第六章 复 数
知识 网络
第28讲复 数
知识 整合 【基础知识】 1．复数
(1)复数的意义：形如z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1，a 叫做实部，b 叫做虚部，复数集记作C ，数集N 、Z 、Q 、R 、C 的关系是：
2．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i
c 2＋
d 2
(c ＋d i ≠0)．
3．复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
4．复数的几何表示
复数z ＝a ＋b i ――→一一――→对应复平面内的点Z (a ，b )――→一一――→对应平面向量OZ →
.
5．向量OZ →
的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.
6．共轭复数：z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )与z ＝a －b i 互为共轭复数．
【基础自测】
1．下列说法正确的个数是__________个．
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．
2．设z ＝－i ，其实部为________，虚部为________． 3．设z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则z 1＋z 2＝________.
4．在复平面内有一点(1,1)，则与其对应的复数为________________________________________________________________________．
5．设复数z 1＝12－3
2
i ，则|z 1|＝________.
6．已知z ＝2＋2i ，则z ·z －
＝________.
重难点 突破
考点1 复数的基本概念
难点释疑
1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )必须强调a ，b 均为实数，才能得出实部为a ，虚部为b .对于两复数相等必须强调先化为a ＋b i 的代数形式再去比较实部与虚部．
2．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点P (a ，b )及向量OP →
＝(a ，b )是一一对应的．在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上去掉原点的点对应，实数与实轴上的点对应．复数的模表示复数对应的点到原点的距离．
3．处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题．
已知a ∈R ，复数z ＝a a －1
＋(a 2＋2a －3)i ，当a 为何值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；
(3)纯虚数．
【分析】 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的定义可分别求出相应的a 值．
【解】
【点评】 解决此类题目，正确理解复数及相关概念是关键，特别注意要保证式子有意义．
(13江苏模拟)设a 数，则a 的值为________．
【解】
【点评】 对于两复数相等，应是复数的实部与虚部对应相等．
已知x ，y ∈R ，i ＝－1＋i ，则x ＋y ＝________.
已知在复平面内存在一向量OA ＝(a ，b )，且a 2＋b 2＝1，则(a ，b )所对应的复数z 的模为________．
【解】
【点评】 复平面的点与复数是一一对应．
考点2 复数的代数运算
重点阐述
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1＋i)2＝2i ；(2)(1－i)2＝－2i ；(3)1＋i
1－i
＝i ；
(4)1－i 1＋i
＝－i ；(5)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (6)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋
3＝－i ，n ∈N . 难点释疑
1．复数求解计算时，要灵活利用i 的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i 的计算问题．
2．在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时不一定成立：
(1)(z m )n ＝z mn (m 、n 为分数时不成立)； (2)z m ＝z n ?m ＝n (z ＝i 或1时不成立)；
(3)z 21＋z 2
2＝0?z 1＝z 2＝0(z 1，z 2是虚数时不成立)．
(12江苏高考)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i
1－2i
(i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.
【解】
【点评】 本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的运算，考查运算求解能力，所以弄清楚两复数相等的含义以及熟练掌握复数的代数运算是很关键的．
i 是虚数单位，复数5＋3i
4－i
＝________.
计算：(1)(2＋2i )4(1－3i )5；(2)－23＋i 1＋23i
＋(21－i )2012
.
【解】
【点评】 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，化
简依据就是i 的周期性，即i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋
3＝－i(n ∈N *)．复数的代数形式运算，基本思路是直接用法则运算，但是如果能用上i 或ω的一些性质以及一些常见的结论，
如(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i
1＋i
＝－i ，－b ＋a i ＝
i(a ＋b i)，可更有效的简化运算，提高计算速度．
计算：(1)(－1＋i )(2＋i )
i 3
；
(2)(i －1)3＋(2＋i )2(1＋i )2－(2i )2；
(3)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i
.
失分 诊断
易错点：不能正确区别复数与虚数的概念致误． 互为共轭的两个复数之差是________． 【错解】 纯虚数
【错解分析】 本题解法混淆了复数和虚数的概念，误以为共轭复数就是共轭虚数，当
z ＝z －
＝2b i 时，就认为是纯虚数．故错误．
【正确答案】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －
＝a －b i.
∴z －z －
＝2b i(b ∈R )，当b ＝0时，z －z －
＝0；
当b ≠0时，z －z －
为纯虚数．故应填0或纯虚数．
课堂 训练
1．已知复数z ＝2＋a i 为实数，则a ＝________.
2．已知复数z ＝3＋4i(i 为虚数单位)，则复数|z |＝________.
3．设复数z ＝1＋2i ，则z －
＝________.
4．设复数i －1
1＋i
＝a ＋b i ，则a －b ＝________.
5.(1＋i )(2＋i )i 3
＝________.
6．设i 是虚数单位，若z ＝2
1＋i
＋a 2i 是虚数，且在复平面上的对应点在第四象限内，则
a 的取值范围是________．
高考零 距离
1．(12江苏调研)若复数(a ＋i)2对应的点在虚轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是__________．
2．(11江苏模拟)已知复数z ＝3＋4i(i 为虚数单位)，则复数z －
＋5i ＝________. 3．(13江苏模拟)设复数z ＝(a 2－a )＋2a i(a ∈R )为纯虚数，则a ＝________.
