力sx 逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态。土体处于极限平衡状态时的最大主应力为s1=gz ，而最小主应力s3即为主动土压力强度pa 。根据，当主体中某点处于极限平衡状态时，大主应力1σ和小主应力3σ之间应满足以下关系式： 粘性土： 213...2tan tan 454522c ??σσ??????=-++ ? ???? ?（1） 无粘性土 231.tan 452 ?σσ? ??=- ?? ? （2） 该理论认为材料破坏取决于绝对值最大的正应力。因此，作用于岩石的三个正应力中，只要有一个主应力达到岩石的单轴抗压强度或岩石的单轴抗拉强度，岩石便被破坏。 因此，朗肯强度破坏准则可以表示为：c σσ≥1，或者t σσ-≤3 式中，1σ为岩石受到的最大主应力，MPa ；3σ为岩石受到的最小主应力，MPa ；c σ为岩石单轴抗压强度，MPa ；t σ为岩石抗拉强度，MPa 。 朗肯强度破坏准则只适用于岩石单向受力及脆性岩石在二维应力条件下的受拉状态，处于复杂应力状态中的岩石不能采用这种强度理论。 2.1.2最大正应变强度理论 岩石受压时沿着平行于受力方向产生张性破裂。因此，人们认为岩石的破坏取决于最大正应变，岩石发生张性破裂的原因是由于其最大正应变达到或超过一定的极限应变所致。根据这个理论，只要岩石内任意方向上的正应变达到单轴压缩破坏或单轴拉伸破坏时的应变值，岩石便被破坏。
,. 五、岩石的破坏准则 对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。 岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。 岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延
,. 性性质，同时它的强度极限也大大提高了。
,. 许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准则主要有：最大正应力理论 最大正应变理论 最大剪应力理论（H.Tresca） 八面体应力理论 莫尔理论及库伦准则 格里菲思理论（Griffith） 伦特堡理论（Lundborg） 经验破坏准则
,. 1、最大正应力理论 这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力。即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时，材料就破坏。 适用条件： 单向应力状态。对复杂应力状态不适用。 写成解析式： 0))()((22322 2221=---R R R σσσ 0))()((223222221≥---R R R σσσ 破坏
,. 2、最大正应变理论 该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。 则破坏准则为 u εε≥max 式中 m ax ε——岩石内发生的最大应变值； u ε——单向拉、压时极限应变值； 这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）
岩石的破坏准则 岩石的破坏准则 对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。 岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。 岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延 1
岩石的破坏准则 2 性性质，同时它的强度极限也大大提高了。
岩石的破坏准则 许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准则主要有：最大正应力理论 最大正应变理论 最大剪应力理论（H.Tresca） 八面体应力理论 莫尔理论及库伦准则 格里菲思理论（Griffith） 伦特堡理论（Lundborg） 经验破坏准则 3
岩石的破坏准则 4 1、最大正应力理论 这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力。即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时，材料就破坏。 适用条件： 单向应力状态。对复杂应力状态不适用。 写成解析式： 破坏
