第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)
性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
3.3 范数 3.3.1 向量范数 在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。绝对值是一种度量形式的定义。 范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。 定义3.1对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为 ，若满足下面三个性质： （1），有，当且仅当时，（非 负性） （2），，有（齐次性） （3.37）（3），，有（三角不等式） 那么称该实数为向量的范数。 几个常用向量范数 向量的范数定义为 其中，经常使用的是三种向量范数。
或写成 例3.5 计算向量的三种范数。 向量范数的等价性 有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有 或 （证明略） 向量的极限 有了向量范数的定义，也就有了度量向量距离的标准，即可定义向量的极限和收敛概念了。
设为上向量序列，若存在向量使，则称向量列是收敛的（是某种向量范数），称为该向量序列的极限。 由向量范数的等价知，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关。 向量序列，收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即存在。 若，则就是向量序列 的极限。 例3.6 求向量序列极限向量。 解：算出每个向量分量的极限后得 在计算方法中，计算的向量序列都是数据序列，当小于给定精度时，取 为极限向量。 3.3.2 矩阵范数 矩阵范数定义
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数 一 、 向量、矩阵范数 为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(n n n R R ?或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此， 这就需要对量空间n R (或n n R ?矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。 (一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。 },{1为复数i n n x x x x x C ??????????== 称为n 维复向量空间。 },)({为复数ij n n ij n n a a A A C ??==称为n n ?复矩阵空间。 (2)设n n n C A C x ?∈∈,,称T n H x x x x =≡),,(1 为x 的共轭转置 ， T H A A =称为A 共轭转置矩阵。 在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足 正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。 n R x ∈(或n C x ∈)的某个实值非负函数 x x N ≡)(，如果满足下述条件 (1)正定性 00,0=??=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α) (3)三角不等式 )(,,n n C R y x y x y x ∈∈?+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。 设)(),,(1n n T n C x R x x x ∈∈=或 (1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞ ∞=≡1max )( (2)向量的“1”范数 ∑==≡n i i x x x N 1 1 1)( (3)向量的“2”范数 2/11 2 2 /12 2)() ,()(∑===≡n i i x x x x x N (4)向量的能量范数 设n n R A ?∈为对称正定阵 2 /1),()(x Ax x x N R x A A n =≡→∈? 称为向量的能量范数。 设n R x ∈(或n C x ∈)，则)(),(),(12x N x N x N ∞是n R 上(或n C )的向量范数。 证明 只验证三角不等式：对任意n R y x ∈,，则222 y x y x +≤+ 利用哥西不等式：22 ),(y x y x ≤，则有 ),(22 y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 22 2 2 22 2y y x x ++≤222))(y x += 对任何n R y x ∈,则 (1) ∞∞ ≤≤x n x x 2 (2) 212 x n x x ≤≤ (3) ∞∞ ≤≤x n x x 1
向量和矩阵的范数的若干难点导引 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑()12 tr()H A A =； （1.1） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==?? = ??? ∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）, 把较容易的（1.1）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b == 。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++= ()()22 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++++ ()()()2222122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =++++++++ 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2(||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，两边开方，即得三角不等式。 再验证矩阵乘法相容性。 2 2 2111 111||||||||m l n m l n F ik kj ik ki i j k i j k AB a b a b ======?? =≤ ??? ∑∑∑∑∑∑