4．(10江苏高考)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 5．(11江苏高考)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是__________．
6．(12广东调研)复数5
1＋2i
的共轭复数为__________．
7．(12上海模拟)已知复数z 满足|z |＝z ＋2
1＋i ，则z ＝__________.
第十一章 概率、统计
考情 分析
知识 网络
第53讲抽样方法
知识 整合 【基础知识】 1．三种抽样方法 ①简单随机抽样 ?
????
抽签法随机数表示法 ②系统抽样 ③分层抽样
2．三种抽样方法的联系与适用范围见下表：
1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、
120个、180个、150个销售点，在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，这种抽样方法是________．
2．某校有40个班，每班50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是________．
3．某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么从高三年级抽取的人数为________．
4．为了了解参加一次知识竞赛的1252
名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中随机剔除的个体数目是__________．
5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为________．
重难点 突破
考点1 简单随机抽样
重点阐述
1．简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法． 2．总体容量和样本容量较小时，可用抽签法．
下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
【解】
【点评】 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：①制签是否方便；②号签是否容易被搅匀．一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法．
(2)随机数表法的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③读数获取样本号码．随机数表法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取样本仍不方便．
考点2 分层抽样
重点阐述
分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；②为了保证每个个体等可能入样，所有
层中每个个体被抽到的可能性相同；③在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
(12，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
【解】
【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤．分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．
某地区有小学150
所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
考点3系统抽样
重点阐述
1．系统抽样适用于总体容量较大的情况．
2．系统抽样剔除多余个体并在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号，因而与简单随机抽样有密切联系．
3．系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相同．
要从
【解】
【点评】将总体中个体进行编号，用抽签法或随机数表法剔除两个个体，然后将个体重新编号进行系统抽样．
课堂训练
1．用随机数表进行抽样，有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；
③选定开始的数字．这些步骤的先后顺序是________．
2．从学号为01～45的高二某班45名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可以是________(写出1组即可)．
3．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为________．
4．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用系统抽样的方法，则所选取5枚导弹的编号可能是________(填正确的序号)．
①5,10,15,20,25；②3,13,23,33,43；③1,2,3,4,5；④2,4,6,16,32.
5．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n ＝________.
第54讲总体分布的估计
知识 整合
【基础知识】
1．总体分布的估计 (1)频率分布表
(2)频率分布直方图与折线图 (3)茎叶图
2．总体特征数的估计 (1)平均数及其估计
平均数x ＝1
n
(x 1＋x 2＋…＋x n )
(2)方差与标准差
方差s 2＝1n ∑n i ＝1
(x i
－x )2
标准差s ＝1n ∑n
i ＝1 (x i －x )2 【基础自测】
1．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.
2．已知样本数据：25,21,23,25,27,29,25,28,30,39,27,24,25,27,26,22,24,25,26,28，在制作频率分布表时，在24.5～26.5这一组的频率是__________．
3．关于频率分布直方图的几种说法如下：
①直方图的高表示该组样本中出现的频率；②各矩形的高度之和为1；③直方图的高表示该组在样本中出现频率与组距的比；④各矩形的面积和为1.
以上命题中正确的序号为__________．
4．甲、乙、丙、丁四人参加广州亚运会某项射击选拔赛的平均成绩依次是8.5、8.8、9.1、9.1，方差依次是1.7、2.1、1.7、2.5，则参加亚运会该项目角逐的最佳人选是________．
5．下列说法中
①在统计中，把所需考查对象的全体叫总体；
②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；
③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势； ④一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大． 正确说法的序号是__________．
重难点 突破
考点1 频率分布直方图
重点阐述
频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布．
已知[60,70]的汽车大约有________辆．
【解】
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知中的频率分布直方图结合频率＝矩形高×组距计算各组的频率是解答此类问题的关键．
间进行调查，现从中抽取一个容量为n的样本加以分析，其频率分布直方图如图所示，已知时间不超过2小时的人数为12人，则n＝________.
考点2茎叶图
重点阐述
1．茎叶图只便于表示两位有效数字的依据，而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据时那么直观，清晰．
2．茎叶图不能直观反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步地估计总计．
5次考试成绩的平均数分别是________．
【解】
【点评】茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致概率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．
况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示，据此估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在内的人数为________．
考点3用样本的数字特征估计总体的数字特征
重点阐述
平均数都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数与每一个样本数据都有关，任何一个数据的改变标准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差与方差越大，说明这组数据的波动性越大，用样本的数字特征估计总体的数字特征时，样本容量越大，估计就越精确．
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更合适？
【解】
【点评】平均数、方差、标准差都是数学的特征数，是对总体的一种简明的描述，其中平均数和标准差尤其重要．它们所反映的情况有着重要的实际意义，所以不仅需要掌握其计算公式和方法，还要学会通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据．
测得它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25414037221419392142
乙：27164427441640401640
问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？
课堂 训练
1．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，则其方差为________________________________________________________________________．
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________． 3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的方差为________．
第3题图
4．某校开展“爱我无锡、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________．
第4题图
5．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是__________．
第5题图
第55讲随机事件及其概率
知识 整合 【基础知识】
1．基本事件是在一次试验中，所有可能发生的基本结果，是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，基本事件空间是所有基本事件构成的集合．
2．在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m
n
，当n 很大时，频数总是在某个常
数附近摆动，随着n 的增加，摆动的幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )，它的范围是0≤P (A )≤1.
