厦门外国语学校2016届高三适应性考试 理科数学试题 2016-5
(时间：120 分钟；满分：150分)
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．复数512i i
i
z ++=
的共轭复数为 （ ） A ．i 21- B ．i 21+ C ．1-i D ．i -1
2. 设非空集合P Q 、满足P Q P = ，则 （ ） A ．x Q ?∈，有x P ∈ B ．x Q ??，有x P ? C ．0x Q ??，使得0x P ∈ D ．0x P ?∈，使得0x Q ?
3.已知命题:1x p e >，命题:ln 0q x <，则p 是q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足412
3a a a ?= ，
n S 为数列{}n a 的前n 项和，则32
53
S S S S --的值为
A. 2-
B. 3-
C. 2
D. 3 （ ）
5．已知双曲线122=-y x ，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若21PF PF ⊥，则|
|||21PF PF + 的值为
( )
A ．2
B ．22
C ．32
D ．52
6．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 （ ）
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
7．已知函数sin(2)y x ?=+在6
x π
=
处取得最大值，则函数cos(2)y x ?=+的图象
（ ） A ．关于点(
0)6π
,对称 B ．关于点(0)3
π
,对称
C ．关于直线6
x π
=
对称 D ．关于直线3
x π
=
对称
8. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照像留念，已知甲、乙不相邻，则甲、
丁相邻的概率为 （ ） A ．
3
2
B ．
3
1
C ．
2
1 D ．
6
1 9. 不等式组2,6,20x x y x y ≥??
+≥??-≤?
所表示的平面区域为Ω，若直线10ax y a -++=与Ω有公共点，则
实数a 的
取值范围是 （ ） A ．??? ??+∞,51 B ．??
????+∞,51 C ．()+∞,1
D ．[)+∞,1
10.已知方程23
ln 02
x ax -+
=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ( ) A 2e 0,2?? ??? B 2e 0,2?? ??? C 2e 0,3?? ???
D 2e 0,3?? ???
11．某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边 三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（ ） A ．π5 B ．π320 C ．π8 D ．π3
28
12. 已知直线AB 与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，
若0C 满足00min{}C A C B CA CB ?=?
，则下列一定成立的是 （ ）。
A. 0C M AB ⊥
B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线
C. 00C A C B ⊥
D. 01
2
C M AB =
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知
5
3
cos 0
=?
θ
xdx ，)0(πθ<< ，则=θ2cos ．
14. 已知正实数m ，若10
2
01210()()()x a a m x a m x a m x =+-+-+??+-10
01210()()()x a a m x a m x a m x =+-+-+??+-，其中8a =180，
则m 值为
15.设平面向量()1,2,3,i a i =
满足1i a = 且120a a ?= ， 123a a a ++ 的最大值
为 .
16. 已知数列{}n a 满足2
21221,2,(1cos
)sin 22
n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前12项和为
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知△ABC 的面积为S ，且S AC AB =?2
3
3=-. (Ⅰ) 若)cos(2)(B x x f +=ω ())0>ω的图象与直线2=y 相邻两个交点间的最短距离为
2，
且1)6
1(=f ，求△ABC 的面积S ； （Ⅱ）求C B S cos cos 33?+的最大值．
18. （本小题满分12分）
私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50
（Ⅰ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令选中的．．．4．人中．．不．赞成．．“．
车辆限行”的人数为ξ，求随机变
量 的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AD PD ==
，PA =，
120PDC ∠= ，
点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上．
（Ⅰ）若1
2
AF =
，求证：CD EF ⊥； （Ⅱ）设平面DEF 与平面DPA 所成二面角的平面角为θ，
试确定点F
的位置，使得cos θ=
20.（本小题满分12分）
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点与上顶点关于直线x y -=对称，又点
)2
1
,26(
P 在E 上 （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
(Ⅱ) 若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线，垂足为Q ，试证点Q 总在
定圆上．
21. （本小题满分12分）
已知函数2
()ln f x x x mx =-，（m 为常数）. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 若21()
x x f x ->
对任意2]x e ∈恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）若121
,(,1)x x e
∈，121x x +<，求证：41212()x x x x <+.
F
E
D
C
B
A
P
23.已知直线l
的参数方程为(2x m t y t ?=+????=??