第四章 矩阵范数理论及其应用 知识要点： 1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数p x 和∞范数x ∞ ，p p lim x x ∞→∞ =，a P a x Px =，2H H P x Px x P Px ==，有限维赋范 空间的范数是等价的） 2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，F E n =，相容性：AB A B ≤，1E ≥） 3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数） 4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径） §4.1 向量范数及其性质 一、范数与赋范线性空间 定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）： (1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。 (2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。 (3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。 则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。 易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。若0n x x -→，则称n x 收敛于x ，记为n x x →。 例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()b a f t f t dt = ? ， () max () a t b f t f t ∞ ≤≤=，1 () ()b p p p a f t f t dt ?? =???? ?，1p ≤<∞。分别称之为1-范数，∞- 范数，p -范数。 注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。 性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。 证明：由000()()f x f x x x x x -=-≤-可知，0x x →时，0()()f x f x →。 因此，()f x 为V 上的连续函数。
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；
5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，
范数：用于度量“量”大小的概念 1. 引言 实数的绝对值：a 是数轴上的点a 到原点0的距离； 复数的模：a bi +=是平面上的点()b a ,到原点()0,0的距 离； 还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如 １）b a +； ２）{}max , a b 2. 向量的范数：p-范数 1 1n p p k p k x x =??= ??? ∑ （1） 示例： 1211234515,2345,5x x x x ∞ ???=+-+++= ?-? ?? ?=?==? ?? = ??? ??? 3. 矩阵（算子）的范数 01max max x x Ax A Ax x ≠=== （2） 矩阵的谱半径:设M 是n 阶矩阵，称
()()()(){}12max , ,, n M M M M ρλλλ=L （3） 为该矩阵的谱半径。 记 ()1212,,,T T n T n A ββαααβ?? ? ?== ? ? ??? L M ， 那么， {}{}()1211111211112 max ,,,max max ,,,n k n p p x k T A A Ax A A A A αααβββρ∞=?=?? =?=??=??L L （3） 4. 矩阵的条件数：用于刻画矩阵“病态”程度的概念 ()1 cond A A A -=? 5.利用范数定义点之间的距离 (),,,n n x R y R d x y y x ∈∈?=- 向量的内积、范数及n 维空间距离的度量 令 P 是一数域， P n 是 P 上的向量空间，如果函数 ()?x y P P P n n ，:?→有如下性质： １、共轭对称性：?∈x y P n ，，()()??y x x y ，，=； ２、非负性：?∈x P n ，()?x x ，≥0，()?x x x ，=?=00；
《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （1.1） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b ==L L 。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+Λ 2 222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++=Λ ()()22 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++++L ()()()22 22122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =++++++++L L L 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2(||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，两边开方，即得三角不等式。 再验证矩阵乘法相容性。
泛函数-正文 又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。通常的函数在R n或C n（n是自然数）中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。设Ω为R n中的区域，Г1表示边界嬠Ω的片断, 表示一函数集合。考虑对应 ,式中F为具有2n+1个自变数的函数:为寻求J(u)的局部极值，在一定条件下取J(u)的加托变分 如果在u=u0达到局部极值，则u0适合欧拉方程δJ(u)=0。在应用中，常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函数，使原问题化成泛函数极值问题。当代分析学中，变分方法有广泛应用。一般把问题化成Tx=0的形式，即对应于某泛函数φ的欧拉方程，其中φ定义在一巴拿赫空间X中的开集S上且加托可微:算子T称为梯度算子,φ称为T的场位。人们常遇到二阶微分系统，由此产生二次泛函数极值问题，是当代变分法常见的研究对象。 泛函数φ:S嶅X→R（X为拓扑空间）称为在x∈S处下半连续，如果对每个实数r<φx，有x的邻域U(x)，使得r<φz,凬z∈U(x)∩S。称φ在x∈S处下半序列连续,如果对每个序列 。其连续性及有界性如同对算子相应的性质所做的规定。 设φ是定义在线性集合S上的实（复）值泛函数。如果φ(x+y)＝φ(x)+φ(y)，φ称为加性的；如果φ（λx）=λφ(x),λ∈R(C)称为齐性的；如果同时有加性及齐性称为线性的。当φ
取实值时,加性得放松为次加性,其定义为：φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)；齐性得放松为正齐性，其定义为：?(λx)=λ?(x)(λ≥0)；如果同时有次加性及齐性，则称φ具有次线性；如果对于λ∈(0,1)，有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y)，则称φ为凸的;如果当x≠y时上式中的≤必为<,则称φ为严格凸的。在一些问题中,容许凸泛函数φ取值＋∞,但φ扝+∞,这时称φ为真凸的。此外,还有所谓凸集S上的拟凸泛函数φ：S嶅K→R（K为线性空间），使φ(tx+(1-t)y)≤max{φx,φy},x,y∈S, t∈(0,1)。在赋范空间K中无界集S上定义的泛函数φ称为强制的,如果有函数с:(0,+∞)→R,с(t)→+∞(t→+∞)使得φ(z)≥с(‖z‖),凬z∈S。 线性泛函数是线性算子理论研究的对象之一，也是研究空间性质及结构的工具。例如，局部凸拓扑线性空间K有对偶空间K，K的元素就是定义在K上的连续线性泛函数。对K可赋予简单收敛拓扑或有界收敛拓扑。偶K、K间的关系对认识空间的性质和研究算子的性质都有基本意义。 相应于多重线性算子有多重线性泛函数。例如，设K1、K2是同一数域上的线性空间,定义在积空间K1×K2上的映射φ:K1×K2→R（或C）称为双线性泛函数,如果K2(K1)中元素固定时φ成为K1(K2)上的线性泛函数。当K1=K2=K，K1及K2中取等同的x∈K，则得φ(x,x),称为二次泛函数。对希尔伯特空间中线性算子谱理论的研究，双线性泛函数形式作为表示工具是方便的。二次泛函数在变分法中的应用更是为人熟知的。 拟赋范空间、局部凸拓扑线性空间、赋范空间等的表征主要在于分别在各空间上定义的次加性泛函数，即拟范数、半范数族、范数等。测度空间中的测度，即对应于某种集合的值也可理解为泛函数。对于给定函数的不定积分也可类似地看待。 范数 向量范数