3．不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件． 4．一般地，由事件A 和事件B 至少有一个发生所构成的事件C ，称为事件A 和B 的并(或和)，记作C ＝A ＋B ，且当A 和B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．如果事件A 1，A 2，A 3，…，A n ，彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋A 3＋…＋A n 发生的概率P (A 1＋A 2＋A 3＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋…＋P (A n )．
3．不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．若事件A 的对立事件记作A ，则P (A )＝1－P (A )．
【基础自测】 1．在下列事件中，________是随机事件，________是不可能事件，________是必然事件．
①物体在重力的作用下会自由下落；②方程x 2
＋2x ＋3＝0有两个不相等的实数根；③下周一下雨；④手电筒里的电池没电了，灯泡发亮；⑤导体通电会发热；⑥若直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c .
2．先后抛掷两枚硬币，出现“一枚正面，一枚反面”的概率是________． 3．设A 为一随机事件，则下列式子不正确．．．
的是________． ①P (AA
－
)＝0； ②P (A ＋A
－)＝P (A )＋P (A
－
)； ③P (AA
－)＝P (A )P (A
－
)； ④P (A ＋A
－
)＝1. 4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．
5．从标有号数1－10的10张号签中任取一张，得到的号数小于3的概率是________．
重难点 突破
考点1 随机事件与概率
难点释疑
1．判断基本事件时，一定要根据事件的相关概念进行分析；
2．就统计的定义而言，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率满足0≤P (A )≤1.
(1)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是红球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 【解】
【点评】 一个随机事件的发生，既有随机性，又存在着统计规律性．从概率统计的定义上讲，必然事件和不可能事件可看作是随机事件的两个极端情况．
考点2 互斥事件与对立事件的概率
难点释疑
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．
0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 【解】
【点评】 本题旨在考查互斥事件及对立事件概率的求解．设事件“电话响第k 声被接”为A k (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，问题可根据互斥事件概率加法公式解决问题(1)；根据对立事件的概率解决问题(2)．
课堂 训练
1．下列事件中是随机事件的个数有________个．
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就会飞走③如果一个家庭第一次生女儿，那么第二次生男孩；④在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾．
2．(13江苏模拟)已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是赝品的事件的概率为________．
3．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，则小明考试及格的概率为__________．
4．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取2本，取到语文的概率是
________．第56讲古典概型
知识 整合 【基础知识】
1．古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是：(1)有限性，在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个事件发生的可能性是均等的．
2．在基本事件总数是n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率是1
n
.如果某个事件A 包
含了其中m 个等可能事件，那么事件A 发生的概率P (A )＝m
n
.
3．古典概型问题容易弄错基本事件个数，要认真仔细． 【基础自测】
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的
纤维的概率是________．
2．小明同时参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，其中只有一项获奖，则跳高项目获奖的概率为________．
3．在30瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，则从中任取一瓶，取到已过保质期饮料的概率为________．
4．袋中有8个相同的小球，分别标有1,2,3，…，8，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率为________．
5．掷一枚骰子，则得到点数为奇数的概率是________．
6．一个袋中有3个黑球，2个白球，第一次摸出一个球，然后再放进去，再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为________．
重难点 突破
考点1 古典概型的概率
重点阐述
古典概型的概率公式P ＝m
n
，其中n 表示该问题所包含的基本事件的总数，m 是指欲求
概率的事件包含的基本事件数．需要注意的是，这类问题的基本事件必须是等可能的，否则不能用这一方法．
难点释疑
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．
同的概率是________．
【解】
【点评】 本题考查了古典概型中的等可能事件的概率，这是最基本的一种概率计算问
题，直接利用公式P ＝m
n
.
抽查同一种商品，则抽出一件是次品的概率是________．
＝4上的概率是________．
【解】
【点评】本题先判断出各个结果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求解．
平面向量a m＝(m,n
n∈{1,2,3,4}，则有序数组(m，n)在x－y＝0上的概率是________．
(12
这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
【解】
【点评】本题考查古典概型的求解，同数列相结合进行考查准确列举对基本事件数是解决问题的关键，属基础题．
现有编号分别为
题，甲同学从中随机抽取两题，则所抽取的两个基本题的编号之和小于8但不小于4的概率是________．
(1)
(2)从得分在区间
抽取6
3所小学，2所中学，1所大学，若从6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．
课堂训练
1．已知有10件产品，其中3件次品，则任意抽出1件是正品的概率为________．
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．
3．将一颗均匀骰子先后抛掷两次，其中向上的点数之和是质数的概率为________．4．从{1,2,3}中随机地选取一个数a，从{4,5}中随机地选取一个数b，从{6,7}中随机地选取一个数c，则a，b，c成等差数列的概率是________．
5．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
6．在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．
第57讲几何概型
知识整合
【基础知识】
1．几何概型的基本特点：
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2．几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内
部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度
D的测度
.
