专题一 二次函数（教师版）
1． 已知0≤x ≤1, )(x f =)0( 2
2>+-a a
ax x ,)(x f 的最小值为m ． （1） 用a 表示m ；（2）求m 的最大值及此时a 的值．
解：（1）把)(x f 改写成)(x f =42)2(22a a a x -+-．于是知)(x f 是顶点为（4
2,22
a a a -），
开口向上的抛物线．又因为x ∈[0,1],
故当0＜2
a
≤1，即0＜a ≤2时，)(x f 的最小值为42)2(2a a a f -=；
当
2a ＞1,即a ＞2时，)(x f 有最小值2
1)1(a
f -=． 于是??
???>-≤<-=)2( ,21)
20( ,422
a a a a a m （2）当a ＞2时，21a -的值小于0，而当0＜a ≤2时，422a a -=4
1)1(412
+--a ，它
的最大值为
41（当a =1时取得），故m 的最大值为4
1
，此时a =1． 说明：对于某些在给定区间上的二次函数最值问题，往往需要把顶点和区间端点结合起来
考虑．
2. 二次函数2(),,1,1,f x ax bx c a N c a b c *=++∈≥++≥方程2
0ax bx c ++=有两个小于1的不等正根，求a 的最小值.
方法1：设12()()()f x a x x x x =--，则
2
2
2211221122(1)(1)1(0)(1)(1)(1)[][]22
x x x x f f a x x x x a +-+-≤=--2
,16a ≤
124,,4,5;a x x a a ≥≠>=得又得故
方法2：由得由,20120,0
41202a b a b ac b a b ->><-
?
?
?
>-<-<得042>-ac b
1(),1(),12,b b a c a c <->-+->-+>+≥结合得
4.a >得
3. 设f (x )=ax 2+bx +c (a ＞b ＞c ),f (1)=0,g (x )=ax +b .
（1）求证：函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点；
（2）设f (x )与g (x )的图象交点A 、B 在x 轴上的射影为A 1、B 1，求｜A 1B 1｜的取值范围； （3）求证：当x ≤－3时，恒有f (x )＞g (x )． （1）证明：由 y = f (x )= ax 2+bx +c y = g(x ) = ax +b 得ax 2+(b －a )x +(c －b )=0 (*) Δ=(b －a )2－4a (c －b ) ∵f (x )=ax 2+bx +c , f (1)=0 ∴f (1)=a +b +c =0 又a ＞b ＞c
∴3a ＞a +b +c ＞3c 即a ＞0,c ＜0 ∴b －a ＜0,c －b ＜0,a ＞0 ∴Δ=(b －a )2－4a (c －b )＞0
故函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点； （2）解：设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2，y 2），
则x 1、x 2是方程（*）的两根
故x 1+x 2=－a
a
b -, x 1x 2=
a
b
c -,所以｜A 1B 1｜=｜x 1－x 2｜=212214)(x x x x -+ =a
b
c a a b ---4
)(2=a b c a a b )(4)(2---
又a +b +c =0,故b =－(a +c )
因而(b －a )2－4a (c －b )=(－2a －c )2－4a (a +2c )=c 2－4ac
故｜A 1B 1｜=a ac c 42-=)(4)(2a c a c -=4)2(2--a
c
∵a ＞b ＞c ,a +b +c =0
∴a ＞－(a +c )＞c ∴－2＜
a
c ＜－21
∴｜A 1B 1｜的取值范围是（2
3
，23）. (3)证明：不妨设x 1＞x 2,则由（2）知：2
3
＜x 1－x 2＜23 ①
x 1+x 2=－a a b -=1－a
b
由a ＞b ＞c 得：a c ＜a b ＜1, 故0＜1－a b ＜1－a
c
又－2＜a c ＜－21, 故23＜1－a c
＜3,
因而0＜1－a
b ≤23 即0＜x 1－x 2≤23
②
由①、②得：－3＜x 2≤0,
即方程（*），也就是方程f (x )－g (x )=0的较小根的范围是（－3，0]. 又a ＞0,故当x ≤－3时，f (x )－g (x )＞0恒成立， 即当x ≤－3时，恒有f (x )＞g(x ).