为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12)sin 21(22=+θρ，且曲线C 的左焦点F 在直线l
上.
（I ）求实数m 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求BF
AF 1
1+
的值； 24. 已知函数()|21|f x x =-．
（Ⅰ）若不等式1()21(0)2
f x m m +≥+>的解集为(][),22,-∞-+∞ ，求实数m 的值；
（Ⅱ）若不等式()2|23|2y
y
a
f x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．
厦门外国语学校2016届高三适应性考试
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
二、填空题（请在横线上作答）
三、解答题（请在指定区域内作答）
理数参考答案
一．选择题：
ABBCC BAABA DB
11. 提示：设外接球的球心O ，M E ,分别是ACD BCD ??,的外心，
⊥OE 平面BCD ，⊥OM 平面ACD ，则222)3
3()2(+=R ，
解得273
R =，故328π=球表S 选.D
12. 提
示
：
2
()(C A C
B ?
=-?
22min min{}CM AM CA CB CM CM l =-??=?⊥
。
二．填空题： 13．
25
7
14. 2 15.12+. 16. 147 三．解答题：
17．解：（Ⅰ）∵)cos(2)(B x x f +=ω的图象与直线2y =相邻两个交点间的最短距离为T ，
2T ∴=，即：
22π
ω=，解得ωπ=，()2cos()f x x B π=+，1()2cos()166f B π
=+=， 即：1cos()62B π+=， B 是△ABC 的内角，∴6B π
=，
AB AC S ?=
， 设△ABC 的三个内角的对边分别为,,a b c ，
1
cos sin 2
A bc A =
，tan A = 3A π=， 从而△ABC 是直角三角形， 由已知3AC AB -= 得，3BC a ==
，从而b =，
12ABC S ab ?==.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,33
A a π
=
=,
设△ABC 的外接圆半径为R ，则32sin 2==A
a
R 解得3=R 所以C B bc C B A bc C B S cos cos 334
3
cos cos 33sin 21cos cos 33+=+=?+
33)cos(33cos cos 33sin sin 33≤-=+=C B C B C B
故当C B =时，最大值为33
18. 解：（Ⅰ） 由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35) 内的有10人，
不赞成 的有4人，恰有2人不赞成的概率为：
()11122464442222
510510424666622
2=,1045104522575
C C C C C p C C C C ξ?==?+?=?+?=
D A
O E
M
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3
()22
64225106154515
0=,104522575
C C p C C ξ==?=?=
()21112646442222
51051041562410234
1=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ?==?+?=?+?= ()12442251046124
3=,104522575
C C p C C ξ==?=?=
所以ξ的分布列是：
所以ξ的数学期望5
E ξ=
．
19．解：（Ⅰ）在PCD ?中，2PD CD ==，
∵E 为PC 的中点， ∴DE 平分PDC ∠，60PDE ?∠=,
∴在Rt PDE ?中，cos601DE PD ?
=?=，
过E 作EH CD ⊥于H ，则12
DH =，连结FH ，
∵12
AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H = ，∴CD ⊥平面EFH ， 又EF ?平面EFH ，∴CD EF ⊥． （Ⅱ）∵2AD PD ==，PA =∴A D P D ⊥，又A D D C ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，
又AD ?平面ABCD ，∴平面⊥平面ABCD ．
过D 作DG DC ⊥交
PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ，
故,,DA DC
DG 两两垂直，以D 为原点，以,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，
建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，
则(2,0,0)A
，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1P -，又知E 为PC 的中点，
E 1(0,,22，设(2,,0)
F t ，则1(0,,22DE =
，(2,,0)DF t = ，
(0,1DP =- ，(2,0,0)DA =
．
设平面DEF 的法向量为111(
,,)x y
z =n ，
则0,0,
DE DF ??=???=?? n n ∴1111
10,2220,y z x ty ?+=???+=
? 取12z =-，可求得平面DEF 的一个法向量(,
2)=-n ，
设平面ADP 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,
0,
DP DA ??=???=??
m m 所以222
0,20,y x ?-+=??=??取=m ．
H P
A B C
D
E
∴cos cos,m n
θ=<>==
，解得
4
3
t=
∴当
4
3
AF=
时满足cos
4
θ=．
20.解：（Ⅰ）左焦点)0,
(c
-，上顶点)
,0(b关于直线x
y-
=对称得c
b=，
P代入椭圆得1
4
1
2
3
2
2
=
+
b
a
，又2
2
2c
b
a+
=，联立解得：2
2=
a，1
2=
b，
故椭圆C的标准方程为：1
2
2
2
=
+y
x
(Ⅱ) （i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y kx m
=+，
联立直线l和椭圆E的方程，得2
21
2
y kx m
x
y
=+
?