在这里，D的测度不为0，其中“测度”的意义由D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．
【基础自测】
1．在500mL水中有1个细菌，现从中随机取出20mL，在这20mL水中发现这个细菌的概率是________．
2．在区间上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为__________．
3．如图所示，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为________．
第3题图
4．在区间[0,3]上任取一个数，则这个数大于0.5而小于1.5的概率是________．
5．向面积为10的△ACB内投一点P，△PBC面积小于等于3的概率是__________．
重难点 突破
考点1 与长度有关的几何概型
难点释疑
用几何概型求解概率问题和古典概型的思路是相同的，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的区域d 的测度”与“试验的基本事件所占的几何区域D 的测度”之比表示．
1m 的概率为__________．
【解】
【点评】 解决几何概型问题时就是将每个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域内每一点被取到的机会均等．
考点2 与面积(或体积)有关的几何概型
如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的
顶点为圆心，半径为a
2
的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个
点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率为__________．
【解】
【点评】 求解有关面积的几何概型，首先应明确所求区域面积与全体面积的具体情况．
课堂 训练
1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________． 2．在线段[0,4]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．
3．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、…、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、…，1环，则不考虑技术因素，射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的
概率为________．
4．如图，在矩形ABCD 内，AB ＝4cm ，BC ＝2cm ，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落在圆上的概率是________．
第4题图
5．正方形ABCD 的边长为2，在其内部取点P ，则事件“△P AB ，△PBC ，△PCD ，△
PDA 面积均大于2
3
”的概率是________．
高考零 距离
一、填空题
1．(13浙江模拟)已知正整数a ，b 满足4a ＋b ＝30，则a ，b 都是偶数的概率是________． 2．(13江苏模拟)连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次，则出现向上的点数和大于9的概率是________．
3．(13江苏模拟)已知样本方差由s 2＝110∑10x ＝1
(x i
－5)2
，则x 1＋x 2＋…＋x 10＝________. 4．(13江苏模拟)甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
5．(13江苏模拟)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }则A ∩B ＝B 的概率是________．
6．(12浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则
该两点间的距离为2
2
的概率是________．
二、解答题
7．(10福建高考)将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a ，b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．
(1)若点P (a ，b )落在不等式组????
?
x ＞0y ＞0
x ＋y ≤4
表示的平面域的事件记为A ，求事件A 的概率；
(2)若点P (a ，b )落在x ＋y ＝m (m 为常数)的直线上，且使此事件的概率最大，求m 的值及
最大概率．
共轭复数的运算专项练习(2016—2018高考)(附答案) 2018年 1、（全国卷1）设z=i i +-11+2i , 则z =（ ） A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 2、（全国卷2）=-+i i 2121（ ） A.i 5354-- B.i 5354+- C.i 5453-- D.i 5453+- 3、（全国卷3）（1+i ）（2-i ）=（ ） A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 4、（浙江卷）复数i -12（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 5、（江苏卷）若复数z 满足i ·z=1+2i,其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______ 6、（天津卷）i 是虚数单位，复数 =++i i 2176_______ 7、（北京卷）在复平面内，复数i -11的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2018答案 1、 因为,22)1)(1(211)1(2i i i i i i i i i z i =+-=+-+=++-= -所以,1=z 故选C 。 2、 i i i i i i i 5 453)21)(21()21)(21(2121+-=+-++=-+，故选D 3、 i i i i i i +=-+-=-+322)2)(1(2，选D 4、 因为i i i i i i i +=-+=+-+=-11)1(2)1)(1()1(2122，所以复数i -12的共轭复数为1-I,故选B.
5、 复数i i i i i z -=-+=+= 2))(21(21的实部是2. 6、 i i i i i i i i -=-=-+-+=++45520)21)(21()21)(76(2176 7、 i i i 21212111+=+=-，其共轭复数为i 2121-，对应的点为（21，2 1-），故选D. 2017年 1、设有下面四个命题 1P :若复数z 满足R z ∈1，则R z ∈ 2P :若复数z 满足R z ∈2 ，则R z ∈ 3P : 若复数21,z z 满足R z z ∈21，则21z z = 4P : 若复数R z ∈，则R z ∈. 其中的真命题为 A. 1P ,3P B 1P .4P C. 2P ,3P D. 2P ,4P 2、=++i i 13 A.1+2i B.1-2i C.2+i D. 2-i 3、设复数z 满足（1+i ）z=2i,则z = A.21 B.22 C. 2 D. 2 4、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则a= A.1或-1 B. 7-7或 C. 3- D. 3 5、已知R a ∈，i 为虚数单位，若 i i +-2a 为实数，则a 的值为________. 6、已知i R b a bi a 43,,)(2+=∈+（i 是虚数单位），则=+22b a ________,
高考微点二 复数、平面向量与算法 牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z － ＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定
班级_____________ 姓名______________ 四年级（下）英语Unit1易错题英译互译。 1. 多少学科 6. 去上学 2. 喜欢科学课7. 我们的新课表 3. 什么课8. 上一节美术课 4. 去操场9. 多少节数学课 5. 今天下午10. 有两场足球赛 一、选择题。 ( ) 1. It’s time school. A. at B. to C. for ( ) 2. Do you have PE lessons this week? A. any B. some C. a ( ) 3. It’s time play table tennis. Let’s go. A. of B. to C. for ( ) 4. Do we have Chinese lesson this morning? A. any B. some C. a ( ) 5. What do you like? I like PE. It’s fun. A. subjects B. subject C. a subject ( ) 6. Do you have English lesson on Monday? A. any B. a C. an ( ) 7. We have Art lesson and English lesson today. A. an; a B. a, an C. an, an ( ) 8. How many lessons do you have today? --- A. We have Art and Music. B. We have three. C. We like PE. 四年级（下）英语Unit2易错题 二、英译互译。 1. 星期几 2 我的一天 3. 去学校 4. 在星期六下午 5. 有一节美术课 6. 今天早上 7. 好的。8. 一节溜冰课9. 真遗憾！ 三、按要求写单词。 1. match(复数) 2. let’s (完全形式) _ 3. here(反义词) __ 4. he’s（同音词）________ 四、选择题。 ( ) 1. ─ ______ lessons do you have this morning？─ We have four . A. What B. How many C. How much ( ) 2. ─What _do you have this morning? ─I have English and Maths. A. subject B. lessons C. lesson ( ) 3. ─ What do you like? ─ I like Art. A. subjects B. lesson C. lessons ( ) 3. I get up ___ six twenty. A. at B. on C. in ( ) 4. I an English lesson. She an English lesson too. A. has；have B. have; have C. have；has ( ) 5.We have eight _______at school, and I like En glish. It’s fun. A. lessons B. subject C. subjects ( ) 6. We don’t have lessons on Sunday. A. some B. a C. any ( ) 7. We don’t have Chinese lesson this morning. A. some B. a C. any ( ) 8. It’s time_____play basketball. Let’s go. A. of B. to C. for ( ) 9. It’s time_____ class. A.at B.to C. for ( ) 10. ─___do you have your first lesson?─____eight o’clock. A. When；At B. What；On C. How；At ( ) 11. Welcome ______ the snack bar. A. at B. to C. in ( ) 12. Who’s the boy______ the white shirt. A. with B. at C. in ( ) 13. Who’s the woman______ long hair. A. at B. in C. with 四年级（下）英语Unit3易错题 二、英译互译。 1. 做我们的家庭作业 6. 谈论关于 2. 在晚上7. 在夜间 3. 在那里8. 放学后踢足球 4. 做她的家庭作业9. 今天下午 5. 吃早饭10. 看电视 三、选择题。 ( ) 1. What time is it? A. It’s six. B. Six. C. At six.
共轭复数的多项式性质 时贞军张祖华 平阴县职业教育中心山东平阴250400 曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826 摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。 关键词：复数共轭复数多项式。 据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate). 根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.
共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）； 加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i 乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac －bd)+(bc+ad)i. 除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。即：开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy 即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对
易错题答案详解 1. A or else意为“要不然，否则”。 2. A 考查连词。根据语境用if引导条件状语从句。 3. A 本题考查考生运用介词和比较级的能力。For在这里是“就……而言”的意思，而第二个选项要抓住信息词still在此处的妙用，它是用来修饰比较级的，加上上文的cold，在此处就不难选择colder了。 4. D 本题考查不定代词的本意区别及其与语境综合运用。此处none指的是not any vinegar，也就是说，此处可以这样理解：I'm sorry to say that I didn't put any vinegar in the soup, because I forgot it. 5. B 本题考查考生在语境中灵活运用. 辨析短语用法的能力，此处seldom，if ever 是一个短语，是“从不，决不”的意思。 6. B 本题however you like相当于in whatever way you like，根据语境，不难判断出B为正确答案。 7. A 本题考查情态动词shall在主语是第二. 三人称时，作为征求意见的用法。。 8. C 考查连接词。Where引导地点状语从句。 9. C 考查时态。had planned发生called和couldn't get away之前。 10. D 考查连接代词。whosever既引导从句作介词to的宾语，又在从句中作定语。 11. A 考查冠词的用法。第一空表示泛指，而第二空构成一个短语do sb. a great service，其意思为“给某人提供好的服务”。Service在这里为抽象名词具体化。 12. C 考查动词的时态。根据句子的意思，表示发生在过去的动作对现在所产生的影响，所以应该用现在完成时。此句的意思是“由于我把所有的钱都丢失了，所以再开始说是我的过错也就没有意义了”。 13. A 考查动词短语的用法。look up的意思为“向上看”. “尊敬”. “仰望”. “查寻”. “拜访”. “好转”，在本语境中为“好转”。 14. A 考查介词表示时间的用法。during the night的意思为“在晚上的某个时间”。 15. C 考查冠词的用法，experience意思为“经验”时是一个不可数名词，当意思为“经历”时是一个可数名词。本题是他在社会中赢得了很丰富的经验，experience在此为不可数名词，社会在这里是抽象名词，所以不加冠词。 16. A 本题考查free的用法。在这里free的意思为：解除负担. 义务或限制。在本题中，free和句子的主语之间是一种逻辑上是动宾关系，所以要用过去分词形式，表示一种被动与完成。 17. B 本题是对情景交际用语的考查。“你错过了开会”，而从答语中的“我在会议结束前五分钟到达会场”，可以看出答话者认为对方讲话不够确切，毕竟答话者参加了会议，只不过迟到而已。 18. C 本题考查交际用语，表示许可时，肯定回答常用“Yes, please. / Of course, you may. / Go ahead, please. / Not at all. / Just help yourself. ”等表示。B和D选项前后矛盾。 19. C 本题考查交际用语。当对方表示感谢时，常用的答语有：You're welcome. / It's nothing. / That's all right. / Don't mention it. / It's a pleasure. / It's my pleasure. / That's nothing. / It was no trouble at all. 等。A项意思为“乐于效劳”；D项表示同意等；B项“不要紧. 没关系”。 20. C 根据句意，该空须填一个连词。Considering连词，“就……而论；照……来看”。 21. B just my luck是习语，意思为“真倒霉！”。not at all和that's all right多用于对方感谢时的应答语，“不客气”。Never mind用于对方道歉时的应答语，“没关系”。 22. A 这是一个省略句，承接上文，省略了as I had thought。
数 学 L 单元 算法初步与复数 L1 算法与程序框图 10．L1[2016·全国卷Ⅰ] 执行图1-3所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( ) 图1-3 A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝4x D ．y ＝5x 10．C [解析] 第一次循环后，x ＝0，y ＝1，n ＝2；第二次循环后，x ＝1 2，y ＝2，n ＝3； 第三次循环后，x ＝32，y ＝6，此时满足条件x 2＋y 2≥36，循环结束．故输出x ＝3 2，y ＝6，满 足y ＝4x . 9．L1[2016·全国卷Ⅱ] 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图1-3是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( ) 图1-3
A．7 B．12 C．17 D．34 9．C[解析] 第一次运算，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n； 第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n； 第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17. 8．L1[2016·全国卷Ⅲ] 执行图1-2的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n ＝() 图1-2 A．3 B．4 C．5 D．6 8．B[解析] 执行第一次循环，得n＝1，s＝6；执行第二次循环，得n＝2，s＝10；执行第三次循环，得n＝3，s＝16；执行第四次循环，得n＝4，s＝20，输出n＝4. 3．L1[2016·北京卷] 执行如图1-1所示的程序框图，输出的s值为() 图1-1 A．8 B．9 C．27 D．36 3．B[解析] 第一次循环，s＝0，k＝1；第二次循环，s＝1，k＝2；第三次循环，s＝9，k＝3，此时不满足k≤2，故输出的s值是9.