4．设()()f x ax bx c a =++≠2
0，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对
于任意-≤≤11x ，有
()f x ≤
54
.
分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,. 解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1, ∴ ()()()()0)),1()1((2
1
),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=
, ∴ ()()()()()
2
22102121x f x x f x x f x f -+?
??
? ??--+???? ??+=. ∴ 当01≤≤-x 时，
()()()().
4
5
45)21(1)1(22122102
121222
222
222
22≤++-=+--=-+?
??? ??-+???? ??+-=-+-++≤-?+-?-++?≤x x x x x x x x x x
x x x x f x
x f x x f x f
当10-≤≤x 时，
()()()()222102
121x f x
x f x x f x f -?+-?-++?≤
222122x x
x x x -+-++≤
)1(222
22x x x x x -+???
? ??+-+???? ??+= .
4
545)21(122≤+--=++-=x x x
综上，问题获证.
5. 已知),,(42)(2
R c b a c bx ax x f ∈++=.
（Ⅰ）当0≠a 时，若函数f (x )的图象与直线x y ±=均无公共点，求证：;4
142
>-b ac （Ⅱ）当3
4,4
b c ==
时，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得5|)(|)](,0[≤∈x f a M x 时都有，问a 为何值时，()M a 最大，并求出这个最大值()M a ，证明你的结论．
解：（Ⅰ）)(x f 的图象与y x =无公共点.
22222224,(21)40.(21)16416140.
,(),4161401
,4.
4ax bx c x ax b x c b ac b ac b f x y x b ac b ac b ∴++=+-+=?=--=-+-<=--++<->即无实根从而同理由的图象与无公共点得二式相加得 （Ⅱ）2max 41616
()()3.0,()3.f x a x a f x a a a
=?++-<=- 所以
下面分两种情况讨论： （１）当1635a -
>时，即80a -<<时，由图像知：要满足题意，须有40()M a a
<<-，这时()f x 在区间[0,()]M a 上是增函数，且由于(0)35f =<，所以满足条件的()M a 是
方程()5f x =
的较小根，即1
();2
M a ==<
（２）当1635a -
≤时，即8a ≤-时，由图像知：4
()M a a
>-，这时满足条件的()M a 是方程()5f x =-的较大根，
即()M a =
=≤等号当且
仅当8a =-时取到．
综上所述，当8a =-时，()M a
的最大值为1
2
． 6. 已知0>a ，函数.
)(2
bx ax x f -=
（1） 当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f ，证明b a 2≤；
（2） 当1>b 时，证明：对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （3） 当10≤
因为b
a b a x b bx ax x f 4)2()(2
22
+--=-=，又0>b ， ∴对R x ∈，)(x f 有最大值，且b a x f 4)(2max =
，142
≤∴b
a ,又
b a b a 2.0,0≤∴>> （Ⅱ）对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f ?对]1,0[∈x ，1)(max ≤x f 且1)(min ≤x f
因为22()()24a a f x b x b b =--+，所以对称轴为b a
x 2=．
又0>a 且1>b ，02>∴b
a
，即函数图象的对称轴不可能在0=x 左侧，故只可能有
如下两种可能：①当120< a 时，即b a 20<<时，对]1,0[∈x ，b a x f 4)(2max = ， min )(x f ＝)1(f ，或min )(x f ＝)0(f ，此时的充要条件是 ??? ????≤≤≤1 )0(141 )1(2 f b a f ????≤≤-b a b a 412????≤+≤≤-b a b a b 211． 因为1>b ，所以01>-b 且b b 21>+，所以b a b 21≤≤-． ②当 12≥b a 时，即b a 2≥对]1,0[∈x ，)1()(m ax f x f =，)0()(m in f x f =， 此时需要的充要条件是?? ?≤≤1 )0(1 )1(f f ?111+≤≤-?≤-b a b b a ． 因为b a 2≥且1>b ，所以b a >＋1，故此种情况也不可能. 综上所知：当1>b 时，对任意]1,0[∈x 1)(≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-． （Ⅲ）①当012a b <<，即02a b <<时，对]1,0[∈x b a x f 4)(2max = ，)0(f min )(x f ＝)1(f ，或min )(x f ＝)0(f ，此时的充要条件是 ??? ????≤≤≤1 )0(141 )1(2 f b a f ?? ??≤≤-b a b a 412??? ?≤+≤≤-b a b a b 211． 因为10≤ ②当 12,2a a b b ≥≥即时 因为[]m a x m i n 0,1,()(1),()(0)x f x f f x f ∈==，此时的充要条件是(1) 1111.(0 )1221f a b b a b f a b b a b ?≤??-≤?-≤≤+? ≤??≥≤≤+综合知 综上所述，当[]010,1,()1b x f x <≤∈≤时,对任意 的充要条件是01a b <≤+． 课后练习 1. 