![[精美版]2015年全国新课标Ⅱ理科数学(逐题详解)](https://img.doczj.com/imgd8/06i25r2bl2o7ilz8tqxr-81.webp)
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2015年普通高等学校全国统一考试(课程标准卷Ⅱ)
数学(理科)
详解提供: 广东佛山市南海区南海中学 钱耀周
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150分.考试时间 120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 { } 2,1,0,1,2 A =-- , ( )( ) { }
120 B x x x =-+< ,则 A B = I ( )
A . { }
1,0 - B .{ }
0,1 C . { }
1,0,1 - D . { }
0,1,2 【解析】A ；因为 { }
21 B x x =-<< ,所以 { } 1,0 A B =- I ,故选 A . 2. 若a 为实数,且( )( ) 2i 2i 4i a a +-=- ,则a =( )
A . 1
- B .0
C . 1
D . 2
【解析】B ；因为( )( ) ( ) 2
2i 2i 44i 4i a a a a +-=+-=- ,所以 2 40 44 a a = ì
í -=- ?
,解得 0 a = ,故选 B .
3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图.以下结论不正确的是
( )
A . 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B . 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C . 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D . 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】D ；由图像可知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关(呈减少趋势). 4. 已知等比数列{ } n a 满足 1 3 a = , 135 21 a a a ++= ,则 357 a a a ++=( )
A . 21
B .42
C . 63
D . 84
【解析】B ；依题意 (
)
24
1 121 a q q ++= ,将 1 3 a = 代入整理得 4
2 60 q q +-= ,解得 2 2 q = 或 2
3 q =- (舍
去),所以 ( )
( ) 2
4
6
3571 324842 a a a a q q q ++=++=++= .
5. 设函数 ( ) ( ) 2 1
1log 2,1 2,1 x x x f x x - ì+-< ?
= í
3 ? ?
,则 ( ) ( ) 2 2log 12 f f -+=( ) A . 3
B .6
C . 9
D . 12
A B
C D A 1 B 1
C 1
D 1
图1 , a b
输入 开始 是 否 结束
a b 1 b b a
=- a 输出 a b > a a b
=- 是 否
图2
A B O C
A
B
C
D
P
O
x
图3
x x x x
y
y
y
y
【解析】C ；因为 2 log 121 > ,所以 ( ) 22 log 121
log 6 2 log 122
26 f - === , ( ) 2 21log 43 f -=+= .
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图1,则截去部分
体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为( )
A .
8 1
B .
7 1 C .
6
1 D . 5 1 【解析】D ；如图,截去部分为三棱锥 111 A A B D - ,剩余部分为多面体 111 B C D ABCD - ,且 111
A A
B D V - = 23
111 326 a a a ′′= (其中a 为正方体的棱长),所求体积之比为 333 111 : 665 a a a ?? -= ?÷ è
? . 7. 过三点 ( ) 1,3 A , ( ) 4,2 B , ( ) 1,7 C - 的圆交于 y 轴于M 、N 两点,则 MN =( )
A . 26
B .8
C . 46
D . 10
【解析】C ；由已知 1
3
AB k =- , 3 CB k =- ,所以 1 AB CB k k =- ,所以AB CB ^ ,故 ABC D 是以B 为直角的直 角三角形,其外接圆圆心为 AC 的中点( ) 1,2 - ,半径为5,外接圆方程为( ) ( ) 2
2
1225 x y -++= ,令
0 x = ,得 262 y =±- ,所以 46 MN = .
8. 图2所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入 , a b 分别为14,18, 则输出的a =( ) A . 0
B .2
C . 4
D . 14
【解析】B ； 1418 a b = ì í = ? T 144 a b = ì í = ? T 104 a b = ì í = ? T 6 4 a b = ì
í = ?
T 2 4 a b = ì í
= ? T 2 a b == ,输出的 2 a = ,故选 B .