岩石的破坏准则 5 2、最大正应变理论 该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。 则破坏准则为 式中 m ax ε——岩石内发生的最大应变值； u ε——单向拉、压时极限应变值； 这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）
岩石力学第3次作业答案 1、岩石试样中含有一结构面，其与最大主应力平面夹角为，试依据Mohr-Coulomb准则导出其强度判据。 解：假设结构面的强度参数为c j，j，岩石的强度参数为c，，因此可以判断破坏的形式：沿结构面重剪破坏，剪断破坏。 显然岩体是否发生破坏，与结构面所在方位和应力大小有关，随着应力的增加，如果不沿结构面破坏，将会发生剪切岩石的破坏。 沿结构面破坏的条件为： 对应的最小值： 同样也可导出岩体剪断破坏时对应的应力状态。 若处于两者之间的状态，则有：
若：，则可能发生沿结构面破坏。 可以总结为： （1），当 （2），、 当（3）， 2、简述钻孔应变法测定地应力的原理和推导相关计算公式。 答：钻孔应变法测量地应力通过在孔底安装位移或应变片通过套芯钻头将套孔岩芯的应力完全解除，通过测量套孔岩芯应力解除前后的孔径变化或孔底及表面应变变化情况确定地应力值及方向。下面以孔底应变法确定应力方法为例介绍。 在计算时利用，因此可建立3个方程联合求解的方程组，从而得出应力状态，从而一个平面内的应力状态得以确定。 3、水压致裂法和钻孔应变法的优缺点。 答：水压致裂法明显的优点是可以达到很深的深度，在测量时其结果与岩石本身的物理力学性质关系不大，可直接导出应力，但一般适合能测水平方向的应力，要求岩体较为完整。钻孔应变法适应性较广，测量结果较准确，但由于需要开凿隧道和洞室，成本较高。 4、工程岩体等级在确定时应考虑哪些因素，以Q指标为例进行说明。答：应该考虑岩体完整程度、岩石本身的强度性质、地下水、主要结构面的影响、地应力的情况，如下式所示： 5、在某岩层中开挖一隧道，已知其直径a=2m，埋置深度为1000m，岩体的强度参数为：，内摩擦角为300，岩体平均重度为25kN/m3，试判断围岩塑性区存在及发展情况。 答：假定岩体的强度准则符合Mohr-Coulomb准则，则可得： ，从而得出：c=0.58MPa 由于洞室埋深较大，可按静水压力状态确定地应力，于是： ，根据弹性应力集中系数，显然有进入塑性区 根据塑性区半径计算公式：
前已述汲水对岩石强度影响： 膨胀、崩解、溶解 水→岩软化 渗透→水压水 对岩石强度有影响的是孔隙和裂隙中的水压力，统称为孔隙水压力，用p w表示。如果饱和岩石在荷载作用下不易排水或不能排水，那么，孔隙或裂隙中的水就有孔隙压力，岩石固体颗粒承受的压力将相应的减少，强度则降低。 对岩石中有连接的孔隙（包括细微裂隙）系统，施加应力σ，当
有孔隙水压力p w时，岩石的有效应力为 σ—岩石总应力（MPa）；σ'—有效应力（MPa）； p w——孔隙水压力（MPa） 在有孔隙水压力作用时，可利用《岩石破坏准则》来分析岩石的稳定性。 1．莫尔摩伦准则
根据莫尔库伦强度理论，考虑有孔隙水压力p w 的作用，其岩石的抗剪强度为： ①?στtg c f ?'+= 或可见，由于p w 的存在，岩石的抗剪强度降低。 ②对于用主应力表示的莫尔库伦破坏准则，考虑p w 作用，则有 c R N +'='?σσ3 1，式中w p -='11σσ，w p -='33σσ 推出 由上式可解得p w ，即岩石从初始作用应力σ1和σ3达到岩石破坏
时所需施加的孔隙水压力： 亭定（Handin）砂岩实验结果，在p w为零时作一系列的实验，绘莫尔应力圆，得到p w=0时的包络线，即岩石强度曲线。 当施加主应力σ1、σ3时，（p w=0）岩石稳定（莫尔圆II），在此主应力下，增加p w直至破坏（莫尔圆I与包线相切）。 从上面分析可见，p w对岩体强度影响很大。在实际工程中，特别是坝址区，对某种岩石，当主应力σ1、σ3一定时，水库蓄水后，如
果有渗流，则p w 从0增加p w ′，当 w p '-1σ 和w p '-3σ的应力圆与包线相切或相交时，岩体将失稳。 2．格里菲思准则 如果把有效应力引入格里菲思破坏准则，用1σ'和3 σ'代替原式中的1σ 和3σ ,即 w p -='11σσ，w p -='33 σσ w p 4331>+σσ时，