已知二次函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的定义域为]1,1[-,且|)(|x f 的最大值为M . （Ⅰ）试证明M b ≤+|1|； （Ⅱ）试证明2 1≥M ； （Ⅲ）当2 1 = M 时，试求出)(x f 的解析式. (Ⅰ）证明：∵|1||)1(|b a f M +-=-≥, |1||)1(|b a f M ++=≥ | 1||1|2b a b a M ++++-≥|1|2|)1()1(|b b a b a +=++++-≥ ∴|1|b M +≥ （Ⅱ）证明：依题意，|)1(|-≥f M ，|)0(|f M ≥, |)1(|f M ≥ 又|1||)1(|b a f +-=-,|1||)1(|b a f ++=,|||)0(|b f = ∴ ()()1f 0f 2|)1(f |M 4++-≥|1|||2|1|b a b b a +++++-= 2|)1(2)1(|=+++-+-≥b a b b a ， ∴2 1≥ M （Ⅲ）依21=M 时，21|||)0(|≤=b f ,21 21≤≤-b ① 同理21 211≤++≤-b a ② 2 12 11≤+-≤-b a ③ ②+③得：2123-≤≤-b ④ 由①、④得：21 -=b . 当21 -=b 时，分别代入②、③得：0100 1=????≤≤≤≤-a a a ， 因此21 2)(-=x x f . 2.已知二次函数.)(2 c bx ax x f ++= (1)对于 12,x x R ∈,且），（）（，＜2121 x f x f x x ≠ 求证：方程 ][2 1 21）（）（）（x f x f x f +=有两个不等的实根，且必有一个实根属于12(,)x x ； (2)若方程][2121）（）（）（x f x f x f +=在12(,)x x 内的根为m ，且1x ，2 1 -m ，2x 成等 差数列，设o x x =是()f x 的对称轴方程，求证：2 0x m <. 解：（1） 由)(2 122 21212 c bx ax c bx ax c bx ax +++++= ++得 0)()(22212 22 12=+-+-+x x b x x a bx ax 由0≠a ，故此方程判别式 2222 ] [2· 422 221212 22 12 ＞）（）（）（）（）（△b ax b ax x x b x x a a b +++=+-+--= ∴△＞0 ∴方程][2 1 21）（）（）（x f x f x f += 有两个不等的实根 令） （，）（）（）（）（x g x f x f x f x g ][2 1 21+-=是二次函数，由 ] 2 [·]2[· 21221121） （）（）（））（）（）（）（）（x f x f x f x f x f x f x g x g +-+- = =0][4 1 221≤-- ）（）（x f x f ∵） （）（21x f x f ≠ ∴120g x g x ?（）（）＜ ∴0=）（x g 的根必有一个属于（x 1，x 2）. （2）由题设，得）， （）（）（212x f x f m f += 即有 022212 2212=--+--）（）（x x m b x x m a ∵212 1 x m x ，，-成等差数列 ∴1221-=+m x x ，即1221=--x x m ∴）（2 22 12 2x x m a b ---= 故2 2222 2212222120x x m x x m a b x +-=--=-= ∵21x x ＜ ∴02 22 1＞x x + 故2 0m x ＜ 3．已知函数)()(2 c b a c bx ax x f >>++=的图象上有两点))(,(11m f m A 、 ))(,(22m f m B ，满足.0)()()]()([0)1(21212=?+?++=m f m f a m f m f a f 且（1）求 证：0≥b ； （2）求证：)(x f 的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是)3,2[；（3）问能否得出)3(1+m f 、)3(2+m f 中至少有一个为正数？请证明你的结论. （1）证明：因0)()()]()([)(),(21212 21=+++m f m f a m f m f a m f m f 满足 即,)()(,0)]()][([2121a m f a m f m f a m f a -=-=∴=++或 a x f m m -=∴)(21是或的一个实根，).(402c a a b +≥≥?∴即 0,03,0,0,0,0)1(≥∴>-∴<>∴>>=++∴=b c a c a c b a c b a f 且 （2）证明：设212 ,0)(x x c bx ax x f 两根为=++=，则一个根为1，另一根为,a c 又,,0,0,0,0c c a a c a b c b a a c c a >-->∴≥--=>><∴ <>且 3||21221<-≤∴-≤< -∴x x a c （3）解：设 a m f a m f a c x x a x x x x a x f -=-=--=--=)()())(1())(()(2121或由已知 不妨设 133,1,0))(1()(11111>+>+∴<<∴<-=---=a c m m a c a a c m m a a m f 则 0)3(,0)1()3(11>+∴>>+∴m f f m f 同理当)3()3(,0)3(,)(1222++∴>+-=m f m f m f a m f 或有时中至少有一个为正数 4. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，当1≤x 时，总有.1)(≤x f 求证：当2≤x 时，.7)(≤x f 解：由于()f x 是二次函数，()f x 在[2,2]-上的最大值，只能是(2),(2)f f -或 ()2b f a - ，故只需证明(2)7,(2)7,f f ≤-≤， 及当22b a -≤时，有()7.2b f a -≤ 由题意，有(0)1,(1)1,(1) 1.f f f ≤-≤≤ 由(0),(1),(1),f c f a b c f a b c =??-=-+??=++?得1[(1)(1)2(0)],21[(1)(1)],2(0). a f f f b f f c f ?=+--?? ? =--?? =??? 所以(2)423(1)(1)3(0)f a b c f f f =++=+-- 3(1)(1)3(0)3137,f f f ≤+-+≤++= (2)42(1)3(1)3(0) f a b c f f f -=-+=+-- (1)3(1)3(0)1337.f f f ≤+-+≤++= 所以当 22b a - ≤时，有 241()1227.2422222 b b a c b b b b f c c a a a a --==-?≤+?≤+?=< 因此，当2≤x 时，.7)(≤x f 5. 设二次函数)0,,,()(2 ≠∈++=a R c b a c bx ax x f 满足条件： （1） 当R x ∈时，)2()4(x f x f -=-且x x f ≥)(； （2） 当)2,0(∈x 时，2 )2 1( )(+≤x x f ； （3） )(x f 在R 上的最小值为.0 求最大的)1(>m m ，使得存在R t ∈，只要],1[m x ∈，就有.)