9. 已知 , A B 是球O 的球面上两点, 90 AOB D=°,C 为该球面上的动点,若三棱锥
O ABC - 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )
A . 36p
B .64p
C . 144p
D . 256p 【解析】C ；如图所示,当点C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC
- 的体积最大,设球O 的半径为 R ,此时 23
111 36 326
O ABC C AOB V V R R R -- ==′′== ,故 6 R = ,则球O
的表面积为 2
4144 S R p p == ,故选 C .
10.如图3,长方形ABCD 的边长 2 AB = , 1 BC = ,O 是 AB 的中点,点P 沿着边
, BC CD 与DA 运动, BOP x D= ,将动点P 到 , A B 两点距离之和表示为x 的
函数 ( ) f x ,则 ( ) f x 的图像大致为( )
A .
B .
C .
D .
A B M
H x
y
O O A
B
C x
y 【解析】 B ； 依题意,当点P 在BC 边上运动时,即0 4
x p
￡￡
时, 2 tan 4tan PA PB x x +=++ ； 当点P 在
CD 边上运动时,即 3 44 x p
p ￡￡
, 2 x p 1 时, 2
2
11 1111 tan tan PA PB x x ????
+=-++++ ?÷?÷ è?è?
,当 2 x p = 时, 22 PA PB += ；当点P 在 AD 边上运动时,即 3 4 x p
p ￡￡ 时, 2 tan 4
PA PB x +=+ tan x - ；从点P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 2 x p = 对称,且 42 f f p p ????
> ?÷?÷ è?è?
,且轨迹非线型,
故选 B .
11.已知 , A B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上, ABM D 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心
率为( ) A .
5 B .2
C .
3
D . 2
【解析】D ；设双曲线方程为 22
22 1 x y a b
-= ( 0,0 a b >> ),如图, 2 AB BM a == ,
120 ABM D=° , 过点 M 作 MH x ^ 轴于 H , 在 Rt BMH D 中
, BH a = , 3 MH a = , 故 ( )
2,3 M a a ,代入双曲线方程可得 2222 a b a c ==- ,即 22 2
c a = ,所以 2 e = ,选 D . 12.设函数 ( ) f x ￠ 是奇函数 ( ) f x (x ?R )的导函数, ( ) 10 f -= ,当 0 x > 时, ( ) ( ) 0 xf x f x ￠ -< ,则使得
( ) 0 f x > 成立的x 的取值范围是( )
A . ( ) ( ) ,10,1 -￥- U
B .( ) ( ) 1,01, -+￥ U
C . ( ) ( ) ,11,0 -￥-- U
D . ( ) ( )
0,11,+￥ U 【解析】A ；记函数 ( ) ( ) f x g x x
=
,则 ( ) ( ) ( )
2
xf x f x g x x
￠ - ￠ =
,因为当 0 x > 时, ( ) ( ) 0 xf x f x ￠ -< ,故当
0 x > 时, ( ) 0 g x ￠ < ,所以 ( ) g x 在( ) 0,+￥ 上递减；又因为函数 ( ) f x (x ?R )是奇函数,故函数 ( )
g x 是偶函数，所以 ( ) g x 在 ( ) ,0 -￥ 单调递减,且 ( ) (
) 110 g g -== ,当 01 x << 时, ( ) 0 g x > ,则 ( ) 0 f x > ；当 1 x <- 时, ( ) 0 g x < ,则 ( ) 0 f x > .综上所述,使得 ( ) 0 f x > 成立的 x 的取值范围是 ( ) ( )
,10,1 -￥- U ,故选 A . 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第21～24为选考题,考
生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.设向量a ,b 不平行,向量l + a b 与 2 + a b 平行,则实数l =_______.
【解析】 1 2 ；依题意,存在实数k ,使得 ( ) 2 k l +=+ a b a b ,则 k l = 且12k = ,所以l = 1
2
.