3.9. 隐式节理模型: 节理岩(Jointed Rock)模型 岩土材料在各方向上的特性值可能会不同，从而引起各方向在荷载作用下的反应不同，这样的特性叫做各向异性(anisotropic)。各向异性又分为弹性各向异性和塑性各向异性。弹性各向异性是指各方向使用不同的弹性刚度值，塑性各向异性是指像节理岩模型那样在各方向上使用不同的强度特性值。 节理岩模型是各向异性弹性-完全塑性(anisotropic elastic perfectly-plastic)模型，即同时具有弹性横观同性(transversely isotropic elastic)模型和塑性各向异性(anisotropic plastic)模型的特点。节理模型适合于模拟分层的岩石，该模型可模拟具有三个层方向和结合方向的完整岩。完整岩要输入五个参数和一个方向，是属于横观同性弹性材料，其各向异性特点表现在断层等现象上。假定主结合方向的剪切应力遵循库伦(Coulomb)准则，沿着该方向产生最大剪切应力时将产生塑性滑动(plastic sliding)。可以定义三个滑动方向(平面)的强度，第一个平面假定与弹性横观同性方向一致。各平面可具有不同的剪切刚度。 M ajor joint direction 图2.31 节理模型示意图 节理模型适合模拟具有连续的接缝或接缝的集合的岩石，接缝应平行且接缝中不能填充有断层粘土，接缝宽度与结构物的尺寸也要小很多。 节理模型的几个基本特性值如下： A. 完整岩的横观同性弹性特性: ,,,,x z xy zx xz E E G νν B. 三个方向上遵循库伦准则的剪切磨坏参数: ,i i c φ 3.9.1. 横观同性弹性材料刚度 节理模型中的横观同性特性与前面章节中介绍的正交异性材料相同。 3.9.2. 三个方向上的塑性反应 为了考察具有局部坐标系(n, s, t)的平面的塑性条件，需要先计算笛卡尔坐标下的应力。局部坐标应力包括正应力n σ和两个独立的剪切应力 s τ和t τ。 T i i σσ=T (2.96)
岩石的破坏准则 对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。 岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。 岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延专业文档供参考，如有帮助请下载。． 性性质，同时它的强度极限也大大提高了。 专业文档供参考，如有帮助请下载。． 许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准则主要有：最大正应力理论 最大正应变理论 最大剪应力理论（H.Tresca） 八面体应力理论 莫尔理论及库伦准则 格里菲思理论（Griffith） 伦特堡理论（Lundborg） 经验破坏准则
1、最大正应力理论 这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力。即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时，材料就破坏。 或??R??R?tc13适用条件：单向应力状态。对复杂应力状态不适用。写成解析式： 222222???)?R)(R0(R??)(?312 222222???)?R0RR(?)(?)(?破坏312专业文档供参考，如有帮助请下载。． 2、最大正应变理论 该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。 则破坏准则为 ???u max式中——岩石内发生的最大应变值；?axm——单向拉、压时极限应变值；?u这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）专业文档供参考，如有帮助请下载。． ?????)?(?????31211R?????????)(????????? 3221u E E?????????)??(????3321R或RR —c t222222??????0()(?))(???u21u3u推出：??????222222????????????R?(???[R[)]?(??)]R0[?(??)]31131322?)))R破坏232321131实验指出，该理论与脆性材料实验值大致符合，对塑性材料不适用。专
五、岩石的破坏准则 对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。 岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。 岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延
性性质，同时它的强度极限也大大提高了。
许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准则主要有：最大正应力理论 最大正应变理论 最大剪应力理论（H.Tresca） 八面体应力理论 莫尔理论及库伦准则 格里菲思理论（Griffith） 伦特堡理论（Lundborg） 经验破坏准则