(x t x f ≤+ 解：当R x ∈时)2()4(x f x f -=-，()(2)f x f x ∴=--， 故)(x f 的对称轴为 1.x =- 又)(x f 在R 上的最小值为0， 2()(1)f x a x ∴=+ ① ()f x x ≥ ，当)2,0(∈x 时，2 )2 1()(+≤x x f ， (1)1,(1) 1.(1) 1.f f f ∴≥≤∴= ② 由①、②得：2 11.()(1).44a f x x =∴=+ 2221 ()(1)2(1)(1)0.4 f x t x x t x x t x t +≤?++≤?+-++≤ 据题意，存在R t ∈，使22 2(1)(1)0x t x t +-++≤对],1[m x ∈恒成立. 设22 ()2(1)(1)g x x t x t =+-++， 则2 22 (1)12(1)(1)0,()2(1)(1)0g t t g m m t m t ?=+-++≤??=+-++≤??有解， 22 40,1)1) t t -≤≤??∴?-≤≤-??有解 . 21,1) 4.m >∴-<- ∴ 必须且只需21)4,-≥- 12≤，19.m ∴<≤ 又9m =时，存在4t =-，只要[1,9]x ∈，就有.)(x t x f ≤+ 故m 的最大值为9. 6.设1x ≥2x ≥3x ≥4x ≥2，且2x ＋3x ＋4x ≥1x ，证明： 4321243214)(x x x x x x x x ≤+++ 证明：令a ＝2x ＋3x ＋4x ,432x x x b =,则原不等式为b x a x 12 14)(≤+,即 2121)2(2a x b a x +-+=0，令)(x f =22 )2(2a x b a x +-+,则只需证明)(1x f ≤0．因 )(164)2(422a b b a b a -=--=?，而 4 24332432432111x x x x x x x x x x x x b a ++=++=≤14 3 414141<=++，所以a b >,从而?＞0，)(x f 与x 轴有两个不同的交点．易知这两个交点为 ) (22)(22a b b a b v a b b a b u -+-=---=，下证1x ∈[v u ,]． ,331a x a ≤≤],3 [ 1a a x ∈∴， 只需证[ a a ,3 ]?[v u ,],即v a a u ≤≤,3,由于a a b a b b a b v ≥-≥-+-=2)(22， 22 23 u b a a =--===≤= 所以1x ∈[v u ,]，从而必有)(1x f ≤0． 解法二：只需证明)(1x f ≤0，而 a x a ≤≤13，因此只需证0)3 (,0)(≤≤a f a f 而)(4)(b a a a f -=，)34(94)3(b a a a f -=，由43≤b a 可证得0)3 (,0)(≤≤a f a f 说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问 题简化． 7．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在 的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ． （Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ； （Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小； (Ⅲ)当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为 60？ 【解】（Ⅰ）证明： 平面⊥A B C D 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ． ?AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴， 又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF ． ?AF 平面ADF ，∴平面⊥DAF 平面CBF ． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在 平面CBF 上的射影， 因此，ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角． EF AB // ，∴四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ． 2=AB ,1=EF ，则21 2=-=EF AB AH ． 在AFB Rt ?中，根据射影定理AB AH AF ?=2 1=AF ． 2 1 sin ==∠AB AF ABF ， 30=∠∴ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为 30． (Ⅲ)（解法一）过点A 作EF AM ⊥，交EF 的延长线于点M ，连DM ． 根据（Ⅰ）的证明，⊥DA 平面ABEF ，则EF DM ⊥， DMA ∠∴为二面角B FE D --的平面角， 60=∠DMA ． 在AFH Rt ?中，2 1 = AH ，1=AF ,23=∴FH ． 又 四边形AMFH 为矩形， 2 3 ==∴FH MA ． 2 3 323tan =?=∠?=∴DMA MA AD ． 因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为 60． （解法二）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、 分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图） 设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t 在AFH Rt ?中，2 1 = AH ，1=AF ,23=∴FH ． ∴点F 的坐标为)0,23,21(，点E 的坐标为)0,23 ,21(-, ),23,21(t DF --=∴，),2 3 ,23(t DE -= 设平面DEF 的法向量为),,(1z y x n =，则01=?n ,01=?n ． 即?? ???=-+-=-+-.023,023 2 321tz y x tz y x 令3=z ，解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴ 取平面BEF 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，依题意1n 与2n 的夹角为 60 60cos = ∴ 1 34300212?+++=t ， 解得23 ±=t （负值舍去） 因此，当AD 的长为 2 3时，二面角B FE D --的大小为 60．8．