?
?
+=
??
，
消去y并整理，得()
222
214220
k x kmx m
+++-=，
因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，()()
2222
16421220
k m k m
∴?=-+-=，化简并整理，得22
21
m k
=+．
因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为：()
1
1
y x
k
=--，联立
()
1
1,
,
y x
k
y kx m
?
=--
?
?
?=+
?
解得
2
2
1
,
1
,
1
km
x
k
k m
y
k
-
?
=
??+
?
+
?=
?+
?
222222222 22
2222222
(1)()1(1)(1)1
(1)(1)(1)1
km k m k m k m k m m x y
k k k k
-++++++++∴+====
++++
，把22
21
m k
=+代入上式得222
x y
+=．①
（ii）当切线l的斜率为0时，此时(1,1)
Q，符合①式．
（iii）当切线l
的斜率不存在时，此时Q
或(，符合①式．综上所述，点Q总在定圆222
x y
+=上．
21. 解：（Ⅰ）当0
m=时，()ln
f x x x
=，0
x>，得'()ln1
f x x
=+.
由ln10
x+>，解得
1
x
e
>，即()
f x在
1
(,)
e
+∞上单调递增；
由ln10
x+<，解得
1
0x
e
<<，即()
f x在
1
(0,)
e
上单调递减.
∴综上，()
f x的单调递增区间为
1
(,)
e
+∞，单调递减区间为
1
(0,)
e
.
(Ⅱ)
已知2]
x e
∈，于是
2
1
()
x x
f x
-
>变形为
1
1
ln
x
x mx
-
>
-
，
从而
11
ln1
x mx x
>
--
，即0ln1
x mx x
<-<-，整理得
ln1ln
x x x
m
x x
-+
<<.
令ln 1()x x g x x -+=
，则'
2
ln ()0x g x x
-=<，即()g x
在2]e 上是减函数，
∴max ()12g x g e
==-，令ln ()x h x x =，则'
2
1ln ()x h x x -=，
x e <时，'()0h x >， 即此时()h x 单调递增；
当2
e x e <<时，'()0h x <， 即此时()h x 单调递减，
而222()h h e e =
>=
，∴min 22()h x e =
2
2
1m e -<<. （Ⅲ）由（1）知，当0m =时，()ln f x x x =在1
(,)e
+∞上是增函数，
∵1121
1x x x e
<<+<，∴121212111()()ln()()ln f x x x x x x f x x x +=++>=， 即121121
ln ln()x x x x x x +<+，同理122122ln ln()x x
x x x x +<+，
1212121212121221
ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x x
x x x x x x x x x x +++<++=+++，
又因为1221
24x x
x x ++≥，当且仅当12x x =时，取等号，121,(,1)x x e ∈，121x x +<，
12ln()0x x +<，
∴121221
(2)ln()4x x
x x x x +++≤，∴1212ln ln 4ln()x x x x +<+，∴41212()x x x x <+.
23.解：(I) 因为曲线C ：14
122
2=+y x 左焦点为)0,22(-F ，代入直线l 得22-=m
(Ⅱ)直线l 的参数方程是???????=+
-=t y t x 2222
22（t
为参数）代入椭圆方程得0222
=--t t
则2
12121211
1t t t t t t t t BF AF -=+=+ 又()328442
122121=+=-+=
-t t t t t t ,221=t t 故
BF
AF 1
1+＝3
24.解：（Ⅰ）由条件得122+≤m x 得2121+≤≤-
-m x m 所以2
3=m （
Ⅱ
）
原
不
等
式
等
价
于
y
y a
x x 223212+
≤+--，而
4)32()12(3212=+--≤+--x x x x
所以 42
2≥+y y a 则[]
4)24(2max =-≥y
y a 当且仅当1=y 时取得。