1、最大正应力理论 这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力。即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时，材料就破坏。 适用条件：单向应力状态。对复杂应力状态不适用。 写成解析式： 破坏
2、最大正应变理论 该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。 则破坏准则为 式中 ε——岩石内发生的最大应变值； m ax ε——单向拉、压时极限应变值； u 这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）
R —R t或R c 推出： 实验指出，该理论与脆性材料实验值大致符合，对塑性材料不适用。
第二章 岩石破坏机制及强度理论 第一节 岩石破坏的现象 在不同的应力状态下，岩石的破坏机制不同，常见的岩石破坏形式有以下几种 一、拉破坏：岩石试件单向抗压的纵向裂纹，矿柱，采面片帮。特点出现与最大应力方向平行的裂隙。 二、剪切破坏：岩石试件单向抗压的X 形破坏。从应力分析可知，单向压缩下某一剪切面上的切向应力达到最大引起的破坏。 (a ) (b )
三、重剪破坏：即沿原有的结构面的滑动、重剪破坏 主要的机制：岩体受剪切作用或者受拉应力的作用、三向受压情况下多数为剪切应力的作用，侧向压力较小时可能是拉神破坏，实际工程中可能是不同机制的组合，但侧向应力较大时，可以认为剪切应力是岩石重剪破坏的主要破坏机制。 从岩石破坏的现象看，从小到几厘米的岩块到大的工程岩体，破坏形式雷同，并可归纳为两种，拉断与剪坏，因此有一定的规律可寻。 对岩石破坏的研究： 在单向条件下可以从实验得到破坏的经验关系。但是三向受力条件下，不同应力的组合有无穷多种，因此无法仅仅依靠实验得到破坏的经验关系，因此在一般应力状态，对岩石破坏的研究需要结合理论分析和试验研究两个方面。现代关于岩石破坏的理论分析一般归结为、寻求破坏时的主应力之间的关系 123(,)f σσσ= 研究的方法有：理论分析；2、试验研究；3、理论研究结合试验研究。 第二节 岩石拉伸破坏的强度条件 一、最大线应变理论 该理论的主要观点是，岩石中某个面上的拉应变达到临界值时破坏，而与所处的应力状态无关。强度条件为 c εε≤ (2-1) c ε—拉应变的极限值，ε—拉应变。
若岩石在破坏之前可看作是弹性体，在受压条件下σ1>σ2>σ3下， 3ε是最小主应力。按弹性力学有3 3E E σμ εσσ= -12（+），即33E εσμσσ=-12（+）。若3ε<0则产生拉应变。由于E >0，因此产生拉应变的条件是 3σμσσ-12（+）<0，3μσσσ12（+）> 若3ε=0ε<0则产生拉破坏，此时抗拉强度为0t E σε＝?0t E σε＝。 按最大线应变理论30εε≥破坏，即 312()t σμσσσ-+≥ (2-2) 式中0ε是允许的拉应变。 二、格里菲斯理论 格里菲斯理论的主要观点是：材料内微小裂隙失稳扩展导致材料的宏观破坏。 格里菲斯理论的主要依据是：1）、任何材料中总有各种微小微纹；2）、裂纹尖端的有严重的应力集中，即应力最大，并且有拉应力集中的现象；3）、当这种拉应力集中达到拉伸强度时微裂纹失稳扩展，导致材料的破坏。 格里菲斯理论的来源：由玻璃破坏得到的启示。 格里菲斯理论的基本假设为： 1、岩石的裂隙可视为极扁的扁椭圆裂隙； 2、裂隙失稳扩展可按平面应力问题处理； 3、裂隙之间互不影响。 按格里菲斯理论，裂纹失稳扩展条件为 1）、当1330σσ+>时，满足 21313()8()0t σσσσσ-++= (2-2)
Mohr- Coulomb 强度准则评价 优点 ?同时考虑了拉剪和压剪应力状态；可判断破坏面的方向。 ?强度曲线向压区开放，说明与岩石力学性质符合。 ?强度曲线倾斜向上说明抗剪强度与压应力成正比。 ?受拉区闭合，说明受三向等拉应力时岩石破坏；受压区开放，说明三向等压应力不破坏。 不足 ?库仑准则是建立在实验基础上的破坏判据，未从破裂机制上作出解释。 ?忽略了中间主应力的影响（中间主应力对强度影响在15%左右）。 ?库仑准则和莫尔准则都是以剪切破坏作为其物理机理，但是岩石试验证明：岩石破坏存在着大量的微破裂，这些微破裂是张拉破坏而不是剪切破坏。 ?莫尔—库仑准则适用于低围压的情况。 Griffith 强度准则评价： 优点： ?岩石抗压强度为抗拉强度的8倍，反映了岩石的真实情况； ?证明了岩石在任何应力状态下都是由于拉伸引起破坏； ?指出微裂隙延展方向最终与最大主应力方向一致。 不足： ?仅适用于脆性岩石，对一般岩石，莫尔强度准则适用性远大于Griffith准则。 ?对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够。 ?Griffith准则是岩石微裂隙扩展的条件，并非宏观破坏。 扩容：岩石在压力下，发生非线性体积膨胀的现象称为扩容。 ?扩容是由于岩石试件内细微裂隙的形成和扩张所致，这种裂隙的长轴与最大主应力的方向是平行的。 （a）马克斯威尔（Maxwell）模型 ?由弹性单元和粘性单元串联而成 ?本构方程