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分， 负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满 6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )2 1 (>p ， 且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛 停止的概率为 9 5． 若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得 分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ， 0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ． （Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填 写什么条件？ （Ⅱ）求p 的值； （Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 ξ的分布列和数学期望E ξ． 注：“0=n ”，即为“0←n ”或为“0:=n ”． 【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填2=M ，第二个应填6=n ． 注意：答案不唯一． 如：第一个条件框填1>M ，第二个条件框填5>n ，或者第一、第二条件互换．都可以． （Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束． ∴有9 5 )1(22= -+p p ． 解得32= p 或31 =p ． 21>p ， 3 2 =∴p ． （Ⅲ）（解法一）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 9 5 ． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有5 (2)9P ξ==， 81 20)95)(951()4(= -==ξP ， 81 161)9 51)(951()6(= ?--==ξP ． ∴随机变量ξ的分布列为： 故52016266 2469818181 E ξ=?+?+?=． （解法二）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． 令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得 12125(2)()()9 P P A A P A A ξ==+= ， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++ 33211220 2[()()()()]333381 =+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++ 222116 4()()3381 ==． ∴随机变量ξ的分布列为： 故52016266 2469818181 E ξ=?+?+?=． 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2012年新课标1卷数学(文科) 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2 {|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B φ= 2．复数32i z i -+= +的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等） 的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1 12 y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ． 12 D ．1 4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ A ．12 B ．2 3 C ．34 D ．45 5．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ） A ．（12） B ．（0，2） C ．1，2） D ．（0，1+ 6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．2 A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望． 3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2 的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3! 11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥?? +≤??≥(-)? 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．1 D ．2 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 高考复习专题之：概率与统计 一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. １．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0； 注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法 例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ， d ， e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通 路的概率是 ． 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。 解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)= 106=5 3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如， 两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？ 分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）= 31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率． 