14.若 , x y 满足约束条件 10
20 220 x y x y x y -+3 ì ?
-￡ í ? +-￡ ?
,则z x y =+ 的最大值为______.
A
B C
D 【解析】 3
2
；画出可行域如图所示,将目标函数变形为 y x z =-+ ,当z 取到最大时,直线 y x z =-+ 的纵
截距最大,故当直线过点 1 1, 2 B ?? ?÷ è?
时, max 13 1
22
z =+= . 15.( )( ) 4
1 a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =_________.
【解析】3； 方法一:令 ( ) ( )( ) 4
2
3
4
5
012345 1 f x a x x a a x a x a x a x a x =++=+++++ ,所以 ( ) 01 1 f a a
=+ ( ) 2345 161 a a a a a ++++=+ , ( ) 012345 0 f a a a a a a -=-+-+-= ,相减得 ( ) 135 2 a a a ++= ( ) 161 a + ,
依题意,x 的奇数次幂项的系数之和为 ( ) 135 8132 a a a a ++=+= ,解得 3 a = .
方法二:由已知得( ) 4
2
3
4
11464 x x x x x +=++++ ,故( )( ) 4
1 a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项分别
为4ax , 3 4ax ,x , 3 6x , 5
x ,其系数之和为4416132 a a ++++= ,解得 3 a = .
16.设 n S 是数列{ } n a 的前n 项和,且 1 1 a =- , 11 n n n a S S ++ = ,则 n S = ___________________. 【解析】 1
n
- ；由已知得 111 n n n n n a S S S S +++ =-= ,两边同时除以 1 n n S S + ,得
1 11
1 n n S S + -= ,故数列 1 n S
ìü íy ?t 是 以首项 1 - ,公差为 1 - 的等差数列,则
( ) 1 11 n
n n S =---=- ,所以 1
n
S n =- . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12分)
ABC D 中,D 是BC 上的点, AD 平分 BAC D , ABD D 面积是 ADC D 面积的2倍.
(Ⅰ) 求
sin sin B
C
D D ；
(Ⅱ) 若 1 AD = , 2
2
DC =
,求BD 和 AC 的长. 【解析】(Ⅰ)依题意, 1 sin 2 ABD S AB AD BAD D =×D , 1
sin 2
ADC S AC AD CAD D =×D ,
因为 2 ABD ADC S S D D = , BAD CAD D=D
,所以 2 AB AC = , 由余弦定理可得
sin sin B C D D 1
2
AC AB == .
(Ⅱ)因为 :: ABD ADC S S BD DC D D = , 2
2
DC =
,所以 2 BD = , 在 ABD D 和 ADC D 中,由余弦定理知 2
2
2
2sin AB AD BD AD BD ADB =+-×D
, 222 2sin AC AD DC AD DC ADC =+-×D ,故 22222 2326 AB AC AD BD DC +=++= ,
由(Ⅰ)知 2 AB AC = ,所以 1 AC = .综上, 2 BD = , 1 AC = . 18.(本小题满分 12分)
某公司为了解用户对其产品的满意度,从 , A B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满 意度评分如下:
A 地区: 62
73 81 92 95 85 74 64 53 76 78
86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区: 73
83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均 值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)；
6 8
1 3 6 4
2 4 5 5
3 3
4 6 9 3 2 1 1 3
3
6 4 2
6 8 8 6 4 3 9 2 8 6 5 1
7 5 5 2
图4
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 E
F
(Ⅱ) 根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:
满意度评分 低于70分 70分到89分
不低于90分 满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C :“ A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果 相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率. 【解析】(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区 用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.
(Ⅱ)由茎叶图可知,A 地区用户满意度等级为满意的概率为
1220 ,非常满意的概率为 4 20
, B 地区用户的满意度等级为不满意的概率为 1020 ,满意的概率为 8
20
.