更多精品文档 复数易错题 1．在复平面内，复数65,23i i --+对应的点分别为A B 、,若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ） A ．48i + B ．82i + C ．2i - D ．4i + 【答案】C 【解析】 试题分析：先由点,A B 对应的复数可以得到点,A B 的坐标，在利用中点坐标公式可以求出点C 的坐标，最后就可以得到点C 对应的复数．由于复数65i -对应的点为()6,5A -，复数23i -+对应的点为()2,3B -．利用中点坐标公式得线段AB 的中点()2,1C -，所以点C 对应的复数2i -，故选C ． 考点：1、复平面；2复平面内的点与复数的一一对应关系；3、线段的中点． 2．z 为复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，且1i z i ?=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．i D ．1 【答案】D 【解析】 试题分析：()()() 111,1,i i i z i z i i i i -?--===--∴=-+?-其虚部为1，故选D ． 考点：复数的概念及运算． 3．设集合}|,sin cos ||{22R ∈-==x x x y y M ，{|| |1N x =<，i 为虚数单位，}R ∈x ，则M ∩N 为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1] C ．[0，1） D ．[0，1] 【答案】C 【解析】 试题分析：[] 1,0}2cos {=∈=R x x x M ,}11{}1{}12 31{<<-=<=<+=x x x x x i x N ，[)10，=N M ,故选C. 考点：1.集合的交并补；2.复数的代数运算与几何运算 4．设i i z ++= 11 ，则=||z A. 2 1 B. 22 C. 23 D. 2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222 i i z i i i i i i i --= +=+=+=-++-，由模的运算可得：||2 z = =. 考点：复数的运算 5． =-+2 3 )1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D 【解析】 试题分析：由已知得 =-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1) 1(1)2i i i i i i i +++==----． 【考点定位】复数的运算． 6．设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为( )． A.2 B.-2 C.- D. 【答案】A 【解析】 ∵ = = = + ∴由纯虚数的概念知：=0, ≠0 ∴a=2 7．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）
L 单元算法初步与复数 L1算法与程序框图 3. L1 ［2017 ?天津卷］阅读图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24,则输出N 的值为（ ） A. 0 B . 1 C . 2 D . 3 3. C ［解析］输入N = 24,第一次执行 N = 8;第二次执行 N = 7;第三次执行 N = 6; 第四次执行N = 2,满足条件，输出2?故选C. x 的值为7,第 A . 0, 0 B . 1, 1 C . 0, 1 D . 1, 0 6. D ［解析］当x = 7时，b = 2,此时4<7，且x 不能被2整除，所以此时b = 3,又因 为32>7成立，所以输出a = 1;当x = 9时，b = 2,此时4<9，且x 不能被2整除，所以此时 2 b = 3，又因为3 >9不成立，且x 能被3整除，所以输出a = 0?故选D. & L1 ［2017全国卷n ］执行如图1-2所示的程序框图，如果输入的 a =- 1,则输出的 x 6. L1 ［2017山东卷］执行两次图1-1所示的程序框图，若第一次输入的 二次输入的
A.2 B . 3 C . 4 D . 5 & B ［解析］逐次计算结果为：S =— 1, a = 1, K = 2; S = 1, a =— 1, K = 3; S = — 2, a = 1, K = 4; S = 2, a =— 1, K = 5; S = — 3, a = 1, K = 6; S = 3, a =— 1, K = 7,此时输 出S.故输出的S = 3. 8. L1 ［2017全国卷I ］图1-3的程序框图是为了求出满足 3n — 2n >1000的最小偶数n , 那么在”和 两个空白框中，可以分别填入 （ ） 图1-3 A . A>1000 和 n = n + 1 B. A>1000 和 n = n + 2 C. A w 1000 和 n = n + 1 D. A < 1000 和 n = n + 2 框" _________ ”中应填入n = n + 2.选D. 7. L1 ［2017全国卷川］执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于91,则输入的正整 S =( ) 图 1-2 ［解析］判断框 中应填入A < 1000,由于是求最小偶数，故处理 /输入□/
复数、算法、推理与证明 第一节 数系的扩充与复数的引入 一、基础知识 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模： 向量OZ ―→ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． 复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→ . 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
一般现在时易错题及解析 一、单项选择一般现在时 1．—Tu Youyou proves with hardships _______ great honor. —Sure. Opportunities favour the prepared mind. A．comes B．will come C．is coming D．are coming 【答案】A 【解析】考查时态。上句：屠呦呦证明了艰辛会变成伟大的荣誉。下句：当然，机会偏爱有准备的头脑。根据句意可知句子用一般现在时态，故答案为A。 2．Mr. Black, as well as the professor who________ from Beijing University, ________ to attend our school meeting. A．come; is B．comes; are C．comes; is D．come; are 【答案】C 【解析】 考查主谓一致。第一个空处主语为定语从句中的who，指代单数名词professor，谓语用单数。第二个空处主语为Mr. Black，为单数，谓语用单数。故选C。 3．Wishing you the best of luck. We ________ your telephone number and will call you if anything comes up. A．have B．will have C．had D．would have 【答案】A 【解析】 试题分析：考查动词的时态。句意：祝你好运。我们有你的电话号码，如果有什么事，我们会打电话给你。我们有你的电话号码是客观事实，故用一般现在时，故选A。 考点：考查动词的时态 4． Temperatures________ quite dramatically at night in mountains, so put on some warm clothes before going out. A．are dropped B．drop C．are being dropped D．have dropped 【答案】B 【解析】 试题分析：句意：山里的气温晚上下降得厉害，所以出门前穿上一些暖和的衣服。山里的气温到晚上骤降是自然状况，应该用一般现在时的主动语态。故选B。 考点：考查谓语动词的时态和语态。 5．You’d better write down her address before you ________ it. A．forget B．are forgetting C．forgot D．will forget
