2007-2013年安徽省中考数学试题分类解析汇编（12专题）
专题10：四边形
一、选择题
1. （2011安徽省4分）如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E 、F 、G 、H 分
别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是【 】
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】D 。
【考点】勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质。
【分析】根据勾股定理，有BC=5。又根据三角形中位线平行于第三边且等于它的一半的性质定理，得
EF∥BC，HG∥BC，EF=1522BC =，HG=1522
BC =，∴EF∥HG，EF=HG 。∴四边形EFGH 是平行四边形。同理，EH=FG=3，∴四边形EFGH 的周长为5232112
?+?=。故选D 。 2. （2011安徽省4分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠AD C ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，
点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为2
3，则点P 的个数为【 】
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 。
【考点】点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形的性质。
【分析】如图，过点A 作AE⊥BD 于E ，过点C 作AE⊥BD 于F ，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB
＝AD ＝，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AE=2>
32
，∴在AB 和AD 边上各有一点，使点P 到
BD 的距离为32。又∵∠CDF＝∠ADC－∠ADB＝45°，CD ，∴CF=1<32
。 ∴在CB 和DD 边上不存在点，使点P 到BD 的距离为32。故选B 。 3. （2011安徽省4分）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是【 】
【答案】C 。
【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的特征。
【分析】当0 ∴, , 11 MN AP MN x MN x BD AO ===即即， ∴此时△AMN 的面积y=21122 MN AP x ??=。 当1≤AP＝x<2时，如图同样知△AME∽△ABD， ∴2, , 211 MN PC MN x MN x BD OC -===-即即， ∴此时△AMN 的面积y=()21112222MN AP x x x x ??=-=-+。 综上，根据二次函数图象的特征，y 关于x 的函数图象大致形状是C 。 4. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为【 】 A.22a B. 32a C. 42a D.52a 【答案】A 。 【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。 【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算： 222114222 a a a +??=。故选A 。 5. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】 A.10 B.54 C. 10或54 D.10或172 【答案】C 。 【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理 【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长： ①如左图： ∵CE==，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=10 。 ②如右图： ∵CE==E是斜边AB的中点，∴AB=2CE= 因此，原直角三角形纸片的斜边长是10或C。 二、填空题 1.（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】②④。 【考点】矩形的性质，相似 【分析】如图，过点P 分别作四个三角形的高， ∵△APD 以AD 为底边，△PBC 以BC 为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB ， ∴S 1+S 3= 12 S 矩形ABCD ； 同理可得出S 2+S 4=12S 矩形ABCD 。 ∴②S 2+S 4= S 1+ S 3正确，则①S 1+S 2=S 3+S 4错误。 若S 3=2 S 1，只能得出△APD 与△PBC 高度之比，S 4不一定等于2S 2；故结论③错误。 如图，若S 1=S 2，则12×PF×AD=12 ×PE×AB， ∴△APD 与△PBA 高度之比为：PF ：PE =AB ：AD 。 ∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF 是矩形， ∴矩形AEPF∽矩形ABCD 。连接AC 。 ∴PF：CD =PE ：BC=AP ：AC ， 即PF ：CD =AF ：AD=AP ：AC 。 ∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A 、P 、C 共线。∴P 点在矩形的对角线上。 故结论④正确。 综上所述，结论②和④正确。 2．（2013安徽省）如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、S 1、S 2，若S=2，则S 1+S 2= ． 考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：过P 作PQ 平行于DC ，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△ADC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC 的面积，而△PBC 面积=△CPQ 面积+△PBQ 面积，即为△PDC 面积+△PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB， ∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形， ∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB， ∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB， ∵EF为△PCB的中位线， ∴EF∥BC，EF=BC， ∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2， ∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2， ∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8． 故答案为：8 点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 14．（2013安徽省）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E，F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判 断：①当四边形A′CDF为正方形时，EF=； ②当EF=时，四边形A′CDF为正方形； ③当EF=时，四边形BA′CD为等腰梯形； ④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF=． 其中正确的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）． 考点：翻折变换（折叠问题）；探究型． 分析：①根据正方形的性质和矩形的性质判定“A'F刚好是矩形ABCD的中位线点E和点B 重合，EF即正方形ABA'F的对角线”，所以在直角△AEF中，由勾股定理可以求得EF=； ②根据①中的EF=可以推知，当EF沿着BC边平移时，EF的长度不变，但是四边形A′CDF不是正方形； ③根据勾股定理求得BD=，所以由已知条件可以推知EF与对角线BD重合．由折叠的性质、矩形的性质易证四边形BA′CD为等腰梯形； ④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF与对角线BD重合，即EF=． 解答：解：∵在矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2， ∴BC=2AB． ①如图①．∵A'CDF为正方形，说明A'F刚好是矩形ABCD的中位线， ∴AF=BA'=1，即点E和点B重合，EF即正方形ABA'F的对角线． EF=AB=． 故①正确；． ②如图①，由①知四边形A′CDF为正方形时，EF=，此时点E与点B重合． EF可以沿着BC边平移，当点E与点B不重合时，四边形A′CDF就不是正方形． 故②错误； ③如图②，∵BD===，EF=， ∴BD=EF， ∴EF与对角线BD重合． 易证BA'CD是等腰梯形． 故③正确； ④BA'CD为等腰梯形，只能是BA'=CD，EF与BD重合，所以EF=． 故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 故填：①③④． 点评：本题考查了折叠的性质．