所以 ( ) 101248412 202020202025 P C ?? =
′++′= ?÷ è? (或0.48),即C 的概率为 12
25
. 19.(本小题满分 12分)
如图4,长方体 1111 ABCD A B C D - 中, 16 AB = , 10 BC = , 1 8 AA = ,点 , E F 分别在 11 A B , 11 D C 上,
11 4 A E D F == .过点 , E F 的平面a 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ) 在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)； (Ⅱ) 求直线 AF 与平面a 所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图(边长为10).
(Ⅱ)作EM AB ^ ,垂足为M ,则 1 4 AM A E == , 1 8 EM AA == ,因为EHGF 为正方形,
A
B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
E
F
H
G
M
y
x
z
所以 10 EH EF BC === ,于是 22 6 MH EH EM =
-= ,所以 10 AH = .
以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz - 如图所示,则 ( ) 0,0,0 A , ( ) 10,10,0 H , ( ) 10,4,8 E ,
( ) 0,4,8 F , (
) 10,0,0 FE = uuu r , ( ) 0,6,8 HE =- uuu r , ( ) 10,4,8 AF =- uuu r , 设平面EHGF 的法向量为 ( ) ,, x y z = n ,则 0 0 FE HE ì ×= ? í ×= ? ? uuu r uuu r n n ,即 100 680 x y z = ì í -+= ? ,解得 0 3 4
x z y = ì ?
í = ? ? ,
令 4 y = ,可得 ( ) 0,4,3 = n ,设直线 AF 与平面a 所成角为q ,则
162445 sin cos , 15
565 AF AF AF q × + =<>==
= ′ uuu r
uuu r uuu r n n n ,即直线 AF 与平面a 所成角的正弦值为 45
15 . 20.(本小题满分 12分)
已知椭圆C : 222
9x y m += ( 0 m > ),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点 , A B ,
线段AB 的中点为M .
(Ⅰ) 证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； (Ⅱ) 若l 过点 ,3 m m ??
?
÷ è?
,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.
【解析】(Ⅰ)设直线l : y kx b =+ ( 0 k 1 , 0 b 1 ), ( ) 11 , A x y , ( ) 22 , B x y , ( ) 00 , M x y ,
联立 222 9x y m y kx b ì += í =+ ? ,消去 y 整理得( )
2222
920 k x kbx b m +++-= ,
故 12 0 2 29 x x kb x k + - == + , 00 2 9 9 b y kx b k =+= + ,于是直线OM 的斜率 0
0 9 OM
y k x k
==- , 即 9 OM k k =- ,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值,且该定值为 9 - . (Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线l 过点 ,3 m m ??
?
÷ è?
,所以l 不过原点且与C 有两个交点? 0 k > 且 3 k 1 , 由(Ⅰ)得直线OM : 9 y x k =- ,由 222 9 9 y x k x y m ì =- ? í ? += ?
得 22
2
2 981 P k m x k = + ,即 2 39 P km x k =± + , 将 ,
3 m m ??
?
÷ è?
代入l 的方程得 ( ) 3 3 m k b - = ,因此 ( ) ( ) 0
2 3 39 k k m x k - = + , 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即 0 2 P x x = , 于是 ( ) ( )
2
2
23 39 39
k k m km k k - ±
=
+ + ,解得 1 47 k =- , 2 47 k =+ ,
满足 0 k > 且 3 k 1 ,所以当l 的斜率为47 - 或47 + 时, 四边形OAPB 为平行四边形. 21.(本小题满分 12分)
设函数 ( ) 2 e mx
f x x mx =+- .
A
B C
O E
F
G
D M
N 图5
A B C O
E
F
G
D
M
N (Ⅰ) 证明: ( ) f x 在( ) ,0 -￥ 单调递减,在( ) 0,+￥ 单调递增；
(Ⅱ) 若对于任意 1 x , 2 x [ ] 1,1 ?- ,都有 ( ) ( ) 12 e 1 f x f x -￡- ,求m 的取值范围. 【解析】(Ⅰ) ( ) (
) e
12 mx
f x m x ￠ =-+ .