A . 7 B . 42 C . 210 D . 840 4. C ［解析］S = 1 X 7 X 6X 5= 210. 5. L1 ［2014福建卷］阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 于（） L 单元算法初步与复数 L1算法与程序框图 3. L1 ［2014安徽卷］如图1-1所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ Mr 1 ——査 I 匾 11上：I 〔结康） I ------------- 图1-1 A . 34 B . 53 C . 78 D . 89 3. B ［解析］由程序框图可知，变量的取值情况如下: 第一次循环, 第二次循环, 第三次循环, 第四次循环, 第五次循环, 第六次循环, x = 1 , y = 1, z = 2; x = 1 , y = 2, z = 3; x = 2, y = 3, z = 5; x = 3, y = 5, z = 8; x = 5, y = 8, z = 13; x = 8, y = 13, z = 21 ; 第七次循环，x = 13, y = 21, z = 34; 第八次循环，x = 21, y = 34, z = 55,不满足条件，跳出循环. 4. L1 ［2014北京卷］当m = 7, n = 3时，执行如图1-1所示的程序框图，输出的 S 值为 * S 1 蜻柬 图1-1 S 的值等
H—l B^ttl V 〔结束〕 图1-3 A. 18 B. 20 C. 21 D. 40 5. B ［解析］输入S= 0, n= 1,第一次循环，S= 0+ 2+ 1 = 3, n= 2; 第二次循环，S= 3 + 22+ 2 = 9, n = 3; 第三次循环，S= 9 + 23+ 3 = 20, n = 4,满足S> 15,结束循环，输出S= 20. 13. L1 ［2014湖北卷］设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数?将组成 a的3个数字按从小到大排成的三位数记为1(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a =815，则l(a)= 158, D(a) = 851).阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a,输出的结果b = ____________________ . b=-J(A)a sA (结束〕 图1-2 13. 495 [解析]取a1 = 815? 6 = 851 —158= 693工815? a2= 693; 由a2= 693?b2= 963 —369 = 594工693? a3= 594; 由a3= 594? b3= 954 —459 = 495工594? = 495; 由a4= 495? b4= 954 —459 = 495= a4? b= 495. 6. L1 [2014湖南卷]执行如图1-1所示的程序框图.如果输入的t € [ —2, 2],则输出的S属于() A . [ —6, —2] B . [ —5,—1] C. [ —4, 5] D . [ —3, 6]
专题7第3讲 算法与复数 一、选择题 1．(2011·大纲全国卷理，1)复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z － －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i [答案] B [解析] z －＝1－i ，∴z ·z －－z －1＝(1＋i )(1－i )－(1＋i )－1＝－i . 2．(2011·福建文，5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( ) A ．3 B ．11 C ．38 D ．123 [答案] B [解析] 根据赋值语句“a ＝a 2＋2”及初值a ＝1得输出的a 为11，共循环2次． 3．(2011·江南十校联考)阅读如图所示的程序框图，则输出的S ＝( ) A ．45 B ．35 C ．21 D ．15 [答案] D
[解析]当i＝1时，T＝1，S＝1；当i＝2时，T＝3，S＝3；当i＝3时，T＝5，S＝15；当i＝4时，输出S，故输出的S＝15，故选D. 4．(文)(2011·广东文，1)设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝() A．－i B．i C．－1 D．1 [答案] A [解析]z＝1 i ＝ i i×i ＝－i. (理)(2011·广东理，1)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝() A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i [答案] B [解析]∵(1＋i)z＝2，∴z＝ 2 1＋i ＝ 2(1－i) 2 ＝1－i，选B. 5．(2011·辽宁理，6)执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是() A．8 B．5 C．3 D．2 [答案] C [解析]k＝1时，p＝1，k＝2时，p＝2，k＝3时，p＝3. 6．(文)(2011·海南五校联考)复数z满足z i＝1＋3i，则z在复平面内所对应的点的坐标是() A．(1，－3) B．(－1,3) C．(－3,1) D．(3，－1) [答案] D [解析]∵z i2＝(1＋3i)i＝－3＋i，即－z＝－3＋i， ∴z＝3－i，故复数z在复平面内对应的点为(3，－1)．
专题限时集训(十八)A [第18讲算法与复数] (时间：10分钟＋25分钟) 1．i是虚数单位，1＋i3等于() A．i B．－i C．1＋i D．1－i 2．设复数z满足i z＝1，其中i为虚数单位，则z＝() A．－i B．i C．－1 D．1 3．阅读图18－1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是() A．3 B．11 C．38 D．123 4．若a－i i ＝b＋2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a－b的值为() A．－1 B．－3 C．3 D．1 1．若a，b∈R，i为虚数单位，且(() A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 2．i为虚数单位，1 i ＋ 1 i3 ＋ 1 i5 ＋ 1 i7 ＝() A．0 B．2i C．－2i D．4i 3．某程序框图如图18－2() 图18－2
A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝1 x C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝sin x 4．运行如下所示的程序，输出的结果是________． a ＝1b ＝2 a ＝a ＋ b PRINT a END 5．执行下面的程序框图，则输出的结果是________． 6．若执行如图18－4所示的框图，输入x 1 ＝1，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝8，则输出的数等于________． 图18－4 7．图18－5 ________．