第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质；
2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)
第二章 范数理论 在第一章我们曾利用内积定义了向量的长度，他是几何向量长度概念的一种推广。虽然当n>3时对定义的向量长度无法作出具体的几何解释，但这样规定的长度具有几何向量长度的基本性质，即非负性，齐次性和三角不等式。本章我们采用公理化的方法，八项量长度的概念推广到更一般的情形，主要讨论向量范数、矩阵范数及其有关的应用。 §2.1 向量范数 定义 2.1 若对任意n C x ∈都有一个实数x 与之对应，且满 足： （1） 非负性：当x 0 x 0 x 0x 0 ? ==时，；当，； （2） 齐次性：对任何C x x l l l ?，； （3） 三角不等式：对任意n x,y C ? ， 都有x y ,x y +?则称x 为n C 上的向量x 的范数，简称向量范数。 定义中并未给出向量范数的计算方法，只是规定了向量范数应满足的三条公理，称之为向量范数三公理。从范数定义可得范数的下列基本性质。 定理2.1 对任意，n C y x,∈有 （1）x -=x ； （2） x .y x y -? 只证（2）。根据三角不等式，有
x x y y x y y =-+?+ y y x x y x x =-+?+ 综合二式即得 x y x y -? 证毕 例 2.1 设12n ().T n x C x x x = ，， 规定 2x = 第一章已表明 2 x 是向量x 的一种范数，并称之为向量2-范数，该范数具 有如下重要的性质，对任意n x C ? 和任意 n 阶酉矩阵U ，有 22Ux .x = 称之为向量 2-范数的 酉不变性。 例2.2 设12n x ().T n C x x x = ，，规定 11 x n k k x == ? 则1x 是向量 x 的一种范数，称为向量1-范数。 证 当 1 11 x 0x 0 x 0x 0x 0.n k k x =?>==? 时，显然；当时，的每一分量都是，故 对任意λ C , ? 有 n 111 1 x n k k k k x l l x l x l === ==邋 又对任意12y (,,).T n n C h h h = 有
I 、向量的范数 向量x ∈R n 的范数f(x )是定义在R n 空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数： 1ο 对于所有的x ≠ 0,x ∈R n 有f(x )>0; (非负性） 2ο 对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο 对于所有的x,y ∈R n 有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式） 一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下： p x = p n i p i x 11 )( ∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。 下证p-范数满足上述的三个性质： 1、对于所有的x ∈R n ，x ≠ 0，p n i p i x 11 )(∑ =显然是大于0的，故性质1ο成立。 2、 由p x α = p n i p i x 11 )( ∑=α = αp n i p i x 11 )(∑ = = αp x 知性质2ο成立。 3、欲验证性质3ο ，我们的借助下列不等式： 设p>1,q>1,且p 1 + q 1 = 1，则对所有的0,≥βα有 αββα≥+ q p q p 证： 考虑函数p t p t t - =1)(?，因为)1(1)(11' -= -p t p t ?，由()t '?=0 t=1,又因为01 )1(' '<- =pq ?，所以当t = 1的时候)(t ?取最大值，则有：
p p t t p 111-≤-， 令t = q p β α,代入可得： q p p q p p q p 1111 =-=-??? ? ??βαβα, 化简之后即得： αββα≥+ q p q p 证毕！ 又令∑=) (1i p x x p i α，∑=) (1i q y y q i β，代入上不等式可得： ∑∑+ ) ()(i q i i p i y y x x q q p p ∑∑≥ ) ()(11y x y x i q i p q p i i ，两边同时对i 求和，并利用 关系式p 1 + q 1 = 1可知： ∑∑≥+ = ∑∑∑∑∑) ()(11) ()(1y x y x y y x x i q i p i q i i p i q p i i q q p p 从而有： ∑∑≤∑) ()(11y x y x i q i p q p i i 另一方面，又有： ∑+∑++=-y x y x y x i i p p i i i i 1 )(1 y x y x i i p i i + ≤∑+- y y x x y x i p i p i i i i ∑+∑+--+=1 1 ()()()()()() ∑ ∑ -+∑ ∑ -≤++y y x x y x i p i i q p i p i i q p p q p q 111111 () ()()() ???? ??? ?∑ ∑ -=+∑+y x y x i p i p p i i q p p q 1111
《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （1.1） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满 足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,, ,),(,,,)n n A a a a B b b b ==。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2 222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++= ()()2 2 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++ ++ ()()()2 2 2 2 122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =+ +++ +++ + 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2 (||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，两边开方，即得三角不等式。
淮北师范大学 2013届学士学位论文 范数在数值计算中的应用 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向数值分析 学生姓名李双阳 学号20091101072 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 2013年月日