若 0 m 3 ,则当 ( ) ,0 x ?-￥ 时,e 10 mx -￡ , ( ) 0 f x ￠ < ；当 ( ) 0, x ?+￥ 时,e 10 mx -3 , ( ) 0 f x ￠ > ； 若 0 m < ,则当 ( ) ,0 x ?-￥ 时,e
10 mx
-> , ( ) 0 f x ￠ < ；当 ( ) 0, x ?+￥ 时,e 10 mx -< , ( ) 0 f x ￠ > ；
所以, ( ) f x 在( ) ,0 -￥ 单调递减,在( ) 0,+￥ 单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m , ( ) f x 在[ ] 1,0 - 上递减,在[ ] 0,1 上递增,故 ( ) ( ) min 0 f x f = 0 = .
所以,对任意 1 x , 2
x [ ] 1,1 ?- , ( ) ( ) 12 e 1 f x f x -￡- ? ( ) ( ) ( ) ( ) 10e 1 10e 1 f f f f -￡- ì ? í --￡-
? ? ? e e 1 e e 1 m m m m - ì -￡- ? í +￡- ? ? (*), 设函数 ( ) e e 1 t
g t t =--+ ,则 ( ) e 1 t
g t ￠ =- ,
当 0 t < 时, ( ) 0 g t ￠ < ；当 0 t > 时, ( ) 0 g t ￠ > .故 ( ) g t 在( ) ,0 -￥ 上递减,在( ) 0,+￥ 上递增. 又 ( ) 10 g = , ( ) 1
1e 2e 0 g - -=+-< ,故当 [ ] 1,1 t ?- 时, ( ) 0 g t ￡ .
当 [ ] 1,1 m ?- 时, ( ) 0 g m ￡ , ( ) 0 g m -￡ ,即(*)式成立； 当 1 m > 时,由 ( ) g t 的单调性, ( ) 0 g m > ,即e e 1 m
m ->- ；
当 1 m <- 时, ( ) 0 g m -> ,即e e 1 m m - +>- ； 综上,m 的取值范围为[ ] 1,1 - .
请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号. 22.(本小题满分 10分)选修41 - :几何证明选讲
如图5,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆O 与 ABC D 的底边BC 交于M 、N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与 AB 、 AC 分别相切于E 、F 两点.
(Ⅰ) 证明: // EF BC ；
(Ⅱ) 若 AG 等于圆O 的半径,且 23 AE MN == ,求四边形EBCF 的面积. 【解析】(Ⅰ)由于 ABC D 是等腰三角形, AD BC ^ ,所以 AD 是 CAB D 的平分线. 又因为圆O 分别与AB 、 AC 相切于点E 、F ,所以 AE AF = ,故 AD EF ^ . 所以 // EF BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE AF = , AD EF ^ ,故 AD 是EF 的垂直平分线. 又EF 为圆O 的弦,所以O 在 AD 上.连结 , OE OM ,则OE AE ^ . 由 AG 等于圆O 的半径得 2 AO OE = ,所以 30 OAE D=°, 因此 ABC D 和 AEF D 都是正三角形. 因为 23 AE = ,所以 4 AO = , 2 OE = ,
因为 2 OM OE == , 1
3 2
DM MN == ,所以 1 OD = .
于是 5 AD = , 103
3
AB = ,
所以四边形EBCF 的面积为 ( )
2
2 1103313163
23 232223
?? ′′-′′= ?÷ ?÷ è? .
23.(本小题满分 10分)选修44 - :坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,曲线 1 C : cos sin x t y t a
a
= ì í
= ? ,(t 是参数, 0 t 1 ),其中0 a p ￡< ,在以O 为极点,x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 2 C : 2sin r q = , 3 C : 23cos r q = . (Ⅰ) 求 2 C 与 3 C 的交点的直角坐标；
(Ⅱ) 若 1 C 与 2 C 相交于点A , 1 C 与 3 C 相交于点B ,求 AB 的最大值.