专题限时集训(十八)B [第18讲 算法与复数] (时间：10分钟＋25分钟) 1．复数11＋i ＋i 2 的值是( ) A ．－12 B.1 2 C.1＋i 2 D.1－i 2 2．设i 为虚数单位，复数z 1＝1＋i ，z 2＝2i －1，则复数z 1·z 2在复平面上对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如图18－6所示的程序框图输出的结果是( ) A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 4．设i 为虚数单位，则复数2i 1－i 的虚部为( ) A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i 1．复数z ＝ 2－i 2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知x ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(x ＋i)为纯虚数，则x 的值等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12 3．已知复数a －i i －i 在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则实数a 的值 为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 4．阅读下列程序，输出结果为2的是( )
【高中数学】单元《复数》知识点归纳 一、选择题 1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3- 【答案】D 【解析】 【分析】 首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：()()()() 362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0OP u u u v 对应的复数是 ()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】 因为342z i ++≤， 故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为222AB +==， 最小值为22AB -=，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】 本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题. 4．设i 是虚数单位，则()() 3211i i -+等于( ) A ．1i - B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】 () ()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i i -----===-++ 故答案选B 【点睛】 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
复数的模及共轭复数（答案） 1、有关复数的模你知道哪些？ （1） ||||||z a bi OZ =+==u u u r （2）2 2 Z Z Z Z == （注意22||z z ≠） （3）1212Z Z Z Z =? 11222 (0)Z Z Z Z Z =≠ n n Z Z = 如； 2 2(3)(1) (1) i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2| 如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] . 2、有关共轭复数你知道哪些？ 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =- 如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ?=? 11222 ()(0)z z z z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=- 3、设4 112 3(12),,(3)2z i z z i i +==--则2||z = 4 4、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1）a b a c b c >?+>+ （2）20a ≥ （3）2200a b a b +=?== （4）2 2a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =?=± 22a b a b =?=± （6）1 00a a a ≠?+ ≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？ （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=- （3）200a ab a ora b -=?== （4）00a b a b +=?== 6、判断下列是非，错误举出反例。 （1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （错） (2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈(错) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （错） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （错） （5）22z i z i +=- （ 对 ）
12＋4分项练14 算法与复数 1．(2017·全国Ⅱ)(1＋i)(2＋i)等于( ) A．1－i B．1＋3i C．3＋i D．3＋3i 答案 B 解析(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i. 故选B. 2．(2017届福建省厦门外国语学校适应性考试)复数z＝ 2i 1＋i ＋i5的共轭复数为( ) A．1－2i B．1＋2i C．i－1 D．1－i 答案 A 解析根据题意化简得z＝1＋2i，z＝1－2i，故选A. 3．(2017届安徽省蚌埠市质检)复数(a－i)(1－i)(a∈R)的实部与虚部相等，则实数a等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案 B 解析由题意可得(a－i)(1－i)＝a－i－a i＋i2＝(a－1)－(a＋1)i，结合题意可知，a－1＝－a－1 ，解得a＝0. 故选B. 4．(2017·全国Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( ) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 答案 C 解析∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限． 故选C.
5．如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2 z 1 等于( ) A.15＋25i B.25＋15 i C ．－25－15 i D ．－15－25i 答案 D 解析 由题图得z 1＝－2－i ，z 2＝i ， 所以z 2z 1＝i －2－i ＝－i (2－i )(2＋i )(2－i )＝－15－25 i ，故选D. 6．(2017·辽宁省实验中学模拟)某程序框图如图所示，若输入的n ＝10，则输出的结果为 ( ) A.110 B.89 C.910 D.1011 答案 C 解析 初始值：S ＝0，k ＝1，k <10 k ＝2，S ＝0＋1－12， k ＝3，S ＝0＋1－12＋? ?? ??12－13，