范数在数值计算中的应用 李双阳 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 范数在解决数值计算中的一些问题有很大的用处。应用复合最速下降法，给出了求解矩阵方程组（AXB=E,CXD=F）加权范数下对称解及最佳逼近问题的迭代解法。对任意给定的初始矩阵，改迭代算法能够在有限步迭代计算之后得到矩阵方程组的对称解，并且在上述解集合中也可以给出指定矩阵的最佳逼近矩阵。并对线性方程组解的误差估计的推广定理理解对解的误差与矩阵、摄动矩阵、向量、摄动向量、算子范数之间的关系进行证明。从而了解范数以及极限的概念以致更好的解决像函数的一次逼近、二次逼近、矩阵方程组对称解的最佳逼近以及线性方程组解的误差估计等数值计算问题。 关键词：最速下降法，对称解，最佳逼近，摄动矩阵，算子范数
Norm in the application of the numerical calculation Li Shuangyang (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract Norm in numerical calculation in solving the problems are of great use. Application of compound the steepest descent method, solving matrix equations is presented (AXB = E, CXD = F) weighted norm under symmetric solution and the optimal approximation problem of iterative method. On any given initial matrix, the iterative algorithm can step in finite iterative calculation after get the symmetric solutions of matrix equations, and also in the solution set can be specified matrix optimal approximation of the matrix is given. And the error estimates of solutions of the linear equation theorem to understand the solution of the error and matrix, the perturbation matrix, vector, the perturbation dynamics, the relationship between the operator norm. To understand the norm and the concept of limit so that a better solution as a function of an approximation, quadratic approximation, symmetric matrix equations solution of the optimal approximation and the error of linear equations and numerical calculation. Key words：The steepest descent method, the symmetric solution of optimal approximation, the perturbation matrix operator norm
向量范数 在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。绝对值是一种度量形式的定义。 范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。 向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。 定义3.1 对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质： 若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足： 1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。 那么║·║称为X上的一个范数。 常用范数 这里以C^n空间为例，R^n空间类似。 最常用的范数就是p-范数。若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么 ║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p} 可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。 当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形： 1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 ∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 其中2-范数就是通常意义下的距离。 定理https://www.doczj.com/doc/d910091938.html,中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使m║x║α≤║x║β≤M║x║可根据范数的连续性来证明它. 由定理1可得 定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→∞) 其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量. 此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)→x(k→∞),或 . 矩阵范数 一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。 对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。 注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。 引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
矩阵与范数、谱半径、奇异值 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。 首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示有基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束：１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。 基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。 在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。 到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。 首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空