【解析】 (Ⅰ)曲线 2 C 的直角坐标方程为 2
2
20 x y y +-= ,曲线 3 C 的直角坐标方程为 2
2
230 x y x +-= .
联立 2
2
22 20 230
x y y x y x ì +-= ? í +-= ? ? ,解得 0 0 x y = ì í = ? 或 3
2 3 2
x y ì = ? ? í
? = ? ? , 所以 2 C 与 3 C 的交点的直角坐标为( ) 0,0 和 33, 22 ??
?÷ ?÷ è?
.
(Ⅱ)曲线 1 C 的极坐标方程为q a = (r ?R , 0 r 1 ),其中0 a p ￡< . 因为A 的极坐标为( ) 2sin , a a ,B 的极坐标为 ( )
23cos , a a , 所以 2sin 23cos 4sin 3 AB p a a a ??
=-=- ?÷ è
?
,当 5 6
p
a =
时, AB 取得最大值,且最大值为4. 24.(本小题满分 10分)选修45 - :不等式选讲
设 ,,, a b c d 均为正数,且a b c d +=+ ,证明: (Ⅰ) 若ab cd > ,则 a b c d +>+ ；
(Ⅱ)
a b c d +>+ 是 a b c d -<- 的充要条件.
【解析】(Ⅰ)因为
( ) 2
2 a b a b ab +=++ , ( ) 2
2 c d c d cd +=++ ,
由题设a b c d +=+ ,ab cd > 得 ( ) ( ) 2
2
a b c d +>+ ,因此 a b c d +>
+ .
(Ⅱ)(ⅰ)若 a b c d -<- ,则( ) ( ) 2
2
a b c d -<- ,则( ) ( ) 2
2
44 a b ab c d cd +-<+- , 因为a b c d +=+ ,所以ab cd > ,由(Ⅰ)得 a b c d +>+ .
(ⅱ)若 a b c d +>
+ ,则 ( ) (
)
2
2
a b
c d +>+ ,即 22 a b ab c d cd ++>++ .
因为a b c d +=+ ,所以ab cd > ,于是( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
44 a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=- , 因此 a b c d -<- . 综上, a b c d +>
+ 是 a b c d -<- 的充要条件.
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
2015高考数学全国卷1(完美版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1．设复数z满足1＋z 1－z ＝i，则|z|＝ A．1 B．2 C． 3 D．2 2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ A．－ 3 2B． 3 2C．－ 1 2 D．1 2 3．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为 A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测 试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2 ＝1 上的一点， F 1、F 2是C 上的两个焦点，若 M F 1→· M F 2 →＜0 ，则y 0的取值范围是 A ．? ???? －33 ，33 B ． ? ???? －36 ，36 C ．? ????－223，223 D ．? ?? ?? －233，233 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）2-（B ）2 （C ）12- （D ）12 （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
（5）已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12 x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是 （A ）（ （B ）（ （C ）（3-，3 ） （D ）（3-，3） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ- +∈ (B) 13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈
2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A={}{} =<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) (2)若a 实数，且 =+=++a i i ai 则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700 260025002400210020001900 ) A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 （4）已知向量=?+-=-=a b a b a ）则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设{}项和， 的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81 B.71 C. 61 D. 5 1 (7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ?外接圆的 圆心到原点的距离为 A. 35 B. 321 C. 3 5 2 D. 34
(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A. 0 B. 2 C. 4 D.14 (9)已知等比数列{}=-== 24531),1(4,41 a a a a a a n 则满足 C A. 2 B. 1 C. 21 D. 8 1 （10）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90?=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记 的图像大致为 则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠ x P O D C B A D C B A 4 24 4 424 24π 4 24X O X O X X O
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A 考点：1.复数的运算；2.复数的模. （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A）3 （B 3 （C） 1 2 -（D） 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 （3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为 （A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n （C）?n∈N, 2n≤2n（D）?n∈N, 2n=2n
【答案】C 【解析】 试题分析：p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C. 考点：特称命题的否定 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 22330.60.40.6C ?+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦 点，若1MF u u u u r ?2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223- ，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题 1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=( ) A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2} 2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)= – 4i ，则a=( ) A ．–1 B ．0 C ．1 D ．2 3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关 4、已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5、设函数f(x)=? ??1+log 2(2–x)(x<1) 2x –1(x≥1)，则f(–2)+f(log 212)=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下左1图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ． B ． C ． D ． 7、过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,–7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 8、如上左2程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 9、已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 10、如上左3图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数，则y=f(x)的图像大致为( )