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题 1. （2007安徽省12分）如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS 是平行四边形． （1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什 么条件？ 2. （2008安徽省10分）如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。 ⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)； (2)求BP∶PQ∶QR 【答案】解：（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ 。 （2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， ∴BC=AD=CE，AC∥DE，∴PB=PR，PC1 = RE2 。 又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ。又∵点R是DE中点，∴DR=RE。 ∴PQ PC PC1 === QR DR RE2 ，∴QR=2PQ。 又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ，∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2。 【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，即可得AB∥CD，AD∥BE，AC∥DE，根据平行于三角形一边的直线截三角形另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似，即可求得：△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ 。 （2）由已知可得PC1 = RE2 ，根据△PCQ∽△RDQ可得 PQ PC PC1 === QR DR RE2 ，从而由 BP=PR=PQ＋QR=3PQ即可求得BP∶PQ∶QR=3∶1∶2。 3. （2009安徽省10分）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增 加一个菱形图案， 纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L； （2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？ 【答案】解：（1）如图，菱形图案水平方向对角线长为 BD=2BO=2ABcos∠ABO=cm）， ∴纹饰的长度L=30+26×（231－1）=6010（cm）。 （2）当d=20cm时，设需x个菱形图案，则有：30＋20×（x－1）=6010，解得x=300， ∴需300个这样的菱形图案。 【考点】菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）首先根据菱形的性质和锐角三角函数的概念求得菱形的对角线的长，再结合图形发现L=菱形对角线的长＋（231－1）d。 （2）设需要x个这样的图案，仍然根据L=菱形对角线的长+（x－1）d进行计算。 5. （2011安徽省14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、 l4上，这四条直线 中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)． (1)求证：h1＝h2； (2)设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝(h 1＋h 2)2＋h 12 ； (3)若 3 2h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随h 1的变化情况． 【答案】解：（1）设AD 、BC 与l 2、l 3相交于点E 、F 。 由题意知四边形BEDF 是平行四边形， ∴△ABE≌△CDF（ASA ）。 ∴对应高h 1＝h 3。 (2)过B 、D 分别作l 4的垂线，交l 4于G 、H （如图）， 易证△BCG≌△CDH，从而根据勾股定理，得 CB 2＝BG 2＋GC 2＝BG 2＋HD 2， 即：S ＝(h 3＋h 2)2＋h 32＝(h 1＋h 2)2＋h 12。 (3)∵ 3 2h 1＋h 2＝1,∴h 2＝1－ 3 2 h 1 由(2)知S ＝(h 1＋h 2)2＋h 12＝( h 1＋1－ 3 2 h 1)2 ＋h 12＝2111552414455 h h h ??-+=-+ ???。 ∵ h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0，∴h 2＝1－ 3 2h 1＞0，解得0＜h 1＜23 。 ∴当0＜h 1＜ 25 时，S 随h 1的增大而减小； 当h 1=25时，S 取得最小值45 ； 当25＜h 1＜23时，S 随h 1的增大而增大。 【考点】平行的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等量代换，，二次函数的性质。 【分析】（1）由全等三角形对应高相等的性质证明即可。 （2）由△BCG≌△CDH，应用勾股定理即可证得。 (3)将已知的 3 2h 1＋h 2＝1化为 h 2＝1－ 3 2 h 1代入（2）的结论： S ＝(h 1＋h 2)2＋h 12，得到S 关于 h 1的二次函数，应用二次函数增减性的性质进行讨论即可。 6．（2013安徽省）如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号） 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中求出AF，然后在Rt△AEF中求出AE即可． 解答：解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°， 则AF=ABsin60°=10m， 在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°， 则AE==10m． 答：改造后的坡长AE为10m． 点评：本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求相关线段的长度，难度一般． 7．（2013安徽省）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）； （2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：=； （3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由） 考点：四边形综合题；新定义；操作型；分类讨论． 分析：（1）根据条件∠B=∠C和梯形的定义就可以画出图形； （2）根据平行线的性质就可以得出∠DEC=∠B，∠AEC=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，由相似时间性的性质就可以求出结论；（3）根据角平分线的性质可以得出△EFB≌△EHC，就可以得出∠3=∠4，再有条件就可以得出∠ABC=∠DCB，从而得出结论，当点E不在四边形内部时分两种情况讨论就可以求出结论． （3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分线的性质就可以得出EF=EH，通过证明三角形全等就可以得出∠3=∠4，由BE=CE就可以得出∠1=∠2，从而可以得出结论，如图4，图5当点E在BC和在四边形ABCD外时同样可以得出四边形ABCD是“准等腰梯形”的结论． 解答：解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE； （2）∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEC， ∵AE∥DC， ∴∠AEB=∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠AEB， ∴AB=AE． ∵在△ABE和△DEC中， ， ∴△ABE∽△DEC， ∴， ∴； （3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H， ∴∠BFE=∠CHE=90°． ∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴EF=EG=EH， 在Rt△EFB和Rt△EHC中 ， ∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL）， ∴∠3=∠4． ∵BE=CE， ∴∠1=∠2． ∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠ABC=∠DCB， ∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC， ∴ABCD是“准等腰梯形”． 当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC， ∴∠B=∠C， ∴ABCD是“准等腰梯形”． 如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC， ∴∠EBF=∠ECH． ∵BE=CE， ∴∠3=∠4， ∴∠EBF﹣∠3=∠ECH﹣∠4， 即∠1=∠2， ∴四边形ABCD是“准等腰梯形”． 点评：本题考查了平行线的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时多次运用角平分线的性质是关键．
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