分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 高考理科数学数学导数专题复习 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义： 2012高考理科数学全国卷1试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题 （1）复数131i i -+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2 ）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m = （A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 2AB = ，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B （C （D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{ }n n a a +的前100项和为 （A ） 100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100 （6）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ?= ，||1a = ，||2b = ， 则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455 a b - （7）已知α 为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α= （A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （9）已知ln x π=，5log 2y =，1 2z e -=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c = （A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 （11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37 AE BF ==。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 专题10.2 统计与统计案例 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在 以下的汽车有辆． ） 【答案】75 2.某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ . 【答案】17 【解析】高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 3.若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为▲． 【答案】2 【解析】由题意得，因此方差为 4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 ▲ ． 【答案】200 【解析】男学生占全校总人数，那么 5.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示。若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为. 【答案】20 【解析】根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4， ∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20. 6.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人． 【答案】37，20 7.下图是2014年在怀化市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为. 【答案】， 【解析】去掉一个最高分和一个最低分之后，剩余的五个数据依次是、、、、，平均数为 1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D ∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π 2012年全国高考理科数学试题-全国卷2(含解析) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。．．．．．．．．． 第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、复数-1+3i= 1+i A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 x2y2x2y2A +=1 B +=1 1612128x2y2x2y2C +=1 D +=1 84124 4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列(A)的前100 项和为1009999101 (B) (C) (D) 101101100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B）(C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α= 3 (A) -5555 （B）- (C) (D) 3993 （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上， |PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1334 （B）(C) (D) 4545 （9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 12 (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2） 绝密*启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：12 2412C C =种 （3）下面是关于复数2 1z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【解析】选C 22(1) 11(1)(1) i z i i i i --= ==---+-+-- 1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-最全高考数学统计专题解析版【真题】
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