2015年高考文科数学试卷全国1卷 1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为 ( ) （A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 2．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 3．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） （A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）120 5．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ） 192 （C ）10 （D ）12 8．函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44 k k k Z ππ- +∈ （B ）13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44 k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈ 9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） （A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12 10．已知函数1222,1()log (1),1 x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ） （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14 - 11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图
★启封并使用完毕前 试题类型：A 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的、号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12 【答案】D 【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n 【答案】C 【解析】p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C.
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ?+=0.648，故 选A. （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ： 2 212 x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r ?2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223-，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A （6）《九章算术》是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委 米依垣角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 【解析】
2015 普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 （1）已知集合 A=x 1x 2 , B x 0 x 3 ,则A B A.(-1 ， 3) B.(-1 ， 0 ) C.(0 ， 2) D.(2 ， 3) 1、选 A (2) 若 a 实数，且2ai 3 i,则 a 1i A.-4 B.-3 C.3 D.4 2、解：因为2ai(3i )(1i )24i ,所以 a 4.故选D (3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004200520062007200820092010201120122013(年) A. 逐年比较， 2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 3、选 D （4）已知向量a(0,1), b( 1,2), 则（2a b） a A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4、选 B (5) 设S n是等差数列a n的前n项和， a1a3a5 3,则S5 若 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 5、解：在等差数列中，因为 (a1a5 )5
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(6) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 7 6 5 6、解：如图所示，选 D. (7)已知三点 A(1，0), B(0，3)，C(2，3),则 ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为 A. 5 B. 21 C. 2 5 D. 4 3 3 3 3 7、解：根据题意，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的 圆心为 D ，则 D （ 1， 2 3 ）所以， 3 4 7 21 OD 1 .故选 B. 3 3 3 (8) 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” 。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为 开始 输入 a,b a>b 是 a b 否 输出 a 是 否 a=a-b b=b-a 结束 A. 0 B. 2 C. 4 D.14 8、解： 18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2, 4-2=2, 所以 a=b=2，故选 B. (9) 已知等比数列 a n 满足 a 1 1 , a 3 a 5 4(a 4 1), 则 a 2 C 14 1 A. 2 B. 1 C. D. 2 8 9、解：因为 a n 满足 a 1 1 , a 3 a 5 4(a 4 1), 所以， 4
2010年全国高考理科数学试题（新课标卷） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） （1）已知集合{||2,}A x x x R =≤∈},{4,}B x x Z =∈,则A B ?= (A) (0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数z = ，z 是z 的共轭复数，则z z ?= A. 14 B.1 2 C.1 D.2 (3)曲线2 x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 (4)如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 （5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ： 12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ?∨和4q ：()12p p ∧?中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q （6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 （A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于 （A ）54 （B ）45 （C ）65 （D ）56 （8）设偶函数()f x 满足3 ()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或 （9）若4 cos 5 α=- ，α是第三象限的角，则1tan 21tan 2 αα +=- (A) 12- (B) 12 (C) 2 (D) -2 （10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2 a π (B) 2 73 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π （11）已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) （12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22 163x y -= (D) 22 154 x y -= 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分。) （13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分 1 ()f x dx ? ，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个 点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分 1 ()f x dx ? 的近似值为 。 (14）正视图为一个三角形的几何体可以是_________________________________________（写出三种） (15）过点A (4,1)的圆C 与直线x-y-1= 0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为_______ (16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD= 1 2 DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为3，则∠BAC=_______
2015年全国卷2高考文科数学试题 1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B =U A ．(1,3)- B ．(1,0)- C ．(0,2) D ．(2,3) 2．若a 为实数，且231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是 A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 190020002100220023002400250026002700