松弛曲线
§6.4 岩石边坡加固 6.4.1 注浆加固 6.4.2 锚杆或预应力锚索加固6.4.3 混凝土挡墙或支墩加固6.4.4 挡墙与锚杆相结合的加固
3.5.岩石的强度准则 3.5.1概述 岩石中任一点的应力、应变增长到某一极限时，该点就要发生破坏。用以表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参数间的函数关系，称为岩石的强度准则（又称强度条件、破坏判据、强度判据）。由于岩石的成因不同和矿物成分的不同，使岩石的破坏特性会存在着许多差别。此外，不同的受力状态也将影响其强度特性。人们根据岩石的不同破坏机理，在大量的试验基础上，加以归纳、分析描述，建立了多种强度准则。本节将着重介绍在岩石力学中最常用的强度准则。 3.5.2库仑准则 3.5.2.1基本思想 库仑准则是一个最简单、最重要的准则，属于压剪准则。库仑（C.A.Couloumb ）于1773年提出最大剪应力强度理论，纳维尔（）在库仑理论的基础上，对包括岩石在内的脆性材料进行了大量的试验研究后，于1883年完善了该准则，所以又被称为库仑—纳维尔准则。该准则认为，固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力(τ)等于或大于材料本身的抗切强度(C)和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力(?σtan )之和，即： tan C f C τσσ?=+=+ （3.29） 这就是库仑准则的基本表达式。 3.4.2.2库仑准则参数的几何与物理意义 在στ-平面上式（3.29）的几何图，如图3.36所示，库仑准则是一条直线。由图可见： 图3.36库仑准则的几何图 （1）当0σ=时，C τ=，C 为纵轴（σ轴）截距；物理意义为：岩石试件无正压力时的抗剪强度，通常称为岩石的内粘聚力。（2）当0C =时，?σσtan =，通常称?为岩石的内摩擦角，?tan 为岩石的内摩擦系数。C ，?是表征岩石抗剪强度的两个重要参数。 3.5.2.3库仑准则的确定方法 岩石强度准则反映岩石固有的属性，因此一定要求来源于试验。常用于确定库仑准则的试验有两种，角模压剪试验和三轴压缩试验。 （1）角模压剪试验 如图3.10所示，作一系列不同倾角α的压剪试验，并由式（3.7）计算出不同倾角的破坏面上的正应力σ和剪应力τ；再在στ-平面描点作出强度准则曲
精心整理2.1岩石破坏强度准则 岩石的破坏主要与外荷载的作用方式、温度及湿度有关。一般在低温、低围压及高应变率的条件下，岩石表现为脆性破坏，而在高温、高围压、低应变率作用下，岩石则表现为塑性或者塑性流动。对于较完整的岩石来说，其破坏形式可以分为：1)脆性破坏；3)延性破坏。图2-1给出了不同应力状态下岩石破裂前应变值、破坏形态示意图和典型的应力-应变曲线示意图。 准则。本节主要对已有的岩石强度破坏准则进行总结，找出它们各自的优缺点。 2.1.1最大正应力强度理论 最大正应力强度理论也称朗肯理论，该理论是1857年提出的。它假定挡土墙背垂直、光滑，其后土体表面水平并无限延伸，这时土体内的任意水平面和墙的背面均为主平面（在这两个平面上的剪应力为零），作用在该平面上的法向应力即为主应力。朗肯根据墙后主体处于极限平衡状态，应用极限平衡条件，推导出了主动土压力和被动土压力计算公式。
考察挡土墙后主体表面下深度z 处的微小单元体的应力状态变化过程。当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力sz 保持不变，而水平向应力sx 逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态。土体处于极限平衡状态时的最大主应力为s1=gz ，而最小主应力s3即为主动土压力强度pa 。根据土的极限平衡理论，当主体中某点处于极限平衡状态时，大主应力1σ和小主应力3σ之间应满足以下关系式： 粘性土： 213...2tan tan 4545c ??σσ??? ???=-++ ? ?（1） （2） 2.1.2变， 岩石强度条件可以表示为： m εε≤max （3） 式中，m ax ε为岩石内发生的最大应变值，可用广义胡克定律求出；m ε为单向压缩或单向拉伸试验时岩石破坏的极限应变值，由实验求得。 对于三轴应力状态时： ()[]321max 1 σσμσε+-= E （4）