4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+?=a b a A ．-1 B ．0 C ．1 D ．3 5．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 = A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去 部分体积与剩余部分体积的比值为 A ．18 B ．17 C ．16 D ． 15 7．已知三点(1,0)A ，B ，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为 A ．53 B ．3 C D ．43 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a = A ．0 B ． 2
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（） A．1B．C．D．2 2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（） A．B．C．D． 3．（5分）设命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（） A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n 4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（） A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312 5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B． C．D． 6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：” 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：” 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛 7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
数学试卷 第1页（共9页） 数学试卷 第2页（共9页） 数学试卷 第3页（共9页） 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2) 数学（理科） 使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B =I （ ） A ．{1,0}A =- B ．{0,1} C ．{1,0,1}- D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a = （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 （ ） A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++= （ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5．设函数21 1log (2),1,()2, 1, x x x f x x -+-?=??＜ ≥则2(2)(log 12)f f -+= （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （ ） A ．1 8 B ．17 C ．16 D ． 1 5 7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN = （ ） A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a = （ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 9．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为 （ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与 DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则 ()y f x =的图象大致为 （ ） --------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 2015·新课标Ⅰ卷 第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.310 B.15 C.110 D.120 5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12 ，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣 内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 7．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192 C ．10 D ．12 8. 函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.? ???k π－14，k π＋34，k ∈Z B.? ???2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.????k －14 ，k ＋34，k ∈Z D.? ???2k －14，2k ＋34，k ∈Z
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝ A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．1 2 3．设命题P ：?n ∈N ，n 2＞2n ，则￢P 为 A ．?n ∈N ， n 2＞2n B ．?n ∈N ， n 2≤2n C ．?n ∈N ， n 2≤2n D ．?n ∈N ， n 2＝2n 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各 次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2＝1 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若MF 1→·MF 2→ ＜0 ，则 y 0的取值范围是 A ．????－33，33 B ．????－36，36 C ．????－ 223，223 D ．????－233 ，233 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 7．设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD → ，则 A ．AD →＝－13A B →＋43A C → B ．A D → ＝13AB →－43AC → C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD → ＝43AB →－13 AC → 8．函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为
2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
第3页 共14页 ◎ 第4页 共14页 绝密★启用前 2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题 型注释） 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =U （ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 2．若为a 实数,且 2i 3i 1i a +=++,则a = （ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ） A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4．已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+?=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1 3 53 a a a ++=,则5 S = （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
第5页 共14页 ◎ 第6页 共14页 装 …………○………___________考号：_装…………○………6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） 1 A.8 1B.7 1C.6 1 D.5 7．已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到 原点的距离为（ ） 5 A.3 B. 3 4D.3 8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ） A.0 B.2 C.4 D.14 9．已知等比数列{}n a 满足1 14 a =,() 35 441a a a =-,则2 a =（ ） A.2 B.1 1 C.2 1 D.8 10．已知B A ,是球O 的球面上两点,?=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.36π B. 64π C.144π D. 256π 11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）
2015年高考理科数学试卷全国1卷 1．设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 3．设命题p ：2 ,2n n N n ?∈>，则p ?为（ ） （A ）2 ,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈ 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（ （B ）（ （C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =- + （B ）1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC = + （D ）4133 AD AB AC =-